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第3讲　机械能守恒定律及其应用
知识排查
知识点一　重力做功与重力势能
1.重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关。
(2)重力做功不引起物体机械能的变化。
2.重力势能
(1)表达式：Ep＝mgh。
(2)重力势能的特点
系统性 重力势能是物体和地球所共有的
相对性 重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关
3.重力做功与重力势能变化的关系
定性
关系 重力对物体做正功，重力势能就减小；重力对物体做负功，重力势能就增大。
定量关系 重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。
知识点二　弹性势能
1.定义：物体由于发生弹性形变而具有的能。
2.弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加，即W＝－ΔEp。21世纪教育网版权所有
知识点三　机械能守恒定律及应用
1.机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括弹性势能和重力势能。
2.机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹簧弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
(2)表达式：mgh1＋mv＝mgh2＋mv。
3.守恒条件：只有重力或弹簧的弹力做功。
小题速练
1.思考判断
(1)被举到高处的物体的重力势能一定不为零。(　　)
(2)物体在速度增大时，其机械能可能在减小。(　　)
(3)物体所受合外力为零时，机械能一定守恒。(　　)
(4)物体受到摩擦力作用时，机械能一定要变化。(　　)
(5)弹力做正功，弹性势能一定增加。(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
2.关于重力势能，下列说法中正确的是(　　)
A.物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B.物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C.一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了
D.重力势能的减少量等于重力对物体做的功
解析　物体的重力势能与参考_é?????é???????????_，同一物体在同一位置相对不同的参考面重力势能不同，选项A错误；物体在零势能面上方，距零势能面的距离越大，重力势能越大，物体在零势能面下方，距零势能面的距离越大，重力势能越小，选项B错误；重力势能中的正、负号表示大小，－5 J 的重力势能小于－3 J的重力势能，选项C错误；重力做的功量度了重力势能的变化，选项D正确。21·cn·jy·com
答案　D
3.(多选)如_???1????¤??????¨_地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能参考平面，而且不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
图1
A.重力对物体做的功为mgh
B.物体在海平面上的重力势能为mgh
C.物体在海平面上的动能mv－mgh
D.物体在海平面上的机械能mv
答案　AD
　机械能守恒定理的理解
1.机械能守恒条件的理解
(1)物体只有重力或弹力做功时。
(2)存在其他力作用，但其他力做的总功为零时。
(3)存在相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能量的转化。
2.机械能守恒的判断方法
用做功
判断 若研究对象只有重力(或弹簧的弹力)做功，可能还受到其他力，但不做功，则机械能守恒
用能量转化判断 若系统中物体只有动能和势能的相互转化，而无机械能与其他形式的能的转化，则机械能守恒
【典例】 (多选)如图2所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)
图2
A.图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒
B.图乙中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒
C.图丙中，不计任何阻力和定滑轮质量时，物体A加速下落，物体B加速上升过程中，物体A、B组成的系统机械能守恒21教育网
D.图丁中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
解析　题图甲_???é??????????????_做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，选项A错误；题图乙中物体B匀速下滑，动能不变，重力势能减小，物体B的机械能不守恒，选项B错误；题图丙中绳子张力对物体A做负功，对物体B做正功，代数和为零，物体A、B组成的系统机械能守恒，选项C正确；题图丁中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，选项D正确。2·1·c·n·j·y
答案　CD
(1)系统机械能守恒时，机械能一般在系统内物体间转移，其中的单个物体机械能通常不守恒。
(2)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”。　　　　　　www-2-1-cnjy-com
1.在如图3所示_?????????è???¨??¤?_意图中，甲图为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为轻绳一端连着一小球，从右偏上30°角处自由释放；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动，则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是(　　)【出处：21教育名师】
图3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.甲图中小球机械能守恒
B.乙图中小球A机械能守恒
C.丙图中小球机械能守恒
D.丁图中小球机械能守恒
解析　甲图过程中轻_???????°??????????_功，小球的机械能守恒，故A正确；乙图过程中轻杆对A的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以小球A的机械能不守恒，但两个小球组成的系统机械能守恒，故B错误；丙图中小球在绳子绷紧的瞬间有动能损失，机械能不守恒，故C错误；丁图中小球和小车组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，这是因为摆动过程中小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，故D错误。【版权所有：21教育】
答案　A
2.(多选)2017第十三_?±???¨è?????è?????_比赛在天津科技大学体育馆举行，如图4所示为福建运动员昝捷正在比赛时的照片，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
