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把关提分类中考真题专练：第四章
图形的相似
一．选择题
1．（2020?毕节市）已知＝，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2020?云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2020?广西）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）
A．15
B．20
C．25
D．30
4．（2020?昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
5．（2020?永州）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（　　）
A．
B．25
C．35
D．63
6．（2020?益阳）如图，在矩形ABCD中，E是DC上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立的是（　　）
A．∠DAE＝30°
B．∠BAC＝45°
C．
D．
7．（2020?海南）如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　）
A．16
B．17
C．24
D．25
8．（2020?海南）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．25
B．30
C．35
D．40
9．（2020?大庆）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（　　）
A．10+或5+2
B．15
C．10+
D．15+3
10．（2020?眉山）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：
①∠EAB＝∠GAD；
②△AFC∽△AGD；
③2AE2＝AH?AC；
④DG⊥AC．
其中正确的个数为（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题
11．（2020?锦州）如图，在△ABC中，D是AB中点，DE∥BC，若△ADE的周长为6，则△ABC的周长为　
　．
12．（2020?盘锦）如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（5，0），O（0，0），B（3，6），以点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B'的坐标是　
　．
13．（2020?大连）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，CE与BD相交于点F．设DE＝x，BF＝y，当0≤x≤8时，y关于x的函数解析式为　
　．
14．（2020?山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为　
　．
15．（2020?鞍山）如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，AF与CE相交于点G，BG与AC相交于点H．下列结论：①△ACF≌△CDE；②CG2＝GH?BG；③若DF＝2CF，则CE＝7GF；④S四边形ABCG＝BG2．其中正确的结论有　
　．（只填序号即可）
16．（2020?东营）如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝　
　．
三．解答题
17．（2020?朝阳）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2：1．
18．（2020?南京）如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，＝．
（1）当＝＝时，求证△ABC∽△A'B'C'．
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
（2）当＝＝时，判断△ABC与△A'B'C′是否相似，并说明理由．
19．（2020?凉山州）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
20．（2020?泰州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．
（1）用含x的代数式表示AD的长；
（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．
21．（2020?济宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上．
（1）求作：△PCD，使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若∠APC＝2∠ABC．求证：PD∥AB．
22．（2020?杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
23．（2020?杭州）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点．
②求λ的值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：∵＝，
∴设a＝2x，b＝5x，
∴＝＝．
故选：C．
2．解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴点O为线段BD的中点．
又∵点E是CD的中点，
∴线段OE为△DBC的中位线，
∴OE∥BC，OE＝BC，
∴△DOE∽△DBC，
∴＝（）2＝．
故选：B．
3．解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴＝，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故选：B．
4．解：如图，
所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个．
故选：C．
5．解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△AEF＝S△ABC．
∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，
∴S△ABC＝25．
故选：B．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠EBA＝60°，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA＝90°，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠CBE＝30°，故选项A不合题意，
∴cos∠DAE＝＝，故选项D不合题意，
在△ADE和△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴DE＝CE＝CD＝AB，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴，故选项C不合题意，
故选：B．
7．解：∵在?ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，
∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，
在Rt△ABG中，AG＝＝＝6，
∴AE＝2AG＝12，
∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，
∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，
∴△CEF的周长为16．
故选：A．
8．解：过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵EF＝AD，
∴EF＝BC，
∵AD∥BC，NG⊥AD，
∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC，
∴GN：GM＝EF：BC＝1：2，
又∵MN＝AB＝6，
∴GN＝2，GM＝4，
∴S△BCG＝×10×4＝20，
