资源简介

2021年高考一轮复习
第十一讲
万有引力与航天
教材版本
全国通用
课时说明
120分钟
知识点
1.万有引力定律
2.
人造卫星与天体运动
3.宇宙速度
复习目标
1．熟练掌握万有引力定律并会应用
2.会处理人造卫星与天体运动问题
3．理解宇宙速度
复习重点
1.万有引力定律及其应用
2.熟练处理人造卫星与天体运动问题
复习难点
处理人造卫星与天体运动问题
一、自我诊断
知己知彼
1．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
【答案】B
【解析】开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，牛顿发现了万有引力定律．
2．（多选）万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，万有引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。下列选项中说法正确的是(　　)
A．在北极地面称量时，弹簧秤读数为F0＝G
B．在赤道地面称量时，弹簧秤读数为F1＝G
C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧秤读数为F2＝G
D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧秤读数为F3＝G
【答案】AC
【解析】北极地面物体不随地球自转，万有引力等于重力，则有F0＝G，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上随地球一起自转所需要的向心力，则有F13．(2019·全国卷Ⅱ·14)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是(　　)
图2
【答案】D
【解析】在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小，但不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图像是D.
4．(2019·北京卷)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)．该卫星(　　)
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
【答案】D
【解析】同步卫星只能位于赤道正上方，A项错误；由＝知，卫星的轨道半径越大，卫星做匀速圆周运动的线速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B项错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C项错误；若发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少，D正确.
5．2018年2月，我国500
m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19
ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】万有引力提供向心力
；天体的密度公式联立可得，可知C正确。
二、温故知新
夯实基础
三、典例剖析
举一反三
考点一
万有引力定律
（一）典例剖析
例1(2019·四川绵阳市第三次诊断)（多选）2019年1月3日10时26分，我国嫦娥四号探测器完成了“人类探测器首次实现月球背面软着陆”的壮举．嫦娥四号近月制动后环月飞行时先在月球上空半径为R的轨道上做匀速圆周运动，后贴近月球表面做匀速圆周运动，线速度大小分别是vR和v0，周期分别是TR和T0，已知月球半径为r，则(　　)
A.＝
B.＝
C．TR>T0
D．TR【答案】BC
【解析】根据万有引力提供向心力有：G＝m，所以v＝，所以＝，A错误，B正确；根据开普勒第三定律可知：绕同一中心天体运动，半径越大，周期越长，所以TR>T0，C正确，D错误．
【易错点】没有正确理解万有引力定律中各物理量的关系。
【方法点拨】正确理解万有引力定律及其应用。
例2火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【答案】C
【解析】由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，故A错误．火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误．根据开普勒第三定律(周期定律)知太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，故C正确．对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误．
【易错点】不能准确理解开普勒第一定律。
【方法点拨】利用万有引力定律，开普勒第一定律解决问题。
例3（多选）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图2中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图2中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则（
）
图2
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
【答案】AC
【解析】由a-x图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有：，变形式为：，该图象的斜率为，纵轴截距为重力加速度。根据图象的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速度之比为：；又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等，即：，即该星球的质量。又因为：，联立得。故两星球的密度之比为：，故A正确；当物体在弹簧上运动过程中，加速度为0的一瞬间，其所受弹力和重力二力平衡，，即：；结合a-x图象可知，当物体P和物体Q分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比为：，故物体P和物体Q的质量之比为：，故B错误；物体P和物体Q分别处于各自的平衡位置（a=0）时，它们的动能最大；根据，结合a-x图象面积的物理意义可知：物体P的最大速度满足，物体Q的最大速度满足：，则两物体的最大动能之比：，C正确；物体P和物体Q分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（a=0）可知，物体P和Q振动的振幅A分别为和，即物体P所在弹簧最大压缩量为2，物体Q所在弹簧最大压缩量为4，则Q下落过程中，弹簧最大压缩量时P物体最大压缩量的2倍，D错误；故本题选AC。
【易错点】不能正确理解图象。
【方法点拨】正确理解图象，写出图象的物理表达式，明白斜率和截距的物理意义。
（二）举一反三
1.
