资源简介

2021年高考一轮复习
第十三讲
机械能守恒定律及应用
教材版本
全国通用
课时说明
120分钟
知识点
1.机械能守恒定律
2.
机械能守恒定律的应用
复习目标
1．掌握机械能守恒的条件
2.掌握机械能守恒定律的表达式
3．会利用机械能守恒定律进行解题
复习重点
利用机械能守恒定律处理问题
复习难点
利用机械能守恒定律处理问题
一、自我诊断
知己知彼
1．一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点(在水面上方)时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略不计，运动员可视为质点，下列说法正确的是(　　)
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，运动员的重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关
【答案】ABC
【解析】运动员下落到最低点前，重力做正功，重力势能减小，A正确；蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加，B正确；蹦极过程中，对运动员、地球和蹦极绳所组成的系统，除重力和弹力外其他力不做功，系统机械能守恒，C正确；蹦极过程中，运动员的重力势能的大小与重力势能零点的选择有关，但运动员的重力势能的改变量与重力势能零点的选择无关，D错误。
2．在如图1所示的物理过程示意图中，甲图中一端固定有小球的轻杆从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动：丙图为置于光滑水平面上的A、B两小车，B静止，A获得一向右的初速度后向右运动，某时刻连接两车的细绳绷紧，然后带动B车运动；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动．关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是(　　)
图1
A．甲图中小球机械能守恒
B．乙图中小球A的机械能守恒
C．丙图中两车组成的系统机械能守恒
D．丁图中小球的机械能守恒
【答案】A
【解析】甲图所示过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒；乙图所示过程中轻杆对A的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以小球A的机械能不守恒，但把两个小球作为一个系统时机械能守恒；丙图所示过程中绳子绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功，但弹力突变有内能转化，机械能不守恒；丁图所示过程中细绳也会拉动小车运动，取地面为参考系，小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，小球的机械能不守恒，把小球和小车当作一个系统，机械能才守恒．
3．如图2所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点。将小球拉至A点，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，当小球运动到O点正下方与A点的竖直高度差为h的B点时，速度大小为v。已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
图2
A．小球运动到B点时的动能等于mgh
B．小球由A点到B点重力势能减少mv2
C．小球由A点到B点克服弹力做功为mgh
D．小球到达B点时弹簧的弹性势能为mgh－mv2
【答案】D
【解析】小球由A点到B点的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧由原长到发生伸长的形变，小球动能增加量小于重力势能减少量，A项错误；小球重力势能减少量等于小球动能增加量与弹簧弹性势能增加量之和，B项错误；弹簧弹性势能增加量等于小球重力势能减少量与动能增加量之差，D项正确；弹簧弹性势能增加量等于小球克服弹力所做的功，C项错误。
4．如图3所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与一橡皮绳相连，橡皮绳的另一端固定在地面上的A点，橡皮绳竖直时处于原长h.让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中(　　)
图3
A．圆环机械能守恒
B．橡皮绳的弹性势能一直增大
C．橡皮绳的弹性势能增加了mgh
D．橡皮绳再次达到原长时圆环动能最大
【答案】C
【解析】圆环沿杆滑下，滑到杆的底端的过程中有两个力对圆环做功，即环的重力和橡皮绳的拉力，所以圆环的机械能不守恒，如果把圆环和橡皮绳组成的系统作为研究对象，则系统的机械能守恒，故A错误；橡皮绳的弹性势能随橡皮绳的形变量的变化而变化，由图知橡皮绳先缩短松弛后再伸长，故橡皮绳的弹性势能先不变再增大，故B错误；根据系统的机械能守恒，圆环的机械能减少了mgh，那么圆环的机械能的减少量等于橡皮绳的弹性势能增大量，为mgh，故C正确；在圆环下滑过程中，橡皮绳再次达到原长时，该过程中动能一直增大，但不是最大，沿杆方向合力为零的时刻，圆环的动能最大，故D错误．
