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专题二　受力分析　共点力的平衡
考纲考情 核心素养
?受力分析 ?共点力的平衡Ⅱ ?受力分析时将研究对象在特定环境中看做质点．
?共点力、平衡状态、平衡条件. 物理观念
全国卷5年7考 高考指数★★★★★ ?受力分析的一般步骤与方法；用图解法与解析法分析动态平衡和极值问题. 科学思维
突破1　受力分析　整体法与隔离法的应用
1．受力分析的步骤
2．受力分析的常用方法
方法 解读
假设法 在未知某力是否存在时，先对其做出存在的假设，然后根据该力存在对物体运动状态的影响来判断该力是否存在
整体法 将加速度相同的几个相互关联的物体作为一个整体进行受力分析的方法
隔离法 将所研究的对象从周围的物体中分离出来，单独进行受力分析的方法
1.如图所示，物体A靠在竖直墙面上，在力F作用下，A、B保持静止．物体B的受力个数为(　C　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：以A为研究对象，受力情况如图甲所示，此时，墙对物体A没有支持力(此结论可利用整体法得出)．
再以B为研究对象，结合牛顿第三定律，其受力情况如图乙所示，即要保持物体B平衡，B应受到重力、压力、摩擦力、力F四个力的作用．
2．(多选)如图所示，质量分别为mA、mB的A、B两个楔形物体叠放在一起，B靠在竖直墙壁上，在水平力F的作用下，A、B静止不动，则(　AC　)
A．A物体受力的个数可能为3
B．B受到墙壁的摩擦力方向可能向上，也可能向下
C．力F增大(A、B仍静止)，A对B的压力也增大
D．力F增大(A、B仍静止)，墙壁对B的摩擦力也增大
解析：隔离A物体，若A、B间没有静摩擦力，则A受重力、B对A的支持力和水平力F三个力作用，选项A正确；将A、B看作一个整体，整体在竖直方向上受到重力和摩擦力，所以墙对B的摩擦力方向只能向上，选项B错误；若F增大，则F在垂直B斜面方向的分力增大，所以A对B的压力增大，选项C正确；对A、B整体受力分析，由平衡条件知，竖直方向上有Ff＝GA＋GB，因此当水平力F增大时，墙壁对B的摩擦力不变，选项D错误．
3．如图所示，质量为m的长木板放在水平地面上，站在木板上的人用斜向右下方的力F推箱子，三者都保持静止．人和箱子的质量也均为m，重力加速度为g.下列说法正确的是(　C　)
A．人对长木板的压力大小为mg
B．长木板对地面的压力大于3mg
C．箱子受到的摩擦力的方向水平向左
D．地面对长木板的摩擦力的方向水平向左
解析：本题考查整体法和隔离法在三体平衡中的应用，人用斜向下的力推箱子，对人受力分析，受重力、木板的支持力和箱子斜向左上的支持力(推力的反作用力)，人在竖直方向受力平衡，箱子的支持力的竖直分力和木板的支持力的合力等于人的重力，因此木板对人的支持力小于mg，根据牛顿第三定律知人对木板的压力小于mg，故A错误；对三个物体的整体受力分析，受重力和地面对木板的支持力，根据平衡条件，支持力等于重力，水平方向不受摩擦力；根据牛顿第三定律，可知木板对地面的压力等于三者重力，为3mg，故B、D错误；对箱子受力分析，受推力、重力、支持力、静摩擦力，根据平衡条件，箱子受到的摩擦力方向向左，与推力的水平分力平衡，故C正确．
突破2　静态平衡问题
1．平衡状态
物体处于静止状态或匀速直线运动的状态，即a＝0.
