资源简介

圆与相似三角形大题提高练习
1.如图，
是
的内接三角形，点
在
上，点
在弦
上（
不与
重合），且四边形
为菱形.
（1）??
求证：
；
（2）??
求证：
；
（3）已知
的半径为3.①若
，求
的长；
②当
为何值时，
的值最大？
2.
如图1，直线l：
与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜
），以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．
（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；
（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；
（3）当点C在线段OA上运动时，求OE·EF的最大值．
3.
如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．
（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC=
，求四边形OCDB的面积．
4.
如图在平面直角坐标系中，直线y=﹣
x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q．
（1）求证：直线AB是⊙Q的切线；
（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0），作直线AB的垂线CM，垂足为M．若CM与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．
5.
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．
（1）求证：AD=DE；
（2）若CE=2，求线段CD的长；
（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．
6.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．
（1）若∠BCD=36°，BC=10，求BD的长；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求证：2CE2=AB?EF．
7.如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，CE=2，求EF的长．
8.如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG=∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．
（1）求证：PG与⊙O相切；
（2）若
=
，求
的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为8，PD=OD，求OE的长．
9.
如图：在
中，BC=2,AB=AC，点D为AC上的动点，且
.
（1）求AB的长度；
（2）求AD·AE的值；
（3）过A点作AH⊥BD，求证：BH=CD+DH.
10.
如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若AF=12，BE=6，求
的值．
参考答案
1.【答案】（1）证明：∵四边形BDCE为菱形，∴CD=CE，∠CBD=∠CBE，
∴CD=AC，
∴AC=CE．
（2）证明：如图1，过点C作CF⊥AB交于点F，
∵AC=CE，∴AF=EF．在Rt△BCF和Rt△ACF中，
?
∴
，
∵四边形BDCE是菱形，∴BE=CE=AC，
∴
．
（3）解：①∵
，可设AB=5k，BE=AC=3k，则AE=AB-BE=2k，AF=k．在Rt△ACF中，cos∠A=
．
2如图2，连接CO并延长交⊙O与点G，连接BG，则∠G=∠A，则cos∠G=
,
∵CG是直径，
∴△BCG是直角三角形，
∵CG=6，cos∠G=
,∴BG=2，
∴BC=
．
②如图2，设
，其中m>1，AC=a，则AB=ma，AE=ma-a，AF=
，
在Rt△AFC中，cos∠A=
,
在Rt△BCG中，CG=6，cos∠G=cos∠A=
,
∴BG=CG·cos∠G=6·
=3m-3，
BC2=
，
由（2）得
，
∴
，∴
，
又∵
，∴
．
∴AB·AC=ma2=9m(3?m)=?9m2+27m．当m=
时，?9m2+27m的值最大．∵0时，AB·AC的值最大，即
时，AB·AC的值最大．
2.
【答案】（1）解：把A（4，0）代入
，得
×4+b=0，
解得b=3，
∴直线l的函数表达式为
，
∴B（0,3），
∵AO⊥BO，OA=4，BO=3，
∴tan∠BAO=
.
（2）①证明：如图，连结AF，
∵CE=EF，
∴∠CAE=∠EAF，
又∵AC=AE=AF，
∴∠ACE=∠AEF，
∴∠OCE=∠OEA，
又∵∠COE=∠EOA，
∴△OCE∽△OEA.
②解：如图，过点E作EH⊥x轴于点H，
∵tan∠BAO=
，
∴设EH=3x，AH=4x，
∴AE=AC=5x，OH=4-4x，
∴OC=4-5x,
∵△OCE∽△OEA，
∴
=
，
即OE2=OA·OC，
∴（4-4x）2+（3x）2=4（4-5x）,
解得x1=
，x2=0（不合题意，舍去）
∴E（
，
）.
（3）解：如图，过点A作AM⊥OF于点M，过点O作ON⊥AB于点N,
∵tan∠BAO=
,
∴cos∠BAO=
,
∴AN=OA·cos∠BAO=
,
设AC=AE=r,
∴EN=
-r,
∵ON⊥AB，AM⊥OF,
∴∠ONE=∠AME=90°，EM=
EF,
又∵∠OEN=∠AEM,
∴△OEN∽△AEM,
∴
=
,
即OE·
EF=AE·EN,
∴OE·EF=2AE·EN=2r·（
-r）,
∴OE·EF=-2r2+
r-2（r-
）2+
（0＜r＜
）,
∴当r=
时，OE·EF有最大值，最大值为
.
3.
【答案】（1）解：PM与⊙O相切．
理由如下：连接DO并延长交PM于E，如图，
∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，
∴OC=DC，BO=BD，
∴OC=DC=BO=BD，
∴四边形OBDC为菱形，
∴OD⊥BC，
∴△OCD和△OBD都是等边三角形，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∴∠COP=∠EOP=60°，
∵∠MPB=∠ADC，
而∠ADC=∠ABC，
∴∠ABC=∠MPB，
∴PM∥BC，
∴OE⊥PM，
∴OE=
OP，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴OC=
OP，
∴OE=OC，
而OE⊥PC，
∴PM是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OPC中，OC=
PC=
，
∴四边形OCDB的面积=2S△OCD=2×
×12=
4.
【答案】（1）证明：如图1中，连接QP．
在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，