5．如图4所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，A球的质量为m，B球的质量为2m，此杆可绕穿过O点的水平轴无摩擦地转动。现使轻杆从水平位置由静止释放，则在杆从释放到转过90°的过程中，下列说法正确的是(　　)
图4
A．A球的机械能增加
B．杆对A球始终不做功
C．B球重力势能的减少量等于B球动能的增加量
D．A球和B球的总机械能守恒
【答案】AD
【解析】A球由静止向上运动，重力势能增大，动能也增大，所以机械能增大，杆一定对A球做了功，A项正确，B项错误；由于无摩擦力做功，系统只有重力做功，A球和B球的总机械能守恒，A球机械能增加，B球的机械能一定减少，故D项正确，C项错误。
二、温故知新
夯实基础
三、典例剖析
举一反三
考点一
机械能守恒定律
（一）典例剖析
例1下列关于机械能守恒的说法中正确的是(　　)
A．做匀速运动的物体，其机械能一定守恒
B．物体只受重力，机械能才守恒
C．做匀速圆周运动的物体，其机械能一定守恒
D．除重力做功外，其他力不做功，物体的机械能一定守恒
【答案】D
【解析】匀速运动所受合外力为零，但除重力外可能有其他力做功，如物体在阻力作用下匀速向下运动，其机械能减少了，A错．物体除受重力或弹力也可受其他力，只要其他力不做功或做功的代数和为零，机械能也守恒，B错．匀速圆周运动物体的动能不变，但势能可能变化，故C错．由机械能守恒条件知，选项D正确．
【易错点】没有明确机械能守恒的条件而出现错选。
【方法点拨】明确机械能守恒的条件是选对选项的关键。
例2如图5所示，表面光滑的固定斜面顶端安装一定滑轮，小物块A、B用轻绳连接并跨过滑轮(不计滑轮的质量和摩擦)．初始时刻，A、B处于同一高度并恰好处于静止状态．剪断轻绳后A下落，B沿斜面下滑，则从剪断轻绳到两物块着地，两物块(　　)
图5
A．速率的变化量不同
B．机械能的变化量不同
C．重力势能的变化量相同
D．重力做功的平均功率相同
【答案】D
【解析】A、B开始时处于静止状态，对A：mAg＝FT①
对B：FT＝mBgsin
θ②
由①②得mAg＝mBgsin
θ
即mA＝mBsin
θ③
由机械能守恒知，mgh＝mv2，所以v＝，落地速率相同，故速率的变化量相同，A项错误；剪断轻绳后，A、B均遵守机械能守恒定律，机械能没有变化，故B项错误；由ΔEp＝mgh，因m不同，故ΔEp不同，C项错误；重力做功的功率PA＝mAg＝mAg＝mAg，PB＝mBgsin
θ＝mBgsin
θ，由③式mA＝mBsin
θ，得PA＝PB，D项正确．
【易错点】不能理解系统机械能守恒的问题。
【方法点拨】本题是系统机械能守恒。
例3如图6所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上．若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　)
图6
A．重力对物体做的功为mgh
B．物体在海平面上的势能为mgh
C．物体在海平面上的动能为mv－mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv
【答案】AD
【解析】重力对物体做的功只与初、末位置的高度差有关，为mgh，A正确；物体在海平面上的势能为－mgh，B错误；由动能定理mgh＝mv2－mv，到达海平面时动能为mv＋mgh，C错误；物体只受重力做功，机械能守恒，等于地面时的机械能mv，D正确．
【易错点】忽略了重力势能的正负问题而出现错选。
【方法点拨】重力势能的大小与零势能面的选取有关，零势能面以下重力势能为负。
（二）举一反三
1.
关于机械能守恒，下列说法中正确的是(　　)
A．物体做匀速运动，其机械能一定守恒
B．物体所受合力不为零，其机械能一定不守恒
C．物体所受合力做功不为零，其机械能一定不守恒
D．物体沿竖直方向向下做加速度为5
m/s2的匀加速运动，其机械能减少
【答案】D
【解析】物体做匀速运动其动能不变，但机械能可能变，如物体匀速上升或下降，机械能会相应的增加或减少，选项A错误；物体仅受重力作用，只有重力做功，或受其他力但其他力不做功或做功的代数和为零时，物体的机械能守恒，选项B、C错误；物体沿竖直方向向下做加速度为5
m/s2
的匀加速运动时，物体一定受到一个与运动方向相反的力的作用，此力对物体做负功，物体的机械能减少，故选项D正确。
2.
(2017全国Ⅱ)如图7所示，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直．一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)(　　)
图7
A.
B．
C.
D．
【答案】B
【解析】设小物块的质量为m，滑到轨道上端时的速度为v1.小物块上滑过程中，机械能守恒，
有mv2＝mv＋2mgR①
小物块从轨道上端水平飞出，做平抛运动，设水平位移为x，下落时间为t，有2R＝gt2②
x＝v1t③
联立①②③式整理得x2＝2－2
可得x有最大值，对应的轨道半径R＝.故选B.
