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对数和对数函数问题的类型与解法
对数和对数函数是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必有一个对数和对数函数问题的5分小题。从题型上看是选择题或填空题，难度为中，低档。纵观各种考试试卷，归结起来对数和对数函数问题主要包括：①对数的运算；②对数函数概念的理解与运用；③对数函数图像的理解与运用；④对数函数性质的理解与运用；⑤对数函数的综合问题；⑥对数方程或不等式的解法等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答对数和对数函数问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、若a＞0，a1，x＞0，y＞0，x＞y，则下列式子中正确的个数是（
）①x.y=（x+y）；②x-y=（x-
y）；③
=x÷y；④（xy）=x.y。
A
0
B
1
C
2
D
3
【解析】
【知识点】①对数的定义与性质；②对数运算性质及运用。
【解题思路】运用对数运算性质，结合问题条件对各等式进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①，根据对数运算性质可知①错误；对②，=x-y
，②错误；对③，=x-yx÷y，③错误；对④，（xy）
=x+yx.y，④错误，A正确，选A。
2、计算25.
2.
9的结果为（
）
A
3
B
4
C
5
D
6
【解析】
【知识点】①对数的定义与性质；②对数换底公式及运用。
【解题思路】运用对数换底公式，结合问题条件通过运算求出25.
2.
9的值就可得出选项。
【详细解答】25.=
=，2==，
9=
=，25.
2.
9==6，D正确，选D。
3、22-+8的值为（
）
A
B
2
C
3
D
【解析】
【知识点】①对数的定义与性质；②对数运算性质及运用。
【解题思路】运用对数运算性质，结合问题条件通过运算求出22-+8的值就可得出选项。
【详细解答】=32-9=52-2，8=32，22-
+8=22-52+2+32=2，B正确，选B。
4、若lg2=a，lg3=b，则lg0.18=
；
【解析】
【知识点】①对数的定义与性质；②对数运算性质及运用。
【解题思路】运用对数运算性质，结合问题条件通过运算就可求出lg0.18的值。
【详细解答】0.18==，lg2=a，lg3=b，
lg0.18=
lg=
lg==
lg2+
lg9-
lg100=
lg2+2
lg3-2=a+2b-2。
5、已知2=m，3=n，则=
；
【解析】
【知识点】①对数的定义与性质；②指数的定义与性质；③指数与对数互化的基本方法；④指数运算的法则和基本方法。
【解题思路】运用指数与对数互化的基本方法把已知的对数化为指数，根据指数运算的法则和基本方法通过运算就可求出的值。
【详细解答】2=m，3=n，=2，=3，=.=.
=3=43=12。
6、计算：=
；
【解析】
【知识点】①对数的定义与性质；②对数运算性质及运用。
【解题思路】运用对数运算性质，结合问题条件通过运算就可求出lg0.18的值。
【详细解答】===，
==，=2，
=
===
==1。
7、求下列各式的值：
（1）；
（2）lg。
（3）计算2+lg5+；
（4）计算；
（5）已知3=a，7=b，求；
，x≥4，
（6）已知函数f(x)=
f(x+1)，
x＜4，求f(2+3)的值；
【解析】
【知识点】①对数的定义与性质；②对数运算性质及运用；③换底公式及运用；④分段函数的定义与性质；⑤求分段函数函数值的基本方法。
【解题思路】运用对数运算性质，换底公式和求分段函数函数值的基本方法，结合问题条件对各小题通过运算就可分别求出各小题的值。
【详细解答】（1）====，=
=202=201=20；（2）=，
lg=
lg=
lg10=1=；（3）
=lg=lg2，2+lg5+=2+lg2.lg5
+=lg2(2lg2+.lg5)+
=lg2(lg2+.lg5)+
=lg2.
lg25+|lg2-1|=lg2+1-lg2=1；（4）=
=，==，=（2
++）=4==22=221=4；（5）3==
=，2===，3=a，7=b，=
=====；
（6）2<3<4，1<3<2，3<2+3<4，4<3+3<5，
f(2+3)=
f(1+2+3)
=
f(3+3)=
=
=
=
=
=
。
8、利用对数的换底公式化简下列各式：
（1）9.
