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2.动量定理

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)冲量是矢量，其方向与力的方向相同． (√)
(2)力越大，力对物体的冲量就越大． (×)
(3)若物体在一段时间内，其动量发生了变化，则物体在这段时间内的合外力一定不为零． (√)
(4)合外力对物体不做功，则物体的动量一定不变． (×)
2．(多选)下列关于物体动量和冲量的说法正确的是(　　)
A．物体所受合外力冲量越大，它的动量也越大
B．物体所受合外力冲量不为零，它的动量一定会改变
C．物体动量增量的方向，就是它所受冲量的方向
D．物体所受合外力越大，它的动量变化就越快
BCD　[由FΔt＝Δp知，FΔt越大，Δp越大，但动量不一定大；由动量定理可知，物体所受合外力冲量不为零，它的动量一定会改变；冲量与Δp不仅大小相等，而且方向相同；由F＝知，物体所受合外力越大，其动量变化就越快．]
3．从高处跳到低处时，为了安全，一般都是让脚尖先着地，这样做是为了(　　)
A．减小冲量
B．减小动量的变化量
C．增大与地面的冲击时间，从而减小冲力
D．增大人对地面的压强，起到安全作用
C　[脚尖先着地，接着逐渐到整个脚着地，延缓了人落地时动量变化所用的时间，由动量定理可知，人落地时，动量变化量一定，这样可以减小地面对人的冲击力，从而避免人受到伤害，故C项正确．]
对冲量的理解
如图中文具盒静止一段时间，重力对它做功一定为零，而一段时间内重力的冲量为零吗？
提示：文具盒静止一段时间，其位移为零，故重力做功为零，而冲量是指力与时间的乘积，所以重力的冲量不为零．
1．对冲量的理解
(1)冲量是过程量：冲量描述的是作用在物体上的力对时间的积累效应，与某一过程相对应．
(2)冲量的矢量性：冲量是矢量，在作用时间内力的方向不变时，冲量的方向与力的方向相同，如果力的方向是变化的，则冲量的方向与相应时间内物体动量变化量的方向相同．
(3)冲量的绝对性：冲量仅由力和时间两个因素决定，具有绝对性．
(4)冲量的单位：冲量与动量的单位关系是1 N·s＝1 kg·m/s.
2．冲量的计算
(1)计算冲量的大小时，一定要注意是哪个力在哪一段时间内的冲量，只要力不为零，一段时间内的冲量就不为零．
(2)公式I＝Ft只适合用于计算恒力的冲量，若是变力的冲量，可考虑用以下方法求解：
①用动量定理I＝mv′－mv求冲量．
②若力随时间均匀变化，则可用平均力求冲量．
③若给出了力F随时间t变化的图像，可用F?t图像与t轴所围的面积求冲量．如图所示，力F在1 s内的冲量I1＝F1t1＝20×1 N·s＝20 N·s，力F在6 s内的冲量I＝20×1 N·s－10×5 N·s＝－30 N·s.
(3)合冲量计算的三种方法：
①分别求每一个力的冲量，再求各冲量的矢量和；
②如果各力的作用时间相同，也可以先求合力，再用I合＝F合t求解；
③用动量定理I＝p′－p求解．
名师点睛：冲量与功的区别
(1)做功的多少由力的大小、位移的大小及力和位移的夹角三个因素决定，冲量的大小只由力的大小和时间两个因素决定，力作用在物体上一段时间，力的冲量不为零，但力对物体做的功可能为零．
(2)功是标量，其正、负表示的是动力对物体做功还是物体克服阻力做功．冲量是矢量，其正负号表示方向，计算冲量时要先规定正方向．
【例1】　在倾角为37°、足够长的斜面上，有一质量为5 kg的物体沿斜面滑下，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，求物体下滑2 s的时间内，物体所受各力的冲量．(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
[解析]　物体沿斜面下滑的过程中，受重力、支持力和摩擦力的作用．冲量I＝Ft，是矢量．
重力的冲量IG＝Gt＝mgt＝5×10×2 N·s＝100 N·s，方向竖直向下．
支持力的冲量IFN＝FNt＝mg cos α·t＝5×10×0.8×2 N·s＝80 N·s，方向垂直于斜面斜向上．
摩擦力的冲量IFf＝Fft＝μmg cos α·t＝0.2×5×10×0.8×2 N·s＝16 N·s，方向沿斜面向上．
[答案]　见解析
(1)在求力的冲量时，首先明确是求哪个力的冲量，是恒力还是变力.
(2)注意不要忘记说明冲量的方向.
