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动力学中的临界和极值问题
1.
[2020·海口调研测试]如图所示，A、B两物块叠放在一起，放在光滑地面上，已知A、B物块的质量分别为M、m，物块间粗糙．现用水平向右的恒力F1、F2先后分别作用在A、B物块上，物块A、B均不发生相对运动，则F1、F2的最大值之比为(　　)
A．1:1　　B．M:m
C．m:M D．m:(m＋M)
2．[2020·厦门双十中学测试]如图所示，质量分别为m1＝1 kg、m2＝2 kg的滑块A和滑块B叠放在光滑水平地面上处于静止状态，A和B之间的动摩擦因数μ＝0.5，拉力F作用在滑块A上，拉力F从0 N开始逐渐增大到7 N的过程中，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，下列说法正确的是(　　)
A．当F>5 N时，A、B发生了相对滑动
B．从一开始就发生了相对滑动
C．始终保持相对静止
D．开始相对静止，后来发生相对滑动
3．[2020·五省名校联考]水平桌面上有三本叠放在一起、质量均为m的书，书与桌面及书与书之间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，现想把中间的一本书水平抽出，则要用的力至少要大于(　　)
A．2μmg B．3μmg
C．4μmg D．6μmg
4.
如图所示，一只杯子固定在水平桌面上，将一块薄纸板盖在杯口上并在纸板上放一枚鸡蛋，现用水平向右的拉力将纸板快速抽出，鸡蛋(水平移动距离很小，几乎看不到)落入杯中，这就是惯性演示实验．已知鸡蛋(可视为质点)中心离纸板左端的距离为d，鸡蛋和纸板的质量分别为m和2m，所有接触面的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，若鸡蛋移动的距离不超过就能保证实验成功，则所需拉力的最小值为(　　)
A．3μmg B．6μmg
C．12μmg D．26μmg
5．(多选)如图，在光滑水平面上放着紧靠在一起的A、B两物体，B的质量是A的2倍，B受到水平向右的恒力FB＝2 N，A受到的水平向右的变力FA＝(9－2t) N，t的单位是s.从t＝0开始计时，则(　　)
A．A物体在3 s末时刻的加速度是初始时刻的倍
B．t>4 s后，B物体做匀加速直线运动
C．t＝4.5 s时，A物体的速度为零
D．t>4.5 s后，A、B的加速度方向相反
6．[2020·河北辛集测试](多选)如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上．A、B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.现对A施加一水平拉力F，则下列说法正确的是(　　)
A．当F<2μmg时，A、B都相对地面静止
B．当F＝μmg时，A的加速度为μg
C．当F>3μmg时，A相对B滑动
D．无论F为何值，B的加速度不会超过μg
7.
如图所示，轻弹簧一端固定在地面上，另一端与木板M固定连接，将m轻放在M上，初始时两者处于静止状态．则此时至少对m施加多大的力F，才能使m与M在此时脱离．
8.
如图所示，木块A、B的质量分别为m1、m2，紧挨着并排放在光滑的水平面上，A与B的接触面垂直于图中纸面且与水平面成θ角，A与B间的接触面光滑．现施加一个水平力F于A，使A、B一起向右运动，且A、B不发生相对运动，求F的最大值．
9．[2020·昆明统测]如图所示，质量M＝1 kg的木板A静止在水平地面上，在木板的左端放置一个质量m＝1 kg的铁块B(大小可忽略)，铁块与木块间的动摩擦因数μ1＝0.3，木板长L＝1 m，用F＝5 N的水平恒力作用在铁块上，g取10 m/s2.
(1)若水平地面光滑，计算说明铁块与木板间是否会发生相对滑动；
(2)若木板与水平地面间的动摩擦因数μ2＝0.1，求铁块运动到木板右端所用的时间．
10．在倾角θ＝37°的粗糙斜面上距离斜面底端s＝1 m处有一质量m＝1 kg的物块，受如图所示的水平恒力F作用．物块由静止开始沿斜面下滑，到达底端时即撤去水平恒力F，然后在水平面上滑动一段距离后停止．物块与各接触面之间的动摩擦因数均为μ＝0.2，g＝10 m/s2.(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，求：
(1)若物块运动过程中最大速度为2 m/s，水平恒力F的大小为多少？
(2)若改变水平恒力F的大小，可使物块总的运动时间有一最小值，最小值为多少？
　动力学中的临界和极值问题
1．B　设A、B间最大静摩擦力为f，当F1作用在A上时，对B有f＝mam，对整体有F1＝(M＋m)am＝，当F2作用在B上时，对A有f＝Ma′m，对整体有F2＝(M＋m)a′m＝，得＝，故B正确．
2．C　A、B 间恰好发生相对滑动时，A、B间达到最大静摩擦力，对A、B整体得F＝(m1＋m2)a，对B得μm1g＝m2a，解得F＝7.5 N，所以F从0开始增大到7 N过程，A、B间不发生相对滑动，C正确．
3．C　
如图所示，设三本书为A、B、C，桌面对C的最大静摩擦力为μ3mg，B对C的最大静摩擦力为μ2mg，所以B抽出时C不动，只要aB>aA即可，F－μmg－μ2mg＝maB，μmg＝maA，解得F>4μmg，故C正确．
4．D　滑板模型，所以对鸡蛋有＝a1t2，μmg＝ma1，对纸板有d＋＝a2t2，Fmin－3μmg－μmg＝2ma2，联立解得Fmin＝26μmg，D项正确．
5．ABD　6.BCD　
7．F＝mg＋
解析：利用恰好脱离的条件，①两物体间挤压力为零；②加速度相等，对M可得：mg＝Ma，对m可得：
F－mg＝ma，解得F＝mg＋.
8.
解析：设A、B间弹力为FN，地面对B支持力为F′N，推力F越大，A越可能相对B向上滑，当F最大时，A刚要上滑，且受地面支持力为零，此时对A：F－FNsin θ＝m1a，
FNcos θ＝m1g，
对B有：FNsin θ＝m2a，解得
F＝，
F的最大值为.
9．(1)不会　(2) s
解析：(1)设铁块与木板间恰好发生相对滑动时拉力为F′，对整体有F′＝(M＋m)a，对A：FAB＝ma，FAB为最大静摩擦力，FAB＝μmg＝3 N，解得F′＝6 N>F＝5 N，不发生相对滑动．
(2)若μ2＝0.1，A与地面间，B与A间均发生相对滑动，对B：F－μ1mg＝maB，
对A：μ1mg－μ2(M＋m)g＝MaA，
xA＝aAt2，xB＝aBt2，xB－xA＝L，
解得t＝ s.
10．解析：(1)物块到达斜面底端时速度最大，有
v2＝2as
解得a＝2 m/s2
在斜面上由牛顿第二定律mgsin θ－Fcos θ－μ(mgcos θ＋Fsin θ)＝ma
解得F＝2.6 N
(2)设斜面上物块加速度为a，运动时间为t1，
在水平面上运动时间为t2
则s＝at
到达底端时速度为v＝＝μgt2
则总时间为t＝t1＋t2＝＋
根据基本不等式，当a＝μg＝2 m/s2时有t最小值，
tmin＝2 s.

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