资源简介

22.3
实际问题与二次函数（解答题专练）（二）
基础练习（一）：
1．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500㎏，销售单价每涨1元，月销售量就减少10㎏，针对这种水产品，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量与月销售利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式；
（3）当销售单价为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？
（4）商店想在销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润刚好达到8000元，销售单价应为多少？
2．某文化用品商店新进一批毕业纪念册，该纪念册每本进价10元，售价定为每本18元，该商店计划出台一下的促销方案：凡一次购买纪念册6本以上的（不含6本），每多买一本，所购买的每本纪念册的售价就降低0.2元，但是每本纪念册的最低售价不低于13元．
（1）问一次购买该纪念册至少多少本时才能用最低价购买？
（2）求当一次够买该纪念册x本时，商店所获利润W（元）与购买量x（本）之间的函数关系式；
（3）在研讨促销方案过程中，店员发现了一个奇怪的现象：“如果商店一次售出30本纪念册所获得利润，比一次售出26本纪念册所获得利润低．”请你解释其中的道理，并根据其中的道理替该商店修改一下促销方案，使卖得纪念册越多所获利润越大．
3．在校际运动会上，身高1.8米的李梦晨（AB）同学，把铅球抛到离脚底（B）9米远的P点，李梦晨同学所抛的铅球在到达最大高度时，距其脚底（B）4米，聪明的你，请你参照图示，帮助李梦晨同学求出此铅球运动的轨迹方程．
4．某商场销售一种进货成本价为每件60元的新产品，根据物价部门规定，销售该产品的毛利润率（毛利润率＝）应在10%～50%之间（包括10%与50%）．在销售过程中发现，当销售单价70元时，每月销售量为350件，而每提高销售单价5元，则每月销售量减少25件；
（1）写出每月销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式及x的取值范围；
（2）在销售该产品中，设每月获得利润为W（元），
①写出W与x的函数关系式；
②当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少元？
5．商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．
①设每件降价x元，每天盈利y元，列出y与x之间的函数关系式．
②若商场每天要盈利1200元，每件衬衫降价多少元？
③每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
基础练习（二）：
6．综合应用与探究
超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如图所示的一次函数关系式．
（1）试求出y与x的函数关系式；
（2）设超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围（直接写出答案）．
7．某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）当售价的范围是多少时，使得每件商品的利润率不超过80%且每个月的利润不低于2250元？
8．现在互联网越来越普及，网上购物的人也越来越多，订购的商品往往通过快递送达．当当网上某“四皇冠”级店铺率先与“青蛙王子”童装厂取得联系，经营该厂家某种型号的童装．根据第一周的销售记录，该型号服装每天的售价x（元/件）与当日的销售量y（件）的相关数据如下表：
每件的销售价x（元/件）
200
190
180
170
160
150
140
每天的销售量y（件）
80
90
100
110
120
130
140
已知该型号童装每件的进价是70元，同时为吸引顾客，该店铺承诺，每件服装的快递费10元由卖家承担．
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，求第一周销售中，y与x的函数关系式；
（2）设第一周每天的赢利为w元，求w关于x的函数关系式，并求出每天的售价为多少元时，每天的赢利最大？最大赢利是多少？
