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立体几何高考大题的类型与解法
立体几何问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个立体几何问题的12分大题和一到两个立体几何问题的5分小题。从题型上看是18或19题的12分大题和选择题（也可能是填空题）的5分小题；难度为中，低档题型，一般的考生都会拿到7到12分。纵观近几年高考试卷，归结起来立体几何大题主要包括：①直线垂直直线的证明问题；②直线垂直平面的证明问题；③平面垂直平面的证明问题；④直线平行平面的证明问题；⑤平面平行平面的证明问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答立体几何问题大题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、如图①，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，E，F分别为AB，CD的中点，CD=2AB=2EF=4，M为DF中点，现将四边形BEFC沿EF折起，使平面BEFC⊥平面AEFD，得到如图②所示的多面体，在图②中（2019成都市高三二诊）。
（1）证明：EF⊥MC；
（2）（理）求二面角M—AB—D的余弦值。（文）求三棱锥M—ABD的体积.
【解析】
【考点】①直线垂直直线的定义与性质；②直线垂直平面的定义与性质；③证明直线垂直平面的基本方法；④证明直线垂直直线的基本方法；⑤建立空间直角坐标系的基本方法；⑥求二面角余弦值的基本方法；⑦三棱锥的定义与性质；⑧求三棱锥体积的基本方法。
【解题思路】（1）运用证明直线垂直平面的基本方法，结合问题条件证明直线EF⊥平面DCF，根据直线垂直平面的性质就可证明直线EF⊥MC；（2）（理）建立空间直角坐标系F—xyz,根据确定点的坐标的基本方法，结合问题条件分别得到点M，A，B，D的坐标，从而得到,
,
，,根据求平面法向量的基本方法分别求出平面MAB，平面DAB的法向量，利用求二面角余弦值的基本方法就可求出二面角M—AB—D的余弦值。（文）根据证明直线垂直平面的基本方法证明直线CF⊥平面ADFE,从而证明直线BE⊥平面ADFE,求出的值，利用=就可求出三棱锥M—ABD的体积。
【详细解答】（1）在等腰梯形ABCD中，AB//CD，E，F分别是AB，CD的中点，
EF⊥AB，EF⊥CD，
EF⊥DF，EF⊥CF，DF，CF平面DCF，DFCF=F，直线EF
⊥平面DCF，MC平面DCF，
EF⊥MC；（2）（理）平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC平面AEFD=EF，EF⊥DF，DF
平面ADFE，DF⊥平面EFCB，
CF⊥DF，
EF⊥CF，以F为原点，，，分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角直角坐标系F—xyz，
E，F分别为AB，CD的中点，CD=2AB=2EF=4，M为DF中点，M（1，0，0），A（1，0，2），B（0，1，2），D（2，0，0），=（0，0，2）,
=（-1，1，2）,
=（-1，0，2），=（-2，1，2）,设平面MAB的法向量=（x，y，z），⊥，⊥，2z=0①，-x+y+2z=0②,联立①②解得x=1,y=1，z=0，=（1，1，0），设平面DAB的法向量=（，，），⊥，⊥，-+2=0③，-2++2=0④，联立③④解得=2，=2，=1，=（2，2，1），设二面角M—AB—D为，cos===,二面角M—AB—D的余弦值为。（文）
E，F分别为AB，CD的中点，CD=2AB=2EF=4，M为DF中点，AM=2，DM=1,
=12=1,
平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC平面AEFD=EF，EF⊥DF，DF
平面ADFE，DF⊥平面EFCB，
CF⊥DF，
EF⊥CF，DF，EF平面DCF，DFEF=F，直线CF⊥平面ADFE，BE//CF，直线BE⊥平面ADFE，BE=1，==11=。
2、如图①，在等腰梯形ABCD中，已知AB//CD，ABC=，CD=2，AB=4，点E为AB的中点；现将三角形BEC沿线段EC折起，形成直二面角P—EC—A，如图②，连接PA，PD得四棱锥P—AECD，如图③（2018成都市高三三诊）。
（1）求证：PD⊥EC；
（2）（理）求平面PEC与平面PAD所成的锐二面角的余弦值。（文）求四棱锥P—AECD的体积。
【解析】
【考点】①直线垂直直线的定义与性质；②直线垂直平面的定义与性质；③证明直线垂直平面的基本方法；④证明直线垂直直线的基本方法；⑤建立空间直角坐标系的基本方法；⑥求二面角余弦值的基本方法；⑦四棱锥的定义与性质；⑧求四棱锥体积的基本方法。
【解题思路】（1）连接DE，DB，DB与CE相交于点Q，运用证明直线垂直平面的基本方法，结合问题条件证明直线CE⊥平面PDQ，根据直线垂直平面的性质就可证明直线E⊥PD；（2）（理）建立空间直角坐标系Q—xyz,根据确定点的坐标的基本方法，结合问题条件分别得到点C，A，E，D，P的坐标，从而得到,
,
，,根据求平面法向量的基本方法分别求出平面PAD，平面PCE的法向量，利用求二面角余弦值的基本方法就可求出平面PAD与平面PCE所成锐二面角的余弦值。（文）根据证明直线垂直平面的基本方法证明直