8.
25.
4；
（2）b.
a；
（3）（5+5）（2+2）。
【解析】
【知识点】①对数的定义与性质；②对数运算性质及运用；③换底公式及运用。
【解题思路】运用对数运算性质，换底公式，结合问题条件对各小题通过运算就可分别化简各小题。
【详细解答】（1）9==，8==，25==，
4==，9.
8.
25.
4==12；
（2）b.=
，a=，b.
a==1；（3）5+5
=+=+==，2+2=+=+
==，（5+5）（2+2）==。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与对数运算相关的问题，解答这类问题应该掌握对数运算的基本性质，对数的换底公式和对数恒等式；
（2）运用对数的基本运算性质解答问题时应该注意：①对数运算性质成立的条件；②灵活运用公式，作为一个公式既要能够从左边用到右边，也要能够从右边用到左边；
（3）对数的换底公式主要用来解决底数不同的对数运算问题，对数的恒等式通常用于指数和对数的混合式子的运算；
（4）面对实际问题，到底是从左边用到右边还是从右边用到左边，必须依据问题给定的条件和需要解决的问题结合起来综合考虑。
〔练习2〕解答下列各题：
1、.=（
）
A
B
C
2
D
4
2、已知2=a，=5，则用a，b表示为（
）
A
(a+b+1)
B
（a+b）+1
C
(a+b+1)
D
+b+1
3、设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）
A
b.
b=a
B
b.
a=b
C
bc=b.
c
D
(b+c)=
b+c
4、若a=3，则+=
；
5、若4.
8.
m=16，则m等于
；
6、lg+lg的值是
；
7、利用对数的换底公式化简下列各式：
（1）3.
4.
5.
2；（2）（3+3）（2+2）；（3）c.
a。
8、计算下列各式的值：
（1）+lg50lg2；
（2）（2+2）.(
3+3)；
（3）；
（4）22-+8-125；
（5）+12-42-1；
（6）+lg2.lg50+lg25。
（7）.（lg32-lg2）。
【典例2】解答下列问题：
1、下列函数是对数函数的是（
）
A
y=2x
B
y=(2x)
（a＞0,且a≠1）C
y=2x（a＞0,且a≠1）Dy=lnx
【解析】
【知识点】①对数函数的定义与性质；②对数函数的结构特征。
【解题思路】运用对数函数的性质和结构特征，对各选项进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，
y=2x=，不符合对数函数的结构特征，排除A；对B，
y=（2x），不符合对数函数的结构特征，排除B；对C，
y=2x=，不符合对数函数的结构特征，排除C；对D，
y=lnx是以e为底的自然对数，D是对数函数，D正确，选D。
2、函数y=
的定义域是（
）
A
（-，2）
B
（2，+）
C
（2，3）
（3，+）D
（2，4）
（4，+）
【解析】
【知识点】①对数函数的定义与性质；②求函数定义域的基本方法。
【解题思路】运用对数函数的性质和求函数定义域的基本方法，得到关于x的不等式组，求解不等式组求出函数y=
的定义域就可得出选项。
【详细解答】函数y=
有意义，必有x-2>0①，且x-21②，联立①②解得：
x>2，且x3，函数y=
的定义域为（2，3）
（3，+），C正确，选C。
3、设f(x)=lg
，则f()+
f()的定义域为（
）
A
（-4，0）（0，4）
B
（-4，-1）（1，4）
C
（-2，-1）（1，2）
D
（-4，-2）（2，4）
【解析】
【知识点】①对数函数的定义与性质；②求函数定义域的基本方法；③已知函数f(x)的定义域，求函数f（g(x)）定义域的基本方法。
【解题思路】运用对数函数的性质和求函数定义域的基本方法，得到关于x的不等式组，求解不等式组求出函数f(x)=lg