3.
如图8所示，质量均为m，半径均为R的两个完全相同的小球A、B，在水平轨道上以某一初速度向右冲上倾角为θ的倾斜轨道，两轨道通过一小段圆弧平滑连接。若两小球运动过程中始终接触，不计摩擦阻力及弯道处的能量损失，在倾斜轨道上运动到最高点时两球机械能的差值为(　　)
图8
A．0　　　　　　　　　　
B．mgRsin
θ
C．2mgRsin
θ
D．2mgR
【答案】C
【解析】两球运动到最高点时速度相等，动能相等，则两球机械能的差值等于重力势能的差值，为：ΔE＝mg·2Rsin
θ＝2mgRsin
θ，故C正确。
考点二
单一物体的机械能守恒
（一）典例剖析
例1由光滑细管组成的轨道如图9所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内。一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上。下列说法正确的是（
）
图9
A．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为
B．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为
C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H>2R
D小球能从细管A端水平抛出的最小高度
【答案】BC
【解析】当小球从H=2R处落下，到A点速度为0，落点距A水平距离为0；取H=4R，小球到达A处有，,
，，对照A、B项代入H=4R，知B项对；竖直平面内小球在管道中过顶的最小速度为0，根据机械能守恒知，小球要到达A点，则需要H>2R即可。
【易错点】记错管中最高点的临界速度。
【方法点拨】准确找到临界条件。
例2取水平地面为重力势能零点．一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等．不计空气阻力．该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设物块水平抛出的初速度为v0，高度为h，由题意知mv＝mgh，即v0＝。物块在竖直方向上的运动是自由落体运动，落地时的竖直分速度vy＝＝vx＝v0，则该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角θ＝，故选项B正确，选项A、C、D错误．
【易错点】不能正确求出竖直方向的末速度。
【方法点拨】根据抛出点动能与重力势能大小相等求出竖直方向末速度与水平速度的关系。
例3如图10所示，竖直平面内的一半径R＝0.50
m的光滑圆弧槽BCD，B点与圆心O等高，一水平面与圆弧槽相接于D点，质量m＝0.10
kg的小球从B点正上方H＝0.95
m高处的A点自由下落，由B点进入圆弧轨道，从D点飞出后落在水平面上的Q点，DQ间的距离x＝2.4
m，球从D点飞出后的运动过程中相对水平面上升的最大高度h＝0.80
m，g取10
m/s2，不计空气阻力，求：
图10
(1)小球经过C点时轨道对它的支持力大小FN；
(2)小球经过最高点P的速度大小vP；
(3)D点与圆心O的高度差hOD.
【答案】(1)6.8
N　(2)3.0
m/s　(3)0.30
m
【解析】(1)设经过C点时速度为v1，由机械能守恒有mg(H＋R)＝mv
由牛顿第二定律有FN－mg＝
代入数据解得FN＝6.8
N
(2)P到Q做平抛运动有h＝gt2，＝vPt
代入数据解得vP＝3.0
m/s.
(3)由机械能守恒定律，有mv＋mgh＝mg(H＋hOD)，代入数据，解得hOD＝0.30
m.
【易错点】不能清楚的分析出物体的整个运动过程。
【方法点拨】将整个过程拆分成一个个基本的力学模型进行处理。
（二）举一反三
1.
如图11所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.则(　　)
图11
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
【答案】BD
【解析】滑块b的初速度为零，末速度也为零，所以轻杆对b先做正功，后做负功，选项A错误；以滑块a、b及轻杆为研究对象，系统的机械能守恒，当a刚落地时，b的速度为零，则mgh＝mv＋0，即va＝，选项B正确；a、b的先后受力分析如图所示．
由a的受力图可知，a下落过程中，其加速度大小先小于g后大于g，选项C错误；当a落地前b的加速度为零(即轻杆对b的作用力为零)时，b的机械能最大，a的机械能最小，这时b受重力、支持力，且FNb＝mg，由牛顿第三定律可知，b对地面的压力大小为mg，选项D正确．
2.
