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开普勒定律、万有引力定理
1．[2020·唐山考试]甲、乙两卫星绕地球运动．卫星甲做匀速圆周运动，其轨道直径为4R，C是轨道上任意一点；卫星乙的轨道是椭圆，椭圆的长轴为6R，A、B分别是轨道的近地点和远地点，如图所示．下列说法正确的是(　　)
A．卫星甲的周期大于卫星乙的周期
B．两卫星与地心的连线在相同的时间内扫过的面积相等
C．卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在A点的速度
D．卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在B点的速度
2．[2020·全国卷Ⅲ]“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍．已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g.则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为(　　)
A. B.
C. D.
3．[2019·江苏卷]1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则(　　)
A．v1>v2，v1＝ B．v1>v2，v1>
C．v1
4．[2020·衡水中学调研](多选)把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周，由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得(　　)
A．火星和太阳的质量之比
B．火星和地球到太阳的距离之比
C．火星和地球绕太阳运行速度大小之比
D．火星和地球的质量之比
5．[2019·全国卷Ⅱ]2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是(　　)
6．[2020·全国卷Ⅱ]若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是(　　)
A. B.
C. D.
7．2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
8．[2020·哈六中测试](多选)2017年11月8日，“雪龙号”极地考察船驶离码头，开始了第34次南极考察之旅．“雪龙号”极地考察船在由我国驶向南极的过程中，经过赤道时测得某物体的重力是G1；在南极附近测得该物体的重力为G2.已知地球自转的周期为T，引力常量为G.假设地球可视为质量分布均匀的球体，且海水的密度和船的总质量均不变，由此可知(　　)
A. “雪龙号”考察船在南极时的吃水深度与在赤道时相同
B．“雪龙号”考察船在南极时的吃水深度比在赤道时大
C．地球的密度为
D．当地球的自转周期为 T时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力
9．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为(　　)
A. B.
C. D.
10．卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，运动周期为T，地球半径为R，引力常量为G，下列说法中正确的是(　　)
A．卫星的线速度大小为v＝
B．地球的质量为M＝
C．地球的平均密度为ρ＝
D．地球表面重力加速度大小为g＝
11．地球半径为R，在距球心r处(r>R)有一同步卫星，另有一半径为2R的星球A，在距球心3r处也有一同步卫星，它的周期是48 h，那么A星球平均密度与地球平均密度的比值为(　　)
A．9:32 B．3:8
C．27:32 D．27:16
12．对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T关系作出如图所示图象，则可求得地球质量为(已知引力常量为G)(　　)
A. B.
C. D.
13．[2020·贵阳市测试]如图所示，假设甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M1和M2(M1>M2)的行星做匀速圆周运动．则下列说法正确的是(　　)
A．甲和乙的向心加速度相等
B．甲和乙运行的周期相等
C．甲的角速度比乙的小
D．甲的线速度比乙的大
14．[2020·江西名校质检]已知地球两极的重力加速度为g，地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍．考虑地球自转的影响，把地球视为质量均匀分布的球体，则赤道上的重力加速度为(　　)
A.g B.g
C.g D.g
15．[2020·黄冈元月调研]某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半，若从地球表面高h处平抛一物体，射程为60 m，则在该星球上，从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，射程应为(　　)
A．10 m B．15 m
C．90 m D．360 m
16．[2020·邢台市测试]2018年7月25日消息称，科学家们在火星上发现了第一个液态水湖，这表明火星上很可能存在生命．目前，美国的“洞察”号火星探测器正飞往火星，预计在今年11月26日降落到火星表面．假设该探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T.已知火星的半径为R1，地球的半径为R2，地球的质量为M，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则火星的质量为(　　)