的定义域，利用已知函数f(x)的定义域，求函数f（g(x)）定义域的基本方法求出函数f()+
f()的定义域就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=lg
有意义，必有>0①，且2-x0②，联立①②解得：
-2的定义域为（-2，2），-2<<2③，且-2<<2④，联立③④解得：-4f()的定义域为（-4，-1）（1，4），B正确，选B。
4、已知对数函数f(x)的图像过点（8，-3），则f(2)=
。
【解析】
【知识点】①对数函数的定义与性质；②求函数解析式的基本方法；③已知函数解析式，求函数值的基本方法。
【解题思路】运用对数函数的性质和求函数解析式的基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的解析式，利用已知函数解析式，求函数值的基本方法就可求出f(2)的值。
【详细解答】设对数函数f(x)=
x（a＞0,且a≠1），对数函数f(x)的图像过点（8，-3），-3=8，a=，对数函数f(x)=
x，
f(2)=2==
==-=-。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与对数函数定义相关的问题，解答这类问题应该理解对数函数的定义，注意对数函数的底数和真数的条件限制，在对数的定义中，底数a必须满足两个条件：①大于0，②不等于1；真数N必须满足大于0；
（2）【典例2】中2，3，两题是求函数定义域的问题，解答时需要理解函数定义域的定义，掌握求函数定义域的基本求法；
（3）【典例2】中1，4两题可直接运用对数函数的定义求解，在理解对数函数的定义时一定要注意定义中函数解析式的结构特征。
〔练习2〕解答下列各题：
1、已知函数f(x)=
的定义域为M，g(x)=ln(1+x)的定义域为N，则M
N=（
）
A
{x|x＞1}
B
{x|x＜1}
C
{x|-1＜x＜1}
D
2、若定义在（-1,0）内的函数f(x)=
(x+1)＞0,则a的取值范围是（
）
A
(0，)
B
〔0，〕
C
(,
+∞)
D
(0,
+∞)
3、求下列函数的定义域：
（1）y=
(-2x-3)；
（2）y=；
（3）y=（1-x）；
（4）y=；
（5）y=
（6）y=。
【典例3】解答下列问题：
1、函数y=(x+2)
+1（a＞0,且a≠1）的图像过定点（
）
A
（1，2）
B
（2，1）
C
（-2，1）
D
（-1，1）
【解析】
【知识点】①对数函数的定义与性质；②对数函数的图像与特征。
【解题思路】运用对数函数的性质和对数函数图像的特征，结合问题条件求出函数y图像所过的定点就能得出选项。
【详细解答】函数y=x（a＞0,且a≠1）的图像必过点（1，0），当x=-1，即x+2=-1+2=1时，函数y=(x+2)
+1=0+1=1，函数y=(x+2)
+1（a＞0,且a≠1）的图像必过点（-1，1），D正确，选D。
2、函数y=lg(x+1)的图像大致是（
）
2
y
2
y
2
y
2
y
1
1
1
1
0
1
2
x
-1
0
1
2
x
-1
0
1
2
x
-1
0
1
2
x
A
B
C
D
【解析】
【知识点】①对数函数的定义与性质；②对数函数的图像与特征。
【解题思路】运用对数函数的性质和对数函数图像的特征，结合问题条件可直接排除A，B，根据函数y=lg(x+1)的图像是函数y=lgx的图像向左平移1个单位而得到，确定出函数y=lg(x+1)的大致图像就能得出选项。
【详细解答】10>1，A，B都不正确，可以排除，函数y=lg(x+1)的图像是函数y=lgx的图像向左平移1个单位而得到，函数y=lg(x+1)的大致图像为C，C正确，选C。
3、在同一坐标系中，函数y=x与y=x的图像之间的关系是（
）
A
关于Y轴对称
B
关于X轴对称
C
关于原点对称
D
关于直线y=x对称
【解析】
