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第4讲　万有引力定律及应用
考纲考情 核心素养
?万有引力定律及其应用Ⅱ ?环绕速度Ⅱ
?第二宇宙速度和第三宇宙速度Ⅰ
?经典时空观和相对论时空观Ⅰ ?行星运动的规律：开普勒行星运动三定律．
?行星运动的动力学规律：万有引力充当向心力．
?宇宙速度的概念. 物理观念
全国卷5年8考 高考指数★★★★★ ?运用万有引力定律和圆周运动的知识分析天体运动问题．
?构建双星、多星的运动模型. 科学思维
　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　　　　　　开普勒行星运动定律
1．开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
2．开普勒第二定律(面积定律)
对每一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等．
3．开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等.
直观展示


知识点二　　　　　　万有引力定律
1．万有引力定律
内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比
公式 F＝G
适用 条件 (1)两质点间的作用
(2)可视为质点的物体间的作用
(3)质量分布均匀的球体间的作用
2.引力常量
数值 6.67×10－11 N·m2/kg2
测定人 英国物理学家卡文迪许于1798年利用扭秤测定
(续表)
物理意义 数值上等于两个质量都是1 kg的物体相距1 m时的相互引力
测定意义 (1)有力地证明了万有引力的存在
(2)使定量计算得以实现
(3)开创了测量弱相互作用的新时代
知识点三　　　　　　宇宙速度　时空观
1．三种宇宙速度
第一宇宙速度 (环绕速度) v1＝7.9 km/s，是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度
第二宇宙速度 (脱离速度) v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度 (逃逸速度) v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度
直观展示
2.经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量不随速度的改变而改变．
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．
3．相对论时空观
(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增大而增大，用公式表示为m＝.
(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．
(3)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是相同的．
1．思考判断
(1)牛顿利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量．(　×　)
(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小．(　√　)
(3)近地卫星距离地球最近，环绕速度最小．(　×　)
(4)地球同步卫星根据需要可以定点在北京正上空．(　×　)
(5)极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合．(　×　)
(6)发射火星探测器的速度必须大于11.2 km/s.(　√　)
2．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　C　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
解析：太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，D错误；由开普勒第三定律得＝，故＝，C正确．
3．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　B　)
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
解析：开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A错误，选项B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D错误．
4．(多选)北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建立后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星．关于这些卫星，以下说法正确的是(　AB　)
A．5颗同步卫星的轨道半径都相同
B．5颗同步卫星的运行轨道必定在同一平面内
C．导航系统所有卫星的运行速度一定都大于第一宇宙速度
D．导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的，周期越小
解析：所有同步卫星的轨道都位于赤道平面内，轨道半径和运行周期都相同，A、B均正确；由v＝ 可知，导航系统所有卫星运行的速度都小于第一宇宙速度，且运行轨道半径越大，周期越大，C、D均错误．
5．已知月球质量与地球质量之比约为1?80，月球半径与地球半径之比约为1?4，则月球上的第一宇宙速度与地球上的第一宇宙速度之比最接近(　B　)
A．9?2 B．2?9
C．18?1 D．1?18
解析：第一宇宙速度等于卫星的轨道半径与中心天体的半径相等时的卫星的速度，根据牛顿第二定律有G＝m，由此得第一宇宙速度v＝ ，即v∝ ；设月球上的第一宇宙速度为v1，地球上的第一宇宙速度为v2，则有＝ ＝ ＝，接近，可知B正确．
　　　　　　　　　　　　　　　　
考点1　开普勒行星运动定律的理解和应用
1．为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为(　C　)
A．2?1 B．4?1
C．8?1 D．16?1
解析：地球对卫星的万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，设地球和卫星的质量分别为M、m，根据牛顿第二定律有G＝m2r，可得卫星的周期为T＝ ，即卫星P与Q的周期之比＝ ＝8，选项C正确，A、B、D错误．
2.(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中(　CD　)
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
解析：根据开普勒第二定律可知，海王星在近日点速度最大，在远日点速率最小，所以从P到M所用的时间小于，A错误；从Q到N阶段，只有万有引力做功，机械能守恒，B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段海王星速率逐渐变小，C正确；从M到N阶段，海王星速率先减小后增大，则万有引力对它先做负功后做正功，D正确．
3.(多选)如图所示，某次发射远地圆轨道卫星时，先让卫星进入一个近地的圆轨道Ⅰ，在此轨道运行的卫星的轨道半径为R1、周期为T1；然后在经过P点时点火加速，进入椭圆转移轨道Ⅱ，在此轨道运行的卫星的周期为T2；到达远地点Q时再次点火加速，进入远地圆轨道Ⅲ，在此轨道运行的卫星的轨道半径为R3、周期为T3(轨道Ⅱ的近地点为Ⅰ上的P点，远地点为轨道Ⅲ上的Q点)．已知R3＝2R1，则下列关系式正确的是(　AC　)
A．T3＝2T1 B．T2＝T1
C．T2＝T3 D．T3＝T1
解析：根据开普勒第三定律＝k，可知＝＝，解得＝2，即T3＝2T1，故A正确，D错误；由几何知识可知椭圆轨道Ⅱ半长轴为，则有＝＝3＝3，解得T2＝T1＝T3，故B错误，C正确．
考点2　万有引力定律的理解
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示．
(1)在赤道处：G＝mg1＋mω2R.
