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核心素养提升——科学思维系列(六)
变力做功的五种计算方法
题型1　　　利用动能定理求变力做功
利用公式W＝Flcosα不容易直接求功时，尤其对于曲线运动或变力做功问题，可考虑由动能的变化来间接求功，所以动能定理是求变力做功的首选．
如图所示，一质量为m的质点在半径为R的半球形容器中(容器固定)由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力为FN.重力加速度为g，则质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其所做的功为(　　)
A.R(FN－3mg)
B.R(2mg－FN)
C.R(FN－mg)
D.R(FN－2mg)
【解析】　质点在B点，由牛顿第二定律，有：FN－mg＝m，质点在B点的动能为EkB＝mv2＝(FN－mg)R.质点自A滑到B的过程中，由动能定理得：mgR＋Wf＝EkB－0，解得：Wf＝R(FN－3mg)，故A正确，B、C、D错误．
【答案】　A
题型2　　　　　利用微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个位移上的恒力所做功的代数和．此法常用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题．
20世纪五六十年代，人们经常通过“拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用．如图所示，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F，方向与磨杆始终垂直，作用点到轴心的距离为r，磨盘绕轴缓慢转动，则在转动一周的过程中推力F做的功为(　　)
A．0
B．2πrF
C．2Fr
D．－2πrF
【解析】　本题使用微元法考查变力做功问题．由题可知推力的大小始终为F，方向与磨杆始终垂直，即其方向与瞬时速度方向相同，即为圆周切线方向，故推力对磨盘所做的功等于推力的大小与推力作用点沿圆周运动弧长的乘积，由题意知磨转动一周，弧长L＝2πr，所以拉力所做的功W＝FL＝2πrF，故选项B正确，选项A、C、D错误．
【答案】　B
题型3　　　　化变力为恒力求变力做功
有些变力做功问题通过转换研究对象，可转化为恒力做功，用W＝Flcosα求解．此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功的问题中．
如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则(　　)
A．W1>W2
B．W1C．W1＝W2
D．无法确定W1和W2的大小关系
【解析】　轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做功转化为恒力做功；因轻绳对滑块做的功等于拉力F对轻绳做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，Δl为轻绳拉滑块过程中力F的作用点移动的位移，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由题图可知，ΔlAB>ΔlBC，故W1>W2，A正确．
【答案】　A
题型四　　　　　利用平均力求变力做功
当物体受到的力方向不变，而大小随位移均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为＝的恒力作用，F1、F2分别为物体在初、末位置所受到的力，然后用公式W＝lcosα求此变力所做的功．
如图所示，n个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以某一初速度在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面．小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，若小方块恰能全部进入粗糙水平面，则小方块克服摩擦力所做的功为(　　)
A.μMgl
B．μMgl
C.μMgl
D．2μMgl
【解析】　(方法1：利用平均力做功求解)总质量为M的小方块在进入粗糙水平面的过程中，滑动摩擦力由零开始均匀增大，当小方块全部进入粗糙水平面时摩擦力达到最大值μMg，总位移大小为l，平均摩擦力为f＝μMg，由功的计算公式可得Wf＝－μMgl，所以小方块克服摩擦力所做的功为μMgl，A正确．
(方法2：利用Ff－x图象求解)
