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几何体外接球或内切球问题的类型与解法
大家知道，几何体外接球和内切球问题是近几年的高考热点内容之一，尤其是几何体外接球问题，基本上近几年的高考试题中都有出现。，从题型上看是5分小题，可能是选择题，也可能是填空题；从难易程度上看，属于中、低档难度的问题。纵观近几年高考，归结起来几何体外接球或内切球问题主要包括：①已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的体积（或几何体的体积）；②已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的表面积（或几何体的表面积）；③已知球内切于几何体，求内切球的体积（或表面积）等几种类型。解答这类问题的基本思路是根据问题给出的条件，求出球的半径，然后运用球的体积（或表面积）公式通过运算就可得出结果。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻，那么在实际解答几何体外接球或内切球问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、（理）如图，在边长为2的正方形A中，线段BC的端点B，C分别在边，上滑动，且B=C=x，现将
AB，
CA分别沿AB，CA折起使点，
重合，重合后记为点P，得到三棱锥P—ABC，现有以下结论：①AP
平面PBC；②当B，C分别为，的中点时，三棱锥P—ABC的外接球的表面积为6；③x的取值范围为（0，4-2）；④三棱锥P—ABC体积的最大值为。则正确结论的个数为（
）
A
1
B
2
C
3
D
4
（文）如图，在边长为2的正方形A中，边，的中点分别为B，C，现将
AB，
BC，
CA分别沿AB，BC，CA折起使点，，重合，重合后记为点P，得到三棱锥P—ABC，则三棱锥P—ABC的外接球体积为
（2020成都市高三一诊）
（理科图）
（文科图）
【解析】
【考点】①正方形的定义与性质；②三棱锥的定义与性质；③直线垂直平面的定义与判断；④求三棱锥外接球表面积的基本方法；⑤求三棱锥体积的基本方法；⑥求函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）对①根据三棱锥的定义与性质，结合直线与平面垂直的定义与判断方法就可得出结果；对②运用三棱锥外接球表面积的计算公式和求三棱锥外接球表面积的基本方法就可得出结论；对③根据三棱锥体积的计算公式，结合求三棱锥体积的基本方法可以得到
结果；对④运用三棱锥的条件公式，把三棱锥的体积表示成含某个参数的式子，在运用求函
数最值的基本方法可以得出结论。（文）根据三棱锥的定义与性质，结合问题条件求出三棱锥外接球的半径，运用三棱锥外接球体积的计算公式和求三棱锥外接球体积的基本方法就可得出结果。
【详细解答】（理）如图，
APC是AC，
P
沿AC折起得到APPC，同理可得APPB，
A
PBPC
=P，PB，PC平面PBC，
AP
B
D
E
O
平面PBC，①正确；B，C分别是，
C
的中点，A是边长为2的正方形，
B=C=1，PB=PC=1，取BC的中点D，过点D作平面PBC的垂直DO，连接OB，设三棱锥P-ABC外接球的半径为R，在RtBDO中，BD=BC
=
=，BO=AP=1，R=OB
===
，
=4=6②正确；
B=C=x，B=C=2-x4-2x>
BC=x，
4>（+2）x，
x<4-2，由①知AP平面PBC，=.(2-x).(2-x)=
sinBPC，
==
sinBPC
2=
sin
BPC，当x=2-x，即x=1时，=的最大值是，④正确，C正确，选C。（文）如图，取BC的中点D，过点D作平面PBC
P
的垂线DO，连接OB，设三棱锥P-ABC外接球的半径为
A
R，B，C分别是，的中点，四边形
B
D
O
A是边长为2的正方形，
B=C=1，
C
PB=PC=1，在RtBDO
BD=BC=
=，BO=AP=1，
R=OB===
，
===。
2、在三棱锥P—ABC中，ABBC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D，DP=DC=1，有下列结论：①三棱锥P—ABC的三条侧棱长均相等；②PAB的取值范围上（，）；③若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的体积为；④若AB=BC，E是线段PC上一动点，则DE+BE的最小值为。
（理）其中正确结论的个数是（）
A
1
B
2
C
3
D
4
（文）其中所有正确结论的编号是（）（2020成都市高三三诊）
A
①②
B
②③
C
①②④
D
①③④
【解析】
【考点】①三棱锥的定义与性质；②点在平面上投影的定义与性质；③证明直线垂直平面的基本方法；④余弦定理及运用；⑤求三棱锥外接球体积的基本方法；⑥求三棱锥外接球表面积的基本方法。