（3）从第二周起，该店铺一直按第（2）中的最大日盈利的售价进行销售．但进入第三周后，网上其他购物店也陆续推出该型号童装，因此第三、四周该店铺每天的售价都比第二周下降了m%，销售量也比第二周下降了0.5m%（m＜20）；第五周开始，厂家给予该店铺优惠，每件的进价降低了16元；该店铺在维持第三、四周的销售价和销售量的基础上，同时决定每件童装的快递费由买家自付，这样，第五周的赢利相比第二周的赢利增加了2%，请估算整数m的值．
（参考数据：，）
9．如图，要设计一个矩形的花坛，花坛长60m，宽40m，有两条纵向甬道和一条横向甬道，横向甬道的两侧有两个半圆环形甬道，半圆环形甬道的内半圆的半径为10m，横向甬道的宽度是其它各甬道宽度的2倍．设横向甬道的宽为2x
m．（π的值取3）
（1）用含x的式子表示两个半圆环形甬道的面积之和；
（2）当所有甬道的面积之和比矩形面积的多36m2时，求x的值；
（3）根据设计的要求，x的值不能超过3m．如果修建甬道的总费用（万元）与x（m）成正比例关系，比例系数是7.59，花坛其余部分的绿化费用为0.03万元/m2，那么x为何值时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
10．冠豸旅馆客房部有20套房间供游客居住，当每套房间的定价为每天120元时，房间可以住满．当每套房间每天的定价每增加10元时，就会有一套房间空闲．对有游客入住的房间，客栈需对每套房间每天支出20元的各种费用．设每套房间每天的定价增加x元．求：
（1）房间每天的入住量y（套）关于x（元）的函数关系式；
（2）该客栈每天的房间收费总额z（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）该客栈客房部每天的利润W（元）关于x（元）的函数关系式；当每套房间的定价为每天多少元时，W有最大值？最大值是多少？
参考答案
1．解：（1）500﹣10（55﹣50）＝450，450×（55﹣40）＝6750，
答：当销售单价定为每千克55元时，月销售量为450kg，月销售利润为6750元．
（2）由题意得
y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，
即y＝﹣10x2+1400x﹣40000，
（3）由（2）得y＝﹣10（x2﹣140x）﹣40000，
＝﹣10（x﹣70）2+9000；
∴当月销售单价为每千克70元时，月销售利润最大，最大利润为9000元．
（4）当y＝8000时，由（3）得
8000＝﹣10（x2﹣140x）﹣40000，
整理得（x﹣70）2＝100，
解之得x1＝60，x2＝80，
又由销售成本不超过10000元得40[500﹣10（x﹣50）]≤10000，
解之得x≥75，
故x1＝60应舍去，则x＝80；
答：销售单价应定为每千克80元．
2．解：（1）设购买纪念册m本，
∴18﹣0.2（m﹣6）≥13，解得m≤31，
∴至少买31本才能用最低价购买；
（2）①当x≤6时，
W＝（18﹣10）x＝8x（x为整数）；
②当6＜x≤31时，
W＝x[18﹣0.2（x﹣6）﹣10]
＝x（9.2﹣0.2x）
＝﹣0.2x2+9.2x（
x为整数）；
③当x＞31时，
W＝（13﹣10）x＝3x（x为整数）；
（3）由②中W＝﹣0.2x2+9.2x，
∵a＝﹣0.2＜0，x＝﹣＝23，
∴当23≤x≤31时，W随x的增大而减小．
∴商店一次售出30本纪念册所获的利润，比一次售出26本纪念册所获的利润低，
又∵当x＝23时，纪念册的售价为18﹣0.2×（23﹣6）＝14.6（元），
∴商店把促销方案中：“纪念册的最低售价不低于13元”改为“纪念册的最低售价不低于14.6元”，这样三个函数在个自变量范围都为增函数，于是可以使卖的纪念册越多商店所获的利润越大．
3．解：如图，P点坐标为（9，0），A点坐标为（0，1.8），对称轴为直线x＝4，
设铅球运动的轨迹为抛物线y＝ax2+bx+c
（a≠0），
∴，解得，
∴此铅球运动的轨迹方程为：y＝﹣x2+x+（0≤x≤9）．
4．解：（1）∵当销售单价70元时，每月销售量为350件，而每提高销售单价5元，则每月销售量减少25件，
销售单价为x（元），
∴每月销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式为：
y＝350﹣25（x﹣70）÷5＝700﹣5x；
又∵x﹣60≤60×50%，且x﹣60≥60×10%，
∴x的取值范围是66≤x≤90；
（2）①∵每件产品的利润为：（x﹣60）元，
