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指数和指数函数问题的类型与解法
指数是在初中整数指数的基础上，引入分数指数和无理数指数的概念之后，将指数扩充为实数指数。指数函数是在初中一元一次函数，正比例函数，反比例函数，一元二次函数的基础上接触的第一种函数。归结起来指数和指数函数问题主要包括：①指数的运算；②指数函数概念的理解与运用；③指数函数图像的理解与运用；④指数函数性质的理解与运用；⑤指数函数的综合问题；⑥指数方程和不等式的解法等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答指数和指数函数问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、化简的结果为（
）
A
5
B
C
-
D
-5
【解析】
【知识点】①n次根式的定义与性质；②分数指数的定义与性质；③指数运算法则与方法。
【解题思路】运用分数指数的性质把n次根式化为分数指数，利用指数运算法则和基本方法通过运算化简原式就可得出选项。
【详细解答】=25=，====，
B正确，
选B。
2、若有意义，则x的取值范围是（
）
A
x
R
B
x
0.5
C
x＞0.5
D
x＜0.5
【解析】
【知识点】①n次根式的定义与性质；②分数指数的定义与性质。
【解题思路】运用分数指数的性质把分数指数化为n次根式，利用n次根式的性质得到关于x的不等式，求解不等式求出x的取值范围就可得出选项。
【详细解答】=，有意义，必有>0，1-2x>0，
x<0.5，
D正确，
选D。
3、下列根式与分数指数幂的互化正确的是（
）
A
-=
B
=
-
C
=
D
=（x＜0）
【解析】
【知识点】①n次根式的定义与性质；②分数指数的定义与性质；③n次根式与分数指数互化的基本方法。
【解题思路】运用分数指数与n次根式互化的基本方法，将各选项的n次根式化为分数指数，通过判断就可得出选项。
【详细解答】对A，
-=-，A错误；对B，
=-
-，B错误；对C，
==，C正确；选C。
4、已知a＞0,且a≠1，对于0
r
8，r∈，式子.能化成关于a的整数指数幂的情形有（
）种
A
1
B
2
C
3
D
4
【解析】
【知识点】①n次根式的定义与性质；②分数指数的定义与性质；③整数整数的定义与性质；④n次根式与分数指数互化的基本方法；⑤指数运算的法则与基本方法。
【解题思路】运用分数指数的性质把n次根式化为分数指数，利用指数运法则与基本方法通过运算得到分数指数幂，结合问题条件确定指数幂为整数指数幂时r的取值，从而得到整数幂的个数就可得出选项。
【详细解答】=，==，.=.=
=，0
r
8，r∈，当且仅当r=0或r=4或r=8，=4或=1或=-2时，是关于a的整数幂，C正确；选C。
5、计算（2）（-3b）（4）得（
）
A
-
B
C
-
D
【解析】
【知识点】①分数指数的定义与性质；②指数运算的法则与基本方法。
【解题思路】运用分数指数的性质和指数运算的法则与基本方法通过运算就可得出选项。
【详细解答】（2）（-3b）（4）=2（-3）
=-，A正确；选A。
6、下列等式中，错误的是（
）
A
0.3=10
B
（-）（+）=-
C
=-1
D
=
【解析】
【知识点】①分数指数的定义与性质；②指数运算的法则与基本方法。
【解题思路】运用分数指数的性质和指数运算的法则与基本方法通过运算对各选项进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，
0.3=a=3=10，A正确；对B，
（-）（+）=（+）（-）=-，B正确；对C，==
=||=|-|=1-1，C错误；选C。
7、设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是（
）
A
a＜b＜c
B
b＜a＜c
C
c＜b＜a
D
b＜c＜a
【解析】
【知识点】①实数指数的定义与性质；②实数指数运算的法则与基本方法；③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】运用实数指数的性质和实数指数运算的法则与基本方法通过运算分别求出a，b，c的值，利用实数大小比较的基本方法进行比较就可得出选项。
【详细解答】1<
a==<2，0c=，
b＜a＜c
，B正确；选B。
8、计算2=
；
【解析】
【知识点】①n次根式的定义与性质；②分数指数的定义与性质；③n次根式与分数指数互化的基本方法；④指数运算的法则与基本方法。
【解题思路】运用n次根式与分数指数互化的基本方法把n次根式化为分数指数，利用指数运算的法则与基本方法通过运算就可求出结果。
【详细解答】2=2，=，=，2
=2==23=6。
11、已知=3，则a+=
，=
；