A. B.
C. D.
17．[2019·全国卷Ⅰ](多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示．在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a－x关系如图中虚线所示．假设两星球均为质量均匀分布的球体．已知星球M的半径是星球N的3倍，则(　　)
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
18．某个行星的质量是地球质量的一半，半径也是地球半径的一半．某运动员在地球上能举起250 kg的杠铃，在行星上最多能举起质量为多少的杠铃？
　开普勒定律、万有引力定理
1．C　卫星甲的轨道半径为2R，卫星乙的轨道半长轴为3R，根据开普勒第三定律可知，卫星甲的周期小于卫星乙的周期，选项A错误；根据开普勒第二定律可知，同一卫星与地心连线在相同时间内扫过的面积相等，而不同轨道半径的卫星与地心连线在相同时间内扫过的面积不相等，选项B错误；卫星乙运动到A点的速度大于以A点与地心连线为半径的圆轨道上运动卫星的速度，卫星乙运动到B点的速度小于以B点与地心连线为半径的圆轨道上运动卫星的速度，根据G＝m可得v＝，可知以A点与地心连线为半径的圆轨道上运动卫星的速度大于卫星甲的速度，以B点与地心连线为半径的圆轨道上运动卫星的速度小于卫星甲的速度，所以卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙运动到A点的速度，卫星甲在C点的速度一定大于卫星乙运动到B点的速度，选项C正确，D错误．
2．D　设月球质量为m、半径为r
则地球质量为Qm、半径R＝Pr
探测器绕月运动半径为Kr＝K·①
地球表面重力加速度大小为g，则＝m0g②
探测器绕月运动，由牛顿第二定律得＝m′③
由①②③式得v＝ ，故D正确．
3．B　本题考查了万有引力定律的应用以及能量等知识，意在考查考生的综合分析能力．
“东方红一号”环绕地球在椭圆轨道上运行的过程中，只有万有引力做功，机械能守恒，其由近地点向远地点运动时，万有引力做负功，引力势能增加，动能减小，因此v1>v2；又“东方红一号”离开近地点开始做离心运动，则由离心运动的条件可知G，B正确，ACD错误．
4．BC　由开普勒第三定律知由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求出轨道半径的比，又由v＝可知， 线速度之比也可求出，故B、C正确．
5．D　本题考查了万有引力定律公式. 考查了学生对万有引力定律的理解能力，体现了运动和相互作用的物理观念及科学推理的核心素养．
由万有引力定律可知，探测器受到的万有引力F＝，其中R为地球半径．在探测器“奔向”月球的过程中，离地面积距离h增大，其所受的万有引力非线性减小，故选项D正确．
6．A　设星体半径为R，则其质量M＝πρR3；在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星所受万有引力提供向心力，有G＝m··R，联立解得T＝，故A选项正确，B、C、D选项错误．
7．C　以周期T稳定自转的星体，当星体的密度最小时，其表面物体受到的万有引力提供向心力，即＝mR，星体的密度ρ＝，得其密度ρ＝＝ kg/m3＝5×1015 kg/m3，故选项C正确．
8．ACD　根据体积V＝＝hS，得吃水深度h＝，因海水的密度、吃水的有效面积S和船的总质量均不变，故“雪龙号”在南极和赤道的吃水深度相同，故A正确，B错误；设地球质量为M，半径为R，物体质量为m，在两极有＝G2，在赤道，－G1＝R，密度ρ＝＝，解得ρ＝，C正确；放在赤道地面上物体不对地面有压力时有＝，解得T1＝T，D正确．
9．D　静置在天体表面赤道上的物体若对天体表面没有压力则有＝R，又ρ＝，解得T＝，D正确．
10．D　11.C　12.A　13.D　14.D　15.A　
16．A　本题考查万有引力知识，目的是考查学生对天体运动中的牛顿定律与曲线运动的综合能力．对探测器在着陆火星前贴近火星表面运行，有G＝mR12，将探测器放在地面上时，有G＝mg，可解得火星的质量M火＝，选项A正确．
17．AC　本题考查了重力与万有引力的关系、密度、牛顿第二定律与图象的综合应用、机械能守恒定律等，以及理解能力、推理能力、综合分析能力及应用数学知识处理物理问题的能力，难度较大．本题体现了运动与相互作用观念、能量观念、模型建构、科学推理和科学论证的核心素养，加强了考生以科学态度探究科学本质的责任感．
对物体在弹簧上向下运动的过程应用牛顿第二定律得mg－kx＝ma，则a＝g－x，结合a－x图象可得，重力加速度gM＝3a0、gN＝a0，＝、＝，联立可解得mQ＝6mP，故B选项错．认为星球表面的重力等于万有引力，即mg＝G，则星球质量M＝，星球的密度ρ＝＝＝，由此可知M星球与N星球的密度之比为＝＝×＝1，故A选项正确．设弹簧的最大压缩量为xm，此时物体动能为零，由机械能守恒定律有mgxm＝kx，则xm＝，由此可得＝＝6×＝2，故D选项错．当物体加速度等于零时，速度最大，动能最大，由机械能守恒定律有，Ekm＝mgx′－kx′2，结合mg＝kx′可得Ekm＝kx′2，此时P、Q对应的弹簧的压缩量分别为x0和2x0，故有＝2＝4，故C选项正确．
18．125 kg
解析：运动员在每个星球上的举力不变，在地表上有＝mg，g＝，由举力不变得
m地·g地＝m行·g行，
M地·＝M行，解得m行＝125 kg.

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