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专题十一　电磁感应规律的综合应用(二)
考纲考情 核心素养
?电磁感应中的能量问题Ⅱ ?电磁感应中的动量问题Ⅱ ?综合应用楞次定律、法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿第二定律、动能定理、能量守恒定律、动量定理、动量守恒定律分析解决电磁感应问题. 科学思维
全国卷5年9考 高考指数★★★★★

突破1　电磁感应中的能量问题
1．能量转化
2．求解焦耳热Q的三种方法
(2019·天津卷)如图所示，固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨，垂直于导轨放置的两根金属棒MN和PQ长度也为l、电阻均为R，两棒与导轨始终接触良好．MN两端通过开关S与电阻为R的单匝金属线圈相连，线圈内存在竖直向下均匀增加的磁场，磁通量变化率为常量k.图中虚线右侧有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．PQ的质量为m，金属导轨足够长，电阻忽略不计．
(1)闭合S，若使PQ保持静止，需在其上加多大水平恒力，并指出其方向；
(2)断开S，PQ在上述恒力作用下，由静止开始到速度大小为v的加速过程中流过PQ的电荷量为q，求该过程安培力做的功W.
【解析】　(1)设线圈中的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律E＝，则E＝k　①
设PQ与MN并联的电阻为R并，有R并＝　②
闭合S时，设线圈中的电流为I，根据闭合电路欧姆定律得I＝　③
设PQ中的电流为IPQ，有IPQ＝I　④
设PQ受到的安培力为F安，有F安＝BIPQl　⑤
保持PQ静止，由受力平衡，有F＝F安　⑥
联立①②③④⑤⑥式得F＝　⑦
方向水平向右．
(2)设PQ由静止开始到速度大小为v的加速过程中，PQ运动的位移为x，所用时间为Δt，回路中的磁通量变化量为ΔΦ，平均感应电动势为，有＝　⑧
其中ΔΦ＝Blx　⑨
设PQ中的平均电流为，有＝　⑩
根据电流的定义得＝　?
由动能定理，有Fx＋W＝mv2－0　?
联立⑦⑧⑨⑩??式得W＝mv2－kq.　?
【答案】　(1)　方向水平向右　(2)mv2－kq
高分技法
求解电磁感应中的能量问题
(1)存在电磁感应的过程中，涉及的能量包括外部能量、运动导体的动能、焦耳热，外力做功和安培力做功实现这些能量的转化，它们之间的关系如下．
①焦耳定律：Q＝I2Rt，只适用于电流恒定的电路．
②功能关系：W外－W克安＝W外－Q＝mv2－mv.
(2)解决此类问题的一般步骤
①用法拉第电磁感应定律和楞次定律(或右手定则)确定感应电动势的大小和方向．
②画出等效电路图，写出回路中电阻消耗的电功率的表达式．
③分析导体机械能的变化，根据能量守恒定律得到机械功率的改变与回路中电功率的改变所满足的方程，联立求解．
1. (多选)如图所示，同种材料的、均匀的金属丝做成边长之比为1?2的甲、乙两单匝正方形线圈，已知两线圈的质量相同．现分别把甲、乙线圈以相同的速率匀速拉出磁场，则下列说法正确的是(　AD　)
A．甲、乙两线圈的热量之比为1?2
B．甲、乙两线圈的电荷量之比为1?4
C．甲、乙两线圈的电流之比为1?2
D．甲、乙两线圈的热功率之比为1?1
解析：本题考查线圈切割磁场时的电磁感应问题．两线圈质量相同，周长之比为1?2，则组成线圈的金属丝的横截面积之比为2?1，根据R＝ρ可知，电阻之比为R甲?R乙＝1?4，根据E＝BLv，Q＝·＝可知甲、乙两线圈的热量之比为1?2，选项A正确；由q＝可知，甲、乙两线圈的电荷量之比为1?1，选项B错误；由I＝可知，甲、乙两线圈的电流之比为2?1，选项C错误；由P＝＝可知，甲、乙两线圈的热功率之比为1?1，选项D正确．
2. (多选)如图所示，质量为3m的重物与一质量为m的线框用一根绝缘细线连接起来，挂在两个高度相同的定滑轮上，已知线框的横边边长为L，水平方向匀强磁场的磁感应强度大小为B，磁场上下边界的距离、线框竖直边长均为h.初始时刻，磁场的下边缘和线框上边缘的高度差为2h，将重物从静止开始释放，线框上边缘刚进磁场时，线框恰好做匀速直线运动，滑轮质量、摩擦阻力均不计．则下列说法中正确的是(　AB　)
A．线框进入磁场时的速度为
B．线框的电阻为
C．线框通过磁场的过程中产生的热量Q＝2mgh
D．线框通过磁场的时间为
解析：本题通过受外力的线框切割磁感线考查电路分析、运动分析．线框进入磁场前，重物和线框组成的系统机械能守恒，有(3m－m)g·2h＝·4mv2，解得线框进入磁场时的速度为v＝，故A正确；线框进入磁场做匀速直线运动，根据平衡条件有3mg＝mg＋，解得线框的电阻R＝，故B正确；线框通过磁场时做匀速直线运动，根据能量守恒定律有(3m－m)g·2h＝Q，解得Q＝4mgh，故C错误；线框通过磁场的时间为t＝＝，选项D错误．
突破2　应用力学“三大观点”解决电磁感应问题
1．动力学问题
(1)感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起．
(2)解决这类问题需要综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定律)及力学中的有关规律(共点力平衡条件、牛顿运动定律、动能定理等)．