训练角度1　对冲量的理解
1．(多选)关于冲量，下列说法中正确的是(　　)
A．冲量的方向是由力的方向决定的
B．冲量的方向一定和动量的方向相同
C．冲量的大小一定和动量变化量的大小相同
D．物体所受合力的冲量等于物体动量的变化
ACD　[冲量是矢量，它的方向是由力的方向决定的，A正确；冲量的方向和动量的方向不一定相同，比如平抛运动，冲量方向竖直向下，动量方向是轨迹的切线方向，B错误；根据动量定理，物体所受合力的冲量等于物体动量的变化，冲量的大小一定和动量变化量的大小相同，C、D正确．]
训练角度2　冲量的计算
2．如图所示，质量为m的小滑块沿倾角为θ的斜面向上滑动，经过时间t1速度变为零，然后又下滑，经过时间t2回到斜面底端，滑块在运动过程中受到的摩擦力大小始终为F1.在整个过程中，重力对滑块的总冲量为(　　)
A．mg sin θ(t1＋t2)
B．mgsin θ(t1－t2)
C．mg(t1＋t2)
D．0
C　[根据冲量的定义式I＝Ft，重力对滑块的冲量应为重力乘作用时间，所以IG＝mg(t1＋t2)，故C正确．]
动量定理及其应用
把一篮子鸡蛋放在摩托车上运输，结果会怎么样呢？可能多数会被打碎．现在，如图，把鸡蛋放到海绵盒子中，即使是长途运输也不会破碎，你能解释这种现象吗？
提示：物体的动量变化量一定时，力的作用时间越短，力就越大，反之就越小，把鸡蛋放到海绵盒子中运输，是为了增大力的作用时间以减小鸡蛋受到的作用力．
1．动量定理的理解
(1)动量定理的表达式mv′－mv＝F·Δt是矢量式，等号包含了大小相等、方向相同两方面的含义．
(2)动量定理反映了合外力的冲量是动量变化的原因．
(3)公式中的F是物体所受的合外力，若合外力是变力，则F应是合外力在作用时间内的平均值．
2．动量定理的应用
(1)定性分析有关现象
①物体的动量变化量一定时，力的作用时间越短，力就越大；力的作用时间越长，力就越小．
②作用力一定时，力的作用时间越长，动量变化量越大；力的作用时间越短，动量变化量越小．
(2)定量计算有关物理量
动量定理p′－p＝I中，动量变化Δp与合力的冲量大小相等，方向相同，据此有：
①应用I＝Δp求变力的冲量．
②应用Δp＝FΔt求恒力作用下曲线运动中物体动量的变化．
③应用动量定理可以计算某一过程中的平均作用力，通常用于计算持续作用的变力的平均大小．
名师点睛：1.动量定理的使用具有普遍性，不论物体的轨迹是直线还是曲线，是恒力还是变力，是单个物体还是物体系，是宏观还是微观，都是适用的．
2．应用动量定理解题时要选好受力物体和研究过程，当物体所受各力的作用时间不相同且间断作用时，应用动量定理解题对全过程列式较为简单．在解题时要树立整体优先的意识．
【例2】　蹦床运动是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目．一个质量为60 kg的运动员，从离水平网面3.2 m高处自由下落，着网后沿竖直方向蹦回离水平网面5.0 m高处．已知运动员与网接触的时间为1.2 s，若把这段时间内网对运动员的作用力当作恒力处理，求此力的大小和方向．(g取10 m/s2)
[解析]　方法一：运动员刚接触网时速度的大小v1＝＝ m/s＝8 m/s，方向向下．
刚离网时速度的大小v2＝＝ m/s＝10 m/s，方向向上．
运动员与网接触的过程，设网对运动员的作用力为F，则运动员受到向上的弹力F和向下的重力mg，对运动员应用动量定理(以向上为正方向)，有：
(F－mg)Δt＝mv2－m(－v1)
F＝＋mg
解得F＝ N＝1 500 N，方向向上．
方法二：本题也可以对运动员下降、与网接触、上升的全过程应用动量定理：
自由下落的时间为
t1＝＝ s＝0.8 s
运动员离网后上升所用的时间为
t2＝＝ s＝1 s
整个过程中运动员始终受重力作用，仅在与网接触的t3＝1.2 s的时间内受到网对他向上的弹力FN的作用，对全过程应用动量定理(取向上为正方向)，有
FNt3－mg(t1＋t2＋t3)＝0
则FN＝mg＝×60×10 N＝1 500 N，方向向上．
[答案]　1 500 N　方向向上
　例2中，若运动员落到普通沙坑中，经Δt1＝0.1 s停下，其他条件不变，则沙坑对运动员的平均冲力约为多少？
【提示】　由(F－mg)Δt1＝0－(－mv1)
得F＝5 400 N.
用动量定理进行定量计算时的注意事项
(1)列方程前首先选取正方向；
(2)分析速度时一定要选取同一参考系，一般是选地面为参考系；
(3)公式中的冲量应是合外力的冲量，求动量的变化量时要严格按公式，且要注意动量的变化量是末动量减去初动量．
3．质量为m的物体静止在足够大的水平面上，物体与水平面的动摩擦因数为μ，有一水平恒力作用于物体上，并使之加速前进，经时间t1后去掉此恒力，求物体运动的总时间t总．
[解析]　方法一：物体的运动可分为两个阶段，第一阶段受两个力F、Ff的作用，时间为t1，物体由A运动到B速度达到v1；第二阶段物体只受Ff的作用，时间为t2，由B运动到C，速度由v1变为0.
设向右为正方向，根据动量定理得：
第一阶段：(F－Ff)t1＝mv1－0＝mv1
第二阶段：－Ff·t2＝0－mv1＝－mv1
两式相加：F·t1－Ff(t1＋t2)＝0
因为Ff＝μmg，代入上式，可求出t2＝
所以t总＝t1＋t2＝.