【解析】
【知识点】①分数指数的定义与性质；②指数运算的法则与基本方法。
【解题思路】运用数指数的性质和指数运算的法则与基本方法通过运算就可求出a+，的值。
【详细解答】=3，
a+2+=9，
a+=9-2=7，+2=49，
=49-2=47。
9、计算下列各式（式中的字母都是正数）
（1）；
（2）；
（3）.；
（4）；
（5）；
（6）。
【解析】
【知识点】①分数指数的定义与性质；②n次根式的定义与性质；③n次根式与分数指数互化的基本方法；④指数运算的法则与基本方法。
【解题思路】运用n次根式与分数指数互化的基本方法把n次根式化为分数指数，利用指数运算的法则与基本方法通过运算就可求出各式的结果。
【详细解答】（1）
=
，=，=，=（-）=-=-5；（2）=，=，==
=；（3）===，===，.=
.=.==；（4）=4（-）=-6a；
（5）=-23（-4）=24y；（6）=-=-=4x-9。
10、化简下列各式：
（1）；
（2）
（3）。
【解析】
【知识点】①分数指数的定义与性质；②n次根式的定义与性质；③n次根式与分数指数互化的基本方法；④指数运算的法则与基本方法。
【解题思路】运用n次根式与分数指数互化的基本方法把n次根式化为分数指数，利用指数运算的法则与基本方法通过运算就可求出各式的结果。
【详细解答】（1）===
，===，
=+=；（2）
=，=，=
=；（3）==，
==，=，=，
-=-=-=-=
=。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与实数指数幂相关的问题，解答时应该理解实数指数幂的定义，掌握实数指数幂的运算法则和基本方法，注意分数指数幂与n次根式之间的关系；
（2）在根式的运算与化简问题中，解答的基本思路是：①把根式化为分数指数幂；②运用实数指数的运算法则和基本方法进行运算；③将运算结果进行化简。
〔练习2〕解答下列各题：
1、若=2，=3，则=
；
2、若a＞1，b＜0，且+
=2，则-
的值等于
；
3、已知函数f(x)=
+（a＞0,且a≠1），f(1)=3，则f(0)+f(1)+f(2)的值为
；
4、若x＞0，则（2+）（2-）-4（x-）=
；
5、计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）（a＞0,b＞0）；
（6）.；
（7）++-。
6、化简下列各式：
（1）-+-2x+；
（2）。
7、若=3，求的值。
8、已知-=，求下列各式的值：
（1）a+；
（2）；
（3）-。
【典例2】解答下列问题：
1、下列函数：①y=2；②y=；③y=；④y=；⑤y=。其中指数函数的个数是（
）
A
1
B
2
C
3
D
4
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②判断一个函数是否是指数函数的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的定义和判断一个是否是指数函数的基本方法对各函数进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①，
y=2与指数函数的定义不符，①不是指数函数；对②，
y==3与指数函数的定义不符，②不是指数函数；对③，
y=符合指数函数的定义，③是指数函数；对④，函数y=中，底数x是自变量，指数3是常数，不符合指数函数的定义，④是指数函数；对⑤，函数y=中，底数-4<0，不符合指数函数的定义，⑤是指数函数，在已知的5个函数，只有一个函数是指数函数，
A正确，
选A。
2、若指数函数f(x)的图像经过点（2，4），则f(3)=
；
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②求函数解析式的基本方法；③求函数值的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的定义和求函数解析式的基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的解析式，利用求函数值的基本方法通过运算就可求出f(3)的值。
【详细解答】对①，设指数函数f(x)=
(a＞0,且a≠1)，函数f(x)的图像经过点（2，4），
4=，a=2，函数f(x)=
，
f(3)=
=8。
3、若函数y=
是指数函数，则实数a的取值范围为
；
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②判断一个函数是否是指数函数的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的定义和判断一个是否是指数函数的基本方法得到关于a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】函数y=