如图12所示，质量为m的小球，用OB和O′B两根轻绳吊着，两轻绳与水平天花板的夹角分别为30°和60°，这时OB绳的拉力大小为F1，若烧断O′B绳，当小球运动到最低点C时，OB绳的拉力大小为F2，则F1∶F2等于(　　)
图12
A．1∶1
B．1∶2
C．1∶3
D．1∶4
【答案】D
【解析】烧断O′B细绳前，小球处于平衡状态，合力为零，
根据几何关系得：F1＝mgsin
30°＝mg；
烧断O′B绳，设小球摆到最低点时速度为v，绳长为L.小球摆到最低点的过程中，由机械能守恒定律得：
mgL(1－sin
30°)＝mv2
在最低点，有F2－mg＝m
联立解得F2＝2mg；
故F1∶F2等于1∶4.
3．如图13所示，竖直平面内的一半径R＝0.50
m的光滑圆弧槽BCD，B点与圆心O等高，一水平面与圆弧槽相接于D点，质量m＝0.10
kg的小球从B点正上方H＝0.95
m高处的A点自由下落，由B点进入圆弧轨道，从D点飞出后落在水平面上的Q点，DQ间的距离x＝2.4
m，球从D点飞出后的运动过程中相对水平面上升的最大高度h＝0.80
m，g取10
m/s2，不计空气阻力，求：
图13
(1)小球经过C点时轨道对它的支持力大小FN；
(2)小球经过最高点P的速度大小vP；
(3)D点与圆心O的高度差hOD.
【答案】(1)6.8
N　(2)3.0
m/s　(3)0.30
m
【解析】(1)设经过C点时速度为v1，由机械能守恒有mg(H＋R)＝mv
由牛顿第二定律有FN－mg＝
代入数据解得FN＝6.8
N.
(2)P到Q做平抛运动有h＝gt2，＝vPt
代入数据解得vP＝3.0
m/s.
(3)由机械能守恒定律，有mv＋mgh＝mg(H＋hOD)，代入数据，解得hOD＝0.30
m.
考点三
多物体的机械能守恒
（一）典例剖析
例1如图14所示，B是质量为2m的物块，其内壁为半径为R的光滑半球形，B放在光滑的水平桌面上．A是质量为m的细长直杆，光滑套管D被固定在竖直方向，A可以自由上下运动，物块C的质量为m，紧靠B放置．初始时，A被握住，使其下端正好与B的半球面的上边缘接触．然后从静止开始释放A，A、B、C便开始运动．重力加速度大小为g.则(　　)
图14
A．A的下端运动到B内壁的最低点时竖直方向的速度为零
B．A的下端运动到B内壁的最低点时，B、C水平方向的速度相等，均为
C．A的下端运动到B内壁的最低点时，B、C速度均为零
D．在B内壁左侧A的下端能上升到的最高点距离B内壁最低点的高度为
【答案】ABD
【解析】A的下端运动到B内壁的最低点时，A在竖直方向的速度为0，B、C水平方向的速度相等，A正确；由机械能守恒定律得mgR＝×3mv2，所以vB＝vC＝，B正确，C错误；A的下端上升到所能达到的最高点时，A在竖直方向的速度为0，B的水平速度亦为零，由机械能守恒定律得×2mv＝mgh，解得h＝，D正确．
【易错点】没有分析出物体的运动规律。
【方法点拨】本题能采取先整体再隔离的方法进行求解。
例2如图15所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P拴接，另一端与物体A相连，物体A置于光滑水平桌面上，右端接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连．开始时用手托住B，让细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度．下列有关该过程的分析正确的是(　　)
图15
A．B物体的动能增加量等于B物体重力势能的减少量
B．B物体的机械能一直减小
C．细线拉力对A做的功等于A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量
D．B物体机械能的减少量等于弹簧的弹性势能的增加量
【答案】BC
【解析】对于B物体，有重力与细线拉力做功，根据动能定理可知，B物体动能的增加量等于它重力势能的减少量与拉力做功之和，故A错误；从开始到B速度达到最大的过程中，细线的拉力对B一直做负功，所以B的机械能一直减小，故B正确；系统机械能的增加量等于系统除重力和弹簧弹力之外的力所做的功，A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于细线拉力对A做的功，故C正确；整个系统中，根据功能关系可知，B减少的机械能转化为A的机械能以及弹簧的弹性势能，故B物体机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，故D错误．
【易错点】A、B与弹簧和绳组成的系统机械能守恒，系统选取错误会造成本题的错选或者漏选。
【方法点拨】物体（系统）机械能的变化等于除重力和系统内弹力之外的力所做的功。
例3如图16所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB平齐，静止放在倾角为53°的光滑斜面上．一长为L＝9
cm的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m＝1
kg的小球，将细绳拉直呈水平，使小球在位置C由静止释放，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断．之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x＝5
cm.(g＝10
m/s2，sin
53°＝0.8，cos
53°＝0.6)求：
图16
(1)细绳受到的拉力的最大值；
(2)D点到水平线AB的高度h；
(3)弹簧所获得的最大弹性势能Ep.