方法二：把两个阶段当成一个过程来看：F作用t1时间，μmg则作用了t总时间，动量变化Δp＝0.则
F·t1－μmgt总＝0，解得t总＝.
[答案]　
1．物理观念：冲量的概念．
2．科学思维：动量定理的推导，用动量定理解释缓冲、碰撞等有关现象．
3．科学方法：用F?t图像与t轴所围的面积求冲量.
1．(多选)恒力F作用在
质量为m的物体上，如图所示，由于地面对物体的摩擦力较大，物体没有被拉动，则经时间t，下列说法正确的是(　　)
A．拉力F对物体的冲量大小为零
B．拉力F对物体的冲量大小为Ft
C．拉力F对物体的冲量大小是Ftcos θ
D．合力对物体的冲量大小为零
BD　[对冲量的计算一定要分清求的是哪个力的冲量，是某一个力的冲量、是合力的冲量、是分力的冲量还是某一个方向上力的冲量，某一个力的冲量与另一个力的冲量无关，故拉力F的冲量为Ft，A、C错误，B正确；物体处于静止状态，合力为零，合力的冲量为零，D正确．]
2．同一人以相同的力量跳远时，跳在沙坑里比跳在水泥地上安全，这是由于(　　)
A．人跳在沙坑的动量比跳在水泥地上的小
B．人跳在沙坑的动量变化比跳在水泥地上的小
C．人跳在沙坑受到的冲量比跳在水泥地上的小
D．人跳在沙坑受到的冲力比跳在水泥地上的小
D　[落地前的速度是一定的，初动量是一定的，所以选项A错误；落地后静止，末动量一定，人的动量变化是一定的，选项B错误；由动量定理可知人受到的冲量等于人的动量变化，所以两种情况下人受到的冲量相等，选项C错误；落在沙坑里力作用的时间长，落在水泥地上力作用的时间短，根据动量定理，在动量变化一定的情况下，时间t越长，则受到的冲力F越小，故选项D正确．]
3．如图所示，将一杯水放在桌边，杯下压一张纸条．若缓慢拉动纸条(此过程中杯子相对纸条滑动)，发现杯子会滑落；当快速拉动纸条时，发现杯子并没有滑落．对于这个实验，下列说法正确的是(　　)
A．缓慢拉动纸条时，摩擦力对杯子的冲量较小
B．快速拉动纸条时，摩擦力对杯子的冲量较大
C．为使杯子不滑落，杯子与纸条间的动摩擦因数应尽量大一些
D．为使杯子不滑落，杯子与桌面间的动摩擦因数应尽量大一些
D　[在缓慢拉动和快速拉动纸条的过程中，杯子受到的摩擦力均为滑动摩擦力，大小相等，但快速拉动时，纸条与杯子作用时间短，此时摩擦力对杯子的冲量小，由I＝Δp可知，杯子增加的动量较小，因此杯子没有滑落，缓慢拉动时，摩擦力对杯子的冲量大，杯子增加的动量大，杯子会滑落，选项A、B错误；为使杯子不滑落，摩擦力对杯子的冲量应尽量小一些，杯子与纸条间的动摩擦因数应尽量小一些，选项C错误；杯子与桌面间的动摩擦因数较大时，杯子在桌面上做减速运动的加速度较大，则滑动的距离较小，杯子不容易滑落，选项D正确．]
4．人们常说“滴水穿石”，请你根据下面所提供的信息，估算水对石头的冲击力的大小．一瀑布落差为h＝20 m，水流量为Q＝0.10 m3/s，水的密度ρ＝1.0×103 kg/m3，水在最高点和落至石头上后的速度都认为是零．(落在石头上的水立即流走，在讨论石头对水的作用时可以不考虑水的重力，g取10 m/s2)
[解析]　设水滴下落与石头碰前速度为v，则有
mgh＝mv2
设时间Δt内有质量为Δm的水冲到石头上，石头对水的作用力大小为F，方向向上，由动量定理(取向上为正方向)得：
－FΔt＝0－Δmv
又因Δm＝ρQΔt
联立得：F＝2×103 N
由牛顿第三定律知，水对石头的作用力：F′＝F＝2×103 N，方向竖直向下．
[答案]　2×103 N
5．[思维拓展]
一质量为m、长为L的柔软绳自由悬垂，下端恰与一台秤的秤盘接触．某时刻放开柔软绳上端，如图所示，求台秤的最大读数．
[解析]　设t时刻落到秤盘上的绳长为x，此时绳速为v＝.在Δt(Δt→0)时间内，有质量为Δm＝ρΔx的绳落到秤盘上，其中ρ为绳的线密度(线密度是绳单位长度的质量)．取向上为正方向，忽略微元段绳本身的重力冲量，根据动量定理，有
FΔt＝0－(－Δm·v)
解得F＝2ρgx
故N＝F＋ρgx＝3ρgx
所以台秤的最大读数为3mg，出现在软绳将要全部掉到秤盘上时．
[答案]　3mg

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