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第2讲　平抛运动的规律及应用
考纲考情 核心素养
?抛体运动Ⅱ ?平抛运动规律的应用 ?平抛运动和斜抛运动的定义、受力特点及运动性质．
?平抛运动在水平方向及竖直方向上的运动规律. 物理观念
全国卷5年10考 高考指数★★★★★ ?应用运动的分解分析抛体运动问题．
?应用临界法分析平抛运动中的临界问题. 科学思维
　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　　　　　　平抛运动
1．定义
将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下(不考虑空气阻力)的运动．
2．性质
平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法
用运动的合成与分解方法研究平抛运动．
(1)水平方向：匀速直线运动．
(2)竖直方向：自由落体运动.
直 观
情
景
4.基本规律
(1)速度关系

(2)位移关系

(3)轨迹方程：y＝g2.
知识点二　　　　　　斜抛运动
1．定义
将物体以初速度v0斜向上或斜向下抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质
斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法
用运动的合成与分解方法研究斜抛运动．
(1)水平方向：匀速直线运动．
(2)竖直方向：匀变速直线运动.
直 观
情
景
H＝　　x＝vxt＝＝
1．思考判断
(1)平抛运动的加速度方向与速度方向总垂直．(　×　)
(2)平抛运动加速度不变．(　√　)
(3)相等时间内平抛运动的物体速度变化量相同．(　√　)
(4)相等时间内平抛运动速度大小变化相同．(　×　)
(5)平抛运动可分解为水平匀加速运动和竖直自由落体运动．(　×　)
(6)斜抛运动是变加速曲线运动．(　×　)
2．(多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验．小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落，关于该实验，下列说法正确的有(　BC　)
A．两球的质量应相等
B．两球应同时落地
C．应改变装置的高度，多次实验
D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
解析：小锤打击弹性金属片后，A球做平抛运动，B球做自由落体运动．A球在竖直方向上的运动情况与B球相同，做自由落体运动，因此两球同时落地．实验时，需A、B两球从同一高度开始运动，对质量没有要求，但两球的初始高度及打击力度可以有变化，实验时要进行3～5次得出结论．本实验不能说明A球在水平方向上的运动性质，故选项B、C正确，A、D错误．
3．人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，图中能表示出速度矢量的演变过程的是(　C　)
解析：小球做平抛运动，只受重力作用，加速度方向竖直向下，所以速度变化的方向竖直向下，C正确．
4．(多选)正在水平匀速飞行的飞机，每隔1秒钟释放一个小球，先后共释放5个，不计阻力，则(　AD　)
A．这5个球在空中排成一条直线
B．这5个球在空中处在同一抛物线上
C．在空中，第1、2两球间的距离保持不变
D．相邻两球的落地点间距离相等
解析：本题通过多物体运动考查平抛运动规律．小球被释放后做平抛运动，其在水平方向的速度与飞机的飞行速度相等，飞机做匀速直线运动，所以5个小球始终在飞机的正下方，且相邻小球落地点的间距相等，故A、D正确，B错误；竖直方向上5个小球均做自由落体运动，由于第2个小球释放时第1个小球的速度已经为v0＝gt0＝10 m/s，所以第一个小球在空中运动时间t时，第1、2两小球的间距为Δh＝(v0t＋gt2)－gt2＝v0t，所以两小球的间距逐渐增大，故C错误．
