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专题一　运动图象　追及相遇问题
考纲考情 核心素养
?匀变速直线运动的图象Ⅱ ?追及相遇问题 ?运动观念：x?t图象，v?t图象，追及相遇问题. 物理观念
全国卷5年3考 高考指数★★★★☆ ?科学推理：运用物理图象对物体的运动进行描述和分析．根据运动学的规律，对追及相遇问题进行分析、推理. 科学思维
突破1　运动学图象的理解和应用
题型1　位移—时间(x?t)图象
(1)位移—时间图象反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律，图象并非物体运动的轨迹．
(2)位移—时间图象只能描述物体做直线运动的情况．
(3)位移—时间图线上每一点切线的斜率表示物体该时刻的速度，斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向．
(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示．下列说法正确的是(　　)
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
【解析】　x?t图象的斜率表示速度，则可知t1时刻乙车速度大于甲车速度，A错误；由两图线的纵截距知，出发时甲在乙前面，t1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t1时间内乙车比甲车多走了一段距离，B项错误；t1和t2时刻两图线都相交，表明两车在两个时刻均在同一位置，从t1到t2时间内，两车走过的路程相等，在t1到t2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，该时刻两车速度相等，C、D项正确．
【答案】　CD
1. (多选)物体甲做匀变速直线运动，物体乙做匀速直线运动，它们的位移—时间图象如图所示(t＝2 s时，曲线与横轴相切)．下列说法正确的是(　BC　)
A．t＝0时，物体甲的速度大小为2 m/s
B．物体甲的加速度大小为2 m/s2
C．t＝1 s时，甲、乙两物体速度相等
D．0～2 s内，物体乙的平均速度大于物体甲的平均速度
解析：本题考查两物体的位移—时间图象．t＝2 s时，曲线与横轴相切，可知此时甲的速度为零，研究甲运动的逆过程，2 s内的位移为4 m，根据x＝at2可知加速度a＝2 m/s2，v＝at＝4 m/s，即t＝0时，物体甲的速度大小为4 m/s，加速度大小为2 m/s2，选项A错误，B正确；t＝1 s时，物体甲速度大小为v1＝at1＝2 m/s；物体乙的速度大小为v2＝＝ m/s＝2 m/s，即t＝1 s时，甲、乙两物体速度相等，选项C正确；0～2 s内，物体甲的平均速度大小为甲＝ m/s＝2 m/s，则物体乙的平均速度等于物体甲的平均速度，选项D错误．
题型2　速度—时间(v?t)图象
(1)速度—时间图象反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律，它也只能描述物体做直线运动的情况．
(2)速度—时间图线上每一点的斜率表示物体该时刻的加速度．斜率的绝对值表示加速度大小，斜率为正表示加速度为正，反之为负．
(3)速度—时间图线与t轴所围面积表示这段时间内物体的位移．所围区域在时间轴上方(v轴正向一侧)表示位移为正，所围区域在时间轴下方(v轴负向一侧)表示位移为负．
(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t2时刻并排行驶，下列说法正确的是(　　)
A．两车在t1时刻也并排行驶
B．t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
【解析】　本题可巧用逆向思维分析，两车在t2时刻并排行驶，根据题图分析可知在t1～t2时间内甲车运动的位移大于乙车运动的位移，所以在t1时刻甲车在后，乙车在前，B正确，A错误；依据v?t图象斜率表示加速度分析出C错误，D正确．
【答案】　BD
高分技法
1.对x?t图象及v?t图象的理解
x?t图象 v?t图象
轴 横轴为时间t，纵轴为位移x 横轴为时间t，纵轴为速度v
线 倾斜直线表示匀速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率 表示速度 表示加速度