2．平衡条件
F合＝0或
3．平衡条件的推论
如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的合力大小相等，方向相反．
4．处理平衡问题的常用方法
方法 内容
合成法 物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反
分解法 物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交分 解法 物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
题型1　合成法的应用
1．如图所示，两根轻弹簧a、b的上端固定在竖直墙壁上，下端连接在小球上．当小球静止时，弹簧a、b与竖直方向的夹角分别为53°和37°.已知a、b的劲度系数分别为k1、k2，sin53°＝0.8，则a、b两弹簧的伸长量之比为(　B　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析：作出小球的受力分析图如图所示，根据平衡条件有F＝mg，弹簧a的弹力F1＝Fcos53°＝mg，弹簧b的弹力F2＝Fsin53°＝mg，根据胡克定律有x＝，则a、b两弹簧的伸长量之比为＝＝，选项B正确．
2．如图所示，一条细绳跨过光滑的定滑轮连接两个小球A、B，它们都穿在一根光滑的竖直杆上，不计滑轮的质量，当两球平衡时OA绳与水平方向的夹角为2θ，OB绳与水平方向的夹角为θ，B球的质量为m，重力加速度大小为g，则(　C　)
A．A球的质量为
B．A球的质量可能小于B球的质量
C．滑轮受到细绳的作用力大小为
D．细绳上的张力大小为
解析：细绳跨过光滑的定滑轮连接两个小球，属于“活结”，滑轮两侧两段绳中张力大小相同．运用隔离法，分别对A、B两球受力分析，如图所示，Tsin2θ＝mAg，Tsinθ＝mg，又2θ<90°，故mA>m且mA?m＝sin2θ?sinθ＝2cosθ?1，可得mA＝2mcosθ，A、B错误；细绳的张力大小T＝，由几何关系知，滑轮两侧细绳夹角为θ，故滑轮受到细绳的作用力大小F＝2Tcos＝，C正确，D错误．
题型2　正交分解法的应用
3．(2019·全国卷Ⅱ)物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳与斜面平行．已知物块与斜面之间的动摩擦因数为，重力加速度取10 m/s2.若轻绳能承受的最大张力为1 500 N，则物块的质量最大为(　A　)
A．150 kg B．100 kg
C. 200 kg D．200 kg
解析：设物块的质量最大为m，将物块的重力沿斜面方向和垂直斜面方向分解，由平衡条件，在沿斜面方向有F＝mgsin30°＋μmgcos30°，解得m＝150 kg，A项正确．
4.如图所示，质量M＝1 kg的木块套在水平固定杆上，并用轻绳与质量m＝0.5 kg的小球相连，今用跟水平方向成60°角的力F＝5 N拉着小球并带动木块一起向右匀速运动，运动中木块、小球的相对位置保持不变，取g＝10 m/s2.在运动过程中，求：
(1)轻绳与水平方向的夹角θ；
(2)木块与水平杆间的动摩擦因数μ.
解析：(1)小球处于平衡状态，其所受合力为零．以小球为研究对象分析受力如图甲所示，由平衡条件得，水平方向Fcos60°－Tcosθ＝0，竖直方向Fsin60°－Tsinθ－mg＝0，解得θ＝30°.
(2)以木块和小球整体为研究对象，受力分析如图乙所示，由平衡条件得，水平方向有Fcos60°－μN＝0，竖直方向有Fsin60°＋N－mg－Mg＝0，解得μ＝.
答案：(1)30°　(2)
突破3　动态平衡问题
1．动态平衡
所谓动态平衡问题，是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态．
2．分析动态平衡问题的方法
方法 步骤
解析法 (1)列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式；
(2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况
图解法 (1)根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、角的变化；
(2)确定未知量大小、方向的变化
相似三 角形法 (1)根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间几何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式；
(2)确定未知量大小的变化情况
(多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N，初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α.现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　)
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
【思路分析】　此题中给出的重力大小、方向不变，而两侧轻绳上的张力大小、方向均变化，增大了难度，需要根据平衡条件，结合力的矢量三角形画出动态图分析，也可直接应用正弦定理法求解．
【解析】　
当重物转到某一位置时，对重物受力分析，如图所示．由正弦定理得＝＝，则FMN＝，FOM＝.θ角的取值范围在0°到90°之间，当OM水平时，θ＝90°，α－θ小于90°.当θ角增大时，sinθ增大，故MN上的张力逐渐增大，OM上的张力先增大后减小，A、D正确．
【答案】　AD
高分技法
(1)在三力平衡问题中，若三个力能构成直角三角形，一般用解析法处理.
(2)在三力平衡问题中，若一个力的大小、方向不变，另一个力的方向不变，一般用图解法处理.
(3)在三力平衡问题中，若一个力的大小、方向不变，另外两个力的方向都改变，一般用相似三角形法处理.
