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第一章
勾股定理
章末综合复习题
一．选择题
1．以下列各组数为边长的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　）
A．6，8，10
B．3，4，5
C．8，12，15
D．5，12，13
2．三个正方形的面积如图所示，则面积为A的正方形的边长为（　　）
A．164
B．36
C．8
D．6
3．如图，从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，若旗杆的高度为3.2米，则绳子AP的长度不可能是（　　）
A．3
B．3.3
C．4
D．5
4．如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点A，B，C，D都在格点上，则下面4条线段长度为的是（　　）
A．AB
B．BC
C．CD
D．AD
5．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C
B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a2＝（c﹣b）（c+b）
D．a：b：c＝：：
6．如图，一只蚂蚁从正方体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，正方体棱长为3cm，则蚂蚁所走过的最短路径是（　　）
A．3cm
B．6cm
C．3cm
D．3cm
7．在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则（　　）
A．∠B+∠C＝90°
B．∠A+∠C＝90°
C．∠A+∠B＝90°
D．∠B＝∠C
8．在△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高，DC＝2，则BD等于（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
9．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为48，小正方形的面积为6，则（a+b）2的值为（　　）
A．60
B．79
C．84
D．90
10．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　）
A．1
B．2021
C．2020
D．2019
二．填空题
11．如图，在边长为1的正方形网格中，两格点A，B之间的距离为d　
　3．（填“＞”，“＝”或“＜”）．
12．已知直角三角形的两边a，b满足a2+＝10a﹣25，则第三边长为　
　．
13．在△ABC中，若a2+b2＝25，a2b2＝7，c＝5，则最长边上的高为　
　．
14．如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数＝　
　．
15．已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F是垂足，且AB＝17，BC＝15，则OF、OE、OD的长度分别是　
　．
16．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为　
　．
17．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，问小鸟至少飞行　
　米．
18．如图，在水塔O的东北方向8m处有一抽水站A，在水塔的东南方向6m处有一建筑物工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为　
　．
三．解答题
19．（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝，求AC的长；
（2）已知△ABC中，BC＝1，AC＝，AB＝2，求证：△ABC是直角三角形．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，M是斜边的中点．
（I）若BC＝1，AC＝3，求CM的长；
（II）若∠ACD＝3∠BCD，求∠MCD的度数．
21．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝3，CD＝，AD＝5，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．
22．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
23．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．
（1）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，求证：△ABC是“美丽三角形”；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．
24．如果一个直角三角形的三边长分别为a﹣d，a，a+d，（a＞d＞0），则称这个三角形为均匀直角三角形．
（1）判定
按照上述定义，下列长度的三条线段能组成均匀直角三角形的是（　　）
A.1，2，3；B.1，，2；C.1，，3；D.3，4，5．
（2）性质
求证：任何均匀直角三角形的较小直角边与较大直角边的比是3：4．
（3）应用
如图，在一块均匀直角三角形纸板ABC中剪一个矩形，且矩形的一边在AB上，其余两个顶点分别在BC，AC上，已知AB＝50cm，BC＞AC，∠C＝90°，求剪出矩形面积的最大值．
参考答案
1．C
2．D
3．A
4．A
5．B
6．D
7．A
8．C
9．D
10．B
11．＜
12．4或
13．
14．45°
15．3
16．36
17．10
18．10m
19．（1）解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝，
∴AC＝，
＝＝，
＝3．
（2）证明：∵在△ABC中，BC＝1，AC＝，AB＝2，
BC2+AC2＝12+（）2＝4＝22＝AB2，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
20．解：（Ⅰ）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝3，
∴AB＝＝，
∵M是斜边的中点，
∴CM＝AB＝；
（Ⅱ）∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD＝3∠BCD，
∴∠ACD＝90°×＝67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝22.5°，
∵CM＝AB＝AM，
∴∠ACM＝∠A＝22.5°，
∴∠MCD＝∠ACD﹣∠ACM＝67.5°﹣22.5°＝45°．
21．解：连接AC，
∵AB＝1，BC＝3，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝．
∵CD＝，AD＝5，（）2+（）2＝52，即AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD
＝AB?BC+AC?CD
＝×1×3+××
＝+．
22．解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，
BC2＝2.25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，
解这个方程，得x＝1.25，
1.25﹣1.2＝0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
23．（1）证明：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝2，
由勾股定理得，AD＝＝2，
∴AD＝BC，即△ABC是“美丽三角形”；
（2）解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图2，
BC＝＝6，
当BC边上的中线AE等于BC时，
AC2＝AE2﹣CE2，即BC2﹣（BC）2＝（4）2，
解得BC＝8．
综上所述，BC的长是6或8．
24．解：（1）A、∵1+2＝3，
∴1，2，3三条线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、当﹣d＝1，+d＝2，
得d＝1+，d＝2﹣，
∵1+≠2﹣，故B不符合题意；
C、∵1，
∴1，，3三条线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、当4﹣d＝3，4+d＝5，
得d＝1，
∵32+42＝52，
∴3，4，5能组成均匀直角三角形，故D符合题意；
故选D．
（2）∵直角三角形的三边长分别为a﹣d，a，a+d，
∴（a﹣d）2+a2＝（a+d）2，
化简得a2﹣4ad＝0，
∴a（a﹣4d）＝0，
∵a＞d＞0，
∴a﹣4d＝0，
∴a＝4d，
∴较小直角边与较大直角边的比是（a﹣d）：a＝3d：4d＝3：4；
（3）∵Rt△ABC是均匀直角三角形，
∴设AC＝a﹣d，BC＝a，AB＝a+d，
∵AB＝50，
∴d＝50﹣a，
∴AC＝2a﹣50，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（2a﹣50）2+a2＝502，
∵a＞0，
∴a＝40，
∴BC＝40，AC＝30，
过C作CH⊥AB于H交EF于M，
∴CH＝＝＝24，
∵四边形DEFG是矩形，
∴设FG＝x，
∴CM＝24﹣x，
∵EF∥AB，
∴△CFE∽△CBA，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝，
∴S矩形DEFG＝FG?EF＝＝﹣（x﹣12）2+300，
∴剪出矩形面积的最大值是300cm2．

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