【答案】(1)30
N　(2)16
cm　(3)2.9
J
【解析】(1)小球由C运动到D，由机械能守恒定律得：
mgL＝mv
解得v1＝①
在D点，由牛顿第二定律得
FT－mg＝m②
由①②解得FT＝30
N
由牛顿第三定律知细绳所能承受的最大拉力为30
N.
(2)由D到A，小球做平抛运动
v＝2gh③
tan
53°＝④
联立③④解得h＝16
cm.
(3)小球从C点到将弹簧压缩至最短的过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即Ep＝mg(L＋h＋xsin
53°)，代入数据得：Ep＝2.9
J.
【易错点】不能清楚的分析出物体的整个运动过程。
【方法点拨】弹性势能的求解可以根据物体与弹簧组成的系统机械能守恒，然后利用机械能守恒定律来求解。
（二）举一反三
1．如图17所示，竖直平面内的半圆形光滑轨道，其半径为R.小球A、B质量分别为mA、mB，A和B之间用一根长为l(l＜R)的轻杆相连，从图示位置由静止释放，球和杆只能在同一竖直面内运动，下列说法正确的是(　　)
图17
A．若mA＜mB，B在右侧上升的最大高度与A的起始高度相同
B．若mA＞mB，B在右侧上升的最大高度与A的起始高度相同
C．在A下滑过程中轻杆对A做负功，对B做正功
D．A在下滑过程中减少的重力势能等于A与B增加的动能
【答案】C
【解析】选轨道最低点为零势能点，根据系统机械能守恒条件可知A和B组成的系统机械能守恒，如果B在右侧上升的最大高度与A的起始高度相同，则有mAgh－mBgh＝0，则有mA＝mB，故选项A、B错误；小球A下滑、B上升过程中小球B机械能增加，则小球A机械能减少，说明轻杆对A做负功，对B做正功，故选项C正确；下滑过程中减少的重力势能等于B上升过程中增加的重力势能和A与B增加的动能之和，故选项D错误．
2.
如图18所示，在长为L的轻杆中点A和端点B处各固定一质量为m的球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速度释放摆下．求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功？
图18
【答案】－0.2mgL　0.2mgL
【解析】A、B和杆组成的系统机械能守恒，以B的最低点为零重力势能参考平面，可得2mgL＝mvA2＋mvB2＋mgL.又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，故vB＝2vA
由以上两式得
vA＝
，vB＝
根据动能定理，对于A球有WA＋mg＝mvA2－0，所以WA＝－0.2mgL
对于B球有WB＋mgL＝mvB2－0，
所以WB＝0.2mgL.
3.
如图19所示，在倾角为30°的光滑斜面体上，一劲度系数为k＝200
N/m的轻质弹簧一端连接固定挡板C，另一端连接一质量为m＝4
kg的物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长，用手托住物体B使细绳刚好没有拉力，然后由静止释放，求：
图19
(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力；
(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；
(3)物体A的最大速度大小。
【答案】(1)30
N　(2)20
cm　(3)1
m/s
【解析】(1)弹簧恢复原长时，物体A、B的加速度大小相同，
对B分析：mg－T＝ma
对A分析：T－mgsin
30°＝ma
代入数据解得：T＝30
N。
(2)初始位置，弹簧的压缩量为：x1＝＝10
cm，
当物体A速度最大时，即物体A的加速度为0，对物体A分析有：mg＝kx2＋mgsin
30°
弹簧的伸长量为：x2＝10
cm
所以物体A沿斜面上升的距离为：x＝x1＋x2＝20
cm。
(3)因为x1＝x2，所以弹簧的弹性势能没有改变，由系统机械能守恒得：mg(x1＋x2)－mg(x1＋x2)sin
30°＝·2m·v2
解得：v＝1
m/s。
四、分层训练
能力进阶
【基础】
1．在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小(　　)
A．一样大
B．水平抛的最大
C．斜向上抛的最大
D．斜向下抛的最大
【答案】A
【解析】由机械能守恒定律mgh＋mv＝mv知，落地时速度v2的大小相等，故A正确．
2．如图20所示，物块A与物块B通过一轻绳相连处在定滑轮两侧，物块A套在一光滑水平横杆上，用手按住A，此时轻绳与杆夹角为30°，物块B静止，现释放物块A，让其向右滑行，已知A、B质量均为m，定滑轮中心距横杆高度为h，忽略定滑轮大小，B始终未与横杆触碰，则下列说法中正确的为(　　)
图20
A．B在下落过程中机械能守恒
B．A物块的最大速度为
C．物块向右滑行过程中，绳对A的拉力的功率一直增大
D．物块B的机械能最小时，物块A的动能最大
【答案】BD
【解析】B下落过程中，绳的拉力对B做负功，机械能不守恒，A错；当物体A到达滑轮正下方时，速度达到最大，此时vB＝0，vA最大且沿水平方向，C错；A、B组成的系统机械能守恒：mg(2h－h)＝mv，vA＝，此时B机械能最小，A动能最大，B、D对．
3.