线PQ⊥平面AECD,求出的值，利用求四棱锥体积的基本方法就可求出四棱锥P—
AECD的体积。
【详细解答】（1）连接DE，DB，DB与CE相交于点Q，AB//CD，
CD=2，AB=4，点E为AB的中点，AECDBE，四边形AECD是平行四边形，四边形EBCD是平行四边形，AD=CE，AD=BC，CE=BC，ABC=，BE=CE，四边形BEDC是菱形，BD⊥CE，PQ⊥CE，
DQ⊥CE，PQ,DQ平面PDQ，DQPQ=Q，直线CE⊥平面PDQ，PD平面PDQ，
PD⊥EC；（2）（理）PQ⊥CE，平面AECD
⊥平面PCE，平面AECD平面PCE=CE，
PQ平面PCE，PQ⊥平面AECD，PQ⊥CE，
PQ⊥DQ,
DQ⊥CE，如图以Q为原点，,,分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Q—xyz，C（1，0，0），E（-1，0，0），D（0，，0），P（0，0，），A（-2，，0），=（-2，，-）,
=（0，，-）,
=（1，0，-），=（-1，0，-）,设平面PAD的法向量为=（x，y，z），⊥，⊥，-2x+y-z=0①，y-z=0②,联立①②解得x=0,y=1，z=1，=（0，1，1），设平面PCE的法向量为=（，，），⊥，⊥，-=0③，--=0④，联立③④解得=0，=1，=0，=（0，1，0），设平面PAD与平面PCE所成的锐二面角为，cos=｜｜=｜｜=，平面PAD与平面PCE所成的锐二面角的余弦值为。（文）PQ⊥CE，平面AECD
⊥平面PCE，平面AECD平面PCE=CE，
PQ平面PCE，PQ⊥平面AECD，=22
=2,=2=2。
〖思考问题1〗
（1）【典例1】是直线垂直直线的证明问题，解答这类问题需要理解直线垂直直线，直线垂直平面的基本概念；掌握证明直线垂直平面，直线垂直直线的基本方法；
（2）证明直线垂直直线的基本方法是：①证明两条直线中的一条直线垂直另一条直线所在的平面；②利用直线垂直平面的性质证明直线垂直直线。
[练习1]解答下列问题：
1、（理）如图，在三棱柱ABC—中，已知BAC=，AB=AC=1，AB=。
（1）证明：ABC；
（2）若C=2，求二面角—C—A的余弦值。
（文）如图，在三棱柱ABC—中，已知BAC=，AB=AC=1，B=2，AB
=。
（1）证明：ABC；
（2）若C=2，求三棱锥—CA的体积（2017成都市高三零珍）
（1题理科图）
（1题文科图）
（2题图）
2、如图三棱柱ABC—中，点A在平面ABC内的射影D在AC上，ACB=，
BC=1，AC=C=2。
（1）证明：A⊥B；
（2）设直线A与平面BC的距离为，求二面角—AB—C的大小（2014全国高考大纲卷）
【典例2】解答下列问题：
1、（理）如图，在四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且ABC=，E为BC的中点。
（1）证明：BC⊥平面PAE；
（2）若AB=2，PA=1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值。
（文）如图，在四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且ABC=，E，F分别为BC，CD的中点。
（1）证明：BC⊥平面PAE；
（2）点Q在棱PB上，且=，证明：PD//平面QAF（2020成都市高三一诊）
（理科图）
（文科图）
【解析】
【考点】①直线垂直直线的定义与性质；②直线垂直平面的定义与性质；③证明直线垂直平
面的基本方法；④证明直线垂直直线的基本方法；⑤建立空间直角坐标系的基本方法；⑥求二面角余弦值的基本方法；⑦四棱锥的定义与性质；⑧求四棱锥体积的基本方法。
【解题思路】（1）运用证明直线垂直直线的基本方法，结合问题条件证明直线BC⊥AE，BC⊥AP，根据证明直线垂直平面的基本方法就可证明直线BC⊥平面PAE；（2）（理）建立空间直角坐标系P—xyz,根据确定点的坐标的基本方法，结合问题条件分别得到点P，A，B，C，D的坐标，从而得到,
，，,根据求平面法向量的基本方法分别求出平面PAB，平面PCD的法向量，利用求二面角余弦值的基本方法就可求出平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值。（文）根据证明直线平行直线的基本方法证明直线MQ//PD，利用证明直线//平面的基本方法就可证明直线PD//平面QAF。
【详细解答】（1）如图，四边形ABCD是菱形，ABC=，ABC
是正三角形，E是BC的中点，AEBC，AP平面PBC，BC平面PBC，PABC，PAAE=A，AE，AP平面APE，
BC平面APE；（2）（理）AP平面PBC，PB平面PBC，PAPB，AB=2，PA=1，PB=，由（1）知BC
平面APE，PE平面APE，BCPE，E是BC的中点，PB=PC=，BE=1，PE=，如图，过P作PQ//BC，交CD于点Q，PE，PQ，PA两两互相垂直，以P为原点，，，分别为X，Y，Z轴的正方向
建立空间直角坐标系P-xyz，
P（0，0，0），A（0，0，1），B（，-1，0），C（，1，0），D（0，2，1），=（0，0，1），=（，-1，0），=（，1，0），=
（0，2，1），设平面BAP的法向量为=（x，y，z），，，
.=0+0+z=0①，
.=x-y+0=0②，联立①②解得
x=1，y=,
z=0，=（1，，0），设平面PCD的法向量为=（，，），，,.
