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高考导数压轴题各专题解法策略研究
mx≥e(-lnx)
公式关系清晰,一气呵成!
方法四:
分析:欲证e·lnx+>1
ex
即证e(lnx+)>1即可.
由方法三,可得lnx+—≥0,当且仅当x=-取等号.
又∵e≥ex..①当且仅当x=1取等号
∴lnx+≥
ex
ex
∴由①和②可得:e(lnx+-)>1
这里关键是等号不能同时成立
∴f(x)>1
方法五:(与方法四证明类似)
,当且仅当x=-取等号
x
x-1
∠e
∴ex.lnx+
e≥x+1
∴e≥x,当且仅当x=1取等号
2e
由①、②可知ex.lnx+
(注意:两个等号不能同时成立)
即f(x)>1
方法六:欲证ex.血nx+>1
即证xhnx-x.e>
主要还是等价变形
设g(x)=xlnx
则
g(e
ne=-x已
(这里关键是注意到g(x)=x·lnx与g(e)=-x.e2
之间隐含着复合函数的关系)
∴只需证明g(x)+g(e)>-
由方法一可知x∈(0,+0),g(x)≥--,
当且仅当x=-取等号
∴g(e)≥--,当且仅当x=1取等号.
∴g(x)+g(e)>--,(两个等号不能同时成立)
∴f(x)>1
点评:这种方法实在很难想!
基于上述7种方法的思考:
看来我们有必要梳理一下,其中重要的不等式:
泰勒展开式及其变形.
∴e=1++一+…+一+
这个式子也叫麦克劳林公式
当0有1+xx
即1n(1+x)x<-ln(1-x),其中x用——替换
1+x
In(1
=l(1+x)③
1+x
+x
由②③得:还有,e≥x+1.(x∈R)⑤注意等号成立条件.
(x<1)⑥
加强④可得≤hn(+x)≤x,(x>-1)⑦
1+x
还有:lnxo)③
lnx≤x-1,(当且仅当x=1取等号)⑨
e≥x,e≥e,
lnx≥-一,x·hnx≥--等等,
基于上面的思考:
证法7:
≤-,当且仅当x=1取等号
xlnx2--,当且仅当,1
取等号,
xInx+i>x
I
x·e.lnx+一>x
e.Inx+
2e
>1成
是否很帅!
最后,关注以下函数,课下练习巩固.
1、f(x)=x+e,f(x)=x-e
f(x)=xe,f(x)=-,f(x)=
2、f(x)=x+lnx,f(x)=x-lnx,f(x)=x·hnx,
In
x
In
3、f(x)=x"e,f(x)
f(r)
fo
d
列2.(2013全国2理科21)已知函数f(x)=e-ln(x+m)
(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论∫(x)的单调性;
(2)当m≤2时,证明f(x)>0
解:(()=ex十m
由x=0是∫(x)的极值点得∫(0)=0,所以m=1
于是f(x)=e-ln(x+1),定义域为(-1,+∞)
f(r)=e
函数f()=e"-1
在(一1,十∞)单调递增,
x+1
且∫(0)=0,因此当x∈(-1,0)时,∫(x)<0;
当x∈(0,+∞)时,f(
所以∫(x)在(-1,0单调递减,在(0,十∞)单调递增
2)证明
方法一:
当m故只需证明当m=2时,f(x)>0.
当m=2时,函数∫(x)=e
在(一2,十∞)单调递增
又f(-1)<0,f(0)>0
故∫(x)=0在(-2,十∞)有唯一实根x,且x0∈(-1,0).
当x∈(-2,xo)时,f(x)<0;当x∈(xo,+∞)时,f(x)>0,
从而当x=xo时,f(x)取得最小值
由∫(xo)=0得exo=
ln(xo+2)=-x0,
(x+1)
故fx)2f(x0)=-+
+2
十2
综上,当m≤2时,fx)>0.

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