∴S△EFG＝×5×2＝5，S矩形ABCD＝6×10＝60，
∴S阴影＝60﹣20﹣5＝35．
故选：C．
9．解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；
当三边分别为3，4，，和6，8，2，此时两三角形相似，不合题意舍去
当3，4为直角边，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：＝2，
故m+n＝5+2；
当6，8为直角边，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：＝，
故m+n＝10+；
故选：A．
10．解：∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，
∴∠EAG＝∠BAD＝90°，∠FAG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AF＝AG，AC＝AD，
∴∠EAG﹣∠BAG＝∠BAD﹣∠BAG，
∴∠EAB＝∠DAG，故①正确；
∵AF＝AG，AC＝AD，
∴＝，
∵∠FAG＝∠CAD＝45°，
∴∠FAC＝∠DAG，
∴△FAC∽△DAG，故②正确，
∴∠ADG＝∠ACB＝45°，
延长DG交AC于N，
∵∠CAD＝45°，∠ADG＝45°，
∴∠AND＝90°，
∴DG⊥AC，故④正确，
∵∠FAC＝∠FAH，∠AFG＝∠ACF＝45°，
∴△AFH∽△ACF，
∴，
∴AF2＝AH?AC，
∴2AE2＝AH?AC，故③正确，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵D是AB的中点，
∴＝，
∴＝
∵△ADE的周长为6，
∴△ABC的周长为12，
故答案为：12．
12．解：如图，
∵△OAB∽△OA′B′，相似比为3：2，B（3.6），
∴B′（2，4），根据对称性可知，△OA″B″在第三象限时，B″（﹣2，﹣4），
∴满足条件的点B′的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．
故答案为（2，4）或（﹣2，﹣4）．
13．解：在矩形
中，AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴，
∵BD＝＝10，BF＝y，DE＝x，
∴DF＝10﹣y，
∴，化简得：，
∴y关于x的函数解析式为：，
故答案为：．
14．解：如图，过点F作FH⊥AC于H．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝?AC?BC＝?AB?CD，
∴CD＝，AD＝＝＝，
∵FH∥EC，
∴＝，
∵EC＝EB＝2，
∴＝，设FH＝2k，AH＝3k，CH＝3﹣3k，
∵tan∠FCH＝＝，
∴＝，
∴k＝，
∴FH＝，CH＝3﹣＝，
∴CF＝＝＝，
∴DF＝﹣＝，
故答案为．
15．解：∵ABCD为菱形，
∴AD＝CD，
∵AE＝DF，
∴DE＝CF，
∵∠ADC＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠D＝∠ACD＝60°，AC＝CD，
∴△ACF≌△CDE（SAS），故①正确；
过点F作FP∥AD，交CE于P点．
∵DF＝2CF，
∴FP：DE＝CF：CD＝1：3，
∵DE＝CF，AD＝CD，
∴AE＝2DE，
∴FP：AE＝1：6＝FG：AG，
∴AG＝6FG，
∴CE＝AF＝7GF，故③正确；
过点B作BM⊥AG于M，BN⊥GC于N，
∵∠AGE＝∠ACG+∠CAF＝∠ACG+∠GCF＝60°＝∠ABC，
即∠AGC+∠ABC＝180°，
∴点A、B、C、G四点共圆，
∴∠AGB＝∠ACB＝60°，∠CGB＝∠CAB＝60°，
∴∠AGB＝∠CGB＝60°，
∴BM＝BN，又AB＝BC，
∴△ABM≌△CBN（HL），
∴S四边形ABCG＝S四边形BMGN，
∵∠BGM＝60°，
∴GM＝BG，BM＝BG，
∴S四边形BMGN＝2S△BMG＝2××＝BG2，故④正确；
∵∠CGB＝∠ACB＝60°，∠CBG＝∠HBC，
∴△BCH∽△BGC，
∴，
则BG?BH＝BC2，
则BG?（BG﹣GH）＝BC2，
则BG2﹣BG?GH＝BC2，
则GH?BG＝BG2﹣BC2，
当∠BCG＝90°时，BG2﹣BC2＝CG2，此时GH?BG＝CG2，
而题中∠BCG未必等于90°，故②不成立，
故正确的结论有①③④，
故答案为：①③④．
16．解：∵PA＝3PE，PD＝3PF，
∴＝＝，
∴EF∥AD，
∴△PEF∽△PAD，
∴＝（）2，
∵S△PEF＝2，
∴S△PAD＝18，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△PAD＝S平行四边形ABCD，
∴S1+S2＝S△PAD＝18，
故答案为18．
三．解答题（共7小题）
17．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
18．（1）证明：∵＝，
∴＝，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴△ADC∽△A′D′C'，
∴∠A＝∠A′，
∵＝，
∴△ABC∽△A′B′C′．
故答案为：＝＝，∠A＝∠A′．
（2）如图，过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于E，D′E′交A′C′于E′．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
同理，＝＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
同理，＝，
∴＝，即＝，
∴＝，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴△DCE∽△D′C′E′，
∴∠CED＝∠C′E′D′，
∵DE∥BC，
∴∠CED+∠ACB＝180°，
同理，∠C′E′D′+∠A′C′B′＝180°，
∴∠ACB＝∠A′C′B′，
∵＝，
∴△ABC∽△A′B′C′．
19．解：∵四边形EGFH为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x
mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝48．
答：正方形零件的边长为48mm．
20．解：（1）∵PD∥AB，
∴，
∵AC＝3，BC＝4，CP＝x，
∴，
∴CD＝，
∴AD＝AC﹣CD＝3﹣，
即AD＝；
（2）根据题意得，S＝，
∴当x≥2时，S随x的增大而减小，
∵0＜x＜4，
∴当S随x增大而减小时x的取值范围为2≤x＜4．
21．解：（1）如图：作出∠APD＝∠ABP，即可得到△PCD∽△ABP；
（2）证明：如图，∵∠APC＝2∠ABC，∠APD＝∠ABC，
∴∠DPC＝∠ABC
∴PD∥AB．
22．（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：①∵EF∥AB，
∴＝＝，
∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，
∴＝，
解得：BE＝4；
②∵＝，
∴＝，
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．
23．解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，
∴BE＝EC＝1，
∴AE＝＝，
∴EF＝，
∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；
（2）①证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
在△ADG和△FCG中
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，
即点G为CD的中点；
②设CD＝2a，则CG＝a，
由①知，CF＝DA＝2a，
∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴，
∵GC＝a，FC＝2a，
∴，
∴，
∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，
∴λ＝．

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