=++0=0③，.=0+2+=0④，联立③④解得=1，=-，=2，=（1，-，2），设平面BAP与平面PCD所成角为，
cos
=||=||=||=。平面BAP与平面PCD所成锐二面角的余弦值为。（文）连接BD交AF于点M，连接QM，F
是DC的中点，
==，=，
=，
=，MQ//PD，
MQ
平面AQF，PD平面AQF，直线PD//平面AQF。
2、（理）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD，ABC
是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=DO。
（1）证明：PA⊥平面PBC；
（2）求二面角B—PC—E的余弦值。
（文）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，
ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，APC=（2020全国高考新课标I）。
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P—ABC的体积。
（理科图）
（文科图）
【解析】
【考点】①直线垂直直线的定义与性质；②直线垂直平面的定义与性质；③证明直线垂直平
面的基本方法；④证明直线垂直直线的基本方法；⑤证明平面垂直平面的基本方法；
⑥建立空间直角坐标系的基本方法；
⑦求二面角余弦值的基本方法；
⑧三棱锥的定义与性质；⑨求三棱锥体积的基本方法。
【解题思路】（理）（1）运用证明直线垂直直线的基本方法，结合问题条件证明直线PA⊥PB，PA⊥PC，根据证明直线垂直平面的基本方法就可证明直线PA⊥平面PBC；（2）建立空间直角坐标系O—xyz,设正ADE的边长为1，根据确定点的坐标的基本方法，结合问题条件分别得到点E，P，B，C的坐标，从而得到，，,根据求平面法向量的基本方法分别求出平面PBC，平面PCE的法向量，利用求二面角余弦值的基本方法就可求出二面角B—PC—E的余弦值。（文）（1）运用证明直线垂直直线的基本方法，结合问题条件证明直线PB⊥PA，PB⊥PC，从而根据证明直线垂直平面的基本方法证明直线PB⊥平面PAC，利用证明平面垂直平面的基本方法就可证明平面PAB⊥平面PAC；（2）根据圆锥的性质，结合问题条件分别求出圆锥底面半径和母线的值，从而求出正ABC的面积，利用求三棱锥体积的基本方法就可求出三棱锥P—ABC的体积。
【详细解答】（理）（1）如图，
D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD，
P为DO上一点，
ADE是正三角形，设AE=1，
O是圆锥底面的圆心，P为DO上一点，PO=DO，DO=,BO=CO=,PO=,PC==,
PC=
=,ABC是正三角形，=2OAAB=,+
==,
PA⊥PB，同理可证PA⊥PC，PBPC=P，PB，PC平面PBC，
PA平面PBC；（2）过O作ON//BC交AB于点N，PO⊥平面ABC，OA，ON平面ABC，
PO⊥0A，
PO⊥ON，以O为原点，,,分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系O—xyz，E（-，0，0），P（0，0，），B（-，，0），C（-，-，0），=（-，，-），=（-，-，-），=（-，0，-），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），，，
.=-x+y-z=0①，
.=-x-y-z
=0②，联立①②解得
x=-，y=0,z=1,=（-，0，1），设平面PCE的法向量为=（，，），，,.
=---=0③，.=-+0-=0④，联立③④解得=，=1，=-，=（，1，-），设二面角B—PC—E为，
cos
=｜｜=｜｜=|-|=。二面角B—PC—E的余弦值为。
（文）（1）如图，O是圆锥底面的圆心，P为DO上一点，PA=PB=PC,
APC=PA⊥PC,
+=,
ABC是正三角形，AB=AC=BC，+=,+=，PB⊥PA,
PB⊥PC,PAPC=P，PA，PC平面PAC，
PB平面PBC,
PB平面PAB，平面PAB⊥平面PAC；（2）设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，2+=①,
rl=②,
联立①②解得r=1，l=，ABC是正三角形，
AB=AC=BC=，PA=PB=PC=,PO==，=
=，==。
3、如图，在四棱锥P—ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l。
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1,Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值（2020全国
高考新高考II）
【解析】
【考点】①直线垂直直线的定义与性质；②直线垂直平面的定义与性质；③证明直线垂直平
面的基本方法；④证明直线垂直直线的基本方法；⑤证明直线平行平面的基本方法；
⑥建
立空间直角坐标系的基本方法；
⑦求直线与平面所成角正弦值的基本方法；
⑧求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）运用证明直线垂直直线的基本方法，结合问题条件证明直线AD⊥PD，AD⊥CD，根据证明直线垂直平面的基本方法就可证明直线AD⊥平面PCD,根据证明直线平行平面的基本方法证明直线AD//平面PBC,从而得到AD//L就可证明直线l⊥平面PCD；（2）建立空间直角坐标系D—xyz,设点Q（a，0，1）,根据确定点的坐标的基本方法，结合问题条件分别得到点D，C，B，P的坐标，从而得到，，,根据求平面法向量的基本方法求出平面QCD的法向量，由求直线与平面所成角正弦值的基本方法得到关于a的函数，利用求函数最值的基本方法就可求出直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值。
【详细解答】（1）如图，
PD⊥底面ABCD，DC平面ABCD,
AD⊥PD，四边形ABCD是正方形，
AD⊥CD，PDCD=D，PD，CD平面PCD，
AD平面PCD,
AD//
BC,AD平面PBC，BC平面PBC，AD//平面PBC，AD平面PAD，平面PAD平面PBC=l，AD//l，l平面PCD；(2)