面积 无实际意义 图线与时间轴围成的面积表示位移大小
纵截距 表示初位置 表示初速度
特殊点 拐点表示速度变化，交点表示相遇 拐点表示加速度变化，交点表示速度相同
2．消除对运动图象的“误会”
(1)x?t图象、v?t图象都不是质点运动的轨迹．
(2)无论是x?t图象还是v?t图象，所描述的运动都是直线运动．
(3)图线的斜率应该由坐标系的标度求出，不能由图线倾角的正切值求出．
2. (多选)在平直的公路上检测某新能源动力车的刹车性能时，刹车过程中的(位移x和时间t的比值)与t之间的关系图象如图所示．下列说法正确的是(　AC　)
A．刚刹车时新能源动力车的速度大小为20 m/s
B．刹车过程中，新能源动力车的加速度大小为2 m/s2
C．刹车过程持续的时间为5 s
D．整个刹车过程中，新能源动力车经过的路程为40 m
解析：由题图得＝kt＋b，整理后x＝kt2＋bt，与匀变速直线运动的位移时间公式x＝v0t＋at2对比，可得新能源动力车做匀减速直线运动，新能源动力车的初速度v0＝b＝20 m/s，加速度为a＝－4 m/s2，所以刹车时间t0＝＝5 s，刹车位移为x＝v0t0＋at＝50 m，B、D错误，A、C正确．
题型3　加速度—时间(a?t)图象
(1)加速度—时间图象描述加速度随时间的变化规律，若加速度不变，物体做匀变速直线运动．
(2)在加速度—时间图象中，图线和坐标轴所围的面积表示在这段时间内速度的变化．
某同学在开展研究性学习的过程中，利用加速度传感器研究某一物体以初速度2 m/s做直线运动的加速度a随时间t变化的规律，并在计算机上得到了前4 s内物体加速度随时间变化的关系图象，如图所示．以物体的初速度方向为正方向，则下列说法正确的是(　　)
A．物体在1 s末速度方向改变
B．物体在3 s末速度方向改变
C．前4 s内物体的最大速度出现在第3 s末，大小为3.5 m/s
D．物体在第2 s末与第4 s末的速度大小相等，方向也相同
【解析】　物体在0～3 s内一直加速运动，3 s末速度达到最大，且3 s末速度v＝v0＋Δv，由a?t图可知Δv＝3.5 m/s，所以v＝5.5 m/s，选项A、B、C错误；2～3 s速度的增加量与3～4 s速度的减少量相等，所以D正确．
【答案】　D
题型4　速度—位移(v?x)图象
(1)v?x图象描述速度随位置变化的规律．
(2)对匀变速直线运动，由v2－v＝2ax，可得v＝或x＝v2－v，其图象为抛物线．
一辆汽车以20 m/s的速度在平直的公路上行驶，当驾驶员发现前方有险情时，立即进行急刹车，刹车后的速度v随刹车位移x的变化关系如图所示，设汽车刹车后做匀减速直线运动，则当汽车刹车后的速度减小为12 m/s时，刹车的距离x1为(　　)
A．12 m　　　B．12.8 m　　　C．14 m　　　D．14.8 m
【解析】　本题根据v?x图象考查匀变速直线运动规律的应用．由题意可知，汽车做匀减速直线运动，设加速度大小为a，由公式v＝2ax，其中v0＝20 m/s、x＝20 m，代入解得a＝10 m/s2，当v＝12 m/s时，汽车刹车的位移为x1＝＝12.8 m，故B正确．
【答案】　B
高分技法
图象分析标准化程序：
3．(多选)研究人员正在检测某新能源动力车的刹车性能，如图所示是一次在平直公路上实验时，动力车整个刹车过程中位移与速度平方之间的关系图象，下列说法正确的是(　AB　)
A．动力车的初速度为20 m/s
B．刹车过程动力车的加速度大小为5 m/s2
C．刹车过程持续的时间为10 s
D．刹车过程经过6 s时动力车的位移为30 m
解析：根据0－v2＝2ax得＝－，可知＝ m－1·s2，解得刹车过程中动力车的加速度大小a＝5 m/s2，由图线可知，v＝400 m2·s－2，则动力车的初速度为v0＝20 m/s，选项A、B正确；刹车过程持续的时间t＝＝ s＝4 s，故C错误；刹车过程中动力车在6 s内的位移等于4 s内的位移，则x＝＝ m＝40 m，故D错误．
突破2　追及相遇问题
1．速度小者追速度大者
类型 图象 说明
匀加速 追匀速
①t＝t0以前，后面物体与前面物体间距离增大
②t＝t0时，两物体相距最远，为x0＋Δx(x0为两物体初始距离)
③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小
④能追上且只能相遇一次
匀速追 匀减速

