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第22章 二次函数 单元综合测试
一．选择题
1．若y＝（m+1）是二次函数，则m的值为（　　）
A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．以上都不对
2．抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
3．下列各函数中，x逐渐增大y反而减小的函数是（　　）
A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝x2 D．y＝4x﹣1
4．已知二次函数y＝x2+（a+2）x+a（a为常数）的图象顶点为P（m，n），下列说法正确的是（　　）
A．点P可以在任意一个象限内
B．点P只能在第四象限
C．n可以等于﹣
D．n≤﹣1
5．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是直线 x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0）
D．当 x＜﹣3 时，y 随 x的增大而减小
6．已知抛物线y＝﹣x2+mx+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．若二次函数y＝ax2+bx﹣1的最小值为﹣2，则方程|ax2+bx﹣1|＝2的不相同实数根的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（　　）
A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m
9．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣2 B．0≤m≤ C．﹣2≤m≤﹣ D．m≤﹣
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③（a+c）2＞b2；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题
11．要得到函数y＝2（x﹣1）2+3的图象，可以将函数y＝2x2的图象向　 　平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度．
12．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝　 　．
13．二次函数y＝x2+2x﹣4的图象的对称轴是　 　，顶点坐标是　 　．
14．一段抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y＝x+2有唯一公共点，则c的取值范围为　 　．
15．已知函数y＝x2+bx+2b（b为常数）图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，则b的值为　 　．
16．如图，平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1），若抛物线y＝ax2+2x﹣1
（a≠0）与线段AB（包含A、B两点）有两个不同交点，则a的取值范围是　 　．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为　 　．
18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③，3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有　 　．（填序号）
三．解答题
19．已知二次函数的图象的顶点坐本标为（3，﹣2）且与y轴交与（0，）
（1）求函数的解析式，并画出它的图象；
（2）当x为何值时，y随x增大而增大．
20．在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）、B（﹣1，0），顶点为D．
（1）求抛物线L1的函数表达式及顶点D的坐标；
（2）将抛物线L1平移后的得到抛物线L2，点A的对应点为A′，点D的对应点为D′，且点A′、D′都在L2上，若四边形AA′D′D为正方形，则抛物线L1应该如何平移？请写出解答过程．
21．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．
（1）若抛物线顶点在x轴上，且过（0，﹣1），求抛物线的函数解析式；
（2）若抛物线不过第三象限，求的取值范围；
（3）若抛物线过点（﹣1，﹣1），当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．
22．已知，点P为二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣2m+1图象的顶点，直线y＝kx+2分别交x轴的负半轴和y轴于点A，点B．
（1）若二次函数图象经过点B，求二次函数的解析式；
（2）如图，若点A坐标为（﹣4，0），且点P在△AOB内部（不包含边界）．
①求m的取值范围；
②若点，都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．
23．攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如表所示的一次函数关系．
销售量y（千克） … 32.5 35 35.5 38 …
售价x（元/千克） … 27.5 25 24.5 22 …
（1）求芒果一天的销售量y与该天售价x之间的一次函数关系式，写出x的取值范围．
（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？
24．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为P，连接AC．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求D的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP＝3S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：∵y＝（m+1）是二次函数，
∴m+1≠0且m2﹣m＝2，
解得：m＝2，
故选：A．
2．解：∵抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3，
∴顶点坐标为：（2，﹣3）．
故选：A．
3．解：函数y＝x中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；
函数y＝﹣x中，y随x的增大而减小，故选项B符合题意；
函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C不符合题意；
函数y＝4x﹣1中，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选：B．