图4
A.运动员与蹦床相互作用过程先处于失重状态后处于超重状态
B.运动员下落碰到蹦床后立即做减速运动
C.运动员离开蹦床后机械能守恒
D.运动员在整个运动过程中与蹦床组成的系统机械能守恒
解析　运动员下落碰到蹦床后，开_?§?é??????¤§??????_力，加速度向下，先向下做加速运动，然后重力小于弹力，加速度向上，向下做减速运动，速度减到零以后再反弹的过程，运动员先向上做加速运动，后向上做减速运动，所以运动员与蹦床相互作用的过程先处于失重状态，然后处于超重状态，最后处于失重状态，选项A、B错误；运动员离开蹦床后，只有重力做功，机械能守恒，选项C正确；运动员在整个运动过程中，只有重力和系统内蹦床的弹力做功，则运动员和蹦床组成的系统机械能守恒，选项D正确。
答案　CD
　单物体机械能守恒问题
　机械能守恒定律的表达式
教材引领
1.[人教版必修2_?·P76?·???_题]把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆(图7.8－5)，摆长为l，最大偏角为θ，如果阻力可以忽略，小球运动到最低位置时的速度是多大？
图7.8－5
已知小球摆动的
最大偏角，计算
它的最大速度。
解析　把最低_??????é????????è??_定为0，以小球在最高点的状态作为初状态。在最高点的重力势能是Ep1＝mg(l－lcos θ)，而动能为0，即Ek1＝0。
以小球在最低点的状态作为末状态，势能Ep2＝0，而动能可以表示为Ek2＝mv2。
运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒，即
Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1
把各个状态下动能、势能的表达式代入，得
mv2＝mg(l－lcos θ)
由此解出
v＝
从得到的表达_??????????????????_初状态的θ角越大，cos θ越小，(1－cos θ)就越大，v也就越大。也就是说，最初把小球拉得越高，它到达最下端时的速度也就越大。这与生活经验是一致的。【来源：21·世纪·教育·网】
答案　
真题闯关
2.(2017·全国卷Ⅱ，1_7)??????5???_半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)(　　)
图5
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
解析　物块由最低点_??°???é????????è??_程，由机械能守恒定律得，mv2＝2mgr＋mv，物块做平抛运动时，落地点到轨道下端的距离x＝v1t，2r＝gt221·世纪*教育网
t＝，联立解得x＝，由数学知识可知，当4r＝时，x最大，即r＝，故选项B正确。
答案　B
1.(2019·江苏启东中学月考)一物体从H高处自由下落，以地面为零势能面，当物体的动能等于其重力势能2倍时，物体下落的高度为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.H B.H
C.H D.H
解析　运动的_è???¨?????????????_机械能守恒，取地面为零势能面，根据机械能守恒可得mgH＝mgh＋mv2，当其动能等于重力势能的2倍时，有2mgh＝mv2，所以mgH＝3mgh，解得h＝H，此时物体下落的高度为H，故选项C正确。
答案　C
2.(多选)(_2019?·???_大附中测试)如图6甲所示，轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上。一质量为m的小球，从离弹簧上端高h处由静止释放。某同学在研究小球落到弹簧上后继续向下运动到最低点的过程，他以小球开始下落的位置为原点O，沿竖直向下的方向建立坐标轴Ox，做出小球所受弹力F的大小随小球下落的位置坐标x的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度为g。以下判断中正确的是(　　)
图6
A.当x＝h＋x0时，重力势能与弹性势能之和最小
B.小球最低点的坐标为x＝h＋2x0
C.小球受到的弹力最大值大于2mg
D.小球动能的最大值为mg
解析　小球、地球和弹簧组_?????????????????°_能守恒，当x＝h＋x0，弹力等于重力，加速度为零，速度最大，重力势能与弹性势能之和最小，选项A正确；根据对称性，x＝h＋2x0与x＝h处速度相等，x＝h＋2x0处不是最低点，选项B错误；根据胡克定律，弹簧压缩x0时弹力等于mg，x＝h＋2x0处弹力等于2mg，但不是最低点，所以小球受到的弹力最大值大于2mg，选项C正确；在x＝h＋x0处速度最大，由图知mg＝kx0，根据动能定理有mg(h＋x0)－×x0＝Ek，得出Ek＝mgh＋mgx0，选项D正确。21cnjy.com
答案　ACD
　多物体系统的机械能守恒问题
1.解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2.几种实际情景的分析
(1)速率相等情景
用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
(2)角速度相等情景
杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
(3)某一方向分速度相等情景(关联速度情景)
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
【典例】 (2018·_?±?è??????§????1_4)如图7所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B。质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l。用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°.松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动。忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。求：
图7
(1)小球受到手的拉力大小F；
(2)物块和小球的质量之比为M∶m；
(3)小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T。
解析　(1)设小球受AC、BC的拉力分别为F1、F2
F1sin 53°＝F2cos 53°
F＋mg＝F1cos 53°＋F2sin 53°
且F1＝Mg
解得F＝Mg－mg
(2)小球运动到与A、B相同高度过程中，
小球上升高度h1＝3lsin 53°，物块下降高度h2＝2l
机械能守恒定律mgh1＝Mgh2
解得＝。
(3)根据机械能守恒定律，小球回到起始点。
设此时AC方向的加速度大小为a，重物受到的拉力为T
牛顿运动定律Mg－T＝Ma
小球受AC的拉力T′＝T
牛顿运动定律T′－mgcos 53°＝ma
解得T＝(T＝mg或T＝Mg)。
答案　(1)Mg－mg　(2)6∶5　(3)(T＝mg或T＝Mg)
1.如图8所示，可_è§????è?¨???????°?_球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是 (　　)21*cnjy*com
图8
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2R B.