如图21所示，长度为l的细线，一端固定于O点，另一端拴一小球，先将细线拉直呈水平，使小球位于P点，然后无初速度释放小球，当小球运动到最低点时，细线遇到在O点正下方水平固定着的钉子K，不计任何阻力，若要求小球能绕钉子在竖直面内做完整圆周运动，则K与O点的距离可能是(　　)
图21
A.l
B.l
C.l
D.l
【答案】AB
【解析】设K与O的距离为x，则根据机械能守恒mgl＝mv，若恰能完成完整的圆周运动，则mv＝mg×2(l－x)＋mv2且mg＝，整理得x＝l，因此K与O的距离至少为l，因此A、B正确，C、D错误．
4.
如图22所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1
kg和2
kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2
m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1
m．两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10
m/s2.则下列说法中正确的是(　　)
图22
A．整个下滑过程中A球机械能守恒
B．整个下滑过程中B球机械能守恒
C．整个下滑过程中A球机械能的增加量为
J
D．整个下滑过程中B球机械能的增加量为
J
【答案】D
【解析】在下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，但在B球沿水平面滑行，而A沿斜面滑行时，杆的弹力对A、B球做功，所以A、B球各自机械能不守恒，故A、B错误；根据系统机械能守恒得：mAg(h＋Lsin
θ)＋mBgh＝(mA＋mB)v2，解得：v＝
m/s，系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为mBv2－mBgh＝
J，故D正确；A球的机械能减少量为
J，C错误．
5.
如图23所示，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在竖直放置的半径为R的
圆环顶点P，另一端系一质量为m的小球，小球穿在圆环上做无摩擦的运动．设开始时小球置于A点，弹簧处于自然状态，当小球运动到最低点时速率为v，对圆环恰好没有压力．下列分析正确的是(　　)
图23
A．从A到B的过程中，小球的机械能守恒
B．从A到B的过程中，小球的机械能减少
C．小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋m
D．小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋m
【答案】BC
【解析】从A到B的过程中，因弹簧对小球做负功，小球的机械能将减少，A错误、B正确；在B点对小球应用牛顿第二定律可得：FB－mg＝m，解得FB＝mg＋m，C正确、D错误．
【巩固】
1．(2017·江苏卷)如图23所示，三个小球A、B、C的质量均为m，A与B、C间通过铰链用轻杆连接，杆长为L.B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长．现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角α由60°变为120°.A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g.则此下降过程中(　　)
图23
A．A的动能达到最大前，B受到地面的支持力小于mg
B．A的动能最大时，B受到地面的支持力等于mg
C．弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下
D．弹簧的弹性势能最大值为mgL
【答案】AB
【解析】A对：取A、B、C整体研究，三个小球皆静止时，地面对B、C球的弹力各为mg.当A球下降时，只要A球未达最大速度，有竖直向下的加速度，A球就处于失重状态，地面对B球的支持力小于mg.
B对：A球的动能最大时，aA＝0，系统在竖直方向上F合＝0，则地面对B球的弹力为mg.
C错：弹簧的弹性势能最大时，对应着弹簧伸长量最大，A球运动到最低点，此时vA＝0，但aA≠0，加速度方向竖直向上．
D错：两杆间夹角由60°变为120°，A球下落的距离h＝Lsin
60°－Lsin
30°＝L，A球重力势能的减少量为ΔEp＝mgL.由能量转化知，弹簧的弹性势能最大值为mgL.
2.