5．一物体从某高度以初速度v0水平抛出，落地时速度大小为v，重力加速度为g，则它运动的时间为(　D　)
A. B.
C. D.
解析：落地时物体在竖直方向的速度vy＝，又vy＝gt，故物体下落的时间t＝＝，选项D正确．
　　　　　　　　　　　　　　　　
考点1　平抛运动规律及应用
1．飞行时间：
由t＝知，平抛运动的时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
2．水平射程：
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．
3．落地速度：
v＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tanθ＝＝，所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关．
4．速度改变量：
物体在任意相等时间内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示．
　 如图所示，A、B两个平台水平距离为7.5 m，某同学先用一个小球从A平台边缘以v0＝5 m/s的速度水平抛出，结果小球落在了B平台左侧边缘下方6.25 m处．重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，要使小球从A平台边缘水平抛出能落到B平台上，则从A平台边缘水平抛出小球的速度至少为(　　)
A．6 m/s B．7.5 m/s
C．9 m/s D．11.25 m/s
【解析】　本题考查平抛运动的临界问题．由平抛运动的规律可知，第一次抛出小球时满足x＝v0t1，h＋6.25 m＝gt；当小球恰能落到平台B上时，有x＝v0′t2，h＝gt，联立解得v0′＝7.5 m/s.故选B.
【答案】　B
高分技法
解决平抛运动的方法
(1)解决平抛运动的方法是分解，即把平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，先研究分运动，再确定合运动.
(2)若已知末速度方向，可分解末速度，利用两个分速度的关系求未知量.
1.(多选)如图所示，一小球以10 m/s的速度水平抛出，在落地之前经过空中A、B两点，在A点时小球速度方向与水平方向的夹角为45°，在B点时小球速度方向与水平方向的夹角为60°.空气阻力忽略不计，g取10 m/s2.以下判断中正确的是(　AC　)
A．小球经过A、B两点的时间间隔t＝(－1) s
B．小球经过A、B两点的时间间隔t＝ s
C．A、B两点的高度差h＝10 m
D．A、B两点的高度差h＝15 m
解析：在A点，竖直方向上的分速度vyA＝v0tan45°，抛出点到A的高度hA＝；在B点，竖直方向上的分速度vyB＝v0tan60°，抛出点到B的高度hB＝.根据vyB－vyA＝gt，得t＝＝(－1) s，选项A正确；A与B的高度差h＝hB－hA＝＝10 m，选项C正确．
2.如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移之比为1?2，则下列说法正确的是(　D　)
A．A、B两球的初速度之比为1?4
B．A、B两球的初速度之比为1?2
C．若两球同时抛出，则落地的时间差为
D．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为(－1)
解析：由x＝v0t和y＝gt2知v1＝＝，v2＝＝x，因此两球的初速度之比为1?2，A、B项错误；若两球同时抛出，则落地的时间差为 －＝(－1)，C项错误；若两球同时落地，则两球抛出的时间差也为(－1)，D项正确．
考点2　与斜面有关的平抛运动
1．与斜面有关的平抛运动有两种模型
(1)物体从空中抛出落在斜面上．
(2)物体从斜面上抛出落在斜面上．
解答时要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系是解题的关键．
2．两种模型对比
方法 内容 实例