【知识点】①对数函数的定义与性质；②对数函数的图像与特征。
【解题思路】运用对数函数的性质和对数函数图像的特征，结合问题条件确定函数y=x与y=x的图像的对称关系就能得出选项。
【详细解答】=，函数y=x与y=x的图像关于X轴对称，B正确，选B。
y
4、如图是对数函数y=x的图像，已知a的值为
1
D
C
B
A
，，，，则图像，，，相应
0
1
x
的a值依次是（
）
A
，，，
B，，，
C
，，，D
，，，
【解析】
【知识点】①对数函数的定义与性质；②对数函数的图像与特征。
【解题思路】如图，作直线y=1与图像，，，分别交于点A，B，C，D，运用对数函数的性质，结合图像确定出图像，，，相应的a的值，就能得出选项。
【详细解答】如图，作直线y=1与图像，，，分别交于点A，B，C，D，
由图知，图像，，，相应的a的大小关系为：图像的底数>的底数>的底数>的底数，图像相应的a=，相应的a=，
相应的a=，相应的a=，A正确，选A。
5、函数f(x)=
的图像大致是（
）
2
y
2
y
2
y
2
y
1
1
1
1
0
1
2
x
0
1
2
x
-1
0
1
2
x
-1
0
1
2
x
A
B
C
D
【解析】
【知识点】①对数函数的定义与性质；②对数函数的图像与特征。
【解题思路】运用对数函数的性质，结合问题条件求出函数f(x)的定义域，可排除A，B，根据2>1得到函数f(x)在（0，+
）单调递增，从而得到函数f(x)大致图像就能得出选项。
【详细解答】函数f(x)的定义域为（-
，0）（0，+
），图像A，B不正确，可以排除A，B，2>1，函数f(x)在（0，+
）单调递增，函数f(x)大致图像是D，D正确，选D。
y
6、已知函数y=(x+c)（a，c为常数，其中a＞0,a≠1）
的图像如图所示，则下列结论成立的是（
）
0
1
x
A
a＞1，c＞1
B
a＞1，0＜c＜1
C
0＜a＜1，c＞1
D
0＜a＜1，0＜c＜1
【解析】
【知识点】①对数函数的定义与性质；②对数函数的图像与特征。
【解题思路】运用对数函数的性质和对数函数图像的特征，结合图像可知0y=c>0，得到0【详细解答】由图像可知0A，B不正确，可以排除A，B，当x=0时，函数y=(x+c)=
y=c>0，07、当0＜x时，＜x，则实数a的取值范围是（
）
A
（0，）
B
（，1）
C
（1，）
D
（，2）
【解析】
【知识点】①对数函数的定义与性质；②对数函数的图像与特征；③指数函数的定义与性质；④指数函数图像的特征。
【解题思路】在同一直角坐标系中作出函数y=，函数y=x的图像，运用对数函数，指数函数的性质和对数函数，指数函数图像的特征得到关于a的不等式组，求解不等式组求出a的取值范围，从而得出选项。
【详细解答】在同一直角坐标系中作出函数y=，函数y=x的图像，
当0＜x时，＜x，0y
y=
>=2②，联立①②解得：2
y=x
实数a的取值范围是（，1），B正确，选B。
0
1
x
8、已知函数f(x)=
|lgx|，0＜a＜b,且f(a)=
f(b)，则a+2b的取值范围是（
）
A
（2，+）
B
［2，+）
C
（3，+）
D
［3，+）
【解析】
【知识点】①对数函数的定义与性质；②对数函数的图像与特征；③基本不等式及运用。
【解题思路】作出函数f(x)=
|lgx|的图像如图所示，运用对数函数的性质和对数函数图像的特征，结合图像可知01，从而得出ab=1，利用基本不等式求出a+2b的取值范围就可得出选项。
【详细解答】作出函数f(x)=
|lgx|的图像如图所示，
y
0＜a＜b,且f(a)=
f(b)，01，
f(a)
=
-lga，f(b)=lgb,
-lga=lgb,
lga+lgb=lgab
=0，ab=1，a=，>0，2b>0，a+2b=+
0
1
x
2b22，B正确，选B。
9、已知函数g(x)的图像沿x轴方向向左平移一个单位后，与函数f(x)=