如图25，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连．现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点．已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<.在小球从M点运动到N点的过程中(　　)
图25
A．弹力对小球先做正功后做负功
B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
【答案】BCD
【解析】因M和N两点处弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<，知M处的弹簧处于压缩状态，N处的弹簧处于伸长状态，则弹簧的弹力对小球先做负功后做正功再做负功，选项A错误；当弹簧水平时，竖直方向的力只有重力，加速度为g；当弹簧处于原长位置时，小球只受重力，加速度为g，则有两个时刻的加速度大小等于g，选项B正确；弹簧长度最短时，即弹簧水平，弹力方向与速度方向垂直，弹力对小球做功的功率为零，选项C正确；由动能定理得，WF＋WG＝ΔEk，因M和N两点处弹簧对小球的弹力大小相等，弹性势能相等，则由弹力做功特点知WF＝0，即WG＝ΔEk，选项D正确．
3.
将一小球从高处水平抛出，最初2
s内小球动能Ek随时间t变化的图象如图26所示，不计空气阻力，g取10
m/s2。根据图象信息，不能确定的物理量是(　　)
图26
A．小球的质量
B．小球的初速度
C．最初2
s内重力对小球做功的平均功率
D．小球抛出时的高度
【答案】D
【解析】由机械能守恒定律可得Ek＝Ek0＋mgh，又h＝gt2，所以Ek＝Ek0＋mg2t2。当t＝0时，Ek0＝mv＝5
J，当t＝2
s时，Ek＝Ek0＋2mg2＝30
J，联立方程解得m＝0.125
kg，v0＝4
m/s。当t＝2
s时，由动能定理得WG＝ΔEk＝25
J，故＝＝12.5
W。根据图象信息，无法确定小球抛出时离地面的高度。综上所述，应选D。
4.
如图27所示，一个小环沿竖直放置的光滑圆环形轨道做圆周运动。小环从最高点A滑到最低点B的过程中，小环线速度大小的平方v2随下落高度h的变化图象可能是(　　)
图27
【答案】AB
【解析】对小环由机械能守恒定律得mgh＝mv2－mv，则v2＝2gh＋v，当v0＝0时，B正确；当v0≠0时，A正确。
5.
如图28所示，倾角θ＝30°的光滑斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平．用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中(　　)
图28
A．物块的机械能逐渐增加
B．软绳的重力势能减少了mgl
C．物块重力势能的减少量等于软绳机械能的增加量
D．软绳重力势能减少量小于其动能的增加量
【答案】BD
【解析】细线对物块做负功，物块的机械能减少，细线对软绳做功，软绳的机械能增加，故软绳重力势能的减少量小于其动能增加量，A错误，D正确；物块重力势能的减少量一部分转化为软绳机械能，另一部分转化为物块的动能，故C错误；从开始运动到软绳刚好全部离开斜面，软绳的重心下移了，故其重力势能减少了mgl，B正确．
【拔高】
1.
2022年第24届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，跳台滑雪是冬奥会的比赛项目之一。如图29所示为一简化后的跳台滑雪的雪道示意图，运动员从O点由静止开始，在不借助其他外力的情况下，自由滑过一段圆心角为60°的光滑圆弧轨道后从A点水平飞出，然后落到斜坡上的B点。已知A点是斜坡的起点，光滑圆弧轨道半径为40
m，斜坡与水平面的夹角θ＝30°，运动员的质量m＝50
kg，重力加速度g＝10
m/s2，忽略空气阻力。下列说法正确的是(　　)
图29
A．运动员从O点运动到B点的整个过程中机械能守恒
B．运动员到达A点时的速度为20
m/s
C．运动员到达B点时的动能为10
kJ
D．运动员从A点飞出到落到B点所用的时间为
s
【答案】
AB
【解析】由题意可得，运动员从O点运动到B点的整个过程机械能守恒，选项A正确；由圆周运动过程机械能守恒可得，运动员到达A点时的速度为20
m/s，选项B正确；由机械能守恒和平抛运动规律可知运动员到达B点时的竖直方向分速度为v⊥＝v0·2tan
θ＝
m/s，则运动员到达B点时的动能大于10
kJ，选项C错误；设运动员从A点飞出到落到B点所用的时间为t，则v⊥＝gt，t＝
s，选项D错误。
2．半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m和m的小球A和B.A、B之间用一长为R的轻杆相连，如图30所示．开始时，A、B都静止，且A在圆环的最高点，现将A、B释放，试求：
图30
(1)B球到达最低点时的速度大小；
(2)B球在圆环右侧区域内能达到的最高点到圆环圆心的竖直高度．
【答案】(1)　(2)R
【解析】(1)A、B组成的系统机械能守恒：
mAgR＋mBgR＝mAv＋mBv
又A、B速度大小相同：vA＝vB
得：vA＝vB＝
(2)设B球到圆环右侧最高点时，OB与竖直方向夹角为θ，设圆环圆心处的水平面为零势能面，由系统机械能守恒得：mAgR＝mBgRcos
θ－mAgRsin
θ
代入数据得：θ＝30°
所求竖直高度：h＝Rcos
θ＝R
3.