1.在新疆吐鲁番的葡萄烘干房内，果农用图示支架悬挂葡萄．OA、OB为承重的轻杆，A、O、B始终在同一竖直平面内，OA可绕A点自由转动，OB与OA通过铰链连接，可绕O点自由转动，且OB的长度可调节．现将新鲜葡萄用细线悬挂于O点，保持OA不动，调节OB的长度让B端沿地面上的AB连线向左缓慢移动，OA杆所受作用力大小为F1，OB杆所受作用力大小为F2，∠AOB由锐角变为钝角的过程中，下列判断正确的是(　A　)
A．F1逐渐变大，F2先变小后变大
B．F1先变小后变大，F2逐渐变大
C．F1逐渐变小，F2逐渐变小
D．F1逐渐变大，F2逐渐变大
解析：由题可知，保持OA的位置不变，以O点为研究对象进行受力分析，受到细线的拉力(等于葡萄的重力)和两杆的支持力，如图所示，OB杆的支持力F2与OA杆的支持力F1的合力与细线的拉力等大、反向，当OB杆向左移动而OA位置不变时，各力的变化情况如图所示，由图可知，F1逐渐增大，F2先减小再增大，当OB与OA相互垂直时，F2最小，故A正确．
2.如图所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，一轻绳一端系在球心正上方的天花板上，另一端系一小球，靠放在半球上，小球处于静止状态．现缓慢减小半球的半径，半球的圆心位置不变，在这个过程中，小球始终与半球接触，且绳不竖直，则半球对小球的支持力F1和绳对小球的拉力F2的大小变化情况是(　C　)
A．F1变大，F2变小　　　　 B．F1变小，F2变大
C．F1变小，F2不变 D．F1先变小后变大，F2变小
解析：以小球为研究对象，分析小球受力情况：重力G，轻绳的拉力F2和半球面的支持力F1，作出F1、F2的合力F，由平衡条件得知F＝G.由相似三角形得＝＝，得到F1＝G，F2＝G，在缓慢减小半球半径的过程中，O1O不变，AO减小，O1A不变，可见F1变小，F2不变，故选项C正确．
突破4　平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述．
2．极值问题
平衡物体的极值，一般是指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．
3．解题思路
解决共点力平衡中的临界、极值问题“四字诀”．
如图所示，质量为m的物体放在一个固定斜面上，当斜面的倾角为30°时，物体恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一个大小为F的水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F为多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)这一临界角θ0的大小．
【解析】　(1)物体恰能沿斜面匀速下滑，对物体受力分析，由平衡条件有mgsin30°＝μmgcos30°
解得μ＝tan30°＝.
(2)设斜面倾角为α时物体恰能沿斜面匀速上滑，对物体受力分析，建立直角坐标系，如图所示，由平衡条件有Fcosα－mgsinα－f＝0
FN－mgcosα－Fsinα＝0
其中f＝μFN，
联立解得F＝
当(cosα－μsinα)→0，即→时，F→∞，故临界角θ0＝α＝60°.
【答案】　(1)　(2)60°
解决极值和临界问题的三种方法：
(1)极限法
正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小.
(2)数学分析法
通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值).
(3)物理分析法
根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值.
3．如图，一物块在外力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动，已知物块质量为1 kg，与桌面间动摩擦因数μ＝0.75，重力加速度g取10 m/s2，外力F的最小值为(　B　)
A．5 N B．6 N
C．7.5 N D．8 N
解析：设F与水平方向夹角为θ，根据平衡知识可知：Fcosθ＝μ(mg－Fsinθ)，解得F＝＝；由数学知识可知，cosθ＋0.75sinθ的最大值为1.25，则外力F的最小值为Fmin＝6 N，故选B.
4.如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L，现在C点上悬挂一个质量为M的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加力的最小值为(　C　)
A．mg B.mg
C.mg D.mg
解析：由图可知，要想CD水平，各绳均应绷紧，则AC与水平方向的夹角为60°；结点C受力平衡，则受力分析如图所示，则CD绳的拉力FT＝mgtan30°＝mg；D点受绳子拉力大小等于FT，方向向左；要使CD水平，D点两绳的拉力与外界的力的合力为零，则绳子对D点的拉力可分解为沿BD绳的F1，及另一分力F2，由几何关系可知，当力F2与BD垂直时，F2最小，而F2的大小即为拉力的大小，故最小力F＝FTsin60°＝mg，故C正确．

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