是指数函数，4-3a>0①，且4-3a≠1②，联立①②解得：
0是指数函数时，实数a的取值范围是（0，1）（1，）。
4、求下列函数的定义域与值域：
（1）f(x)=
；
（2）f(x)=
；
（3）f(x)=
+
+1；
（4）f(x)=
(a＞0,且a≠1)。
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②求函数定义域的基本方法；③求函数值的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的性质和求函数定义域，值域的基本方法，结合问题条件就可求出各函数的定义域与值域。
【详细解答】（1）
函数f(x)=
，必有x-4≠0，x≠4，即函数f(x)=
的定义域为（-，4）（4，+）；当x（-，4）（4，+）时，（-，0）（0，+），函数f(x)=
的值域为（0，1）（1，+）；（2）对任意的xR，函数f(x)=
都有意义，函数f(x)=
的定义域为R；对任意的xR，-|x|（-，0]，函数f(x)=
的值域为[1，+）；（3）对任意的xR，函数f(x)=
+
+1都有意义，函数f(x)=
+
+1的定义域为R，
f(x)=
+
+1=
，对任意的xR，>1，函数f(x)=
+
+1的值域为（1，+）；
（4）对任意的xR，函数f(x)=
都有意义，函数f(x)=
的定义域为R；
f(x)=
=1-，对任意的xR，-2<-<0，-1=1-2<1-<1+0=1，函数f(x)=
的值域为（-1，1）。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与指数函数的定义相关的问题，解答这类问题需要理解指数函数的定义，注意指数函数结构特征；
（2）指数函数的结构特征是：①解析式是y=；②底数a是常数，满足a＞0,且a≠1；③指数是自变量x。
〔练习3〕解答下列各题：
1、若函数f(x)=
(a＞0,且a≠1)的图像经过点P（2，），则f(-1)等于（
）
A
B
C
D
4
2、已知指数函数f(x)=
(a＞0,且a≠1)的图像经过点（3，），求f(0)，f(1)，f(-3)的值；
3、若函数y=
是指数函数，则实数a的取值范围为
；
4、求下列函数的定义域与值域：
（1）f(x)=
；
（2）f(x)=
；
（3）f(x)=
-+1；
（4）f(x)=
(a＞0,且a≠1)。
【典例3】解答下列问题：
B
1、如右图是指数函数①y=，②y=，③y=，
(1)
A
(2)
(3)
C(4)
④y=的图像，则a、b、c、d的大小关系是（
）
D
A
a＜b＜1＜c＜d
B
b＜a＜1＜d＜c
C
1＜a＜b＜c＜d
D
a＜b＜1＜d＜c
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数的图像与基本作法；③已知两个指数函数的底数在同一取值范围和梯形比较两个指数函数底数大小的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的性质和指数函数的图像，结合已知两个指数函数的底数在同一取值范围和梯形比较两个指数函数底数大小的基本方法确定出a、b、c、d的大小关系就可得出选项。
【详细解答】由图知0b，01，d>1，如图作x=1的直线与指数函数③y=，④y=分别交于点C，D，点D在点C的下方，1B正确，
选B。
2、函数y=-a
(a＞0,且a≠1)的图像可能是（
）
y
y
y
y
1
1
1
1
0
1
x
0
1
x
0
1
x
0
1
x
A
B
C
D
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数的图像与基本作法；③已知指数函数解析式，确定指数函数图像的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的性质和指数函数的解析式，根据底数的不同取值，取自变量的特殊值，结合已知函数图像通过判断就可得出选项。
【详细解答】①当0②当a>1时，取x=0，y=-a=1-a<0，A不正确，排除A；取x=1，y=-a=a-a
=0，B正确，选B。
3、若函数y=+（b-1）(a＞0,且a≠1)的图像不经过第二象限，则有（
）
A
a＞1,且b＜1
B
0＜a＜1且b1
C
0＜a＜1且b＞0
D
a＞1且b0
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数的图像与基本作法；③已知指数函数解析式，确定指数函数图像的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的性质和指数函数的解析式，根据底数的不同取值，取自变量的特殊值，结合问题条件通过判断就可得出选项。