静止在地面上的物体随地球自转做匀速圆周运动．下列说法正确的是(　　)
A．物体受到的万有引力和支持力的合力总是指向地心
B．物体做匀速圆周运动的周期与地球自转周期相等
C．物体做匀速圆周运动的加速度等于重力加速度
D．物体对地面压力的方向与万有引力的方向总是相同
【答案】B
【解析】物体受到的万有引力和支持力的合力提供物体随地球运动的向心力，指向物体随地球做圆周运动的轨道的圆心，不一定是地心，所以A错；物体随地球自转，所以周期一定等于地球自转周期，B对；圆周运动的加速度和重力加速度只有在赤道上时方向相同，所以C错；物体受到的万有引力和物体对地面的压力只有在南北极和赤道上方向相同，所以D错．
2.
若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”号下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝G.由于地球的质量为：M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g＝＝＝πGρR.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度g′＝πGρ(R－d)，所以有＝.根据万有引力提供向心力G＝ma，“天宫一号”所在处的重力加速度为a＝，所以＝，＝，故C正确，A、B、D错误．
3.
(2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500
m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19
ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11
N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A．5×109
kg/m3
B．5×1012
kg/m3
C．5×1015
kg/m3
D．5×1018
kg/m3
【答案】C
【解析】脉冲星自转，边缘物体m恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，
又知M＝ρ·πr3
整理得密度ρ＝＝
kg/m3≈5.2×1015
kg/m3.
考点二
人造卫星与天体运动
（一）典例剖析
例1某颗北斗导航卫星属于地球静止轨道卫星（即卫星相对于地面静止）。则此卫星的（
）
A.
线速度大于第一宇宙速度
B.
周期小于同步卫星的周期
C.
角速度大于月球绕地球运行的角速度
D.
向心加速度大于地面的重力加速度
【答案】C
【解析】第一宇宙速度是所有绕地球运行的卫星的最大速度，则此卫星的线速度小于第一宇宙速度，选项A错误；卫星属于地球静止轨道卫星，即为地球的同步卫星，选项B错误；根据可知，因此卫星做圆周运动的半径远小于月球绕地球做圆周运动的半径，可知角速度大于月球绕地球运行的角速度，选项C正确；根据可知，向心加速度小于地面的重力加速度，选项D错误。
【易错点】不能用万有引力定律正确推出周期、角速度和重力加速度与半径的关系。
【方法点拨】根据万有引力定律准确推出各物理量与半径的关系。
例2(2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金）
A.
a金>a地>a火
B.
a火>a地>a金
C.
v地>v火>v金
D.
v火>v地>v金
【答案】A
【解析】金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G＝ma，解得a＝G，结合题中R金a地>a火，选项A正确，B错误；同理，有G＝m，解得v＝，再结合题中R金v地>v火，选项C、D错误。
【易错点】不能根据万有引力等于向心力得出加速度和线速度与半径的关系。
【方法点拨】根据万有引力定律准确推出各物理量与半径的关系。
例3(2019·江苏卷)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图3所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G．则（
）
图3
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】“东方红一号”从近地点到远地点万有引力做负功，动能减小，所以v1＞v2，过近地点圆周运动的速度为v=，由于“东方红一号”在椭圆上运动，所以v1＞，故B正确。
【易错点】不能比较椭圆轨道和圆形轨道相切点线速度的大小比较。
【方法点拨】正确掌握椭圆轨道与圆形轨道相切点的线速度大小关系。
（二）举一反三
1.