C. D.
解析　设B球质量为m，A球刚落地_????????¤???é?????_大小都为v，根据机械能守恒定律2mgR－mgR＝(2m＋m)v2得v2＝gR，B球继续上升的高度h＝＝，B球上升的最大高度为h＋R＝R，故选项C正确。【来源：21cnj*y.co*m】
答案　C
2.(多选)如图9所示，_??¤è?¨é????????m_的物体A、B通过一根细绳及轻质弹簧连接在光滑滑轮两侧，用手托着物体A使细绳恰好伸直，弹簧处于原长，此时A离地面的高度为h，物体B静止在地面上。放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B恰好对地面无压力，则下列说法正确的是(　　)
图9
A.弹簧的劲度系数为
B.此时弹簧的弹性势能等于mgh－mv2
C.此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上
D.物体A落地后，物体B将向上运动到h高处
解析　由于物体B对地_é?????????????°???_为零，故弹簧的弹力等于物体B的重力mg，弹簧的伸长量为h，由胡克定律可得弹簧的劲度系数为k＝，选项A正确；物体A与弹簧组成的系统机械能守恒，故有mgh＝Ep＋mv2，所以Ep＝mgh－mv2，选项B正确；由于弹簧的弹力等于mg，故细绳对物体A的拉力也等于mg，所以物体A此时受到的合力为零，故其加速度大小等于零，选项C错误；物体A落地时，B受到的弹力等于重力，B不会向上运动，选项D错误。
答案　AB
3.(多选)(201_5?·??¨?????·???_)如图10所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动，不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则(　　)
图10
A.a落地前，轻杆对b一直做正功
B.a落地时速度大小为
C.a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D.a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
解析　由于刚性_è?????????????????_，滑块a、b沿轻杆方向的分速度相等，滑块a落地时，速度方向竖直向下，沿轻杆方向的分速度为0，故此时滑块b的速度为0，滑块b的初速度为0，所以轻杆对b先做正功，后做负功，选项A错误；以滑块a、b及轻杆为研究对象，系统的机械能守恒，当a刚落地时，则mgh＝mv＋0，即va＝，选项B正确；a、b的先后受力如图所示。
由a的受力图可知，a下落过程中，_??????é??????¤§?°?_先小于g后大于g，选项C错误；当a落地前b的加速度为零(即轻杆对b的作用力为零)时，b的机械能最大，a的机械能最小，这时b受重力、支持力，且FNb＝mg，由牛顿第三定律可知，b对地面的压力大小为mg，选项D正确。
答案　BD
活页作业
(时间：40分钟)
基础巩固练
1.(2019·江苏无锡模拟)在地面上将一小球斜向上抛出，不计空气阻力，小球在空中运动直至落地的过程中(　　)
A.动能增加 B.重力势能减小
C.机械能减小 D.机械能守恒
解析　将一小球斜向上抛出，重力对_?°??????????è?????_后做正功，由动能定理知，小球的动能先减小后增加，选项A错误；重力势能先增加后减小，选项B错误；小球在空中运动直至落地的过程中只有重力做功，机械能守恒，选项C错误，D正确。
答案　D
2.(多选)一蹦极运_??¨???è??????????§_蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是(　　)
图1
A.运动员到达最低点前重力势能始终减小
B.蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C.蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D.蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关
解析　在运动员到达最低点前，运动_???????????????è??_动，根据重力势能的定义可知重力势能始终减小，故选项A正确；蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力方向向上，而运动员向下运动，所以弹力做负功，弹性势能增加，故选项B正确；对于运动员、地球和蹦极绳所组成的系统，蹦极过程中只有重力和弹力做功，所以系统机械能守恒，故选项C正确；重力势能的改变量与重力势能零点的选取无关，故选项D错误。