【详细解答】函数y=+（b-1）(a＞0,且a≠1)的图像不经过第二象限，a>1①，当
x=0时，
y=+（b-1）=1+b-1=b0②，联立①②解得：
a>1且b0，D正确，选D。
4、函数f(x)=
的图像如图所示，其中a，b为
y
常数，则下列结论正确的是（
）
1
A
a＞1，b＜0
B
a＞1，b＞0
C
0＜a＜1，b＞0
D
0＜a＜1，
b＜0
0
x
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数的图像与基本作法；③已知指数函数解析式，确定指数函数图像的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的性质和指数函数的解析式，根据底数的不同取值，取自变量的特殊值，结合问题条件通过判断就可得出选项。
【详细解答】由函数f(x)=
的图像可知，0=
<1，
-b>0，b<0，
D正确，选D。
5、设f(x)=|-1|，c＜b＜a,且f(c)＞f(a)＞f(b),则下列关系中一定成立的是（
）
A
＞
B
＞
C
+
＞2
D
+
＜2
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数的图像与基本作法；③已知指数函数解析式，确定指数函数图像的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的性质和指数函数的解析式，根据底数的不同取值，取自变量的特殊值，结合问题条件通过判断就可得出选项。
【详细解答】
f(x)=|-1|=-1，x0，
y
1-，x<0，
1
作出函数f(x)的图像如图所示，c＜b＜a,且
0
x
f(c)＞f(a)＞f(b),
由图可知c<0，a>0，
f(c)=1-，f(a)=
-1，
f(c)＞f(a)，
1->-1，+<2，D正确，选D。
『思考问题3』
（1）【典例3】是与指数函数的图像相关的问题，解答这类问题需要掌握指数函数的图像，注意指数函数底数对图像的影响；
（2）比较两个指数幂大小时，应尽量化为同底数（或同指数），①底数相同，可运用指数函数的单调性解答问题；②指数相同，可转化为底数相同（或借助函数图像）解答问题；③底数不同，指数也不同，解答问题时需要借助一个中间量；
（3）指数函数的底数a＞0,且a≠1是一个隐含条件，指数函数的单调性与底数相关，实际解答问题时，应该根据问题的条件确定底数的取值范围（不能确定时，应分两种不同情况分别考虑），然后依据指数函数的图像和性质得到问题的结果；
（4）已知函数的解析式判断其图像的基本方法是：①取函数的特殊点（一般是三个关键点中的某一点）；②看函数的图像是否经过所取的点；③得出结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知实数a，b满足等式=，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b。其中不可能成立的关系式有（
）
A
1个
B
2个
C
3个
D
4个
2、已知函数f(x)=
|
-1|，a＜b＜c且f(a)
＞f(c)
＞f(b)，则下列结论中一定成立的是（
）
A
a＜0，b＜0，c＜0
B
a＜0，b
0，c＞0
C
＜
D
+＜2
3、若曲线|y|=+1与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是
；
4、已知函数f(x)=
+2的图像恒过定点A，则A的坐标为（
）
A
（0，1）
B
（2，3）
C
（3，2）
D
（2，2）
5、当x＞0时，函数f(x)=
的值总大于1，则实数a的取值范围是（
）
A
1＜|a|＜2
B
|a|＜1
C
|a|＞
D
|a|＜
【典例4】解答下列问题：
1、函数y=在［0，1］上的最大值与最小值的和为3，则函数y=2ax-1在［0，1］上的最大值是（
）
A
6
B
1
C
3
D
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数的图像与基本作法；③指数函数性质运用的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的性质，根据底数的不同取值分别确定函数y=在［0，1］上的最大值与最小值，结合问题条件求出a的值，从而得到函数y=2ax-1在［0，1］上的最大值就可得出选项。
【详细解答】①当0=a，1+a=3，a=2>1，此时无解；②当a>1时，函数y=在［0，1］上单调递增，=a，
=1，1+a=3，a=2，函数y=2ax-1=4x-1在［0，1］上单调递增，=41
-1=4-1=3，C正确，选C。
2、若0＜x＜1，则，，之间的大小关系是（