(2019·河南安阳市下学期二模)半径为R的某均匀球形天体上，两“极点”处的重力加速度大小为g，“赤道”处的重力加速度大小为“极点”处的.已知引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A．该天体的质量为
B．该天体的平均密度为
C．该天体的第一宇宙速度为
D．该天体的自转周期为2π
【答案】D
【解析】在两“极点”处：G＝mg；在赤道处：G－m＝mR，解得天体的质量为M＝，T＝2π，选项A错误，D正确；该天体的平均密度为ρ＝＝＝，选项B错误；由G＝m＝mg可知该天体的第一宇宙速度为v＝，选项C错误．
2.（多选）如图4所示，地球卫星a、b分别在椭圆轨道、圆形轨道上运行，椭圆轨道在远地点A处与圆形轨道相切，则(　　)
图4
A．卫星a的运行周期比卫星b的运行周期短
B．两颗卫星分别经过A点处时，a的速度大于b的速度
C．两颗卫星分别经过A点处时，a的加速度小于b的加速度
D．卫星a在A点处通过加速可以到圆轨道上运行
【答案】AD
【解析】由于卫星a的运行轨道的半长轴比卫星b的运行轨道半长轴短，根据开普勒定律，卫星a的运行周期比卫星b的运行周期短，选项A正确；两颗卫星分别经过A点处时，卫星a通过加速可以到圆轨道上运行，所以卫星a的速度小于卫星b的速度，选项B错误D正确；两颗卫星分别经过A点处时，由万有引力定律及牛顿第二定律得G＝ma，即卫星a的加速度等于卫星b的加速度，选项C错误。
3.(2019·天津卷)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”，如图5.已知月球的质量为M、半径为R.探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的(　　)
图5
A．周期为
B．动能为
C．角速度为
D．向心加速度为
【答案】A
【解析】嫦娥四号探测器环绕月球做匀速圆周运动时，万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，由＝mω2r＝m＝mr＝ma，解得ω＝、v＝、T＝、a＝，则嫦娥四号探测器的动能为Ek＝mv2＝，由以上可知A正确，B、C、D错误．
考点三
宇宙速度
（一）典例剖析
例1某星球直径为d，宇航员在该星球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为h，若物体只受该星球引力作用，则该星球的第一宇宙速度为(　　)
A．　　　　　　　　　　
B．2v0
C．
D．
【答案】D
【解析】星球表面的重力加速度为：g＝，根据万有引力定律可知：G＝m，解得v＝；又G＝mg，解得：v＝
，故选D。
【易错点】不能利用抛体运动求出该星球的重力加速度。
【方法点拨】需要知道第一宇宙速度的公式，并会利用抛体运动求重力加速度。
例2物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1.已知某星球半径是地球半径R的，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设某星球的质量为M，半径为r，绕其飞行的卫星质量为m，根据万有引力提供向心力，可得G＝m，解得：v1＝
，又因它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的，可得G＝m，又r＝R和v2＝v1，解得：v2＝，所以正确选项为B.
【易错点】不能准确求出第一宇宙速度。
【方法点拨】利用公式准确求出第一宇宙速度，再利用两个宇宙速度的关系求出第二宇宙速度。
例3（多选）如图6所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则(　　)
图6
A．该卫星在P点的速度一定大于7.9
km/s，且小于11.2
km/s
B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9
km/s
C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度
D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
【答案】CD
【解析】由于卫星的最大环绕速度为7.9
km/s，故A错误；环绕地球做圆周运动的人造卫星，最大的运行速度是7.9
km/s，故B错误；P点比Q点离地球近些，故在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度，C正确；卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，故D正确。
【易错点】不理解第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度。
【方法点拨】知道第一宇宙速度是人造地球卫星的最大环绕速度，最小发射速度。