(2)在两极处：G＝mg2.
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和．
越靠近南、北两极，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即G＝mg.
2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：
mg＝G，得g＝.
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′：
mg′＝G，得g′＝，
所以＝.
题型1　　万有引力与重力的关系
1．某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为(　C　)
A. B.
C. D.
解析：对于处在“极点”处的物体，万有引力等于重力，则有G＝mg2，对于处在“赤道”处的同一物体，则有G－mg1＝mR，由以上两式可解得R＝，C正确．
2．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的密度为(　B　)
A. B.
C. D.
解析：物体在地球的两极时，有mg0＝G，物体在赤道上时，有mg＋m2R＝G，又V＝πR3，M＝ρV，联立解得：地球的密度ρ＝，故选项B正确，选项A、C、D错误．
题型2　　　　　万有引力随高度的变化
3．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是(　D　)
解析：本题考查万有引力定律在天文学上的应用．设地球半径为R，地球质量为M，探测器质量为m，探测器在远离地球的过程中，其所受地球的引力大小为F＝，由此可知，随着h的增大，F逐渐减小，但F随h不是均匀减小的，故D正确．
4．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　A　)
A．1－　　B．1＋　　C.2　　D.2
解析：
如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零．设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面质量为m的物体受到的重力近似等于万有引力，故mg＝G；设矿井底部处的重力加速度为g′，“等效地球”的质量为M′，其半径r＝R－d，则矿井底部质量为m的物体受到的重力mg′＝，而M′＝·π(R－d)3，故＝＝1－，选项A正确．
名师点睛
万有引力定律的两个推论
推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其万有引力，即F＝
考点3　天体质量和密度的计算
1．“自力更生”法(g—R)
利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
(1)由G＝mg得天体质量M＝.
(2)天体密度ρ＝＝＝.
(3)GM＝gR2称为黄金代换公式．
2．“借助外援”法(T—r)
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r.
(1)由G＝mr得天体的质量M＝.
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运行的周期T，就可估算出中心天体的密度．
(多选)下表是一些有关火星和地球的数据，利用引力常量G和表中选择的一些信息可以完成的估算是(　　)
信息 序号 ① ② ③ ④ ⑤
信息 内容 地球一年约365天 地表重力加速度约为9.8 m/s2 火星的公转周期约为687天 日地距离大约是1.5×108 km 地球半径约为6 400 km
A.选择②⑤可以估算地球质量
B．选择①④可以估算太阳的密度
C．选择①③④可以估算火星公转的线速度
D．选择①②④可以估算太阳对地球的吸引力
【解析】　本题通过题给数据结合万有引力定律考查物理估算．根据mg＝G可知选择②、⑤中的g和R，可以估算地球质量M，故A正确；根据G＝m2r，则选择①中的地球公转周期T和④中的日地距离r可以估算太阳的质量，但是由于太阳的半径未知，故不能估算太阳的密度，故B错误；选择①、③、④可利用开普勒第三定律，求出火星公转半径r火，再根据v火＝可估算火星公转的线速度，故C正确；因为选择①、②、④不能确定地球的质量，故不可以估算太阳对地球的吸引力，故D错误．
【答案】　AC
高分技法
环绕法估算天体质量和密度问题
(1)卫星的轨道半径与中心天体的半径不要混淆，只有近地卫星的轨道半径才近似等于天体半径.
(2)搞清“以谁为研究对象，谁是中心天体”“受力特点”“谁做圆周运动”等问题，明确一般只能求解中心天体的质量和密度，不能求解环绕天体的质量和密度.