）
A＜＜
B＜＜
C＜＜
D＜＜
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的性质，结合问题条件得出，，之间的大小关系就可得出选项。
【详细解答】0＜x＜1，>1，<<1，<<1，当x=1时，=，
=0.2=，>，当0＜x＜1时，＜＜，D正确，选D。
3、函数f(x)=
-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3，则f()与f()的大小关系是（
）
A
f()≤f()
B
f()≥f()
C
f()＞f()
D大小关系随x的不同而不同
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②一元二次函数的图像与性质；③指数函数性质运用的基本方法。
【解题思路】运用指数函数和一元二次函数的性质，结合问题条件求出b，c的值，利用指数函数性质运用的基本方法得出f()与f()的大小关系就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=
-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3，函数f(x)=
-bx+c的图像关于直线x==1对称，f(0)=0+0+c=3，b=2，c=3，
f()=f()=-2+
3，f()=f()=-2+3，f()-f()=-2+3-[-2+3]=（+）（-）-2（-）=（-）（+-2）≤0，
f()≤f()，A正确，选A。
4、如果＞(a＞0,且a≠1)，则x的取值范围是
；
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的性质，根据底数的不同取值分别得到关于x的不等式，求解不等式就可求出x的取值范围。
【详细解答】①当01；②当a>1时，＞，-5x>2x-7，x<1，综上所述，当0），当a>1时，若＞，x的取值范围是（-
，1）。
5、比较下列各题中两个值的大小：
（1）；
（2）；
（3）；
（4），。
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的性质，结合问题条件就可得出各题中两个值的大小关系。
【详细解答】（1）1.7>1，2.5<3，<；（2）0<0.8<1，-0.1>-0.2，<；（3）>1，0<<1，>；（4）=，>1，
=>1，>。
6、函数y=-+1在区间［-3，2］上的值域是
；
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②换元法的定义与运用；③一元二次函数的图像与性质；④指数函数性质运用的基本方法。
【解题思路】运用换元法把原函数化为一元二次函数，根据一元二次函数的图像与性质就可求出函数y=-+1在区间［-3，2］上的值域。
【详细解答】设t=，x［-3，2］，
t［，8］，函数y=-t+1在［，］上单调递减，在［，8］上单调递增，=64-8+1=57，=-+1=，函数y=-+1在区间［-3，2］上的值域是［，57］。
7、求函数f(x)=
的定义域，单调区间及值域。
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③一元二次函数的图像与性质；④判断复合函数单调性的基本方法；⑤指数函数性质运用的基本方法。
【解题思路】设g(x)=
-5x+4，h(x)
=，作出函数g(x)=
-5x+4的图像，求出函数f(x)的定义域，运用判断函数单调性的基本方法分别判断函数g(x)，h(x)
=在定义域上的单调性，从而求出函数f(x)的单调区间和值域。
y
【详细解答】设g(x)=
-5x+4，h(x)
，作出函数
g(x)=
-5x+4的图像如图所示，由图知函数f(x)的
0
1
2
3
4
x
定义域为（-
，1]
[4，+
），函数g(x)在（-
，1]上单调递减，在[4，+
）上单调递增，函数h(x)
=在（-
，1]
，[4，+
）上单调递增，函数h(x)在（-
，1]上单调递减，在[4，+
）上单调递增，3>1，函数f(x)
=
在（-
，1]
，[4，+
）上单调递增，函数f(x)在（-
，1]上单调递减，在[4，+
）上单调递增，
f(1)=
=
=1，f(4)=
=
=1，函数f(x)的值域为[1，+
）。
8、已知≤，求函数y=的值域；
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法；③判断函数单调性的基本方法；④求函数值域的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的性质，结合问题条件得到关于x的不等式，求解不等式得出函数y=的定义域，根据判断函数单调性的基本方法判断函数y=在定义域上的单调性，利用求函数值域的基本方法就可求出函数函数y=的值域。
