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重难点突破：不等式中最值问题全梳理
模块一、题型梳理
基本不等式与函数相结合的最值问题
若方程有两个不等的实根和，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围.
【解析】因为两个不等的实根是和，不妨令，
故可得，解得，则=，故选：C.
【小结】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题.
的最小值为（
）
A．2
B．16
C．8
D．12
【分析】利用将变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值.
【解析】∵，∴
，当且仅当，时“=”成立，故的最小值为16.
【小结】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最值，属于基础题.
已知函数y＝loga
x＋1(a>0且a≠1)图象恒过定点A，若点A在直线＋－4＝0(m>0，n>0)上，则
m＋n的最小值为________．
【解析】由题意可知函数y＝loga
x＋1的图象恒过定点A(1,1)，∵点A在直线＋－4＝0上，∴＋＝4，∵m>0，n>0，∴m＋n＝(m＋n)＝≥＝1，当且仅当m＝n＝时等号成立，∴m＋n的最小值为1.
基本不等式与线性规划相结合的最值问题
已知满足约束条件，若目标函数的最大值为1（其中），则的最小值为（
）
A．3
B．1
C．2
D．
【分析】画出可行域，根据目标函数最大值求关系式，再利用不等式求得最小值.
【解析】画出可行域如下图所示，由于，所以基准直线的斜率为负数，故目标函数在点处取得最大值，即，所以.
，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：D
【小结】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
基本不等式与数列相结合的最值问题
已知递增等差数列中，，则的（
）
A．最大值为
B．最小值为4
C．最小值为
D．最大值为4或
【分析】根据等差数列的通项公式可用表示出.由数列单调递增可得.用表示出,结合基本不等式即可求得最值.
【解析】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得
因为数列为递增数列,所以，即，而由等差数列通项公式可知
，由,结合基本不等式可得
，当且仅当时取得等号，所以的最小值为4。
【小结】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用,基本不等式在求最值中的用法,属于中档题.
已知a，b均为正数，且2是2a，b的等差中项，则的最小值为________．
【解析】由于2是2a，b的等差中项，故2a＋b＝4，又a，b均为正数，故2ab≤2＝4，
当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时取等号，所以的最小值为.
基本不等式与向量相结合的最值问题
如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为______.
【分析】根据重心的性质有,再表达成的关系式,再根据,,三点共线可得系数和为1,再利用基本不等式求解即可.
【解析】根据条件：,,又,.
又,,三点共线,.,,.
的最小值为,当且仅当时“”成立.故答案为：.
【小结】本题主要考查了基底向量与向量的共线定理性质运用,同时也考查了基本不等式应用,属于中等题型.
基本不等式与圆锥曲线相结合的最值问题
在平面直角坐标系中，
已知点，点在直线上，点满足，，点的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）为C上动点，为C在点处的切线，求点到距离的最小值．
【解析】（Ⅰ）设，由已知得，．所以=，
=(0，)，
=(，-2).再由题意可知（+）??=0，
即（，）??(，－2)=0．
所以曲线C的方程式为．
（Ⅱ）设为曲线C：上一点，因为，所以的斜率为，
因此直线的方程为，即．
则点到的距离．又，所以
当=0时取等号，所以点到距离的最小值为2．
在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为3．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆O：
相交于不同的两点，且面积最大？若存在，求出点坐标及相对应的面积；若不存在，请说明理由．
【解析】（Ⅰ）由，所以，设是椭圆上任意一点，
则，∴，
所以，当时，有最大值，可得，所以
故椭圆的方程为：
（Ⅱ）存在点满足要求，使得面积最大．假设直线与圆
相交于不同两点,则圆心到的距离，∴
①
因为在椭圆上，所以
②，由①②得：
∵所以，
由②得代入上式得，
当且仅当，∴，此时满足要求的点有四个．
此时对应的的面积为．
基本不等式与圆相结合的最值问题
设，，若直线与圆相切，则取值范围是（
）
A．
B．
C．　　　
D．
【解析】∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离
，所以，设，则，解得
.
基本不等式与不等式恒成立结合的最值问题
当时，不等式恒成立，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可.
【解析】当时，不等式恒成立，等价于在时恒成立
即等价于；而因为，故,当且仅当时取得最大值.故：。
【小结】本题考查二次函数在区间上的恒成立问题，分离参数，转化为最值问题，是一般思路；本题中还涉及利用均值不等式求最值.属综合题.
已知，若不等式恒成立，则的最大值为（
）
A．9
B．12
C．16
D．20
【分析】可左右同乘，再结合基本不等式求解即可
【解析】，，
，当且仅当时，等号成立，故。
【小结】本题考查基本不等式求最值，属于基础题
基本不等式与立体几何相结合的最值问题
如图，三棱锥的四个顶点恰是长、宽、高分别是m，2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三棱锥的体积关系可得,根据三棱锥与长方体共外接球,长方体的对角线就是外接球的直径可得,根据基本不等式可得半径的最小值,进一步可得体积的最小值.