（二）举一反三
1．已知某星球的第一宇宙速度与地球相同，其表面的重力加速度为地球表面重力加速度的一半，则该星球的平均密度与地球平均密度的比值为(　　)
A．1∶2　　　B．1∶4　　　C．2∶1　　　D．4∶1
【答案】B
【解析】根据mg＝m得，第一宇宙速度v＝。因为该星球和地球的第一宇宙速度相同，表面的重力加速度为地球表面重力加速度的一半，则星球的半径是地球半径的2倍。根据G＝mg得，M＝，知星球的质量是地球质量的2倍。根据ρ＝＝知，星球的平均密度与地球平均密度的比值为1∶4，故B正确，A、C、D错误。
2．“嫦娥二号”卫星发射后直接进入近地点高度200千米、远地点高度约38万千米的地月转移轨道直接奔月，如图7所示．当卫星到达月球附近的特定位置时，卫星就必须“急刹车”，也就是近月制动，以确保卫星既能被月球准确捕获，又不会撞上月球，并由此进入近月点100千米、周期12小时的椭圆轨道a.再经过两次轨道调整，进入100千米的极月圆轨道b，轨道a和b相切于P点．下列说法正确的是(　　)
图7
A．“嫦娥二号”卫星的发射速度大于7.9
km/s，小于11.2
km/s
B．“嫦娥二号”卫星的发射速度大于11.2
km/s
C．“嫦娥二号”卫星在a、b轨道经过P点的速度va＝vb
D．“嫦娥二号”卫星在a、b轨道经过P点的加速度aa>ab
【答案】A
【解析】“嫦娥二号”卫星的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，A项正确、B项错误；“嫦娥二号”卫星在a轨道经过P点时减小卫星速度，卫星即可由椭圆轨道a变为圆轨道b，故va>vb，但万有引力相同，加速度相同，C、D错误．
3.
“伽利略”木星探测器，从1989年10月进入太空起，历经6年，行程37亿千米，终于到达木星周围．此后在t秒内绕木星运行N圈后，对木星及其卫星进行考察，最后坠入木星大气层烧毁．设这N圈都是绕木星在同一个圆周上运行，其运行速率为v，探测器上的照相机正对木星拍摄整个木星时的视角为θ(如图8所示)，设木星为一球体．求：
图8
(1)木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径；
(2)木星的第一宇宙速度．
【答案】(1)　(2)
【解析】(1)设木星探测器在题述圆形轨道运行时，轨道半径为r，由v＝
可得：r＝
由题意可知，T＝
联立解得r＝
(2)探测器在圆形轨道上运行时，万有引力提供向心力，G＝m
设木星的第一宇宙速度为v0，有G＝m′
联立解得：v0＝
v
由题意可知R＝rsin，解得：v0＝
考点四
双星及多星模型
（一）典例剖析
例1冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的(　　)
A．轨道半径约为卡戎的
B．角速度大小约为卡戎的
C．线速度大小约为卡戎的7倍
D．向心力大小约为卡戎的7倍
【答案】A
【解析】本题是双星问题，设冥王星的质量、轨道半径、线速度分别为m1、r1、v1，卡戎的质量、轨道半径、线速度分别为m2、r2、v2，由双星问题的规律可得，两星间的万有引力分别给两星提供做圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B、D均错；由G＝m1ω2r1＝m2ω2r2(L为两星间的距离)，因此＝＝，＝＝＝，故A对，C错．
【易错点】错将运动半径当成引力距离。
【方法点拨】利用万有引力等于向心力进行解题时一定要注意两颗星星之间的距离不是星星圆周运动时的轨道半径。
例2（多选）双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，双星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】设两恒星的质量分别为m1和m2，都绕O点做圆周运动，两恒星到O点的距离分别为r1和r2，两恒星间的距离为r，对m1有：
，解得：
同理可得：
两恒星的总质量
当两星的质量为原来的k倍，双星之间的距离变为原来的n倍时，圆周运动的周期设为,
同样有，
由①②得：，故答案B正确。
【易错点】不知道两个星星的角速度相等。
【方法点拨】利用万有引力等于向心力进行解题时一定要注意两颗星星之间的距离不是星星圆周运动时的轨道半径。
例3
2012年7月，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图9所示．此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的．假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中(　　)
图9
A．它们做圆周运动的万有引力保持不变
B．它们做圆周运动的角速度不断变大
C．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大
