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第3讲　机械能守恒定律及其应用
考纲考情 核心素养
?重力做功与重力势能Ⅱ ?机械能守恒定律及其应用Ⅱ ?重力势能和弹性势能的概念．
?重力做功的特点、机械能守恒的条件. 物理观念
全国卷5年3考 高考指数★★★★☆ ?重力势能、弹性势能的计算和机械能守恒的判断．
?机械能守恒定律的三种表达形式及其应用. 科学思维
　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一 　重力做功与重力势能
1．重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关．
(2)重力做功不引起物体机械能的变化．
2．重力势能
(1)表达式：Ep＝mgh.
(2)重力势能的特点
①系统性：重力势能是物体和地球所共有的．
②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关．
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小；重力对物体做负功，重力势能就增大．
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.
知识点二　　弹性势能
1．定义：物体由于发生弹性形变而具有的能．
2．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增大，即W＝－ΔEp.
知识点三　　机械能守恒定律及应用
1．机械能：动能和势能称为机械能，其中势能包括弹性势能和重力势能．
2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹簧弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．
(2)表达式：mgh1＋mv＝mgh2＋mv.
3．守恒条件：只有重力或弹簧的弹力做功.
直观展示



1．思考判断
(1)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关．(　√　)
(2)被举到高处的物体重力势能一定不为零．(　×　)
(3)物体克服重力做功，物体的重力势能一定减少．(　×　)
(4)物体只要发生形变，就一定具有弹性势能．(　×　)
(5)弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关．(　×　)
(6)弹簧弹力做负功，弹性势能一定增加．(　√　)
2．将质量为100 kg的物体从地面提升到10 m高处，在这个过程中，下列说法正确的是(取g＝10 m/s2)(　C　)
A．重力做正功，重力势能增加1.0×104 J
B．重力做正功，重力势能减少1.0×104 J
C．重力做负功，重力势能增加1.0×104 J
D．重力做负功，重力势能减少1.0×104 J
解析：WG＝－mgh＝－1.0×104 J，ΔEp＝－WG＝1.0×104 J，选项C正确．
3．如图所示，质量为m的物体沿斜上方以速度v0抛出后，能达到的最大高度为h0，当它将要落到离地面高度为h的平台上时(不计空气阻力，取地面为参考平面)，下列判断正确的是(　D　)
A．它的机械能大于mv
B．它的机械能为mgh0
C．它的动能为mg(h0－h)
D．它的动能为mv－mgh
4.在大型游乐场里，小明乘坐如图所示匀速转动的摩天轮，正在向最高点运动．对此过程，下列说法正确的是(　B　)
A．小明的重力势能保持不变
B．小明的动能保持不变
C．小明的机械能守恒
D．小明的机械能减少
解析：摩天轮在转动的过程中，小明的高度不断发生变化，小明的重力势能也在发生变化，故A错误；由于摩天轮匀速转动，所以小明的动能保持不变，故B正确；小明所具有的机械能等于他的动能与重力势能之和，由于其动能不变，而重力势能随着其高度的变化而变化，所以小明的机械能也在不断变化，当其上升时，机械能增加，故C、D错误．
5.如图所示，斜面体置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是(　D　)
A．物体的重力势能减少，动能不变
B．斜面体的机械能不变
C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D．物体和斜面体组成的系统机械能守恒
解析：物体由静止开始下滑的过程其重力势能减少，动能增加，A错误；物体在下滑过程中，斜面体做加速运动，其机械能增加，B错误；物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，又随斜面体向右运动，其合速度方向与弹力方向不垂直，弹力方向垂直于接触面，但与速度方向之间的夹角大于90°，所以斜面对物体的作用力对物体做负功，C错误；对物体与斜面体组成的系统，只有物体的重力做功，机械能守恒，D正确．
　　　　　　　　　　　　　　　　
考点1　对机械能守恒定律的理解
1．对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力作用．
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零．
(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，只有动能、重力势能、弹性势能的相互转化，无其他形式能量的转化．
2．机械能守恒判断的三种方法
定义法 利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，若不变，则机械能守恒
做功法 若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒
转化法 若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒
1.如图所示，一辆小车静止在光滑的水平导轨上，一小球用细绳悬挂在车上，由图中虚线位置无初速释放，则小球在下摆过程中，下列说法正确的是(　C　)
A．绳子的拉力对小球不做功，小球机械能守恒
B．绳子的拉力对小球做正功，小球机械能增加
C．绳子的拉力对小球做负功，小球机械能减小
D．小球所受到的合力不做功，小球机械能不变
解析：由于小车位于光滑的水平导轨上，小球在下摆过程中，小车向左运动，即悬点也在移动，绳子拉力方向与小球位移的夹角大于90°，拉力对小球做负功．或者从系统考虑，因只有重力做功，机械能守恒，由于小车机械能增加，则小球机械能减小，故绳子的拉力对小球做负功．所以，本题正确答案为C.