(3)估算天体质量的两种方法
①如果不考虑星球的自转，星球表面的物体所受重力等于星球对它的万有引力，
②利用环绕行星运转的卫星，万有引力提供卫星运转的向心力，
1．近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k是一个常数)(　D　)
A．ρ＝ B．ρ＝kT
C．ρ＝kT2 D．ρ＝
解析：本题考查天体密度的计算．研究火星探测器绕火星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式G＝mr，由于探测器绕火星做“近地”匀速圆周运动，则轨道半径r即为火星的半径，得M＝，则火星的密度ρ＝，解得火星的平均密度ρ＝＝(k为某个常数)，D正确．
2.宇宙中有两颗相距无限远的恒星s1、s2，半径均为R0.右图分别是两颗恒星周围行星的公转周期T2与公转半径r3的关系图象，则(　B　)
A．恒星s1的质量大于恒星s2的质量
B．恒星s1的密度小于恒星s2的密度
C．恒星s1的第一宇宙速度大于恒星s2的第一宇宙速度
D．距两恒星表面高度相同的行星，s1的行星向心加速度较大
解析：根据公式G＝mr得M＝，越大，M越大，由题图可以看出，s2的质量大于s1的质量，故A错误；两颗恒星的半径相等，则它们的体积相等，根据M＝ρV，所以质量大的恒星s2的密度大于恒星s1的密度，故B正确；根据万有引力提供向心力，则G＝m，所以v＝，由于恒星s1的质量小于恒星s2的质量，所以恒星s1的第一宇宙速度小于恒星s2的第一宇宙速度，故C错误；距两恒星表面高度相同的行星，它们的轨道半径相等，它们的向心加速度a＝，所以s1的行星向心加速度较小，故D错误．
考点4　双星及多星模型
1．双星系统
系统 可视天体绕黑
洞做圆周运动 黑洞与可视天体
构成的双星系统 两颗可视天体构
成的双星系统
图示


向心力 的来源 黑洞对可视天
体的万有引力 彼此给对方的
万有引力 彼此给对方
的万有引力
2.多星系统
系统 三星系统(正
三角形排列) 三星系统(直线
等间距排列) 四星系统
图示


向心力 的来源 另外两星球对其
万有引力的合力 另外两星球对其
万有引力的合力 另外三星球对其
万有引力的合力
(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
【解析】　
两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示：
每秒转动12圈，角速度已知，
中子星运动时，由万有引力提供向心力得G＝m1ω2r1　①
G＝m2ω2r2　②
l＝r1＋r2　③
由①②③式得＝ω2l，所以m1＋m2＝，
质量之和可以估算．
由线速度与角速度的关系v＝ωr得v1＝ωr1　④
v2＝ωr2　⑤
由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．
质量之积和各自的自转角速度无法求解．
【答案】　BC
高分技法
多星问题的处理
宇宙中的双星系统及多星系统问题的核心是系统的稳态、系统中各天体的平衡及匀速圆周运动的动力学问题，解题的关键是抓住研究对象的运动特征并列出各自的动力学方程进行分析．对于双星问题需要抓住以下几点：
(1)它们相互间的万有引力提供向心力，受力大小相等；
(2)它们共同绕它们连线上某点做匀速圆周运动，角速度相等；
(3)轨道半径之比等于质量的反比：＝；
(4)它们运行的角速度满足＝ω2L，其中L为它们之间的距离．
3．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于宇宙四星系统，下列说法错误的是(　B　)
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为
C．四颗星表面的重力加速度均为
D．四颗星的周期均为2πa
解析：四星系统中任一颗星体均在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为a，故A正确，B错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C正确；由万有引力定律和向心力公式得＋＝m·，解得T＝2πa，故D正确．
4．我国发射的“悟空”号暗物质粒子探测卫星，三年来对暗物质的观测研究已处于世界领先地位．宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心匀速转动时，理论计算的周期与
实际观测周期不符，且＝k(k>1)．因此，科学家认为，在两星球之间存在暗物质．假设以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质(已知质量分布均匀的球体对外部质点的作用，等效于质量集中在球心处对质点的作用)，两星球的质量均为m.那么暗物质的质量为(　B　)
A.m B.m
C．(k2－1)m D．(2k2－1)m
解析：双星均绕它们连线的中点做匀速圆周运动，令它们之间的距离为L，由万有引力提供向心力得G＝m·，解得T理论＝πL.根据观测结果，星体的运动周期＝k，这种差异可能是由双星之间均匀分布的暗物质引起的，又均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m′(位于球心处)的质点对双星系统的作用相同，有G＋G＝m·，解得T观测＝πL，所以m′＝m，选项B正确．

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