【解题思路】对①，运用直角三角形和三棱锥的性质，结合问题条件得到PA=PB=PC，从而①正确；对②，运用直角三角形的性质和余弦定理，结合问题条件得到0P
【详细解答】如图，连接BD，三棱锥P—ABC中，
ABBC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D，
O
E
DP=DC=1，BD=DC=1，PA=PB=PC=
A
D
C
=，①正确；0B
=<，DE+BE的最小值为+
=，④正确，C正确，选C。
1、已知三棱锥P—ABC的三个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为2的正三
角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF=，则球O的体积为（
）（2019全国高考
新课标I（理））
A
8
B
4
C
2
D
【解析】
【考点】①正三棱锥的定义与性质；②正三棱锥外接球的定义与性质；③几何体外接球半径的求法；④球的体积计算公式与方法；
【解题思路】运用正三角形的性质和正三棱锥外接球的性质求出外接球的半径，再运用球的体积公式进行计算得出结果；
P
【详细解答】如图，取BC的中点D，连接AD，PD，设
正三角形ABC外接圆的圆心为，连接P，设外接
E
O
球的球心为O，连接AO，ABC是边长为2的正
C
三角形，D，F分别BC，AB的中点，AD=CF=2
A
F
B
=，A=，PA=PB=PC，ABC
是正三角形，P—ABC是正三棱锥，PBAC，E，F分别是PA，AB的中点，EF//PB，EFAC，CEF=，ACCE=C，AC，EC平面PAC，EF平面PAC，PB平面PAC，APB=，PA=PB=PC=，PD
=1，P==，设外接球的半径为R，在RtA
O中，AO=R，O=-R，A=，=+，=+，R=，===
D正确选D。
2、《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面
垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧
1
视图是如图所示的直角三角形，若该阳马的顶点都在同一个
1
2
球面上，则该球的体积为（
）（2018成都市高三二诊）
（正视图）
（侧视图）
A
B
8
C
D
24
【解析】
【考点】①四棱锥的定义与性质；②四棱锥外接球的定义与性质；③几何体外接球半径的求法；④球的体积计算公式与方法；
【解题思路】运用长方形的性质和四棱锥的性质，结合问题条件求出外接球的半径，利用球的体积公式通过运算就可求出该球的体积；
【详细解答】如图，连接AC，BD相交于点，过作E平面ABCD，设四棱锥P-ABCD
的外接球的球心为O，半径为R，连接CO，四边
P
形ABCD是长方形，AB=2，BC=1，BD==
O
，
D=，在RtOD中，OD=R，
A
D
O=
PA=，D=，=+，
B
C
=+，R=，===
C正确，选C。
〖思考问题1〗
（1）【典例1】是已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的体积的问题，解答这类问题的关键是求出外接球的半径；
（2）解答已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的体积的问题的基本方法是：①根据几何体底面的几何图形，确定底面多边形的外接圆的圆心；②过底面外接圆的圆心作底面的垂线，在所作垂线上确定几何体外接球的球心O；③构造以外接球半径为斜边，O为一直角边的直角三角形；④在构造的直角三角形中求出外接球的半径R；⑤由公式：=求出外接球的体积。
[练习1]解答下列问题：
1、设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D—ABC体积的最大值为（
）（2018全国高考新课标III卷）
A
12
B
18
C
24
D
54
2、已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（
）（成都市2017—2018高一下期期末质量检测（文））
A
B
4
C
2
D
【典例2】解答下列问题：
1、若矩形ABCD的对角线交点为，周长为4，四个顶点都在球O的表面上，且O
=，则球O的表面积的最小值为（
）（2020成都市高三零诊）
A
B
C
32
D
48
【解析】
【考点】①矩形的定义与性质；②几何体外接球的定义与性质；③求几何体外接球半径的基本方法；④求表面积的计算公式与计算方法。
【解题思路】运用矩形性质，几何体外接球的性质和求几何体外接球半径的基本方法，结合问题条件求出几何体外接球的半径，利用球表面积的计算公式通过运算就可得出选项。
【详细解答】如图，连接OC，设AB=x，矩形
O
ABCD的周长为4，BC=2-x，AC
D
C