【详细解答】==，≤，+x≤-2x+4，-4≤x≤1，
函数y=在[-4，1]上单调递增，=2-=，=-=-16=-，
当≤时，函数y=的值域为[-，]。
9、判断函数f(x)=
+
的奇偶性；
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的性质，结合问题条件求出函数f(x)的定义域，利用判断函数奇偶性的基本方法就可判断函数f(x)=
+
的奇偶性。
【详细解答】函数f(x)=
+
的定义域为（-
，0）
（0，+
）关于原点对称，f(-x)=
-=-====+
=
f(x)，函数f(x)=
+
是偶函数。
10、已知函数f(x)=b+
（a，b是常数且a＞0,a≠1）在区间［-，0］上有=3，=，试求a，b的值。
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法；③判断复合函数单调性的基本方法；④在给定区间上求函数最值的基本方法。
【解题思路】设g(x)=
+2x，运用指数函数的性质和判定复合函数单调性的基本方法，根据底数的不同取值，判断函数f(x)=b+
在区间［-，0］上的单调性，从而求出函数在区间［-，0］的最值，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出条件求出a，b的值。
【详细解答】①当0+2x，作出函数
y
g(x)的图像如图所示，由图知函数g(x)在［-，-1）
上单调递减，在（-1，0］上单调递增，函数f(g(x))在
-2
-1
0
x
［-，0］上的单调递减，函数f(x)在［-，-1）上单调递增，在（-1，0］上单调递减，
=
f(-1)=b+
=b
+=3③，==
f(0)=b+
=b+1=④，联立③④解得：a=，b=；②当a>1时，函数f(g(x))在［-，0］上的单调递增，函数f(x)在［-，-1）上单调递减，在（-1，0］上单调递增，=
f(0)
=b+
=b+1=3⑤，=
f(-1)=b+
=b
+=⑥，联立⑤⑥解得：a=2，b=2，综上所述，当01时，a=2，b=2。
11、已知定义域为R的函数f(x)=
是奇函数。
（1）求a，b的值；
（2）若对任意t
R，不等式f(-2t)+f(2-k)＜0恒成立，求k的取值范围。
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法；③奇函数的定义与性质；④判断函数单调性的基本方法；⑤求不等式恒成立时，参数求证范围的基本方法。
【解题思路】（1）运用奇函数的性质，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出a，b的值；（2）根据判断函数单调性的基本方法判断函数f(x)的单调性，结合奇函数的性质得到含参数k关于x的不等式，利用求不等式恒成立时，参数求证范围的基本方法就可求出实数k的取值范围。
【详细解答】（1）定义域为R的函数f(x)=
是奇函数，
f(0)=
=0①，
f(-x)=
=-
f(x)=
-，2b-a=0且ab-2=0②，联立①②解得：a=2，b=1；
（2）由（1）知f(x)=
=
=-+，函数f(x)是R上的减函数，函数f(x)是R上的奇函数，不等式f(-2t)+f(2-k)＜0恒成立
f(-2t)＜f(k-2)恒成立，-2t>(k-2即3-2t>k恒成立，设g(t)=
3-2t，
g(t)
[-
，+
），
k<-，若对任意t
R，不等式f(-2t)+f(2-k)＜0恒成立，则k的取值范围为（-，-）。
『思考问题4』
（1）【典例4】是与指数函数的性质相关的问题，解答这类问题需要理解并掌握指数函数的性质，注意指数函数底数对性质的影响；
（2）指数函数性质的运用问题主要包括：①指数函数单调性的运用；②复合函数的单调性问题；③求函数的值域或最值；
（3）运用指数函数的性质解答问题的基本方法是：①根据问题条件确定底数的取值范围（如果条件不明确，则应该分两种情况分别考虑）；②作出指数函数的大致图像；③分辨问题与指数函数的哪些性质相关；④借助函数的图像，结合指数函数的相关性质解答问题；
（4）与指数函数相关的复合函数单调性问题，对函数y=的单调性，单调区间都与底数相关，解答问题的基本方法是：①根据问题条件确定底数的取值范围（如果条件不明确，则应该分两种情况分别考虑）；②判断内层函数和外层函数的单调性；③运用复合函数单调性的判断法则得出结果。
〔练习5〕解答下列各题：
1、若不等式-
-a
0在［1，2］恒成立，则a的取值范围是（
）
A
［1，8）
B
（-，1］
C
（-，0］
D
［8，+）
2、下列各式比较大小正确的是（
）
A
＞
B
＞
C
＞