答案　ABC
3.最近，一款名叫“跳一跳”的微_????°?????????????_蹿红。游戏要求操作者通过控制棋子(质量为m)脱离平台时的速度，使其能从一个平台跳到旁边的平台上。如图2所示的抛物线为棋子在某次跳跃过程中的运动轨迹，不计空气阻力。则(重力加速度为g)(　　)
图2
A.棋子从起跳至运动到最高点的过程中，机械能增加mgh
B.棋子离开平台时的动能为mgh
C.棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，重力势能增加mgh
D.棋子落到平台上的速度大小为
解析　由于棋子起跳后只受重力作_??¨????????°è?????_恒，A错误；棋子在最高点具有水平方向的速度，所以离开平台时的动能大于mgh，落到平台上的速度要大于，故B、D错误；棋子从离开平台至运动到最高点的过程中重力做功为WG＝－mgh，所以重力势能增加mgh，故C正确。
答案　C
4.取水平地面为重力势能零点，_??????????????????_高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等。不计空气阻力，该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
解析　设物块在抛出点的速度_???v0???è????°_时速度为v，抛出时重力势能为Ep，由题意知Ep＝mv；由机械能守恒定律，得mv2＝Ep＋mv，解得v＝v0，设落地时速度方向与水平方向的夹角为θ，则cos θ＝＝，解得θ＝，B正确。21教育名师原创作品
答案　B
5.如图3所示，用两根_é???????????l???_轻绳将一重物悬挂在水平的天花板上，轻绳与天花板的夹角为θ，整个系统静止，这时每根轻绳中的拉力为T。现将一根轻绳剪断，当小球摆至最低点时，轻绳中的拉力为T′。θ为某一值时，最大，此最大值为(　　)
图3
A. B.2
C.3－2 D.
解析　剪断细绳之前2Tsi_n_?????mg_；剪断细绳后，摆到最低点时mv2＝mgl(1－sin θ)，由牛顿第二定律T′－mg＝m；联立解得＝6 sin θ－4sin 2θ，由数学知识可知，此比值的最大值为，选项A正确。www.21-cn-jy.com
答案　A
6.如图4，光滑_???è?¨é??????????¨_竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为FN1，在最高点时对轨道的压力大小为FN2。重力加速度大小为g，则FN1－FN2的值为(　　)2-1-c-n-j-y
图4
A.3mg B.4mg
C.5mg D.6mg
解析　设小球在最低点速度为v1，在最高点速度为v2，根据牛顿第二定律，在最低点：FN1－mg＝m,R)，
在最高点：FN2＋mg＝m,R)
同时从最高点到最低点，根据机械能守恒定律得
mg·2R＝mv－mv
联立以上三式可得FN1－FN2＝6mg，故选项D正确。
答案　D
7.(多选)将质量分别为_m???2m?????¤_个小球A和B，用长为2L的轻杆相连，如图5所示，在杆的中点O处有一固定水平转动轴，把杆置于水平位置后由静止自由释放，在B球顺时针转动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)(　　)
图5
A.A、B两球的线速度大小始终不相等
B.重力对B球做功的瞬时功率先增大后减小
C.B球转动到最低位置时的速度大小为
D.杆对B球做正功，B球机械能不守恒
解析　A、B两球_??¨è????????è????±_轴转动，角速度大小始终相等，转动半径相等，所以两球的线速度大小也相等，选项A错误；杆在水平位置时，重力对B球做功的瞬时功率为零，杆在竖直位置时，B球的重力方向和速度方向垂直，重力对B球做功的瞬时功率也为零，但在其他位置重力对B球做功的瞬时功率不为零，因此，重力对B球做功的瞬时功率先增大后减小，选项B正确；设B球转动到最低位置时速度为v，两球线速度大小相等，对A、B两球和杆组成的系统，由机械能守恒定律得2mgL－mgL＝(2m)v2＋mv2，解得v＝，选项C正确；B球的重力势能减少了2mgL，动能增加了mgL，机械能减少了，所以杆对B球做负功，选项D错误。
答案　BC
综合提能练
8.如图6所示_?????????A???è?¨_量为M，圆环B的质量为m，A、B通过绳子连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时，圆环与定滑轮之间的绳子处于水平状态，长度l＝4 m，现从静止开始释放圆环，不计定滑轮和空气的阻力，重力加速度g取10 m/s2，若圆环下降h＝3 m时的速度v＝5 m/s，则A和B的质量关系为(　　)
