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高中数学 不等式的解法高分策略
考纲解读：
考点 考纲要求 题型 分值 考题预测
一元二次不等式、不等式性质 1. 理解不等式的性质，并会灵活运用
2. 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。 选择、填空 5分 高考对本节内容很少单独命题考查，对不等关系及一元二次不等式的考查常与集合结合在一起，有时与函数的定义域、充要条件、判断命题真假、数或式的大小比较、不等式的恒成立及同解变形等问题结合在一起。
经典题精析：
母题1 若a>b>0，cA. B. C. D.
思路分析：先利用倒数的性质，再利用同向正数不等式的可乘性。
解析：因。
答案：B
方法总结：灵活运用不等式的性质，同向正数不等式的可乘性、倒数的性质。
变式1－1 已知aA. a3>b3 B. acb2 D.
思路分析：利用作差法比较每一个选项的两个式子，即可找到答案。
解析：于A选项，a3－b3=（a－b）（a2+ab+b2），因为aa－b<0，a2+ab+b2>0，所以a3对于B选项，ac－bc=（a－b）c，符号不确定。所以选项B错误。
对于C选项，a2－b2=（a+b）（a－b）>0，所以选项C正确。
对于D选项，，所以选项D错误。
答案：C
母题2 已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是__________。
思路分析：由题意分类讨论x>0和x0两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果。
解析：分类讨论：①当x>0时，f（x）|x|即：，
整理可得：，
由恒成立的条件可知： ，
结合二次函数的性质可知：
当时，，则；
②当时，即：x2+2x+a－2－x，整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当x=－3或x=0时，（－x2－3x+2）min=2，则a2；
综合①②可得的取值范围是。
答案：。
方法总结：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）a≥f（x）恒成立?a≥f（x）max；（2）a≤f（x）恒成立?a≤f（x）min。有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析。
变式2－1 要使函数在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
思路分析：先用换元法将函数转变成二次函数问题，再用分离参数法解决恒成立问题。
解析：令，原问题等价于在区间上恒成立，
分离参数有：，则，，
结合二次函数的性质可知当时， ，
即实数的取值范围是。
答案：C
综合练习：
（答题时间：30分钟）
一、单选题
1. 若函数在（－，+）上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A. B. [－1，] C. [－，－1] D. [－1，1]
2. 已知函数的最大值不大于，又当时， ，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 函数， 的值域是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知是偶函数，当时，，若当时， 恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
5. 函数当时有最小值，当时有最大值，则的取值范围是_______。
6. 函数y=cos2x+3 cosx+2的最小值为_________。
答案：
1. A
【解析】由题得
∵函数在（－，+）上单调递增，
∴，。
设t=sinx，t∈[－1，1]，，
则在t∈[－1，1]恒成立，
∴，，
故选A。
2. A
【解析】由，
则，得，且 对称轴的方程为，
当时，在上函数单调递减，而，
即，则与矛盾，即不存在；
当时，对称轴，而，且，
即，则，而，所以，故选A。
3. C
【解析】，对称轴为，∴当时， ，当时，，∴值域为，故选C。
4. D
【解析】
设，则，
当时， ，
，由为偶函数可得， ， ，
结合二次函数的性质可得，
此时，
恒成立， ，故选D。
5.
【解析】令，则，
根据对称轴与定义区间[－1，1]位置关系得。
6. 0
【解析】令t=cosx，且t，则y，对称轴为t=，即函数在上单调递增，所以t=－1时函数取到最小值0，故填0。

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