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八年级上学期知识梳理
《变量与函数》知识梳理
一、学习目标
1、通过简单实例，了解常量，变量的意义。
2、能结合实例，了解函数概念和三种表示方法。
3、理解函数的对应值与函数图象上的点之间一一对应关系。
4、能结合图象对简单的实际问题的函数关系进行分析，并会确定简单实际问题的函数的自变量的取值范围，并会求函数值。
5、会用描点法画出函数的图象。
6、能对一个变化过程进行恰当地估计和分析。
二、重点难点
重点：1、函数概念的形成
2、理解函数概念，并能根据具体问题得出相应的函数关系式。
3、把实际问题转化为函数图象
4、了解画函数图象的一般步骤，会画出简单的函数图象。
5、函数的三种表示方法及其应用
难点：1、正确理解函数的概念
2、理解函数概念，并能根据具体问题得出相应的函数关系式。
3、根据函数图像研究实际问题
4、函数关系式与函数图象之间的对应关系。
5、函数的三种表示方法及其应用
三、知识梳理
1、变量与常量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量；数值始终不变的量为常量。
2、函数、函数值
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，如果当x＝a，y＝b，那么b叫做当自变量的值为a的函数值。
3、函数的图象
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。函数图象能把复杂的函数关系直观地表示出来，帮助我们发现一些规律。
4、描点法画函数图象的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）
不管以何种方式得到的函数图象，关键是找准点的位置，再用平滑的曲线连结，当然要注意自变量的取值范围。
5、函数的三种表示方法
（1）列表法：列表法一目了然，给出自变量的一个值，从表中可直接查出它对应的函数值，使用起来很方便，但列出的x、y的值有限。
（2）解析式法：解析法简单明了，准确反映变化过程中两个变量之间的相依关系。
（3）图象法：图象法形象直观，通过函数图象，可以直接、形象地把函数关系表示出来，直观判断出函数y随自变量x变化情况。
表示函数时，要根据具体的情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要几种方法同时使用。
6、自变量取值范围的确定
必须考虑自变量所取的值使解析式有意义，具体地，整式型的自变量的取值范围是全体实数，分式型的自变量的取值范围是使分母不为0的实数，偶次根型的自变量的取值范围是使被开方数为非负数的实数，复合型的自变量的取值范围由所列不等式组的解集来确定，应用型的自变量的取值范围要考虑实际意义。
7、观察函数图象的题目，一般考察的是函数图象信息提取的能力，如特殊点的坐标的实际意义，满足特定要求的取值区域，图形的变化趋势等等。
论推断。比如由“1、3、5、7、9……”我们可以推断第n个数是2n－1。
四、误区警示
1、不能认为式中出现常数就是常量，字母就是变量，如圆的面积公式，圆周率就是常量。
2、常量与变量的关系不是固定的，要根据具体的问题确定，如路程（S）、速度（v）、时间（t）三者的关系中，有，当速度v一定时，v是常数，s，t是变量；当路程一定时，s是常量，v，t是变量。
3、构成函数需要两个变量，既不能多，也不能少。
4、实际问题中要考虑自变量的取值范围是否符合实际意义。
《一次函数》知识梳理
一、学习目标
1、理解正比例函数的性质，根据条件确定正比例函数解析式，会画出它的图象并能结合图象回答问题。
2、能利用待定系数法确定一次函数解析式。
3、会画出一次函数图象，理解一次函数的性质，并能结合性质解决图象位置、面积等问题。
4、会通过“平移”的方法探寻一次函数的图象的有关性质。
5、能根据问题的信息确定自变量在不同范围内的一次函数关系式。
二、重点难点
重点：1、正比例函数的概念、图象与性质
2、一次函数、正比例函数的概念及关系
3、会根据已知信息写出一次函数的表达式
4、一次函数（包括正比例函数）图象与性质。
5、根据所给信息确定一次函数的表达式。
6、分段函数的初步认识与简单多变量问题
难点：1、体验研究函数的一般思路与方法。
2、理解一次函数、正比例函数的概念及关系。在探索过程中，发展抽象思维及概括能力。
3、如何使学生通过自己的实践与探究发现图象的特点与性质，并培养属性结合解决问题的能力。
4、对数学建模的过程、思想、方法的领会，提升分析解决问题的能力。
三、知识梳理
1、一次函数、正比例函数：若两个变量x，y之间的关系可以表示为（k、b为常数，k≠0）的形式，称y是x的一次函数，特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数，显然，正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数，即正比例函数是一次函数的一个特殊情况。
注意：条件中的k≠0千万不要忽视，如果k＝0，直线y＝b不是一次函数。
2、一次函数图象：正比例函数（k≠0）的图象是经过两点（0，0）（1，k）的一条直线，一次函数（k≠0）的图象是经过两点（0，b），（，0）的一条直线，我们把这条直线成为直线。具体性质如下表。
图象
正比例函数
一次函数
3、k、b对一次函数图象的影响：
（1）当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小。
（2）k决定着一次函数图象的倾斜程度，越大，其图象与x轴的夹角就越大。
（3）b决定着直线与y轴的交点，当b大于0时，交点在y轴正半轴；当b小于0时，交点在y轴负半轴。
（4）直线可以看作由直线平移个长度单位得到（当时，向上平移；当时，向下平移）
（5）直线、的几种位置关系：
平行：，；重合：，；关于y轴对称：，；关于x轴对称：，；垂直：
4、一次函数表达式的确定：一次函数表达式的确定通常有下列几种情况：（1）利用待定系数，根据直线上两点坐标列出方程组确定k、b的值，进而求出一次函数的表达式；（2）根据图表求出一次函数的表达式；（3）从已知条件出发，逐层求解得出一次函数表达式。