PD⊥底面ABCD，AD,DC平面ABCD,
PD⊥AD，PD⊥CD，四边形ABCD是正方形，
AD⊥CD，以D为原点，,,分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系D—xyz，设点Q（a，0，1）,
D（0，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，1），=（a，0，1）,=
（0，1，0）,
=
（1，1，-1）,
设平面QCD的法向量为=（x，y，z），，.=
a
x+
0+z=0①，
.=0+
y
+0=0②，联立①②解得
x=1，y=0,z=-
a,=（1，0，-
a），设直线PB与平面QCD所成角为，sin===.=
.,当且仅当a=1时，等号成立，直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为。
〖思考问题2〗
（1）【典例2】是直线垂直平面的证明问题，解答这类问题需要理解直线垂直直线，直线
垂直平面的基本概念；掌握证明直线垂直平面，直线垂直直线的基本方法；
（2）证明直线垂直平面的基本方法有：
①直线垂直平面的判定定理；②运用平行线垂直平面的传递性；③运用平面垂直平面的性质1；④运用平面垂直平面的性质2；⑤
运用平面垂直平面的性质3；
（3）运用直线垂直平面的判定定理证明的基本方法是：①在平面内找两条相交直线；②证明直线与这两条相交直线分别垂直；③得出结论；
（4）运用平行线垂直平面的传递性证明直线垂直平面的基本方法是：①证明两条直线平行，②证明其中一条直线垂直平面；③得出结论；
（5）运用平面平行平面的性质1证明直线垂直平面的基本方法是：①证明两个平面平行；②证明直线与其中的一个平面垂直；③得出结论；
（6）运用平面垂直平面的性质定理2证明直线垂直平面的基本方法是：①证明两个平面垂直；②在一个平面内找一条直线证明它与两个平面的交线垂直；③得出结论；
（7）运用平面垂直平面的性质定理3证明直线垂直平面的基本方法是：①找到以直线为交线的两个相交的平面；②分别证明这两个平面与第三个平面垂直；③得出结论
[练习2]解答下列问题：
1、（理）如图，在多面体ABCDE中，已知四边形BCDE为平行四边形，平面ABC⊥平面ACD，M为AD的中点，AC⊥BM,AC=BC=1,AD=4，CM=。
（1）求证：BC⊥平面ACD；
（2）求二面角D-BM-E的余弦值。
（文）如图，在三棱锥A—BCD中，平面ABC⊥平面ACD，M为AD的中点，AC⊥BM，AC=BC=1，AD=4，CM=。
（1）求证：CM⊥平面ABC；
（2）求三棱锥A—BCD的体积（2019成都市高三零诊）
（理科图）
（文科图）
（2题图）
（3题图）
2、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点（2019成都市高三三诊）。
（1）证明：BD⊥平面PEF；
（2）（理）若BAD=，求二面角B—PD—A的余弦值。（文）若M是棱PB上一点，三棱锥M—PAD与三棱锥P—DEF的体积相等，求的值。
3、如图，长方体ABCD—的底面ABCD是正方形，点E在棱A上，BEE。
（1）证明：BE平面E；
（2）（理）若AE=E，求二面角B—EC—的正弦值。（文）若AE=E，AB=3，求四
棱锥E—BC的体积（2019全国高考新课标II）
【典例3】解答下列问题：
1、（理）如图，在四棱锥P-ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，E为BC的中点。
（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（2）若PE=3，求二面角D—PE—B的余弦值。
（文）如图，在四棱锥P-ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，M，E分别为AB，BC的中点。
（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（2）若PE=3，求三棱锥B—PEM的体积（2020成都市高三二诊）。
（理科图）
（文科图）
【解析】
【考点】①直线垂直直线的定义与性质；②直线垂直平面的定义与性质；③证明直线垂直平
面的基本方法；④证明直线垂直直线的基本方法；⑤证明平面垂直平面的基本方法；
⑥建立空间直角坐标系的基本方法；
⑦求二面角余弦值的基本方法；
⑧三棱锥的定义与性质；⑨求三棱锥体积的基本方法。
【解题思路】（理）（1）运用证明直线垂直直线的基本方法，结合问题条件证明直线BD⊥AC，BD⊥PO，从而根据证明直线垂直平面的基本方法证明直线BD⊥平面PAC,利用证明平面垂直平面的基本方法就可证明平面PAC⊥平面PBD；（2）取AB的中点M，连接OM，OE，建立空间直角坐标系O—xyz,根据确定点的坐标的基本方法，结合问题条件分别得到点B，D，P，E的坐标，从而得到，，根据求平面法向量的基本方法分别求出平面PBE，平面PDE的法向量，利用求二面角余弦值的基本方法就可求出二面角D—PE—B的余弦值。（文）（1）运用证明直线垂直直线的基本方法，结合问题条件证明直线AC⊥BD，AC⊥PD，从而根据证明直线垂直平面的基本方法证明直线AC⊥平面PBD，利用证明平面垂直平面的基本方法就可证明平面PAC⊥平面PBD；（2）根据正方形的性质，结合问题条件分别求出PO,
的值，利用求三棱锥体积的基本方法就可求出三棱锥B—PME的体积。
【详细解答】（1）如图，
PO⊥平面ABCD，BD平面ABCD,
BD⊥PO，
O是边长为4的正方形ABCD的中心，
BD⊥AC，P0AC=O，PO，AC平面PAC，
BD平面PAC,
BD平面PBD，平面PBD⊥平面PAC；(2)
（理）
取AB的中点M，连接OM，OE，
PO⊥平面ABCD，OM，OE平面ABCD,
PO⊥OM，
PO⊥OE，M，E分别是正方形ABCD边AB，BC的中点，
OM⊥OE，以O为原点，
，
，分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O—xyz,
PE=3，B(2，2，0)，D(-2，-2，0)，P(0，0，
)，E(0，2，0)，=(-2，0，0)，=(0，2，-)，=(2，4，0)，设平面PBE
的法向量为=（x，y，z），，，
.=-2x+0+0=0①，.