2．(多选)如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是(　BD　)
A．小球的机械能守恒
B．小球的机械能减少
C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．小球和弹簧组成的系统机械能守恒
解析：小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了负功，所以小球的机械能减少，故选项A错误，B正确；在此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C错误，D正确．
3.(多选)有一款蹿红的微信小游戏“跳一跳”，游戏要求操作者通过控制棋子(质量为m，可视为质点)脱离平台时的速度，使其能从平台跳到旁边的同一水平面上的另一平台．如图所示的抛物线为棋子在某次跳跃过程中的运动轨迹，轨迹的最高点距平台上表面高度为h，不计空气阻力，重力加速度为g，则(　AD　)
A．棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，重力势能增加mgh
B．棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，机械能增加mgh
C．棋子离开平台后距平台面高度为时的动能为
D．棋子落到另一平台上时的速度大于
解析：以平台表面为零势能面，则棋子在最高点的重力势能为mgh，故棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，重力势能增加mgh，A正确；棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，不计空气阻力，只有重力做功，机械能守恒，B错误；棋子在最高点的机械能E＝mgh＋mv，vx为棋子在最高点的速度．由于机械能守恒，则棋子离开平台后距平台面高度为时，动能为E－mgh＝mgh＋mv>，故C错误；设棋子落到平台时的瞬时速度大小为v，棋子从最高点落到平台的过程中，根据动能定理得mgh＝mv2－mv，解得v＝>，D正确．
名师点睛
判断机械能是否守恒的四点提醒
(1)机械能守恒的条件绝不是合外力做的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力做功”不等于“只受重力作用”.
(2)分析机械能是否守恒时，必须明确要研究的系统.
(3)系统机械能守恒时，机械能一般在系统内物体间转移，其中的单个物体机械能通常不守恒.
(4)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒.
考点2　单物体的机械能守恒问题
1．表达式
2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤
如图甲所示，游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客不会掉下来．我们把这种情形抽象为如图乙所示的模型：弧形轨道的下端与竖直圆轨道相接，使质量为m的小球从弧形轨道上端滚下，小球从圆轨道下端进入后沿圆轨道运动．已知圆轨道的半径为R，重力加速度为g，不考虑阻力．
(1)若小球从高为h处由静止释放，求小球到达圆轨道底端时对轨道的压力；
(2)若要使小球运动过程中不脱离轨道，讨论小球由静止释放时的高度满足的条件．
【解析】　(1)小球从h高处由静止释放至到达圆轨道底端，由机械能守恒定律得mgh＝mv2
在最底端，由牛顿第二定律得FN－mg＝m
则FN＝mg＋m＝mg
根据牛顿第三定律得FN′＝FN＝mg，方向竖直向下．
(2)要使小球运动过程中不脱离轨道，
第一种可能：能到达最高点，有mg≤m
解得v0≥
由机械能守恒定律得mgh＝mv＋mg·2R
解得h≥R
第二种可能：小球最高到达与圆心等高处，有mgh≤mgR
解得h≤R，所以h≥R或h≤R.
【答案】　(1)mg，方向竖直向下
(2)h≥R或h≤R
高分技法
机械能守恒定律的应用技巧
(1)机械能守恒定律是一种“能—能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断.
(2)当系统中只有一个物体时(地球除外)，直接根据机械能守恒定律列式比较方便.