注意：已知一次函数上两点坐标可以确定一次函数解析式，可以理解为“两点确定一条直线”；已知一点坐标不可以确定一次函数解析式，因为“经过一点的直线有无数条”，但可以确定正比例函数解析式，因为正比例函数图象经过原点，相当于已知两点；已知三点或超过三点的坐标也不是一定不可以确定一次函数解析式，可以取其中任意两点确定一次函数解析式，再检验其余各点是否符合这个解析式。
5、与一次函数有关的面积问题求解：当一次函数图象与两坐标轴相交或两条相交直线与坐标轴相交时就会得到封闭图形，形成面积问题。面积问题有两种类型：一是封闭图形是规则图形，这时可以直接使用面积公式。二是封闭图形不规则，我们可以将一个不规则图形或难于不易求面积的规则图形，分解成几个易于求面积的规则图形，求出各部分面积后相加
6、图象平移的三种方法：
（1）图象法：先在平面直角坐标系中画出原来的图象，然后根据要求将其平移，根据平移后的图象求出其解析式。
（2）取值法：先在原来图象上任取两点，如（0,0）（1，2），再根据要求求出平移后这两点的坐标，根据所求两点的坐标，用待定系数法求出平移后的解析式。
（3）平移规律：比如将直线向上平移b（b>0）个单位后可得；将直线向下平移b（b>0）个单位后可得；将直线向左平移a（a>0）个单位后可得；将直线向右平移a（a>0）个单位后可得。
7、 应用一次函数解实际问题：解答实际问题的关键在于，将实际问题抽象成为一个数学问题，然后利用一次函数有关性质求解，这其实是数学建模思想的一个应用。
四、误区警示
1、“成正比例”与“正比例函数”：“正比例函数”中必定存在成正比例的数量关系，而存在“成正比例”关系的不一定是“正比例函数”，比如y与 x＋2成正比。
2、正比例函数解析式的条件千万不要忽视，如果k=0，直线y=0就不是正比例函数。
一次函数解析式的条件也不要忽视，如果k=0，直线y=b就不是一次函数。
3、正比例函数是特殊的一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。如从图象上来看，一次函数是一条不一定经过原点的直线，而正比例函数图象是一条一定经过原点的直线。
《用函数观点看方程（组）与不等式》知识梳理
一、学习目标
1、理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式之间的关系。
2、能用函数观点，把一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式转化为一次函数的问题，并通过“数形结合”的方法进行直观理解和分析。
3、会用图象法求一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的解（解集）。
4、通过建立数学模型，解决含有多个变量的实际问题。
二、重点难点
重点：1、一次函数与一元一次方程的关系的理解。
2、一次函数与一元一次不等式的关系的理解。
3、二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的理解。
难点：1、一次函数与一元一次方程的关系的理解。
2、利用一次函数图象确定一元一次不等式的解集。
3、对应关系的理解及实际问题的探究建模。
三、知识梳理
1、一次函数与一元一次方程的关系：一元一次方程都可以转化成的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。从图象上看，这相当于已知直线,求它与x轴交点的横坐标；
2、一次函数与一元一次不等式组的关系：任何一个一元一次不等式都可以转化为或（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，也可以把一次函数在x轴上方的点所对应的x的取值范围看作不等式的解集；
3、一次函数与二元一次方程组的关系：任意一个二元一次方程都可以转化为的形式，即每一个二元一次方程都对应着一个一次函数，也对应着一条直线，所以对二元一次方程组而言，都对应着两个一次函数，于是也对应着两条直线，故从数的角度来看，解二元一次方程组就相当于求自变量为多少时，两个函数值相等，以及这个函数的值是多少；从形的角度来看，解方程组相当于求两条直线交点的坐标。
4、图象法解方程（组）或不等式组的注意事项：用图象法得到的方程（组）的解或不等式的解集是否准确，关键在于图象画得是否准确，由于作图总有误差，所以只能求近似解，可以先用代数法求出方程（组）的解或不等式的解集，再来画图就心中有数了。虽然用一次函数来解方程或不等式未必简单，但是从函数角度看问题，能发现一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的解，这种用函数观点认识问题的方法，对于培养同学们数形结合的思想很有用。
5、一次函数的最值问题：
考虑一次函数在a≤x≤b内的最大值和最小值问题的时候，要注意k的符号：k.>0时，则在x= a处取最小值，在x＝b处取最大值；k<0时，结论正好相反。
6、图象法解“”型不等式的两种方法：方法一是在在同一个直角坐标系中，分别作出一次函数和的图象。然后观察图形， 的图象画在上面的x的取值范围，就是这个一元一次不等式的解集；方法二是将原不等式化成一元一次不等式的标准形式（或），然后用图象法求或的解集，所得的解集就是原不等式的解集。
7、函数思想：用运动的观点、方法考虑问题，把所研究对象中已知量与变量间存在的一般性规律揭示出来，建立一种数学关系的思想方法，运用一次函数的方法解一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组正是函数思想的运用。
四、误区警示
1、要从“数”的角度和“形”的角度理解一次函数和一元一次方程的关系，求一元一次方程的解可以理解为：当某个函数的值为0时，求相应自变量的值。一次函数的图象与x轴的交点为（，0），可知与x轴的交点横坐标就是一元一次方程的解。
2、在考虑一次函数在a≤x≤b内的最大、最小值问题的时候，要注意k的符号：k>0时，则在x=a处取最小值，在x＝b处取最大值；k<0时结论正好相反。
3、用图象法得到的方程组的解是否准确，关键在于图象画得是否准确，由于作图总是有误差，所以只能求出近似解，可以先用代数法求出方程得解，再来画图就心中有数了。

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