匀加速追 匀减速

2.速度大者追速度小者
类型 图象 说明
匀减速 追匀速
开始追赶时，两物体间距离为x0，之后两物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件
②若Δx③若Δx>x0，则相遇两次，设t1时刻Δx＝x0，两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇(t2－t0＝t0－t1)
匀速追 匀加速

匀减速追 匀加速

题型1　与运动图象相结合的追及相遇问题
(多选)在遇到暴雨、雾霾等恶劣天气时，高速公路上能见度不足100 m．在这样的恶劣天气时，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，乙在前、甲在后同向行驶．某时刻两车司机同时听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，结果两辆车发生了碰撞．图示为两辆车刹车后若不相撞的v?t图象，由此可知(　　)
A．刹车过程中甲车的加速度是乙车加速度的2倍
B．两辆车一定是在刹车后的20 s之内的某时刻发生相撞的
C．两车相撞可能发生在乙车停止后
D．两车刹车时相距的距离一定小于100 m
【解析】　本题考查匀减速物体追匀减速物体的v?t图象问题．由v?t图象的斜率可求出a甲＝＝－ m/s2＝－1 m/s2，a乙＝＝－ m/s2＝－0.5 m/s2，A项正确；t＝20 s时，两车速度相等，相距最近，两车一定是在刹车后的20 s之内相撞，即在乙车停止前相撞，B项正确，C项错误；在t＝20 s内，甲的位移s甲＝v0甲t＋a甲t2＝25×20 m－×1×202 m＝300 m，乙的位移s乙＝v0乙t＋a乙t2＝15×20 m－×0.5×202 m＝200 m，可得s甲－s乙＝100 m，因而两车若相撞，刹车时距离应小于100 m，D项正确．
【答案】　ABD
高分技法
图象类追及相遇问题的解决方法
(1)明确图象的类型：常见的与追及相遇问题有关的图象是速度—时间图象(v?t图象)和位移—时间图象(x?t图象)；
(2)根据图象判定物体的运动规律：v?t图象和x?t图象的形状由v与t、x与t的函数关系确定，所以可根据图象的形状判定其函数关系，进而判定物体的运动规律；
(3)画出运动草图：将物体运动的v?t图象或x?t图象转化为物体相互间的运动草图，借助草图分析两物体间的位置关系、速度关系以及时间关系等；
(4)列方程求解：根据分析得出物体的运动情况，借助物理规律，结合两物体间的位移关系、速度关系和时间关系，列出相应的方程求解，并将不合理的结果排除.
4．假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶．甲车在前，乙车在后．速度均为v0＝30 m/s.甲、乙相距x0＝100 m，t＝0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化如图甲、乙所示．取运动方向为正方向．下列说法正确的是(　C　)
A．t＝3 s时两车相距最近
B．t＝6 s时两车速度不相等
C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m
D．两车在0～9 s内会相撞
解析：本题根据a?t图象考查追及、相遇问题．由题给图象画出两车的v?t图象如图所示，由图象可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积为0～6 s内两车位移之差，即Δx＝x乙－x甲＝ m＝90 m题型2　与实际问题相结合的追及相遇问题
最近，台风“山竹”的出现引起多地暴雨，致使高速公路上的司机难以看清前方道路，严重影响道路交通安全，某高速公路同一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车，其速度大小分别为v1＝40 m/s、v2＝25 m/s，轿车在与货车距离x0＝22 m时才发现前方有货车，若此时轿车立即刹车，则轿车要经过x＝160 m才能停下来．两车均可视为质点．若轿车刹车时货车仍以速度v2匀速行驶，通过计算分析两车是否会相撞．
【解析】　法1：临界法　对轿车刹车过程有v＝2a1x
解得轿车刹车过程的加速度大小a1＝5 m/s2
设从轿车开始刹车经过时间t0两车速度相等，有v1－a1t0＝v2解得t0＝3 s
此段时间内轿车行驶的距离为x1＝v1t0－a1t
解得x1＝97.5 m
货车行驶的距离为x2＝v2t0，解得x2＝75 m
因为x1－x2＝22.5 m>x0＝22 m，故两车会相撞．
法2：函数法　假设两车在t时刻相撞，由解法1知，两车相撞时，x1＝x2＋x0
即v1t－a1t2＝v2t＋x0
整理得t2－15t＋22＝0
这是一个关于时间t的一元二次方程，Δ＝(－15)2－4××22＝5>0，说明该方程有实数解，即两车会相撞．
法3：图象法　作出两车运动的v?t图象，图中阴影面积Δx表示两车速度相等时的位移差，由图可知Δx＝×3×15 m＝22.5 m>22 m，说明两车会相撞．
【答案】　见解析
高分技法
分析追及相遇问题应注意的几点
5．一辆执勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以v＝12 m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，立即前去追赶，经t0＝2 s，警车发动起来，以加速度a＝2 m/s2做匀加速运动，若警车最大速度可达vm＝16 m/s，求：
(1)在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多少；
(2)警车发动起来后至少经多长时间才能追上货车．
解析：(1)当警车与货车的速度相等时，两车距离最大，则：
v＝at1
解得t1＝6 s
Δx＝v(t0＋t1)－at＝60 m.
(2)从警车发动到达到最大速度需要的时间t2＝＝8 s
此时货车的位移x1＝v(t0＋t2)＝120 m
警车位移x2＝at＝64 m
即警车还未追上货车，此时二者相距
Δx′＝x1－x2＝56 m
还需要时间t3＝＝14 s
所以警车从发动到追上货车的最短时间为t＝t2＋t3＝22 s.
答案：(1)60 m　(2)22 s

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