【解析】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为,所以,所以,又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球,该外接球的直径是长方体的对角线,设外接球的半径为,所以,
所以,当且仅当时,等号成立,，所以,所以该三棱锥外接球体积为.故选:C
【小结】本题考查了三棱锥的体积公式,球的体积公式,长方体的对角线长定理,基本不等式,属于中档题.
基本不等式与解三角形相结合的最值问题
在中，内角的对边另别是，已知，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由已知可得，结合余弦定理，求出用表示，用基本不等式求出的最小值，即可求解.
【解析】,由正弦定理得，
由余弦定理得，，
，当且仅当时，等号成立，，
所以的最大值为.
【小结】本题考查三角函数的最值，考查正、余弦定理解三角形，应用基本不等式求最值，属于中档题.
的内角所对的边分别为．
（I）若成等差数列，证明：；
（II）若成等比数列，求的最小值．
【解析】（1）成等差数列，，由正弦定理得
，
（2）成等比数列，，由余弦定理得
（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立），即，所以的最小值为
模块二、真题赏析
【2019年高考天津卷文数】设，则的最小值为__________.
【解析】.因为，
所以，即，当且仅当时取等号成立.
又因为所以的最小值为.
【小结】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.
【2019年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【解析】当时，恒成立；当时，恒成立，令，则
，当，即时取等号，
∴，则.当时，，即恒成立，令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，则时，取得最小值，∴，综上可知，的取值范围是.
【小结】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.
(2018全国卷Ⅰ)已知函数，则的最小值是_____．
【解析】因为，
所以
，当且仅当，
即时取等号，所以，所以的最小值为．
(2018天津)已知，且，则的最小值为
．
【解析】由，得，所以，
当且仅当，即时等号成立．
（2017新课标Ⅰ）已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为
A．16
B．14
C．12
D．10
【解析】由已知垂直于轴是不符合题意，所以的斜率存在设为，的斜率为，由题意有设，，，，此时直线方程为，
取方程，得，∴
同理得，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取得等号．
（2017天津）若，，则的最小值为___________．
【解析】，当且仅当，且，即时取等号．
（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则的值是
．
【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．
（2017浙江）已知，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是
．
【解析】∵，∴
①当时，，
所以的最大值，即（舍去）
②当时，，此时命题成立．
③当时，，则
或，解得或，
综上可得，实数的取值范围是．
模块三、模拟题汇编
1．（2020·武汉市第一中学高三）已知正实数，满足，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】∵，∴，当且仅当时，等号成立，
∴，即的最小值是．
2.（2020陕西高三）设，，若，，，则下列关系式中正确的是
A．
B．
C．
D．
【解析】∵，∴，又在上单调递增，故，
即，∵，∴．
3．（2020·山西实验中学高三月考）已知函数，若对任意的正数，满足，则的最小值为（
）
A．6
B．8
C．12
D．24
【分析】先确定奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得，最后基本不等式求最值.
【解析】因为所以定义域为，因为，所以为减函数因为，,所以为奇函数，因为，所以，即，
所以，因为，所以（当且仅当，时，等号成立），选C.
【小结】本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
4.已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)
B．(－∞，2－1)
C．(－1,2－1)
D．(－2－1,2－1)
【解析】由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0，解得k＋1<3x＋，而3x＋≥2
，所以k＋1<2，即k<2－1。故选B。
5．若直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)过曲线y＝1＋sin
πx(0A.＋1
B．4
C．3＋2
D．6
【解析】本题考查三角函数的性质与基本不等式．注意到曲线y＝1＋sin
πx(06.设＝1，－2，＝(a，－1)，＝(－b,0)(a>0，b>0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)
A．4
B.
C．8
D．9
【解析】∵＝－＝a－1，1，＝－＝(－b－1,2)，若A，B，C三点共线，则有∥，∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又a>0，b>0，∴＋＝·(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2
＝9，当且仅当即a＝b＝时等号成立．
7.（2020·天水市第一中学高三月考）实数满足条件.当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】先将目标函数化为，由题中约束条件作出可行域，结合图像，由题意得到，再由，结合基本不等式，即可求出结果.
【解析】由得，因为，所以直线的斜率为，
作出不等式对应的平面区域如下：
由图像可得：当直线经过点时，直线在轴截距最小，此时最小。
由解得，即，此时目标函数的最小值为，
即，所以.
当且仅当，即时，等号成立.故选：D
【小结】本题主要考查简单线性规划与基本不等式的综合，熟记基本不等式，会求解简单的线性规划问题即可，属于常考题型.
8．（2020·天津市宁河区芦台第一中学高三）已知a，b均为正数，且，的最小值为________.
【分析】本题首先可以根据将化简为，然后根据基本不等式即可求出最小值.
【解析】因为，所以，
当且仅当，即、时取等号，故答案为：.
9.(2020年重庆高三)设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且=2,则直线的斜率的最大值为
A．
B．
C．
D．1
【解析】设（不妨设），则，∵，
∴，∴∴
∴，故选C．
10.已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
（Ⅰ)求的方程；
（Ⅱ）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．
【解析】
（Ⅱ）
．
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