图6
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析　圆环下降3 _m??????é????????_以沿绳方向和垂直绳方向进行分解，故可得vA＝vcos θ，又由几何关系可知cos θ＝，解得vA＝3 m/s。当圆环下降的高度h＝3 m时，由几何关系可知，物体A上升的高度h′＝－l＝1 m。将A、B看作一个系统，则该系统机械能守恒，则由机械能守恒定律可得mgh－Mgh′＝mv2＋Mv，代入数据求解得＝，选项A正确。
答案　A
9.(多选)如_???7???????¤????_质量为0.1 kg的小球从最低点A冲入竖直放置在水平地面上、半径为0.4 m的半圆轨道，小球速度的平方与其高度的关系图象如图乙所示。已知小球恰能到达最高点C，轨道粗糙程度处处相同，空气阻力不计。g取10 m/s2，B为AC轨道中点。下列说法正确的是(　　)
图7
A.图乙中x＝4 m2·s－2
B.小球从B到C损失了0.125 J的机械能
C.小球从A到C合外力对其做的功为－1.05 J
D.小球从C抛出后，落地点到A的距离为0.8 m
解析　当h＝0.8 m_????°??????¨C???_，由于小球恰能到达最高点C，故mg＝m,r)，所以v＝gr＝10×0.4 m2·s－2＝4 m2·s－2，故选项A正确；由已知条件无法计算出小球从B到C损失的机械能，故选项B错误；小球从A到C，由动能定理可知W合＝mv－mv＝×0.1×4 J－×0.1×25 J＝－1.05 J，故选项C正确；小球离开C点后做平抛运动，故2r＝gt2，落地点到A的距离x1＝vCt，解得x1＝0.8 m，故选项D正确。
答案　ACD
10.滑板运动是一种陆地上的_?????????è????¨???_，滑板运动员可在不同的轨道上滑行并做出各种高难度运动，给人以美的享受，如图8所示是模拟的滑板滑行轨道，该轨道由足够长的斜直轨道、半径R1＝1 m的凹形圆弧轨道和半径R2＝1.6 m的凸形圆弧轨道组成，这三部分轨道处于同一竖直平面内且依次平滑连接，其中AB与水平方向夹角θ＝37°，C点为凹形圆弧轨道的最低点，D点为凸形圆弧轨道的最高点，凸形圆弧轨道的圆心O2点与C点处在同一水平面上，一质量为m＝1 kg可看作质点的滑板，从斜直轨道上的P点无初速滑下，经过C点滑向D点，P点距B点所在水平面的高度h＝1.8 m，不计一切阻力，g取10 m/s2。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)21*cnjy*com
图8
(1)滑板滑到C点时滑板对轨道的压力；
(2)若滑板滑到D点时恰做平抛运动，则从P点须以多大初速度开始下滑。
解析　(1)滑板从P点运动到C点的过程中，由机械能守恒定律得mg[h＋R1(1－cos θ)]＝mv
在C点对滑板由牛顿第二定律得
FN－mg＝m,R1)
解得FN＝50 N
由牛顿第三定律可知滑块对轨道的压力大小为50 N，方向竖直向下。
(2)滑板滑到D点时恰做平抛运动，则有mg＝m,R2)
滑板从P点运动至D点，由机械能守恒定律得
mg[h＋R1(1－cos θ)－R2]＝mv－mv
解得v0＝2 m/s。
答案　(1)50 N　方向竖直向下　(2)2 m/s
11.半径为R的光滑圆环竖直_??????????????????_有两个质量分别为m和m的小球A和B。A、B之间用一长为R的轻杆相连，如图9所示。开始时，A、B都静止，且A在圆环的最高点，现将A、B释放，试求：(重力加速度为g)
图9
(1)B球到达最低点时的速度大小；
(2)B球到达最低点的过程中，杆对A球做的功；
(3)B球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置。
解析　(1)释放后B到_è??????????????è??_程中A、B和杆组成的系统机械能守恒，mAgR＋mBgR＝mAv＋mBv，又OA与OB相互垂直，AB杆长l＝R，故OA、OB与杆间夹角均为45°，可得vA＝vB，解得vB＝。
(2)对小球A应用动能定理可得W杆A＋mAgR＝mAv
又vA＝vB
解得杆对A球做功W杆A＝0。
(3)设B球到达右侧最_é???????????OB_与竖直方向之间的夹角为θ，取圆环的圆心O所在水平面为零势能面，由系统机械能守恒可得mAgR＝mBgRcos θ－mAgRsin θ
代入数据可得θ＝30°。
所以B球在圆环右侧区域内达到最高点时，高于圆心O的高度hB＝Rcos θ＝R。
答案　(1)　(2)0　(3)高于O点R处

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