斜面 求小球平抛时间 总结
分解 速度 水平vx＝v0
竖直vy＝gt
合速度v＝

解：如图，vy＝gt，
tanθ＝＝
故t＝ 分解速度，
构建速度
三角形
分解 位移 水平x＝v0t
竖直y＝gt2
合位移x合＝

解：如图，x＝v0t，
y＝gt2，
而tanθ＝，
联立得
t＝ 分解位移，
构建位移
三角形
在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率和水平位移大小分别是乙球落至斜面时的(　　)
A．2倍、2倍 B．2倍、4倍
C．4倍、2倍 D．4倍、4倍
【解析】　设斜面倾角为α，小球落在斜面上时速度的偏向角为θ，甲球以速度v抛出，落在斜面上，如图所示；根据平抛运动的推论可得tanθ＝2tanα，所以甲、乙两个小球落在斜面上时速度的偏向角相等，故对甲有v甲末＝；对乙有v乙末＝，所以＝；根据tanα＝＝，水平位移L＝v0t＝∝v，则甲球落至斜面时的位移大小是乙球落至斜面时的4倍，故B正确，A、C、D错误．
【答案】　B
高分技法
两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示，B是OC的中点．
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ＝2tanα，如图乙所示．
3．如图所示，斜面AC与水平方向的夹角为α，在底端A的正上方与顶端C等高处的E点以速度v0水平抛出一小球，小球垂直于斜面落到D点，重力加速度为g，则(　C　)
A．小球在空中飞行时间为
B．小球落到斜面上时的速度大小为
C．CD与DA的比值为
D．小球的位移方向垂直于AC
解析：
小球的运动轨迹图如图所示，球垂直于斜面落到D点，所以在D点时有tanα＝，解得t＝，故A错；小球垂直于斜面落到D点，所以小球落到斜面上时的速度大小为v＝，故B错；根据几何关系有sDA＝，sCD＝；整理得CD与DA的比值为，故C对；由图可知，位移方向与AC不垂直，故D错．
4.如图所示，水平面上固定有一个斜面，从斜面顶端向右平抛一只小球，当初速度为v0时，小球恰好落到斜面底端，平抛的飞行时间为t0.现用不同的初速度v从该斜面顶端向右平抛这只小球，以下哪个图象能正确表示平抛的飞行时间t随v变化的函数关系(　B　)
解析：本题考查根据运动情况选择运动图象问题．小球做平抛运动，其在竖直方向上为自由落体运动，有h＝gt2，在水平方向上做匀速直线运动，有x＝vt，由于小球初速度为v0时恰能到达斜面底端，若小球的初速度大于v0，在高度不变时水平位移就会大于x，此时小球最终会落在水平地面上，由于小球下落高度不变，所以其运动时间不变，故A、D错误；若小球的初速度小于v0，则小球最终会落在斜面上，此时设斜面倾角为θ，则有tanθ＝＝＝，可得t＝，由于θ不变，则t与v成正比，故B正确，C错误．
考点3　与曲面有关的平抛运动
1．常见曲面有圆弧面和抛物面．
2．解决与曲面有关问题的基本思路
(1)建立坐标系，设物体落到曲面的坐标为(x，y)；
(2)利用平抛运动规律分别沿水平和竖直方向列方程；
(3)最后根据曲面特点找到x、y的关系．
如图所示为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图．参与游戏的选手会遇到一个人造山谷OAB，OA是高h＝3 m的竖直峭壁，AB是以O点为圆心的弧形坡，∠AOB＝60°，B点右侧是一段水平跑道．选手可以自O点借助绳索降到A点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自O点直接跃上跑道．选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2.
(1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v0的最小值；
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间．
【解析】　(1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，则有hsin60°≤v0t
hcos60°＝gt2
解得v0≥ m/s.
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，因v1下降高度y＝gt2
水平前进距离x＝v1t
且x2＋y2＝h2
联立解得t＝0.6 s.
【答案】　(1) m/s　(2)0.6 s
高分技法
常见情景 核心规律


5.如图所示，半圆形容器竖直放置，从其圆心O点处分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成θ角，则两小球的初速度之比为(　C　)
A. B．tanθ
C. D．tan2θ
解析：由平抛运动规律得，水平方向上，有Rsinθ＝v1t1，Rcosθ＝v2t2，竖直方向上，有Rcosθ＝gt，Rsinθ＝gt，联立解得＝，选项C正确．
6．如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平飞出，已知半圆轨道的半径与斜面高度相等，斜面底边长是其高度的2倍．若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则(　C　)
A．b球一定先落在斜面上
B．a球可能垂直落在半圆轨道上
C．a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上
D．a、b两球不可能同时落在半圆轨道和斜面上
解析：
将半圆轨道和斜面轨道重合在一起，如图所示，交点为A，当初速度合适时，小球做平抛运动落在A点，即两球同时落在半圆轨道和斜面上，若初速度不合适，由图可知，小球可能先落在斜面上，也可能先落在半圆轨道上，故C正确，A、D错误；若a球垂直落在半圆轨道上，根据几何关系知，速度方向与水平方向的夹角是位移方向与水平方向的夹角的2倍，而在平抛运动中，某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角正切值的2倍，两者相互矛盾，所以a球不可能垂直落在半圆轨道上，故B错误．

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