D
＜
3、已知函数f(x)=
-，ax＜0，的值域是［-8，1］，则实数a的取值范围是（
）
A
（-，-3］
-+2x，0x4，B
［-3，0）
C
［-3，-1］
D
{-3}
4、已知函数f(x)=
（m为常数），若f(x)在区间［2，+）是增函数，则m的取值范围是
；
，x0，
5、设函数f(x)=
-7，x＜0，若f(a)
＜1，则实数a的取值范围是
；
6、函数f(x)=
的单调递减区间为
；
7、如果函数y=+2-1（a＞0,且a≠1），在〔-1,1〕上的最大值为14，则a的值为
；
8、若函数f(x)=
（a
R），满足f(1+x)=f(1-x)，且f(x)在［m，+）上单调递增，则实数m的最小值等于
；10、若直线y=2a与函数f(x)=|
-1|（a＞0且a≠1）的图像有两个公共点，则a的取值范围是
。
9、比较下列各题中两个值的大小：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
10、已知a＞0,且a≠1，讨论f(x)=
的单调性。
【典例5】解答下列问题：
1、若函数f(x)=
的定义域为R，则a的取值范围为
；
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法；③求函数定义域的基本方法；④不等式恒成立求不等式中参数求证范围的基本方法。
【解题思路】运用求函数定义域的基本方法，结合问题条件得到含参数a关于x的不等式在R上恒成立，利用指数函数的性质和不等式恒成立求不等式中参数求证范围的基本方法就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】函数f(x)=
的定义域为R，不等式0在R上恒成立，0在R上恒成立，4+4a0，-1a0，若函数f(x)=
的定义域为R，则a的取值范围为[-1，0]。
2、要使函数y=1++a在x∈(-∞,1〕上，y＞0恒成立，求实数a的取值范围；
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法；③不等式恒成立求不等式中参数求证范围的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的性质，结合问题条件得到参数a与关于x的函数的不等式，利不等式恒成立求不等式中参数求证范围的基本方法就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】函数y=1++a在x∈(-∞,1〕上，y＞0恒成立，1++a>0在x∈(-∞,1〕上恒成立，a>--在x∈(-∞,1〕上恒成立，设g(x)=
--，函数g(x)
在x∈(-∞,1〕上单调递增，=
g(1)=-
-
=-
，a>-
，要使函数y=1++a在x∈(-∞,1〕上，y＞0恒成立，实数a的取值范围为（-，+∞）。
3、设函数f(x)=a-
(a∈R)
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法；③判断函数单调性的基本方法；④奇函数的定义与性质。
【解题思路】（1）运用指数函数的性质和判断函数单调性的基本方法就可得到函数f(x)的单调性；（2）设存在实数a使函数f(x)为奇函数，利用奇函数的性质得到关于a的方程，求解方程就可得出结果。
【详细解答】（1）任取，∈R
，且<，f()-f()=a-
-
a+
=
=
<0，函数f(x)=a-在R上单调递增；
（2）设存在实数a使函数f(x)为奇函数，函数f(x)的定义域为R，
f(0)=a-
=
a-1=0，
a=1，存在实数a=1，使函数f(x)为奇函数。
4、已知函数f(x)=|
-1|。
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）比较f(x+1)与f(x)的大小；
（3）试确定函数g(x)=f(x)-
零点的个数。
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法；③绝对值的意义与性质；④分段函数的定义与性质；⑤比较实数大小的基本方法；⑥确定函数零点的基本方法。
【解题思路】（1）运用指数函数和绝对值的性质，把函数f(x)化为分段函数，根据分段函数单调性判断的基本方法就可求出函数f(x)的单调区间；（2）根据分段函数的性质，利用比较实数大小的基本方法就可比较比较f(x+1)与f(x)的大小；（3）利用确定函数零点的基本方法就可求出函数g(x)=f(x)-
零点的个数。
【详细解答】（1）
f(x)=
-1，x0，函数f(x)在[0，+∞）上单调递增，在(-∞,0）
1-，x<0，上单调递减；（2）①当x0时，1+x>x0，
f(x+1)>f(x)；②当x<0且x+10即-1x<0时，
f(x+1)=