4．解：二次函数y＝x2+（a+2）x+a（a为常数）的图象顶点P（m，n），
∴，，
∵a2≥0，
∴a2+4≥4，
∴，
故选：D．
5．解：二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y 随 x的增大而增大，
故A、B、C正确，D不正确，
故选：D．
6．解：∵抛物线y＝﹣x2+mx+2m＝﹣（x﹣）2++2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝，开口向下，
∴≥1，
即m≥2，
∴+2m＞0，
∴该抛物线的顶点（，+2m）在第一象限，
故选：A．
7．解：由题意可知，二次函数y＝ax2+bx﹣1的图象开口向上，经过定点（0，﹣1），最小值为﹣2，
则二次函数 y＝ax2+bx﹣1 的大致图象如图1所示，
函数y＝|ax2+bx﹣1|的图象则是由二次函数y＝ax2+bx﹣1位于x轴上方的图象不变，
位于x轴下方的图象向上翻转得到的，如图2所示，
由图2可知，方程|ax2+bx﹣1|＝2 的不相同实数根的个数是3个，
故选：B．
8．解：由题意可得，
h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，
因为a＝﹣5＜0，
故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，
故选：C．
9．解：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，
∴m≤﹣；
∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；
∴﹣2≤m≤﹣．
故选：C．
10．解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故此选项错误；
②由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0；当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2，故此选项错误；
④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣＝1，
即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项正确．
故②④⑤正确．
故选：B．
11．解：抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝2（ x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3），
所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向是平移3个单位得到顶点（1，3），
即将将函数y＝2x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数y＝2（x﹣1）2+3的图象．
故答案为右．
12．解：∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，
故答案为：10．
13．解：∵y＝x2+2x﹣4＝（x+1）2﹣5，
∴该函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣5），
故答案为：直线x＝﹣1，（﹣1，﹣5）．
14．解：∵抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y＝x+2有唯一公共点，
∴①如图1，抛物线与直线相切，
联立解析式，
得x2﹣2x+2﹣c＝0，
△＝（﹣2）2﹣4（2﹣c）＝0，
解得：c＝1，
②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点，
此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5），
∴2＜c≤5，
综上，c的取值范围是2＜c≤5或c＝1，
故答案为2＜c≤5或c＝1．
15．解：y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，
对称轴x＝﹣，
当b≤0时，函数不经过第三象限，则2b≥0，
∴b＝0，
此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，
∴最大值与最小值之差为25；（舍去）
当b＞0时，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴b2﹣8b≤0，
∴0＜b≤8，
∴﹣4≤﹣＜0，
当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣+2b，
当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最大值1+3b，
当﹣2＜﹣≤0时，函数有最大值25﹣3b；
函数的最大值与最小值之差为16，
当最大值1+3b时，1+3b+﹣2b＝16，
∴b＝6或b＝﹣10，
∵4＜b≤8，
∴b＝6；
当最大值25﹣3b时，25﹣3b+﹣2b＝16，
∴b＝2或b＝18，
∵0＜b≤4，
∴b＝2；
综上所述b＝2或b＝6，
故答案为b＝2或b＝6．
16．解：①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，x＝﹣3时，y≤﹣3，
即a≤﹣2；
②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，x＝1时，y≥﹣1，
即a≥，
点A、B的坐标得，直线AB的解析式为y＝x﹣，
抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，
∴ax2+x+＝0，
△＝﹣2a＞0，
∴a＜，
∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2；
故答案为≤a＜或a≤﹣2．
17．解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），
∴AB＝4，
∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB＝2，
∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h＝＝c+1，
∴抛物线2＝﹣[c﹣（c+1）]2+k，
解得，k＝．
18．解：抛物线过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
因此可得，抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），a﹣b+c＝0，x＝﹣＝2，即4a+b＝0，因此①正确；