=+，在RtOC中，O=，
C=-AC，=OC=C+
O=AC
A
B
+O=-x+13=+88，当且仅当x=时，=0+8=8为最小，=4的最小值为48=32，C正确，选C。
2、已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为28，则直三棱柱的侧面积为
（2020成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①直三棱柱的定义与性质；②直三棱柱外接球的定义与性质；③球表面积的定义与基本求法；④求直三棱柱侧面积的基本方法。
【解题思路】设直三棱柱的棱长为x，运用直三棱柱的性质，结合问题条件得到关于x的方程，求解方程求出x的值，利用直三棱柱侧面积的公式通过运算就可得出直三棱柱的侧面积。
【详细解答】如图，分别取BC，
的中点D，
，设直三棱柱的棱长为x，外接球的半径为R，
底面外接圆的圆心分别为，，连接，
O
取的中点为O，连接OA，在RtO
A
D
C
A中，OA=R，O=x，A=x=
B
x，=+=，=4==28，=12，
=3x.x=3=312=36，直三棱柱的侧面积为36。
3、已知A，B，C为球O的球面上的三个点，圆为ABC的外接圆，若圆的面积为4，AB=BC=AC=O，则球O的表面积为（
）（2020全国高考新课标I卷）
A
64
B
48
C
36
D
32
【解析】
【考点】正三角形的定义与性质；②正三角形外接圆的定义与性质；③求几何体外接球半径的基本方法；④求球表面积计算公式与基本方法；
【解题思路】运用正三角形的性质和正三角形外接圆的性质，结合问题条件求出外接圆的半径，从而求出球O的半径，利用球表面积公式通过运算就可得出球O的表面积。
【详细解答】如图，连接OA，设圆的半径为r，
O
球O的半径为R，圆为ABC的外接圆，圆
C
的面积为4，r=A=2，AB=BC=AC=O
A
B
，
AB=BC=AC=O
=r=2，在RtA
O中，OA=R，O=2，A=2，
R==4，=4=416=64，A正确，选A。
4、已知ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上，若球O表面积为16，则O到平面ABC的距离为（
）（2020全国高考新课标II卷）
A
B
C
1
D
【解析】
【考点】正三角形的定义与性质；②求几何体外接球半径的基本方法；③求球表面积计算公式与基本方法；④求点到平面距离的基本方法。
【解题思路】运用正三角形的性质和正三角形外接圆的性质，结合问题条件求出球O的半径和正三角形的边长，利用直角三角形的性质通过运算就可得出球心O到平面ABC的距离。
【详细解答】设正三角形的边长为x，正三角形外接圆
的圆心为，球O的半径为R，连接OA，如图，
O
===，=9，x=3，
C
=4=16，=4，R=2，在Rt
A
B
A
O中，OA=2，A=x=3=，
O=
=1，O到平面ABC的距离为1，C正确，选C。
1、在三棱锥P-ABC中，已知PA平面ABC，BAC=，PA=AB=AC=2，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（
）(2018成都市高三一诊)
A
10
B
18
C
20
D
9
【解析】
【考点】正三棱锥的定义与性质；②三棱锥外接球的定义与性质；③几何体外接球半径的求法；④球的表面积计算公式与方法。
【解题思路】运用等腰三角形的性质和三棱锥外接球的性质求出外接球的半径，再运用球的表面积公式进行计算得出结果。
【详细解答】如图，取BC的中点D，连接AD，延长AD到
P
，使D=AD，过作E平面ABC于，
在E
E
确定三棱锥P-ABC外接球的球心O，连接OA，设外接球的
O
的半径为R，ABC是等腰三角形，BAC=，
A
是ABC外接圆的圆心，在RtA
O中，AO=R，
B
D
C
O=PA=1，A=AC=2，=+，
=1+4，R=，=4=45=
20C正确，选C。
2、（理）三棱柱ABC—中，AB=BC=AC，侧棱A底面ABC，且三棱柱的侧面积为3，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为
；
（文）三棱柱ABC—中，棱AB，AC，A两两垂直，AB=AC，且三棱柱的侧面积为+1，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为（
）（2019成都市高三三诊）
Ａ　
　　　Ｂ　　
　　　Ｃ　　
2　　　Ｄ　　　　
4
【解析】
【考点】正三棱柱的定义与性质；②正三棱柱外接球的定义与性质；③几何体外接球半径的求法；④球的表面积计算公式与方法；
【解题思路】运用正三角形的性质和正三棱柱外接球的性质求出外接球的半径，再运用球的表面积公式进行计算得出结果；
【详细解答】（理）如图，取BC的中点D，连接AD，取AC的中点
E，连接BE交AD于点，过作F平面ABC于，
F
