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数列知识点总结+通项公式递推9大模型精讲！
等差数列的定义与性质?等比数列的定义与性质求数列通项公式的常用方法求数列前n项和的常用方法
(2)错位相减法若{an}为等差数列,{bn}为等比数列,求数列{anbn}(差比数列
前n项和,可由Sn-qSn,求Sn,其中q为{bn}的公比
如:S,=1+2x+3
Sn=x+2x2+3x3+4x
(n-1)
①-②(1-x)Sn=1+x+x2+…+x-nx
x≠1时,S
,x=1时,S=1+2+3
1-箕
(3)倒序相加法把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加
Sn=a1+a2+……+a1+a
相加2Sn=(a+an)+(a2+an1)+…+(a1+an)…
sn=a+a-
求递推数列的通项公式的九种方法
利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来,这一直是全国高考和
高中数学联赛的热点之
作差求和法
例1在数列{an}中,a1=3,an1=an
,求通项公式a
n(n+
解:原递推式可化为:an1=an
则
11
逐项相加得
a1+1--.故
34
作商求和法
例2设数列{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an1-nan2+an1an=0(n-=1,2,3…),则它的通项公式是
(2000年高考15题)
解:原递推式可化为
[(n+Dam+
-nan(a
n+1
则
逐项相乘得
换元法
4
例3已知数列{an},其中a1
,且当n≥3时,
(an1-an2),求通项公式an2(1986
年高考文科第八题改编)
解:设bn1=an-an1,原递推式可化为
bn1=bn2,{bn}是一个等比数列,b=a2-4≈134
公比为.故bn1=b()21,1
故an-an1=()”.由逐差法可得:a。3
例4已知数列{an},其中a1=1,a2=2,且当n≥3时,an-2an1+an2
求通项公式an。解
an-2an1+an2=1得:(an-an1)-(an1-an2)=1,令bn1=an-an1,则上式为bn1-bn-2=1,因此{bn}
是一个等差数列,b1=a
1,公差为1.故b=n.。
由于b1+b2+…+bn1=a2
a,+
(n
又b1+b2+…+b
所以an,-1=n(n-1),即a,、l
2
四、积差相消法
例5设正数列
满足
(n≥2)且a0=a1=1,求{an}的
通项公式
解将递推式两边同除以、an1an2整理得
设b2=,n,则b
,bn-2bn1=1,故有
b,-2b,=1
(1)b2-2b,=1
6-26
由(1)×2n-2+(2)×2n
+(n-1)2得bn
2
逐项相乘得
(2-1)2(22-1)2…(2"-1)2,考虑到a0=1,
故
(2-1)-(22-1)
(n≥1)
五、取倒数法
例6已知数列{an中,其中a1=1,且当n≥2时,an=2an1+1求通项公式an
解将an
两边取倒数得
2,这说明{}是一个等差数列,首项是
公差为2,
所以
1+(n-1)×2=2n-1,即
六、取对数法
例7若数列{an}中,a1=3且an1=an(n是正整数),则它的通项公式是a
(2002年上海高考题)
解由题意知an>0,将an1=an2两边取对数得lgan1=2lgan,即!m1=2,所以数列{gan}是以
lg
lga1=lg3为首项,公比为2的等比数列,1gan=1ga1·2n1=lg32,即an=32

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