2
-1，f(x)=1-，f(x+1)-f(x)
=2
-1-1+=3-2，若3-2>0，若x=，f(x+1)-f(x)=
3-2=0，若-1x<，f(x+1)-f(x)=
3-2<0，综上所述，f(x)，x=时，f(x+1)=f(x)，
y
-1x<时，f(x+1)2
即x<-1时，x<1+x<0，
f(x+1)1
所述，当x<时，f(x+1)0
1
2
3
4
5
x
时，f(x+1)=f(x)；当x>时，f(x+1)>f(x)；（3）
g(x)=f(x)-
=0，
f(x)=，
设h(x)=
，在同一直角坐标系中作出函数h(x)，f(x)的图像如图所示，由图知函数h(x)，与f(x)的图像有4个交点，函数g(x)=f(x)-
有4个零点。
『思考问题5』
（1）【典例5】是指数函数图像与性质的综合应用问题，解答这类问题需要熟悉指数函数的图像，性质，注意指数函数底数对图像，性质的影响；
（2）求解与指数函数相关的指数型函数的定义域，值域（或最值），单调性，奇偶性问题的基本方法是：①把问题化归于指数函数；②运用指数函数的性质并借助于指数函数的图像来解答问题。
〔练习5〕解答下列各题：
1、若曲线|y|=+1与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是
（2016衡水模拟）
2、已知函数f(x)=b+
(a，b
为常数，且a＞0,a≠1)在区间［-,0］上有最大值3，最小值，则a，b的值分别为
。
【典例6】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=
，求解方程f(x)=4；
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的性质，结合问题条件得到关于指数函数的等式，利用指数函数的性质就可求出方程的解。
【详细解答】函数f(x)=
，方程f(x)=4，=4，=0，=0，=3，x=1是方程f(x)=4的解。
2、解方程+
-2=0；
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法；③换元法及运用。
【解题思路】运用换元法，结合问题条件得到关于t的一元二次方程，求解方程求出t的值，利用指数函数的性质就可求出方程的解。
【详细解答】设t=，t（0，+），方程+
-2=0，+t-2=0，t=-2或t=1，
t>0，
t=1，=1，x=0是方程+
-2=0的解。
3、若0＜a＜1，解关于x的不等式＜；
【解析】
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的性质，结合问题把原指数函数的不等式转化为关于x的不等式，求解不等式就可求出不等式的解。
【详细解答】0＜a＜1，不等式＜，>x-2，①当x-2<0，即x<2时，2x-10，即x时，≥0，>x-2的解为x<2；②当x-2≥0，即x≥2时，不等式>x-2，2x-1>，-6x+5<0，x<5，
2x-10，
2x-10，综上所述，不等式＜的解为[，5）。
4、设函数f(x)=
，求不等式f(x)
≥2的解集。
【知识点】①指数函数的定义与性质；②指数函数性质运用的基本方法。
【解题思路】运用指数函数的性质，结合问题条件把原指数函数的不等式，转化为关于x的不等式，求解不等式就可求出不等式的解。
【详细解答】函数f(x)=
，不等式f(x)
≥2，≥，|x+1|-
|x-1|≥，①当x<-1时，|x+1|-|x-1|=-x-1+x-1=-2，|x+1|-|x-1|≥，-2≥不成立，
此时不等式无解；②当-1x<1时，|x+1|-|x-1|=x+1+x-1=2x，|x+1|-|x-1|≥，2x≥，x≥，x<1；③当x≥1时，|x+1|-|x-1|=x+1-x+1=2，|x+1|-|x-1|≥，2≥成立，
x≥1，综上所述，不等式|x+1|-|x-1|≥的解为[，++∞），即不等式f(x)
≥2的解集为[，++∞）。
『思考问题6』
（1）【典例6】中的1，2题是有关指数函数的方程问题，解答这类问题的基本方法是：①将某一指数幂视为整体未知数通过解方程求出该指数幂的值；②根据指数函数的性质求出自变量x的值；③得出结果；
（2）【典例6】中的3，4题是有关指数函数的不等式问题，解答这类问题的基本方法是：①将不等式中的指数幂化成相同的底数幂；②运用指数函数的性质得到关于自变量x的不等式；③求解不等式并得出结果。
〔练习6〕解答下列各题：
1、不等式
的解集为
；
2、解方程--12=0；
3、关于x的方程有负根，求实数a的取值范围；
4、若a＞1，解关于x的不等式＜；5、设函数f(x)=
，求不等式f(x)
≥2的解集。

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