=0+2y-z
=0②，联立①②解得
x=0，y=,z=1,=（0，，1），设平面PDE的法向量为=（，，），，,.=2+4+0=0③，.
=0+2-=0④，联立③④解得=-2，=1，=，=（-2，1，），设二面角D—PE—B为，
cos
=-=-=-=-，二面角D—PE—B的余弦值为-。(文)连接OE，
O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，PE=3，PO==，
M，E分别为AB，BC的中点，
=22=2，==2=,三棱锥B—PEM的体积为。
2、（理）如图四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF。
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值。
（文）如图在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，ACM=，以AC为折痕把ACM折起，
使点M到达点D的位置，且AB⊥DA（2018全国高考新课标I卷）。
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q—ABP的体积。
（理科图）
（文科图）
【解析】
【考点】①直线垂直直线的定义与性质；②直线垂直平面的定义与性质；③证明直线垂直平
面的基本方法；④证明直线垂直直线的基本方法；⑤证明平面垂直平面的基本方法；
⑥建
立空间直角坐标系的基本方法；
⑦求直线与平面所成角正弦值的基本方法；
⑧三棱锥的定
义与性质；⑨求三棱锥体积的基本方法。
【解题思路】（理）（1）运用证明直线垂直直线的基本方法，结合问题条件证明直线BF⊥EF，BF⊥PF，从而根据证明直线垂直平面的基本方法证明直线BF⊥平面PEF,利用证明平面垂直平面的基本方法就可证明平面平面PEF⊥平面ABFD；（2）过P作PO⊥EF于点O，过O作OM//AD交AB于点M，建立空间直角坐标系O—xyz,设AB=2，根据确定点的坐标的基本方法，结合问题条件分别得到点D，P的坐标，从而得到，根据求平面法向量的基本方法求出平面ABDF的法向量，利用求直线与平面所成角正弦值的基本方法就可求出直线DP与平面ABFD所成角的正弦值。（文）（1）运用证明直线垂直直线的基本方法，结合问题条件证明直线AB⊥AC，AB⊥AD，从而根据证明直线垂直平面的基本方法证明直线AB⊥平面ACD，利用证明平面垂直平面的基本方法就可证明平面ACD⊥平面ABC；（2）根据正方形的性质，结合问题条件分别求出PO,
的值，利用求三棱锥体积的基本方法就可求出三棱锥B—PME的体积。
【详细解答】（理）（1）如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是边AD，BC的中点，
BF⊥EF，BF⊥PF，PFEF=F，PF，EF平面PEF，
BF平面PEF,
BF平面ABFD，平面PEF⊥平面ABFD；(2)
过P作PO⊥EF于点O，过O作OM//BC交AB于点M，平面PEF⊥平面ABFD,
平面PEF平面ABFD=EF，PO⊥EF，PO平面PEF，
PO平面ABFD,
POOF
，POOM，OM//BC，
EF⊥BC，
OFOM，以O为原点，，
，
分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系O—xyz，设AB=2，点O（0，0，0），D（-1，-，0），P（0，0，），=（1，，），=（0，
0，），设直线DP与平面ABFD所成角为，sin==
=，直线DP与平面ABFD所成角的正弦值为。
（文）(1)
四边形ABCM是平行四边形，ACM=，
AB⊥AC，AB⊥AD，ACAD=A，AC，AD平面ACD，
AB平面ACD,
AB平面ABC，平面ACD⊥平面ABC；
(2)
AB=AC=3，ACM=，BC=AM=3，
BP=DQ=DA=2，
CD⊥AB，
CD⊥AC，ABAC=A，AB，AC平面ABC，
CD平面ABC,
==
33=3,=33=1，三棱锥Q—ABP的体积为1。
〖思考问题3〗
（1）【典例3】是平面垂直平面的证明问题，解答这类问题需要理解直线垂直直线，直线
垂直平面，平面垂直平面的基本概念；掌握证明直线垂直直线，直线垂直平面，平面垂直平面的基本方法；
（2）证明平面垂直平面的基本方法是：
①运用证明直线垂直直线的基本方法证明直线垂直直线；②运用证明直线垂直平面的基本方法证明直线垂直平面；③运用证明平面垂直平面的基本方法证明平面垂直平面。
[练习3]解答下列问题：
1、（理）如图边长为2的正方形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD弧上异于C，D的点。
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M—ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值。
（文）如图矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD弧上异于C，D的点。
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC//平面PBD？说明理由（2018全国高考新课标III卷）
（1题理科图）
（1题文科图）
（2题理科图）
（2题文科图）
2、（理）如图（1）在边长为5的菱形ABCD中，AC=6，现沿对角线AC把ADC翻折到APC的位置得到四面体P—ABC，如图（2）所示，已知PB=4。
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）若Q是线段AP上的点，且=，求二面角Q—BC—A的余弦值。
（文）如图在四面体P—ABC中，PA=PC=AB=BC=5，AC=6，PB=4，线段AC，AP的中点分别为O，Q。