∴AB=
=5，
∵AP=4t，AQ=5t，
∴
=
=
，∵∠PAQ=∠BAO，
∴△PAQ∽△BAO，
∴∠APQ=∠AOB=90°，
∴QP⊥AB，
∴AB是⊙O的切线
（2）解：①如图2中，当直线CM在⊙O的左侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．
易知PQ=DQ=3t，CQ=
?3t=
，
∵OC+CQ+AQ=4，
∴m+
t+5t=4，
∴m=4﹣
t．
②如图3中，当直线CM在⊙O的右侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．
∵OC+AQ﹣CQ=4，
∴m+5t﹣
t=4，
∴m=4﹣
t
（3）解：存在．理由如下：
如图4中，当⊙Q在y则的右侧与y轴相切时，3t+5t=4，t=
，
由（2）可知，m=﹣
或
．
如图5中，当⊙Q在y则的左侧与y轴相切时，5t﹣3t=4，t=2，
由（2）可知，m=﹣
或
．
综上所述，满足条件的点C的坐标为（﹣
，0）或（
，0）或（﹣
，0）或（
，0）
5.
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=BC，
∴D是AC的中点，∠ABD=∠CBD，
∴AD=DE；
（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，
∴∠CED=∠CAB，
∵∠C=∠C，
∴△CED∽△CAB，
∴
=
，
∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，
∴CD=
；
（3）解：延长EF交⊙O于M，
在Rt△ABD中，AD=
，AB=10，
∴BD=3
，
∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴
=
，
∴∠BEP=∠EDB，
∴△BPE∽△BED，
∴
=
，
∴BP=
，
∴DP=BD﹣BP=
，
∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32，
∵S△BCD=
×
×3
=15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，
∴S△BDE=12，
∴S△DPE=
．
6.
【答案】（1）解：∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
在Rt△BCD中，∵BC=10，∠BCD=36°，
∴BD=BC?sin36°=10?sin36°≈5.9．
（2）解：连接OD．
∵AE=EC，OB=OC，
∴OE∥AB，
∵CD⊥AB，
∴OE⊥CD，
∵OD=OC，
∴∠DOE=∠COE，
在△EOD和△EOC中，
，
∴△EOD≌△EOC，
∴∠EDO=∠ECO=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（3）解：∵OE⊥CD，
∴DF=CF，∵AE=EC，
∴AD=2EF，
∵∠CAD=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC2=AD?AB，
∵AC=2CE，
∴4CE2=2EF?AB，
∴2CE2=EF?AB．
7.
【答案】（1）解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAF+∠FAC=90°，
∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，
∴∠D+∠AOD=90°，
∴∠OAD=90°，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：连接BF，
∴∠FAC=∠AOD，
∴△ACE∽△DCA，
∴
，
∴
，
∴AC=AE=
，
∵∠CAE=∠CBF，
∴△ACE∽△BFE，
∴
，
∴
=
，
∴EF=
．
8.
【答案】（1）解：如图，连接OB，则OB=OD，
∴∠BDC=∠DBO，
∵∠BAC=∠BDC、∠BAC=∠GBC，
∴∠GBC=∠BDO，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBO+∠OBC=90°，
∴∠GBC+∠OBC=90°，
∴∠GBO=90°，
∴PG与⊙O相切。
（2）解：过点O作OM⊥AC于点M，连接OA，
则∠AOM=∠COM=
∠AOC，
∵
∴∠ABC=
∠AOC=∠COM，
又∵∠EFB=∠OMC=90°，
∴△BEF∽△OCM，
∴
，
∵CM=
AC，
∴
，
又∵
，
∴
（3）解：由（2）可知=，则BE=10.
∵PD=OD，∠PBO=90°，
∴BD=OD=8，
在Rt△DBC中，BC=
=8
，
又∵OD=OB，
∴△DOB是等边三角形，
∴∠DOB=60°，
∵∠DOB=∠OBC+∠OCB，OB=OC，
∴∠OCB=30°，
∴
，
=
，
∴可设EF=x，则EC=2x、FC=
x，
∴BF=8
﹣
x，
在Rt△BEF中，BE2=EF2+BF2
，
∴100=x2+（8
﹣
x）2
，
解得：x=6±
，
∵6+
＞8，舍去，
∴x=6﹣
，
∴EC=12﹣2
，
∴OE=8﹣（12﹣2
）=2
﹣4
9.
【答案】（1）解：作AM⊥BC，
∵AB=AC,BC=2，AM⊥BC，
∴BM=CM=
BC=1,
在Rt△AMB中，
∵cosB=
,BM=1,
∴AB=BM÷cosB=1÷
=
.
（2）解：连接CD，∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠ADC+∠ABC=180°,
又∵∠ACE+∠ACB=180°,
∴∠ADC=∠ACE，
∵∠CAE=∠CAD，
∴△EAC∽△CAD，
∴
,
∴AD·AE=AC2=AB2=（
）2=10.
（3）证明：在BD上取一点N，使得BN=CD,
在△ABN和△ACD中
∵
∴△ABN≌△ACD（SAS），
∴AN=AD，
∵AH⊥BD，AN=AD，
∴NH=DH,
又∵BN=CD,NH=DH,
∴BH=BN+NH=CD+DH.
10.
【答案】（1）证明：如图，连接OE，
∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO，
∵AE平分∠FAH，
∴∠EAO=∠FAE，
∴∠FAE=∠AEO，
∴AF∥OE，
∴∠AFE+∠OEF=180°，
∵AF⊥GF，
∴∠AFE=∠OEF=90°，
∴OE⊥GF，
∵点E在圆上，OE是半径，
∴GF是⊙O的切线.
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴EB⊥AB，
∵EF⊥AF，AE平分∠FAH，
∴EF=BE=6，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=90°，
∴∠DAF+∠AFD=90°，
又∵AF⊥FG，∴∠AFG=90°，
∴∠AFD+∠CFE=90°，
∴∠DAF=∠CFE，
又∵∠D=∠C，
∴△ADF∽△FCE，
∴
=
，
又∵AF=12，EF=6，∴
=
=
．

展开更多......

收起↑