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核心素养提升——科学思维系列(四)
应用合成与分解观点解决两个典型模型
模型1　　　　　小船渡河模型
1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
2．三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v.
3．两类问题、三种情景
渡河时间最短
当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位移最短
如果v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cosθ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船一小船渡河，河宽d＝180
m，水流速度v1＝2.5
m/s，若船在静水中的速度为v2＝5
m/s.
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
【解析】　(1)
欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．
当船头垂直河岸时，如图甲所示．
合速度为斜向下游方向，垂直分速度为v2＝5
m/s
t＝＝
s＝36
s，
v＝＝
m/s，
x＝vt＝90
m.
(2)
欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α如图乙所示，
有v2sinα＝v1，得α＝30°.
所以当船头向上游偏30°时航程最短．
x′＝d＝180
m，
t′＝＝
s＝24
s.
【答案】　见解析
高分技法
“三模型、两方案”解决小船渡河问题
1．我国无人艇装上相控阵雷达．如图所示，某无人艇位于与对岸的最近距离为20
m的O点处，从O点向下游20
m处有一危险区，当时水流速度为17
m/s，为了使无人艇避开危险区沿直线到达对岸，无人艇在静水中的速度大小至少是(　C　)
A．20
m/s
B．20
m/s
C．25.5
m/s
D．50
m/s
解析：
若无人艇刚好避开危险区，无人艇应沿OP方向以速度v行驶，如图所示．v1为水流速度，无人艇在静水中的速度至少应为v2＝v1sinθ.显然无人艇沿其他方向，如沿OQ以速度v′行驶时，在静水中的速度要大于v2.则无人艇在静水中的速度至少为v2＝v1sinθ＝25.5
m/s，C项正确．
模型2　　　　　绳(杆)端关联速度模型
1．关联速度的特点
用绳、杆相牵连的物体，在运动过程中，其两物体的速度通常不同，但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等．
2．解题方法
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解.
直观情景
如图所示，用一小车通过轻绳提升一滑块，滑块沿竖直光滑杆上升，某一时刻，两段绳恰好垂直，且拴在小车一端的绳与水平方向的夹角为θ，此时小车的速度为v0，则此时滑块竖直上升的速度为(　　)
A．v0
B．v0sinθ
C．v0cosθ
D.
【解析】　小车的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度，如图所示，根据平行四边形定则，有v0cosθ＝v绳，而滑块的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度，则有v滑cosα＝v绳，由于两绳子相互垂直，所以α＝θ，则由以上两式可得，滑块的速度就等于小车的速度．
【答案】　A
高分技法
绳?杆?牵连物体的分析技巧
?1?先确定合速度的方向?物体实际运动方向?.
?2?分析合运动所产生的实际效果：一方面使绳或杆伸缩；另一方面使绳或杆转动.
?3?确定两个分速度的方向：沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同.
2．如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在水平升降台上，升降平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为θ时，棒的角速度为(　D　)
A.
B.
C.
D.
解析：棒与平台接触点的实际运动即合运动，方向垂直于棒指向左上，如图所示，合速度v实＝ωL，竖直向上的速度分量等于平台上升的速度v，即ωLsinθ＝v，所以ω＝，选项D正确．
PAGE核心素养提升——科学思维系列(三)
斜面模型和等时圆模型
模型1　斜面模型
情景
光滑斜面
恰好平衡摩擦
减速上滑
加速下滑
图例
摩擦力
无
沿斜面向上f＝μmgcosθ
沿斜面向下f＝μmgcosθ
沿斜面向上f＝μmgcosθ
运动特点
a＝gsinθ
恰好匀速下滑μ＝tanθ
a＝gsinθ＋μgcosθ
a＝gsinθ－μgcosθ
如图所示，一倾角θ＝37°的足够长斜面固定在水平地面上．当t＝0时，滑块以初速度v0＝10
m/s沿斜面向上运动，已知滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10
m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列说法正确的是(　　)
A．滑块一直做匀变速直线运动
B．t＝1
s，滑块速度减为零，然后静止在斜面上
C．t＝2
s时，滑块恰好又回到出发点
D．t＝3
s时，滑块的速度大小为4
m/s
【解析】　设滑块上滑时的加速度大小为a1，由牛顿第二定律可得mgsinθ＋μmgcosθ＝ma1，解得a1＝10
m/s2，上滑时间t1＝＝1
s，上滑的距离x1＝v0t1＝5
m，因tanθ>μ，mgsinθ>μmgcosθ，滑块上滑到速度为零后向下运动，选项B错误；设滑块下滑时的加速度大小为a2，由牛顿第二定律可得mgsinθ－μmgcosθ＝ma2，解得a2＝2
m/s2，经1
s，滑块下滑的距离x2＝a2t＝1
m<5
m，滑块未回到出发点，选项C错误；因上滑和下滑过程中的加速度不同，故滑块全程不是匀变速直线运动，选项A错误；t＝3
s时，滑块沿斜面向下运动，此时的速度v＝a2(t－t1)＝4
m/s，选项D正确．
【答案】　D
1.竖直正方形框内有三条光滑轨道OB、OC和OD.三轨道交于O点，且与水平方向的夹角分别为30°、45°和60°.现将甲、乙、丙三个可视为质点的小球同时从O点由静止释放，分别沿OB、OC和OD运动到达斜面底端．则三小球到达斜面底端的先后次序是(　B　)
A．甲、乙、丙
B．丙、乙、甲
C．甲、丙同时到达，乙后到达
D．不能确定三者到达的顺序
解析：对乙、丙：设斜面的倾角为θ，则下滑的加速度a＝gsinθ，下滑的位移x＝，根据x＝at2得t＝＝，故倾角越大的下落时间越短，故乙和丙两小球，丙先到达底端；对甲、乙：运动到底端的时间t＝＝＝，则甲、乙两小球中，乙时间短，先到达底端；三小球到达斜面底端的先后次序是丙、乙、甲，故B项正确．
模型2　等时圆模型
如图所示，在竖直平面内有一矩形，其长边与一圆的底部相切于O点，现在有三条光滑轨道a、b、c，它们的上端位于圆周上，下端在矩形的底边，三轨道都经过切点O，现在让一物块先后从三轨道顶端由静止下滑至底端(轨道先后放置)，则物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为(　　)
A．ta>tb>tc
B．taC．ta＝tb＝tc
D．无法确定
【解析】　设上面圆的半径为r，矩形宽为R，轨道与竖直方向的夹角为α，则轨道的长度s＝2rcosα＋，下滑的加速度a＝，根据位移时间公式得，s＝at2，则t＝＝，因为a、b、c夹角由小至大，所以有tc>tb>ta，故B正确，A、C、D错误．
【答案】　B
2.如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内．现有三条光滑轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ.现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为(　B　)
A．tAB＝tCD＝tEF
B．tAB>tCD>tEF
C．tABD．tAB＝tCD解析：如图所示，过D点作OD的垂线与竖直虚线交于G，以OG为直径作圆，可以看出F点在辅助圆内，而B点在辅助圆外，由等时圆结论可知，tAB>tCD>tEF，B项正确．
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