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求四面体P—OBQ的体积（2018成都市高三一诊）
【典例4】解答下列问题：
1、如图，在多面体ABCDEF中，ADEF为矩形，ABCD为等腰梯形，BC//AD，BC=2，AD=4，且AB⊥BD，平面ADEF⊥平面ABCD，M，N分别为EF，CD的中点（2020成都市高三三诊）。
（1）求证：MN//平面ACF；
（2）（理）若直线FC与平面ADEF所成角的正弦值为，求多面体ABCDEF的体积。（文）若DE=2，求多面体ABCDEF的体积。
（理科图）
（文科图）
【解析】
【考点】①直线平行直线的定义与性质；②直线平行平面的定义与性质；③平面平行平面的定义与性质；
④证明直线平行直线的基本方法；
⑤证明直线平行平面的基本方法；
⑥建立空间直角坐标系的基本方法；⑦多面体体积的定义与性质；⑧求多面体体积的基本方法。
【解题思路】（1）取AD的中点O，连接OM，ON，运用证明直线平行直线的基本方法，结合问题条件证明直线ON//AC，从而根据证明直线平行平面的基本方法证明直线ON//平面ACF，同理可证直线OM//平面ACF，利用证明平面平行平面的基本方法证明平面ONM//平面ACF，由平面平行平面的性质就可证明直线MN//平面ACF；（2）（理）取BC的中点T，连接OT，OB，运用建立空间直角坐标系的基本方法建立空间直角坐标系O—xyz，根据求点坐标的基本方法求出点C，F的坐标，从而得到和平面ADEF的法向量，利用直线与平面所成角的正弦值，结合问题条件求出AF的值，由求多面体体积的基本方法通过运算就可求出多面体ABCDEF的体积。（文）过C作CH⊥AD于H，连接OB，OC，BE，运用证明直线垂直平面的基本方法证明直线CH⊥平面ADEF，直线DE⊥平面ABCD，结合问题条件求出OB，OC，CH的值，利用求多面体体积的基本方法通过运算就可求出多面体ABCDEF的体积。
【详细解答】（1）取AD的中点O，连接OM，ON，O，N分别是AD，CD的中点，ON//AC，
AC平面ACF，ON平面ACF，
ON//平面ACF，同理可证OM//平面ACF，
ON，OM平面OMN，ONOM=O，平面
OMN//平面ACF，
MN平面OMN，
MN//平面ACF；（2）（理）取BC的中点T，连接OT，OB，BE，四边形ABCD是等腰梯形，O为AD的中点，OT⊥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF平面ABCD=AD，OT平面ABCD，OT⊥平面ADEF，
OT⊥OM
，OT⊥OD，四边形ADEF是矩形，M，O分别是EF，AD的中点，OM⊥OD，以O为原点，，，分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系O—xyz，设AF=h，直线FC与平面ADEF所成角为，
BC=2，AD=4，AB⊥BD，C（，1，0），F（0，-2，h），=（，3，-h），=（，0，0），sin====，h=2，
=+=+=42+22=+=。（文）如图，过C作CH⊥AD于H，连接OB，OC，BE，平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF平面ABCD=AD，CH平面ABCD，CH⊥平面ADEF，同理可证DE⊥平面ABCD，
BC=2，AD=4，AB⊥BD，OB=OC=AD=2，CH==，=
+=+=42+22=+=。
2、如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，ABC=，PA⊥平面ABCD，点M是棱PC的中点（2019成都市高三一诊）。
（1）证明：PA//平面BMD；
（2）（理）当PA=时，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值。（文）当PA=时，
求三棱锥M—PAD的体积。
【解析】
【考点】①四棱锥的定义与性质；②证明直线平行直线的基本方法；③证明直线平行平面的基本方法；④建立空间直角坐标系的基本方法；⑤求直线与平面所成角正弦值的基本方法；⑥三棱锥的定义与性质；⑦求三棱锥体积的基本方法。
【解题思路】（1）连接AC交BD于点O，连接OM，运用证明直线平行直线的基本方法，结合问题条件证明直线PA//OM，从而根据证明直线平行平面的基本方法就可证明直线PA//平面BMD；（2）（理）过A作AH⊥AD于A交BC于点H，运用建立空间直角坐标系的基本方法建立空间直角坐标系A—xyz，得到点A，B，C，P，M的坐标，从而求出，，，根据求平面法向量的基本方法求出平面PBC的法向量，利用求直线与平面所成角正弦值的基本方法就可求出直线AM与平面PBC所成角的正弦值。（文）由PA平面ABCD，四边形ABCD是菱形可证明BD平面PAC，从而证明DO平面PAM，根据菱形ABCD的棱长为2，ABC=，利用三棱锥的体积计算公式求出三棱锥M-PAD的体积。
【详细解答】（1）如图，连接AC交BD于点O，连接MO，四边形ABCD是菱形，O是AC的中点，M是PC的中点，MO//PA，PABMD内，MO平面BMD，
PA//平面BMD；（2）（理）如图，过A作AE
AD于A，交BC于点E，PA
平面ABCD，AD，AE平面ABCD，PAAD，PAAE，以A为原点，，，分别为X，Y，Z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz，菱形ABCD的边长为2，ABC=，AP=，A(0，0，0)，P（0，0，），B（，-1，0），C（，1，0），M（，，），=（，，），=（，-1，-），=（，1，-），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），由，x-y-z=0，x=1，y=0，
，
x+y-z=0，z=1，
=（1，0，1），设直线AM与平面PBC所
成角为，sin=|cos<>|=||