每月销售量为：y＝700﹣5x；
∴W＝（x﹣60）（700﹣5x）＝﹣5x2+1000x﹣42000；
②当x＝﹣＝100时，不属于66≤x≤90的取值范围，
而当x≤100时，W随着x的增大而增大，
∴当x＝90时，每月可获得最大利润，
此时，W最大＝（90﹣60）（700﹣5×90）＝7500元．
5．解：①y＝（40﹣x）（20+2x）
＝﹣2x2+60x+800
所以y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+60x+800；
②令y＝1200，
∴﹣2x2+60x+800＝1200，
整理得x2﹣30x+200＝0，解得x1＝10（舍去），x2＝20，
所以商场每天要盈利1200元，每件衬衫降价20元；
③y＝﹣2x2+60x+800
＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝15时，y有最大值，其最大值为1250，
所以每件降价15元时，商场每天的盈利达到最大，盈利最大是1250元．
6．解：（1）设y＝kx+b，由图象可知，
（2分）
解之，得
∴y＝﹣20x+1000（30≤x≤50，不写自变量取值范围不扣分）．
（2）p＝（x﹣20）y
＝（x﹣20）（﹣20x+1000）
＝﹣20x2+1400x﹣20000．
∵a＝﹣20＜0，
∴p有最大值．
当x＝﹣＝35时，p最大值＝4500．
即当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．
（3）31≤x≤34或36≤x≤39．
7．解：（1）由题意解得：
y＝[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）
＝﹣2x2+300x﹣8800；（60≤x≤110且x为正整数）
（2）y＝﹣2（x﹣75）2+2450，当x＝75时，y有最大值为2450元；
（3）当y＝2250时，﹣2（x﹣75）2+2450＝2250，解得x1＝65，x2＝85
∵a＝﹣2＜0，开口向下，当y≥2250时，65≤x≤85
∵每件商品的利润率不超过80%，则≤80%，则x≤72则65≤x≤72．
答：当售价x的范围是x≤72则65≤x≤72时，使得每件商品的利润率不超过80%且每个月的利润不低于2250元．
8．解：（1）设y＝kx+b
由题得：，解得，
∴y＝﹣x+280，
验证：当x＝180时，y＝100；当x＝170时，y＝110；
其他各组值也满足函数关系式；故y与x的函数关系式为y＝﹣x+280；
（2）w＝xy﹣70y﹣10y＝（x﹣80）（﹣x+280）＝﹣x2+360x﹣22400，
＝﹣（x﹣180）2+10000
因为﹣1＜0，所以抛物线开口向下，
所以当x＝180时，w最大为10000，
即每件的售价为180元时，每天的赢利最大为10000元；
（3）根据题意得：180（1﹣m%）?700（1﹣0.5m%）﹣54（1﹣0.5m%）×700＝7×10000×1.02，
设t＝m%，则原方程可化为：180（1﹣t）（1﹣0.5t）﹣54（1﹣0.5t）＝102
化简得：30t2﹣81t+8＝0，△＝（﹣81）2﹣4×30×8＝5601
，
t2＝＝≈0.102，
所以m≈260或m≈10.2，
因为m＜20，所以m≈10．
答：m的整数值为10．
9．解：（1）两个半圆环形甬道的面积＝π（10+x）2﹣π×102＝3x2+60x（m2）；
（2）依题意，得40×x×2+60×2x﹣2x2×2+3x2+60x＝×60×40+36，
整理，得x2﹣260x+516＝0，
解得x1＝2，x2＝258（不符合题意，舍去）．
∴x＝2；
（3）设建设花坛的总费用为y万元，则
y＝0.03×[60×40﹣（﹣x2+260x）]+7.59x
＝0.03x2﹣0.21x+72．
∴当x＝﹣＝＝3.5时，y的值最小．
因为根据设计的要求，x的值不能超过3，
∴当x＝3时，总费用最少．
最少费用为y＝0.03×32﹣0.21×3+72＝71.64（万元）．
10．解：（1）由题意得：
y＝20﹣，
（2）z＝（120+x）（20﹣），
＝﹣+8x+2400；
（3）w＝（120+x）（20﹣）﹣20×（20﹣），
＝﹣+10x+2000，
＝﹣（x﹣50）2+2250，
当x＝50时，w有最大值．
此时，x+120＝170，就是说，当每个房间的定价为每天170元时，w有最大值，且最大值是2250元．

展开更多......

收起↑