当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，因此②不正确；
当x＝5时，y＝25a+5b+c＝0，又b＝﹣4a，所以5a+c＝0，而a＜0，因此有3a+c＞0，故③正确；
在对称轴的左侧，即当x＜2时，y随x的增大而增大，因此④不正确；
当x＝2时，y最大＝4a+2b+c，当x＝m时，y＝am2+bm+c，因此有4a+2b≥am2+bm，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①③⑤，
故答案为：①③⑤．
19．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，
将（0，）代入y＝a（x﹣3）2﹣2得，
a＝，
函数解析式为y＝（x﹣3）2﹣2，
即函数的解析式为y＝x2﹣3x+；
画出函数图象如图：
．
（2）由图象可知，当x＞3时，y随x增大而增大．
20．解：（1）∵抛物线L1：y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）、B（﹣1，0），
∴，
解得，
∴抛物线L1的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标是（1，4）；
（2）作DM⊥x轴于M，D′N⊥DM于N，如图，
∵A（﹣1，0），D（1，4），
∴AM＝2，DM＝4，
在正方形AA′D′D中，AD＝DD′，∠ADD′＝90°，
∴∠ADM+∠D′DN＝90°，
在Rt△ADM中，∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠DAM＝∠D′DN，
∵∠AMD＝∠D′ND＝90°，
∴△ADM≌△DD′N（AAS），
∴DN＝AM＝2，D′N＝DM＝4，
∴MN＝DM﹣DN＝4﹣2＝2，
∴点D′的坐标是（5，2），
∴点D到D′是先向右移动4个单位，再向下移动2个单位得到的，
∴抛物线L1先向右移动4个单位，再向下移动2个单位得到抛物线L2；
同理，当抛物线L1向左平移4个单位，再向上平移2个单位时得到抛物线L2也符合题意，
综上，当抛物线L1先向右移动4个单位，再向下移动2个单位得到抛物线L2或当抛物线L1向左平移4个单位，再向上平移2个单位时得到抛物线L2其对应点构成的四边形AA′D′D为正方形．
21．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵抛物线顶点在x轴上，且过（0，﹣1），
∴＝0，c＝﹣1
∴＝0，
∴﹣1﹣a＝0，解得a＝﹣1，
∴b＝﹣2，
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣1；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线不过第三象限，
∴抛物线开口向上，不交于y轴的负半轴，﹣＝﹣1，
∴a＞0，c＞0，≥0，b＝2a，
∴c≥a，
∴≥1；
（3）∵对称轴为直线x＝﹣1，抛物线过点（﹣1，﹣1），
∴该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：y＝a（x+1）2﹣1，
∵当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，而顶点到x轴的距离为1，
∴x＝1时，该点的y坐标为4或﹣4，即该点坐标为（1，4）或（1，﹣4），
将点（1，4）或（1，﹣4），代入函数表达式得：4＝a（1+1）2﹣1或﹣4＝a（1+1）2﹣1，
解得：a＝或﹣．
22．解 （1）∵直线y＝kx+2分别交x轴的负半轴和y轴于点A，点B，
∴当x＝0时，y＝2，即B（0，2），
将B（0，2）代入二次函数得：﹣m2﹣2m+1＝2，
解得：m1＝m2＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+3；
（2）①将A（﹣4，0）代入y＝kx+2得：﹣4k+2＝0，
∴．
∴一次函数的解析式为，
∵顶点P（m，﹣2m+1），点P在△AOB内部，
∴，
解得：；
②∵二次函数开口朝下，对称轴为x＝m，，
又∵点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，
点C和点D的横坐标中点为，
∴点C离对称轴比点D离对称轴远，开口朝下的抛物线上的点离对称轴越远的点对应的函数值越小，
∴y1＜y2．
23．解：（1）设一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据代入得：
，
解得：．
∴y＝﹣x+60（15≤x≤40）．
（2）由题知m＝y（x﹣10）
＝（﹣x+60）（x﹣10）
＝﹣x2+70x﹣600，
∴当m＝400时，﹣x2+70x﹣600＝400，
整理得：x2﹣70x+1000＝0，
解得：x1＝20，x2＝50．
∵15≤x≤40，
∴x＝20．
∴这天芒果的售价为20元．
24．解：（1）设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴y＝a（x+1）（x﹣3），
又∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），
∴a（0+1）（0﹣3）＝﹣3，
∴a＝1，
∴y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵点A（﹣1，0），点C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，
∵DC⊥AC，
∴∠DCO+∠OCA＝90°，
∵OC⊥x轴，
∴∠COA＝∠COQ＝90°，∠OAC+∠OCA＝90°，
∴∠DCO＝∠OAC，
∴△QOC∽△COA，
∴，即＝，
∴OQ＝9，
又∵点Q在x轴的正半轴上，
∴Q（9，0），
设直线QC的解析式为：y＝mx+n，则，解得，
∴直线QC的解析式为：y＝x﹣3，
∵点D是抛物线与直线QC的交点，
∴，解得，
∴点D（，﹣）；
（3）存在，理由：
如图，点M为直线x＝1上一点，连接AM，PC，PA，
设点M（1，y），直线x＝1与x轴交于点E，
∴E（1，0），
∵A（﹣1，0），
∴AE＝2，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P，对称轴为x＝1，
∴P（1，﹣4），
∴PE＝4，
则PM＝|y+4|，
∵S四边形AEPC＝S四边形OEPC+S△AOC＝×1×（3+4）+×1×3＝5，
又∵S四边形AEPC＝S△AEP+S△ACP，
S△AEP＝AE×PE＝×2×4＝4，
∴S△ACP＝5﹣4＝1，
∵S△MAP＝3S△ACP，
∴12×2×|y+4|＝2×1，
∴|y+4|＝2，
∴y1＝﹣1，y2＝﹣7，
故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP＝3S△ACP，点M的坐标为（1，﹣1）或（1，﹣7）．

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