D．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小
【答案】
C
【解析】对双星M1、M2，设距离为L，圆周运动半径分别为r1、r2，它们做圆周运动的万有引力为F＝G，距离L不变，M1与M2的和不变，其乘积大小变化，则它们的万有引力发生变化，A错；依题意双星系统绕两者连线上某点O做匀速圆周运动，周期和角速度相同，由万有引力定律及牛顿第二定律有：G＝M1ω2r1，G＝M2ω2r2，r1＋r2＝L，可解得：M1＋M2＝，M1r1＝M2r2，由此可知ω不变，质量比等于圆周运动半径的反比，故体积较大的星体因质量减小，其轨道半径将增大，线速度将增大，B、D错，C对．
【易错点】不能正确认识模型，进行求解。
【方法点拨】正确认识双星模型，选择合理的数学知识进行求解。
（二）举一反三
1.（多选）
宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于四星系统，下列说法正确的是(　　)
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为
C．四颗星表面的重力加速度均为
D．四颗星的周期均为2πa
【答案】ACD
【解析】其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为a，故A正确，B错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C正确；由万有引力定律和向心力公式得＋＝m·，T＝2πa，故D正确．
2.
（多选）如图10所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则(　　)
图10
A．甲星所受合外力为
B．乙星所受合外力为
C．甲星和丙星的线速度相同
D．甲星和丙星的角速度相同
【答案】AD
【解析】甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力，F甲＝＋＝，A正确；由对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星所受合力为0，B错误；由于甲、丙位于同一直线上，甲、丙的角速度相同，由v＝ωR可知，甲、丙两星的线速度大小相同，但方向相反，故C错误，D正确。
3.
（多选）宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图11所示．若AO>OB，则(　　)
图11
A．星球A的质量一定大于星球B的质量
B．星球A的线速度一定大于星球B的线速度
C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大
D．双星的质量一定，双星间距离越大，其转动周期越大
【答案】BD
【解析】设双星质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，两者间距为L，周期为T，角速度为ω，由万有引力定律可知：
＝mAω2RA①
＝mBω2RB②
RA＋RB＝L③
由①②式可得＝，
而AO>OB，故A错误．
vA＝ωRA，vB＝ωRB，B正确．
联立①②③得G(mA＋mB)＝ω2L3，
又因为T＝，
故T＝2π，可知C错误，D正确．
四、分层训练
能力进阶
【基础】
1.
对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T的关系作出如图12所示图像，则可求得地球质量为(已知引力常量为G)(　　)
图12
A.　　　　　　　　　
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由＝m·r可得＝，结合题图图线可得，＝，故M＝，A正确。
2．(2020·山东临沂市质检)2018年7月25日消息称，科学家们在火星上发现了第一个液态水湖，这表明火星上很可能存在生命．美国的“洞察”号火星探测器曾在2018年11月降落到火星表面．假设该探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T，已知火星的半径为R1，地球的半径为R2，地球的质量为M，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则火星的质量为(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】绕地球表面运动的天体由牛顿第二定律可知：G＝mg
同理，对绕火星表面运动的天体有：＝m()2R1
结合两个公式可解得：M火＝，故A对．
3.
(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为(　　)
A．2∶1
B．4∶1
C．8∶1
D．16∶1
【答案】C
【解析】由G＝mr知，＝，则两卫星＝.因为rP∶rQ＝4∶1，故TP∶TQ＝8∶1.