如图31所示，半径R＝0.4
m的光滑圆弧轨道BC固定在竖直平面内，轨道的上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角θ＝30°，下端点C为轨道的最低点且与粗糙水平面相切，一根轻质弹簧的右端固定在竖直挡板上．质量m＝0.1
kg的小物块(可视为质点)从空中A点以v0＝2
m/s的速度被水平抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，经过C点后沿水平面向右运动至D点时，弹簧被压缩至最短，C、D两点间的水平距离L＝1.2
m，小物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10
m/s2.求：
图31
(1)小物块经过圆弧轨道上B点时速度vB的大小；
(2)小物块经过圆弧轨道上C点时对轨道的压力大小；
(3)弹簧的弹性势能的最大值Epm.
【答案】(1)4
m/s　(2)8
N　(3)0.8
J
【解析】(1)小物块恰好从B点沿切线方向进入轨道，由几何关系有vB＝＝4
m/s.
(2)小物块由B点运动到C点，由机械能守恒定律有
mgR(1＋sin
θ)＝mv－mv
在C点处，由牛顿第二定律有FN－mg＝m，解得FN＝8
N
根据牛顿第三定律，小物块经过圆弧轨道上C点时对轨道的压力FN′大小为8
N.
(3)小物块从B点运动到D点，由能量守恒定律有
Epm＝mv＋mgR(1＋sin
θ)－μmgL＝0.8
J.
4.
如图32所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上.用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行.已知A、B的质量均为m，C的质量为4m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C后C沿斜面下滑，A刚离开地面时，B获得最大速度.求：
图32
(1)斜面倾角α；
(2)B的最大速度v.
【答案】　(1)30°　(2)2g
【解析】(1)当物体A刚刚离开地面时，设弹簧的伸长量为xA，对A有kxA＝mg.
此时B受到重力mg、弹簧的弹力kxA、细线拉力FT三个力的作用，设B的加速度为a，根据牛顿第二定律，对B有，FT－mg－kxA＝ma，对C有，4mgsin
α－FT＝4ma，当B获得最大速度时，有a＝0，由此解得sin
α＝0.5，所以α＝30°.
(2)开始时弹簧压缩的长度为xB＝，显然xA＝xB.当物体A刚离开地面时，B上升的距离以及C沿斜面下滑的距离为xA＋xB.由于xA＝xB，弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，且物体A刚刚离开地面时，B、C两物体的速度相等，设为v，由机械能守恒定律得4mg(xA＋xB)sin
α－mg(xA＋xB)＝(4m＋m)v2，代入数值解得v＝2g.
5.
如图33所示，左侧竖直墙面上固定半径为R＝0.3
m的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O等高处固定一光滑直杆.质量为ma＝100
g的小球a套在半圆环上，质量为mb＝36
g的滑块b套在直杆上，二者之间用长为l＝0.4
m的轻杆通过两铰链连接.现将a从圆环的最高处由静止释放，使a沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a、b均视为质点，重力加速度g＝10
m/s2.求：
图33
(1)小球a滑到与圆心O等高的P点时的向心力大小；
(2)小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点的过程中，杆对滑块b做的功.
【答案】(1)2
N　(2)0.194
4
J
【解析】(1)当a滑到与O同高度的P点时，a的速度v沿圆环切向向下，b的速度为零，
由机械能守恒可得：magR＝mav2
解得v＝
对小球a受力分析，由牛顿第二定律可得：F＝＝2mag＝2
N
(2)杆与圆环相切时，如图所示，此时a的速度沿杆方向，
设此时b的速度为vb，则知va＝vbcos
θ
由几何关系可得：cos
θ＝＝0.8
球a下降的高度h＝Rcos
θ
a、b及杆组成的系统机械能守恒：magh＝mava2＋mbvb2－mav2
对滑块b，由动能定理得：W＝mbvb2＝0.194
4
J

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