1.一轻绳系住一质量为m的小球悬挂在O点，在最低点先给小球一水平初速度，小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动，若在水平半径OP的中点A处钉一枚光滑的钉子，仍在最低点给小球同样的初速度，则小球向上通过P点后将绕A点做圆周运动，当小球到达最高点N时绳子的拉力大小为(　C　)
A．0 B．2mg
C．3mg D．4mg
解析：小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动，则在最高点有mg＝，解得v＝，从最低点到最高点，由机械能守恒定律可知mv＝2mgR＋mv2，解得初速度v0＝；若在水平半径OP的中点A处钉一枚光滑的钉子，设小球到最高点N时速度为v′，根据机械能守恒定律，有mv＝mgR＋mv′2，根据向心力公式有T＋mg＝，联立得T＝3mg.故选项C正确．
2.如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中(　B　)
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
解析：圆环在下滑的过程中，圆环和弹簧组成的系统机械能守恒，而圆环的机械能并不守恒，A项错误；在下滑到最大距离的过程中，圆环动能的变化量为零，因此圆环减少的重力势能转化为弹簧的弹性势能，即Ep＝mg＝mgL，B项正确；圆环下滑的过程中速度先增大后减小，加速度先减小后增大，到最大距离时，向上的加速度最大，此时圆环所受合力不为零，C项错误；由于圆环重力势能、圆环的动能与弹簧的弹性势能之和为定值，因此圆环重力势能与弹簧弹性势能之和先减小后增大，D项错误．
考点3　多物体机械能守恒问题
题型1　轻绳连接的物体系统
常见 情景
三点 提醒 (1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等．
(2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系．
(3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒.
如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，由绳子通过定滑轮连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上．开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l＝4 m．现从静止释放圆环，不计定滑轮和空气的阻力，g取10 m/s2.若圆环下降h＝3 m时，速度v＝5 m/s，则A和B的质量关系为(　　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
【解析】　圆环下降3 m后的速度可以按如图所示分解，故可得vA＝vcosθ＝，A、B和绳子看成一个整体，整体只有重力做功，机械能守恒，当圆环下降h＝3 m时，根据机械能守恒可得mgh＝MghA＋mv2＋Mv，其中hA＝－l，联立可得＝，故A正确．
【答案】　A
题型2　　轻杆连接的物体系统
常见 情景
三大 特点 (1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等．
(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．
(3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒.
　 (多选)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.则(　　)
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
【解析】　由于刚性杆不伸缩，滑块a、b沿杆方向的分速度相等，滑块a落地时，速度方向竖直向下，故此时滑块b的速度为零，可见滑块b由静止开始先做加速运动后做减速运动，根据动能定理，可知杆对滑块b先做正功，后做负功，选项A错误；因系统机械能守恒，则杆对滑块a先做负功，后做正功，做负功时，滑块a的加速度小于g，做正功时，滑块a的加速度大于g，选项C错误；杆对滑块a的弹力刚好为零时，a的机械能最小，此时对滑块b受力分析，可知地面对b的支持力等于mg，根据牛顿第三定律，b对地面的压力大小为mg，选项D正确；由机械能守恒定律，可得mgh＝mv2，即v＝，选项B正确．
【答案】　BD
题型3　　弹簧连接的物体系统
题型 特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒．
两点 提醒 (1)对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧伸长还是压缩．
(2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关.
　 如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计．开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面．求：
(1)斜面的倾角α；
(2)球A获得的最大速度vm.
【解析】　(1)由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，物体A的加速度此时为零
由牛顿第二定律：4mgsinα－2mg＝0
则：sinα＝，即α＝30°.
(2)由题意可知，A、B两小球及轻质弹簧组成的系统在初始时和A沿斜面下滑至速度最大时的机械能守恒，同时弹簧的弹性势能相等，故有：2mg＝kΔx
4mgΔxsinα－mgΔx＝(5m)v
得：vm＝2g.
【答案】　(1)30°　(2)2g
高分技法
多个物体的机械能守恒问题的分析技巧
(1)对多个物体组成的系统，在判断该系统是否机械能守恒时，一般是看在该系统中除了动能和势能相互转化之外，还有没有其他形式的能参与，如果没有则该系统机械能守恒.
(2)对于用轻绳或轻杆连接的物体，要注意寻找二者之间的速度关系和位移关系.
(3)对多个物体组成的系统如果机械能守恒，则列机械能守恒方程时一般采用ΔEk＝－ΔEp或ΔE增＝ΔE减.如果该系统内除地球之外只有两个物体(质点)，则还可采用ΔEA＝－ΔEB的形式.

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