=||=。（文）如图，PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，ABCD是菱形，BDAC，PA
AC=A，PA，AC平面PAC，BD平面PAC
，DO平面PACM，菱形ABCD
的边长为2，ABC=，AP=DO=2=，PC===，==2=，
===。
3、如图，直四棱柱ABCD—的底面是菱形，A=4，AB=2，BAD=，E，M，N分别是BC，B，D的中点（2019全国高考新课标I）。
（1）证明：MN//平面DE
；
（2）（理）求二面角A—M—N的正弦值。（文）求点C到平面DE的距离。
【解析】
【考点】①四棱柱的定义与性质；②证明直线平行直线的基本方法；③证明直线平行平面的基本方法；④建立空间直角坐标系的基本方法；⑤求二面角正弦值的基本方法；⑥点到平面距离的定义与性质；⑦求点到平面距离的基本方法。
【解题思路】（1）连接ME，C，运用证明直线平行直线的基本方法，结合问题条件证明直线MN//DE，从而根据证明直线平行平面的基本方法就可证明直线MN//平面DE；（2）（理）连接AC，BD相较于点O，连接，相较于点，连接O，取AB的中点F，连接DF，运用建立空间直角坐标系的基本方法建立空间直角坐标系O—xyz，得到点A，，M，N，D，F的坐标，从而求出，，，根据求平面法向量的基本方法求出平面MN的法向量，利用求二面角余弦值的基本方法就可求出二面角A—M—N的余弦值，从而求出二面角A—M—N的正弦值。（文）由PA平面ABCD，四边形ABCD是菱形可证明BD平面PAC，从而证明DO平面PAM，根据菱形ABCD的棱长为2，ABC=，利用三棱锥的体积计算公式求出三棱锥M-PAD的体积。
【详细解答】（1）如图，连接ME，C，
M，E分别是B，BC的中点，ME//C，
ME=C，四边形DC是平行四边形，N是D的中点，ME//ND，ME=ND，四边形MNDE是平行四边形，MN//ED，MN平面BMD内，DE平面DE，
直线MN//平面DE；（2）（理）连接AC，BD相较于点O，连接，相较于点，连接O，取AB的中点F，连接DF，四边形ABCD是菱形，ACBD，四棱柱ABCD—是直四棱柱，D//O，
O平面ABCD，
OOA
，OOC，以O为原点，，，
分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系O—xyz，A=4，AB=2，BAD=，E，M，N分别是BC，B，D的中点，
A（，0，0），（，0，4），M（0，1，2），N（，-，2），D（0，-1，0），F（，，0），=（，-1，2），=（，-，0），=（，，0），
A平面ABCD，DF平面ABCD，
ADF，
ABDF，ABA=A，AB，A平面AB，
DF平面AB,是平面AM的一个法向量，设平面MN的法向量为=（x，y，z），，，
.=x-y+2z=0①，.=x-y+0
=0②，联立①②解得
x=，y=1，z=-1，=（，1，-1），
设二面角A—M—N为，cos===，sin
==，二面角A—M—N的正弦值为。（文）如图，过C作CHE于H，C平面ABCD，DE平面ABCD，
CDE，
DEBC，BCC=C，BC，C平面BC，
DE平面BC,
DECH，
CHE，DEE=E，DE，E平面DE，
CH平面DE,
CH的长是点C到平面DE的距离，
A=4，AB=2，BAD=，E是BC的中点，E==，
CH==，点C到平面DE的距离为。
〖思考问题4〗
（1）【典例4】是直线平行平面的证明问题，解答这类问题需要理解直线平行直线，直线
平行平面，平面平行平面的基本概念；掌握证明直线平行直线，直线平行平面，平面平行平面的基本方法；
（2）证明直线平行平面的基本方法有：①运用直线平行平面的判定定理；②运用平面平行平面的性质定理；
（3）运用直线平行平面的判定定理证明，关键是在平面内找到与已知直线平行的直线，一般思路是：①考虑平面内有没有这样的直线，如果有，可直接证明它与已知直线平行；②如果平面内没有这样的直线，则需要通过作辅助线来确定，作辅助线的基本思路是：1》若图形中涉及到中点，应考虑取线段的中点并结合三角形的中位线解决问题，2》若图形中直角（或垂直）较多，应考虑作垂线来确定，并结合直角（或垂直）的特殊性质解决问题，3》若图形中有等腰三角形（或等边三角形）应考虑取底边的中点，运用其三线合一的性质；
（4）运用平面平行平面的性质定理证明的基本方法是：①证明两个平面平行；②运用平面平行平面的性质得到结论。
[练习4]解答下列问题：
1、在平行六面体ABCD—中，A=AB，A⊥。
（1）求证：AB//平面C；
（2）求证：平面AB⊥平面BC（2018全国高考江苏卷）
2、（理）如图，四棱锥P—ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=，E是PD的中点。
（1）证明：直线CE//平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角M—AB—D的
余弦值。
（文）如图，四棱锥P—ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，
BAD=ABC=。
（1）证明：直线BC//平面PAD；
（2）若PAD面积为2，求四棱锥P—ABCD的体积（2017全国高考新课标II卷）
3、如图，已知梯形CDEF与ADE所在平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB//CD//EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，连接BC，BF。
（理）（1）若G为AD边上一点，DG=DA，求证：EG//平面BCF；
（2）求二面角E—BF—C的余弦值。
（文）（1）若G为AD边上一点，DG=DA，求证：EG//平面BCF；
（2）求多面体ABCDEF的体积（2017成都市高三二诊）
（1题图）
（2题理科图）
（2题文科图）
（3题图）
【典例5】解答下列问题：