2．能量问题
(1)电磁感应中产生感应电流的过程，实质上是能量转化的过程．
(2)要维持感应电流的存在，必须有“外力”克服安培力做功，将其他形式的能转化为电能．“外力”克服安培力做了多少功，就有多少其他形式的能转化为电能．
(3)当感应电流通过用电器时，电能转化为其他形式的能．安培力做功的过程，或电流通过电阻发热的过程，是电能转化为其他形式能的过程．安培力做了多少功，就有多少电能转化为其他形式的能．
3．动量问题
(1)应用动量定理可以由动量变化来求解变力的冲量，如在导体棒做非匀变速运动的问题中，应用动量定理可以解决牛顿运动定律不易解决的问题．
(2)在相互平行的水平轨道间的双棒做切割磁感线运动时，由于这两根导体棒所受的安培力等大反向，合外力为零，若不受其他外力，两导体棒的总动量守恒，解决此类问题往往要应用动量守恒定律．
MNDE和PQGF为硬质材料制成的光滑平行金属导轨如图放置，其中导轨PQ与MN水平放置(足够长)，导轨QG和ND与水平成30°放置，导轨GF和DE水平放置(足够长)．导轨水平间距为L＝1.0 m，导轨所在区域都存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，且磁感应强度大小相等为B＝1 T．导轨左侧放置金属棒a，a被绝缘细绳拴住，细绳能承受的最大拉力为2 N，金属棒b放置在水平导轨与倾斜导轨相连处，b距离a足够远，两金属棒的质量都为2.0 kg，金属棒a的电阻R1＝0.25 Ω，金属棒b的电阻R2＝0.50 Ω，其他部分均不计电阻．现使b从静止开始沿倾斜导轨滑下，经0.4 s它刚滑动到倾斜导轨底端，此时细绳恰好被拉断．已知金属棒b在由倾斜轨道运动到水平轨道时无能量损失，从金属棒b开始运动到两者运动稳定，整个过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，g取10 m/s2.求：
(1)细绳刚被拉断时金属棒b的速度；
(2)导轨倾斜部分QG的长度；
(3)整个运动过程中电路产生的热量．
【解析】　(1)当绳子被拉断时，安培力等于绳子拉力F＝2 N
F＝BIL＝＝2 N，v＝1.5 m/s.
(2)设导轨倾斜部分的长度为x
金属棒b从倾斜轨道顶部滑动到底部过程中由动量定理
mgsinθ·t－BILt＝mv－0，其中It＝q
电量q＝＝
代入得x＝0.75 m.
(3)绳拉断之前产生的焦耳热
Q1＝mgsinθ·x－mv2＝5.25 J
细绳拉断后，两个金属棒组成系统动量守恒2mv共＝mv
v共＝0.75 m/s
细绳拉断后，产生的焦耳热
Q2＝mv2－×2mv＝1.125 J
整个运动过程中电路产生的热量Q＝Q1＋Q2＝6.375 J.
【答案】　(1)1.5 m/s　(2)0.75 m　(3)6.375 J
高分技法
电磁感应中动量问题的解题步骤
3．(2019·全国卷Ⅲ) (多选)如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上．t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动．运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示．下列图象中可能正确的是(　AC　)
解析：棒ab以初速度v0向右滑动，切割磁感线产生感应电动势，使整个回路中产生感应电流，判断可知棒ab受到方向与v0方向相反的安培力的作用而做变减速运动，棒cd受到方向与v0方向相同的安培力的作用而做变加速运动，它们之间的速度差Δv＝v1－v2逐渐减小，整个系统产生的感应电动势逐渐减小，回路中感应电流逐渐减小，最后变为零，即最终棒ab和棒cd的速度相同，v1＝v2，两相同的光滑导体棒ab、cd组成的系统在足够长的平行金属导轨上运动时不受外力作用，由动量守恒定律有mv0＝mv1＋mv2，解得v1＝v2＝，选项A、C均正确，B、D均错误．
4．如图甲所示，绝缘水平面上有一间距L＝1 m的金属U形导轨，导轨右侧接一阻值R＝3 Ω的电阻．在U形导轨中间虚线范围内存在垂直导轨平面的匀强磁场，磁场的宽度d＝1 m，磁感应强度大小B＝0.5 T．现有一质量为m＝0.1 kg，电阻r＝2 Ω、长为L＝1 m的导体棒MN以一定的初速度v0从导轨的左端开始向右运动，穿过磁场的过程中，线圈中的感应电流i随时间t变化的图象如图乙所示．已知导体棒与导轨之间的动摩擦因数μ＝0.3，导轨电阻不计，则导体棒MN穿过磁场的过程中，求：
(1)MN刚进入磁场时的初速度大小；
(2)电阻R产生的焦耳热；
(3)导体棒通过磁场的时间．
解析：(1)由题图乙可知，MN刚进入磁场时的电流I1＝0.5 A，
根据闭合电路欧姆定律得I1＝，
根据法拉第电磁感应定律得E＝BLv0，
联立解得v0＝＝5 m/s.
(2)导体棒通过磁场过程，由动能定理得
－μmgd－W安＝mv2－mv，
而v＝＝3 m/s，
电阻R产生的焦耳热QR＝W安，
联立解得QR＝0.3 J.
(3)导体棒通过磁场过程，取向右为正方向，由动量定理得
－μmgt－BLt＝mv－mv0，t＝＝，
联立解得t＝0.5 s.
答案：(1)5 m/s　(2)0.3 J　(3)0.5 s

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