4．（多选）我国于2013年6月11日17时38分发射“神舟十号”载人飞船，并与“天宫一号”目标飞行器对接．如图13所示，开始对接前，“天宫一号”在高轨道，“神舟十号”飞船在低轨道，各自绕地球做匀速圆周运动，距离地面的高度分别为h1和h2(设地球半径为R)，“天宫一号”的运行周期约为90分钟．则以下说法正确的是(　　)
图13
A．“天宫一号”跟“神舟十号”的线速度大小之比为
B．“天宫一号”跟“神舟十号”的向心加速度大小之比为
C．“天宫一号”的角速度比地球同步卫星的角速度大
D．“天宫一号”的线速度大于7.9
km/s
【答案】BC
【解析】由G＝m可得，“天宫一号”与“神舟十号”的线速度大小之比为，A项错误；由G＝ma可得“天宫一号”与“神舟十号”的向心加速度大小之比为，B项正确；地球同步卫星的运行周期为24小时，因此“天宫一号”的周期小于地球同步卫星的周期，由ω＝可知，周期小则角速度大，C项正确；“天宫一号”的线速度小于地球的第一宇宙速度，D项错误．
5.
(2019·山东泰安市第二轮复习质量检测)2019年1月3日，嫦娥四号月球探测器成功软着陆在月球背面，成为人类历史上第一个在月球背面成功实施软着陆的人类探测器．如图14所示，已关闭动力的探月卫星在月球引力作用下沿椭圆轨道(图中只画了一部分)向月球靠近，并在B处变轨进入半径为r、周期为T的环月圆轨道运行．已知引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
图14
A．图中探月卫星飞向B处的过程中速度越来越小
B．图中探月卫星飞向B处的过程中加速度越来越小
C．由题中条件可以计算出探月卫星受到月球的引力大小
D．由题中条件可以计算出月球的质量
【答案】D
【解析】探月卫星飞向B处时，万有引力增大，做正功，探月卫星动能增大，加速度增大，A、B选项错误；由于探月卫星质量未知，无法计算出探月卫星受到月球的引力大小，C选项错误；由＝m()2r可得：M＝，D选项正确．
【巩固】
1.（多选）
我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4
m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×103
kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8
m/s2.则此探测器(　　)
A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9
m/s
B．悬停时受到的反冲作用力约为2×103
N
C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒
D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度
【答案】BD
【解析】在星球表面有＝mg，所以重力加速度g＝，地球表面g＝＝9.8
m/s2，则月球表面g′＝＝×≈g，则探测器重力G＝mg′＝1
300××9.8
N≈2×103
N，选项B正确；探测器自由落体，末速度v＝≈
m/s≠8.9
m/s，选项A错误；关闭发动机后，仅在月球引力作用下机械能守恒，而离开近月轨道后还有制动悬停，所以机械能不守恒，选项C错误；在近月轨道运动时万有引力提供向心力，有＝，所以v＝＝＜
，即在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度，选项D正确．
2.（多选）
一行星绕恒星做匀速圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则(　　)
A．恒星的质量为
B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为
D．行星运动的加速度为
【答案】ACD
【解析】由＝＝mr得M＝＝，A对；无法计算行星的质量，B错；r＝＝＝，C正确；a＝ω2r＝ωv＝v，D正确．
3.
（多选）如图15所示，两星球相距为L，质量比为mA∶mB＝1∶9，两星球半径远小于L。从星球A沿A、B连线向B以某一初速度发射一探测器。只考虑星球A、B对探测器的作用，下列说法正确的是(　　)
图15
A．探测器的速度一直减小
B．探测器在距星球A为处加速度为零
C．若探测器能到达星球B，其速度可能恰好为零
D．若探测器能到达星球B，其速度一定大于发射时的初速度
【答案】BD
【解析】探测器从A向B运动，所受的万有引力合力先向左再向右，则探测器的速度先减小后增大，故A错误；当探测器合力为零时，加速度为零，则有：G＝G，因为mA∶mB＝1∶9，则rA∶rB＝1∶3，知探测器距离星球A的距离为x＝，故B正确；探测器到达星球B的过程中，由于B的质量大于A的质量，从A到B万有引力的总功为正功，则动能增加，所以探测器到达星球B的速度一定大于发射时的初速度，故C错误，D正确。
4．(2019·广西钦州市4月综测)2018年5月，我国成功发射首颗高光谱分辨率对地观测卫星——“高分五号”．“高分五号”轨道离地面的高度约7.0×102
km，质量约2.8×103
kg.已知地球半径约6.4×103
km，重力加速度取9.8
m/s2.则“高分五号”卫星(　　)
A．运行的速度小于7.9
km/s
B．运行的加速度大于9.8
m/s2
C．运行的线速度小于同步卫星的线速度
D．运行的角速度小于地球自转的角速度
【答案】A
【解析】第一宇宙速度是卫星的最大环绕速度，是发射卫星的最小速度，所以卫星的运行速度小于7.9
km/s，故A正确；由G＝ma可知，运行的加速度随着高度的增大而减小，故运行的加速度小于地面的重力加速度，即小于9.8
m/s2，故B错误；“高分五号”轨道离地面的高度约7.0×102
km，小于同步卫星的高度(同步卫星的高度约为地球半径的6倍)，根据＝m得：v＝，故运行的线速度大于同步卫星的线速度，故C错误；地球的自转角速度与同步卫星相同，根据＝mω2R解得ω＝，轨道越高，角速度越小，故“高分五号”卫星运行的角速度大于地球自转的角速度，故D错误．
5.