在F上确定正三棱柱ABC—外接球的球心
O
O，连接AO，设外接球的半径为R，AB=BC=AC=x，正
A
E
三棱柱的侧面积为3，A=，AD=BE=x，
B
D
C
B=A=x，在RtA
O中，AO=R，O=A=，A=x，=+，
=+，=4=4（+）4=2，球O表面积的最小值是2。
（文）如图，取BC的中点，过作D平面
ABC于，在D确定三棱柱ABC—外接
球的球心O，连接AO，设外接球的半径为R，AB=AC
O
=x，ABC是等腰直角三角形，A=x，
A
棱AB，AC，A两两垂直，三棱柱的侧面积为+1，
B
C
A=，在RtA
O中，AO=R，O=A=
，A=x，=+，
=+，=4=4(+)4
=，球O表面积的最小值是，
A正确，选A。
〖思考问题2〗
（1）【典例2】是已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的表面积的问题，解答这类问题的关键是求出外接球的半径；
（2）解答已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的表面积的问题的基本方法是：①根据几何体底面的几何图形，确定底面多边形的外接圆的圆心；②过底面外接圆的圆心作底面的垂线，在所作垂线上确定几何体外接球的球心O；③构造以外接球半径为斜边，O为一直角边的直角三角形；④在构造的直角三角形中求出外接球的半径R；⑤由公式：=4求出外接球的表面积。
[练习2]解答下列问题：
1、若矩形ABCD的对角线交点为，周长为4，四个顶点都在球O的表面上，且O
=，则球O的表面积的最小值为（
）（2020成都市高三零诊）
A
B
C
32
D
48
2、（理）已知三棱锥A—BCD的四个顶点都在球O的表面上，若AB=AC=AD=1，BC=CD=BD=，则球O的表面积为
（文）已知三棱锥P—ABC的侧棱PA，PB，PC两两垂直，且长度均为1，若该三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为
（2019成都市高三二诊）
3、在正三棱柱ABC—（底面是正三角形，侧棱垂直于底面的棱柱）中，所有棱长之和为定值a，若正三棱柱ABC—的顶点都在球O的表面上，则当正三棱柱侧面积取得最大值24时，该球的表面积为（
）（2018成都市高三三诊）
A
4
B
C
12
D
【典例3】解答下列问题：
1、已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为
（2020全国高考新课标III）
【解析】
【考点】圆锥的定义与性质；②求几何体内切球半径的基本方法；③求球体积计算公式与基本方法。
【解题思路】运用圆锥的性质和最大球就是圆锥的内切球，结合问题条件求出内切球的半径，利用求球体积的公式通过运算就可得出该圆锥内半径最大的球的体积。
A
【详细解答】圆锥内半径最大的球就是圆锥的内切球，
设圆锥内切球的半径为R，球心为O，圆锥底面圆的圆
心为，如图，圆锥轴截面的内切圆是内切球的大圆，
O
在RtAC中，C=1，AC=3，A==2，
B
C
=22=2，=32+2=8，=，R=，
===，该圆锥内半径最大的球的体积为。
P
2、如图，P—ABC是棱长为a的正四面体，
O
E
求该正四面体内切球O的表面积。
A
D
C
【解析】
B
【考点】正四面体的定义与性质；②求几何体内切球半径的基本方法；③求球表面积计算公式与基本方法。
【解题思路】运用正四面体和内切球的性质，结合问题条件求出内切球的半径，利用求球表
面积的公式通过运算就可得出内切球的表面积。
【详细解答】如图，取BC的中点D，连接AD，PD，设ABC外接圆的圆心为，内切球的球心为O，连接P，过O作OEPD于点E，正四面体的棱长为a，在RtAP中，A=a=a，AP=a，
P=
=
a，=，OE=R，
PO=P-R=a-R，PD=AD=a，D=AD-A=a-a=a，
R=a，=4=4=，该正四面体内切球O的表面积为。
〖思考问题3〗
（1）【典例2】是已知几何体的内切球，几何体满足一定的条件，求内切球的体积（或表面积）的问题，解答这类问题的关键是求出内切球的半径；
（2）解答已知几何体内切球，几何体满足一定的条件，求内切球的体积（或表面积）的问题的基本方法是：①设几何体内切球的球心为O，半径为R；②以几何体的各个面为底面，球心O为顶点，把原几何体分割成几个以内切球半径为高的棱锥；③根据各个棱锥体积之和等于原几何体的体积得到关于内切球半径R的方程；④求解方程求出内切球的半径R；⑤由公式：=（或=4）求出内切球的体积（或表面积）。
[练习3]解答下列问题：
1、已知倒圆锥容器的轴截面是一个等边三角形，在此容器内注满水，并放入半径为r的一个球，此时水面恰好与球相切，求取出球后水面的高度。
2、已知棱长为4的正方体，求该正方体内切球的体积和表面积。
O

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