1、如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB=AD，PA⊥PD，AD⊥CD，
BAD=，M，N分别为AD，PA的中点（2020成都市高三零诊）。
（1）证明：平面BMN//平面PCD；
（2）（理）若AD=6，CD=，求平面BMN与平面BCP所成二面角的余弦值。（文）若AD=6，求三棱锥P-BMN的体积。
【解析】
【考点】①直线平行直线的定义与性质；②直线平行平面的定义与性质；③平面平行平面的定义与性质；
④证明直线平行直线的基本方法；
⑤证明直线平行平面的基本方法；
⑥证明平面平行平面的基本方法；
⑦建立空间直角坐标系的基本方法；
⑧求二面角余弦值的基本方法；⑨三棱锥的定义与性质；⑩求三棱锥体积的基本方法。
【解题思路】（1）运用证明直线平行平面的基本方法，结合问题条件证明MN//平面PCD，BM//平面PCD，利用判定平面平行平面的基本方法就可证明平面BMN//平面PCD；（2）（理）如图，运用建立空间直角坐标系的基本方法建立空间直角坐标系M—xyz，根据确定空间点坐标的基本方法，结合问题条件得到点A，P，B，D，C，M的坐标，从而求出点N的坐标，利用求平面法向量的基本方法分别求出平面BMN，平面BPC的法向量，，由求二面角余弦值的公式通过运算就可求出平面BMN与平面BCP所成锐二面角的余弦值。（文）运用判定直线垂直平面的基本方法，结合问题条件证明BM平面PAD，从而证明BM平面PMN，利用求三棱锥体积的公式与基本方法通过运算就可求出三棱锥P—BMN的体积。
【详细解答】（1）如图，M，N分别是AD，PA的中点，MN//PD，MN平面PCD，PD平面PCD，
MN//平面PCD，AB=AD，BAD=，ABD是正三角形，
M是AD的中点，
BMAD，
ADCD，BM//CD，BM平面PCD，CD平面PC
D，
BM//平面PCD，
BM，MN平面BMN，BM
MN=M，平面BMN//平面PCD；（2）连接PM，
PA
=PD，M是AD的中点，
PMAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平ABCD=AD，PM平面PAD，
PM平面ABCD，
PMMD，
PMMB，如图，以M为原点，，，分别为
X，Y，Z轴的正方向建立空间直角坐标系M—xyz，
AD=6，CD=，M（0，0，0），A（0，-3，0），B（3，0，0），C（，3，0），D（0，3，0），P（0，0，3），N（0，-，），=（-3，0，0），=（-3，-，），=（-2，3，0），=（-3，0，3），设平面BMN的法向量为=（x，y，z），设平面BCP的法向量为=（，，），，
.=-3x+0+0=0①，，.=-3x-y+z=0，联立①②解得
x=0，y=1，z=1，=（0，1，1），
，.=-3+0+3=0③，
，
.=-2+3+0=0④，联立③④解得=1，=，=，=（1，
，），设平面BMN与平面BCP所成锐二面角为，cos=||=|
|=
=
，平面BMN与平面BCP所成锐二面角的余弦值为。（文）连接PM，
PA=PD，M是AD的中点，
PMAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平ABCD=AD，PM平面PAD，
PM平面ABCD，
PMMB，由（1）知BMAD，PM，AD平面PAD，PMAD=M，
BM平面PAD，
BM平面PMN，
AD=6，PAPD，，PA=PD，PM=AM=3，=33=，
N是PA的中点，==，AB=AD=6，BAD=，ABD是正三角形，BM=6=3，==3=。
2、如图所示，在三棱柱ABC—中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点。
（1）证明：B，C，H，G四点共面；
（2）证明：平面EF//平面BCHG.。
【解析】
【考点】①三棱柱的定义与性质；②证明四点共面的基本方法；③直线平行直线的定义与性质；④直线平行平面的定义与性质；⑤平面平行平面的定义与性质；⑥证明直线平行直线的基本方法；⑦证明直线平行平面的基本方法；⑧证明平面平行平面的基本方法。
【解题思路】（1）运用证明直线平行直线的基本方法和三棱柱的性质，结合问题条件证明直线GH//BC，根据证明四点共面的基本方法就可证明B，C，H，G四点共面；（2）运用证明直线平行平面的基本方法，结合问题条件证明直线EF//平面BCHG，直线E//平面BCHG，
利用证明平面平行平面的基本方法就可证明平面EF//平面BCHG.。
【详细解答】（1）G，H分别是，的中点，
H
GH//，
ABC—是三棱柱，BC//
G
，GH//BC，
B，C，H，G四点共面；
A
F
C
（2）E，F分别是AB，AC的中点，EF//BC，
E
B
EF平面BCHG，BC平面BC
HG，
直线EF//平面BCHG，G//EB，G=EB，
四边形EBG是平行四边形，E//BG，
E平面BCHG，BG平面BC
HG，
直线E//平面BCHG，E，EF平面EF，EEF=E，平面EF//平面BCHG.。
〖思考问题5〗
（1）【典例5】是平面平行平面的证明问题，解答这类问题需要理解直线平行直线，直线
平行平面，平面平行平面的基本概念；掌握证明直线平行直线，直线平行平面，平面平行平面的基本方法；
（2）证明平面平行平面的基本方法是：①在一个平面内确定两条相交直线；②运用证明直线平行平面的基本方法分别证明这两条直线平行另一个平面；③利用证明平面平行平面的基本方法证明两个平面平行。
[练习5]解答下列问题：
1、如图，在四棱柱ABCD—中，底面ABCD
是正方形，O是底面的中心，O底面ABCD，AB=A
=。
D
O
C
（1）证明：平面BD//平面C；
A
B
（2）求三棱柱ABC—的体积。
2、如图所示，斜三棱柱ABC—中，点D，分
别为AC，上的点。
（1）当等于何值时，B//平面A；
（2）
若=1，证明：平面BD//平面A。
A
D
C
B

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