据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星。假设该行星质量约为地球质量的6.4倍，半径约为地球半径的2倍。那么，一个在地球表面能举起64
kg物体的人在这个行星表面能举起的物体的质量约为(地球表面重力加速度g＝10
m/s2)(　　)
A．40
kg
B.50
kg
C．60
kg
D．30
kg
【答案】A
【解析】根据万有引力等于重力＝mg得g＝，因为行星质量约为地球质量的6.4倍，其半径是地球半径的2倍，则行星表面重力加速度是地球表面重力加速度的1.6倍，而人的举力可认为是不变的，则人在行星表面所举起的重物质量为：m＝＝
kg＝40
kg，故A正确。
【拔高】
1.
由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道．当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行．已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103
m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103
m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图16所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为(　　)
图16
A．西偏北方向，1.9×103
m/s
B．东偏南方向，1.9×103
m/s
C．西偏北方向，2.7×103
m/s
D．东偏南方向，2.7×103
m/s
【答案】B
【解析】附加速度Δv与卫星飞经赤道上空时速度v2及同步卫星的环绕速度v1的矢量关系如图所示．由余弦定理可知，Δv＝≈1.9×103
m/s，方向为东偏南方向，故B正确，A、C、D错误．
2．地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域。进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图17所示。假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计。如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1)。已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是(　　)
图17
A.　　　　　　　　　　　　
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】如果将该球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时是kmg，故空腔填满后引起的引力为(1－k)mg；由万有引力定律，有：(1－k)mg＝G，解得：V＝，D正确。
3.
宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t，小球落到该星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时初速度增大到原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L.已知两落地点在同一平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G.求该星球的质量M.
【答案】
【解析】
设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，当初速度变为原来2倍时，水平射程为2x，如图所示．
由几何关系可知：
L2＝h2＋x2①
(L)2＝h2＋(2x)2②
①②联立，得：h＝L
设该星球表面的重力加速度为g
则竖直方向h＝gt2③
又因为＝mg④
由③④联立，得M＝
4.(2019·河南郑州市第一次模拟)“玉兔号”月球车与月球表面的第一次接触实现了中国人“奔月”的伟大梦想．“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由下落试验，测得物体从静止自由下落h高度的时间为t，已知月球半径为R，自转周期为T，引力常量为G.求：
(1)月球表面重力加速度；
(2)月球的质量和月球的第一宇宙速度；
(3)月球同步卫星离月球表面高度．
【答案】(1)　(2)　(3)－R
【解析】(1)由自由落体运动规律有：h＝gt2，所以有：g＝.
(2)月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，根据重力提供向心力mg＝m，
所以：v1＝＝
在月球表面的物体受到的重力等于万有引力，则有：
mg＝
所以M＝.
(3)月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有：＝m＝m(R＋h′)
解得h′＝－R.

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