由于小方块受到的滑动摩擦力Ff从零开始均匀增大至μMg，故可作出如图所示的Ff－x图象进行求解，其图线与横轴围成图形的面积即小方块克服滑动摩擦力做功的大小，即μMgl，A正确．
【答案】　A
题型5　　　　　利用F?x图象求变力做功
在F?x图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)．
如图甲所示，质量为4
kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数为μ＝0.5，g取10
m/s2.则(　　)
A．物体先做加速运动，推力撤去后才开始做减速运动
B．运动过程中推力做的功为200
J
C．物体在运动过程中的加速度先变小后不变
D．因推力是变力，无法确定推力做功的大小
【解析】　滑动摩擦力Ff＝μmg＝20
N，物体先加速，当推力减小到20
N时，加速度减小为零，之后推力逐渐减小，物体做加速度增大的减速运动，当推力减小为零后做匀减速运动，选项A、C错误；F?x图象与横轴所围图形的面积表示推力做的功，W＝×100×4
J＝200
J，选项B正确，D错误．
【答案】　B
PAGE核心素养提升——科学思维系列(五)
匀变速曲线运动及解题方法
题型1　　　　类平抛运动问题
1．定义
将物体以一定的初速度v0抛出，物体在所受合力F为恒力(且合力F与初速度v0垂直)情况下的运动．受力特点：合力为恒力，与初速度垂直．
2．性质
类平抛运动是加速度a＝的匀变速运动，运动轨迹为曲线．
3．研究方法
将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
如图所示的光滑斜面长为L，宽为s，倾角为θ＝30°，一小球(可视为质点)沿斜面右上方顶点A处水平射入，恰好从底端B点离开斜面，重力加速度为g.则下列说法正确的是(　　)
A．小球运动的加速度为g
B．小球由A运动到B所用的时间为
C．小球由A点水平射入时初速度v0的大小为s
D．小球离开B点时速度的大小为
【解析】　本题考查类平抛运动问题．初速度方向与合力方向垂直，且合力大小恒定，则物体做匀变速曲线运动，根据牛顿第二定律得，物体的加速度为a＝＝gsinθ＝g，故A错误；根据L＝at2，有t＝
＝
＝
，故B错误；在B点的平行斜面向下方向的分速度为vBy＝at＝g×＝；根据s＝v0t，得v0＝＝s
；故物块离开B点时速度的大小为v＝＝
，故C错误，D正确．
【答案】　D
题型2　　　　　斜抛运动
1．做斜抛运动的物体只受重力作用，运动性质为匀变速曲线运动．
2．解决斜上抛运动的基本方法是分解法，其水平分运动为匀速直线运动，竖直分运动为竖直上抛运动．
3．斜上抛运动在最高点的速度水平，若从最高点考虑可按平抛运动处理．
一小孩站在岸边向湖面抛石子，a、b两粒石子先后从同一位置抛出后，各自运动的轨迹如图所示，两条轨迹的最高点位于同一水平线上，忽略空气阻力的影响．关于a、b两粒石子的运动情况，下列说法正确的是(　　)
A．在空中运动的加速度aa>ab
B．在空中运动的时间taC．抛出时的初速度v0a>v0b
D．入水时的末速度va【解析】　两石子做斜抛运动，加速度a＝g，选项A错误；对竖直方向的分运动，从出发点到最高点，由H＝，可知竖直方向的初速度vy0相同，从出发到落到水面，由y＝vy0t－gt2，可知运动时间相等，选项B错误；对水平方向的运动，从出发点到最高点，水平位移xa【答案】　D
题型3　　　　　匀变速曲线运动
在光滑的水平面内，一质量m＝1
kg的质点以速度v0＝10
m/s
沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向(竖直方向)的恒力F＝15
N作用，直线OA与x轴的夹角α＝37°，如图所示曲线为质点的轨迹图(重力加速度g取10
m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，求：
(1)如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标；
(2)质点经过P点时的速度大小．
【解析】　(1)质点在水平方向上无外力作用做匀速直线运动，在竖直方向上受恒力F和重力mg作用做匀加速直线运动
由牛顿第二定律得a＝＝5
m/s2
设质点从O点到P点经历的时间为t，P点坐标为(xP，yP)，则xP＝v0t，yP＝at2
又tanα＝
联立解得t＝3
s，xP＝30
m，yP＝22.5
m.
(2)质点经过P点时沿y轴正方向的速度vy＝at＝15
m/s.故P点的速度大小vP＝＝5
m/s.
【答案】　(1)3
s　P(30
m,22.5
m)　(2)5
m/s
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