的图像关于直线y=x对称，且g(19)=a+2，则函数y=(0＜x≤1)的值域为
；
【解析】
【知识点】①对数函数的定义与性质；②对数函数的图像与特征；③指数函数的定义与性质；④指数函数图像的特征；⑤求函数解析式的基本方法；⑥求函数值域的基本方法。
【解题思路】运用对数函数，指数函数的性质和对数函数，指数函数图像的特征，结合问题条件求出函数g(x)的解析式，从而求出a的值得到函数y=的解析式，利用求函数值域的基本方法就可求出函数y=当0＜x≤1的值域。
【详细解答】函数g(x)的图像沿x轴方向向左平移一个单位后，与函数f(x)=
的图像关于直线y=x对称，
g(x+1)=
x，
g(x)=
（x-1），
g(19)=
（19-1）=18
=2+2=a+2，a=2，函数y==
=
，0＜x≤1，1<≤2，当0＜x≤1时，函数y=的值域为（1，2]。
10、函数f(x)=
（x+3）-1（a＞0且a≠1），的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0,则+的最小值为
。
【解析】
【知识点】①对数函数的定义与性质；②对数函数的图像与特征；③基本不等式及运用。
【解题思路】运用对数函数的性质和对数函数图像的特征，结合问题条件求出点A的坐标，根据点A在直线mx+ny+1=0上，得到关于m，n的等式，利用基本不等式就可求出+的最小值。
【详细解答】函数f(x)=
（x+3）-1（a＞0且a≠1），的图像恒过定点A，点A
（-2，-1），点A在直线mx+ny+1=0上，mn＞0,
-2m-n+1=0，2m+n=1，且m＞0,
n＞0,
+=（+）（2m+n）=2+++2=4++4+28，+的最小值为8。
『思考问题3』
（1）【典例3】是对数函数的图像与应用问题，解答这类问题需要熟悉对数函数的图像，注意底数a的不同取值对对数函数图像的影响；
（2）对数函数与指数函数互为反函数，其图像关于直线y=x对称；解答相关问题时注意分辨底数a的取值，确定问题涉及对数函数（或指数函数）图像两种基本类型的哪一种，再根据相关基本类型的特征去解答问题。
〔练习3〕解答下列问题：
1、若2＜0，（a＞0,且a≠1），则函数f(x)=
（x+1）的图像大致是（
）
y
y
y
y
2
2
2
2
1
1
1
1
-1
0
1
2
x
-1
0
1
2
x
-1
0
1
2
x
-1
0
1
2
x
A
B
C
D
2、函数f(x)=|lg
x|，若
a≠b,且f(a)=f(b)，则a+b的取值范围是（
）
A
（1，+
）
B
［1，+
）
C
（2，+
）
D
［2，+
）
3、已知f(x)=
，g(x)=
x，其中a＞0,且a≠1，若f(3).g(3)＜0，则f(x)，g(x)在同一直角坐标系内的图像可能是（
）
y
y
y
y
2
2
2
2
1
1
1
1
-1
0
1
2
x
-1
0
1
2
x
-1
0
1
2
x
-1
0
1
2
x
A
-x+6，x＞10,
B
C
D
4、已知函数f(x)=
|lgx|，0＜x≤10，若a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc
的取值范围是（
）
A
（1，10）
B
（5，6）
C
（10，12）
y
D（20，24）
5、若函数f(x)=
x（a＞0,且a≠1）的图像如图
1----------|
所示，则下列函数图像正确的是（
）
0
3
x
y3
------|
y=
y
y=
y
y=
y
y=(-x)
y
2
|
2
2
2
1
|
1
----|
1
--|
1
-1
0
1
2
x
-1
0
1
2
x
-1
0
1
2
x
-3
|
---0
1
2
x
A
B
C
|
-1
D
【典例4】解答下列问题：
1、若a=，b=，c=，则下列结论正确的是（
）
A
b＜a＜c
B
a＜b＜c
C
c＜b＜a
D
b＜c＜a
【解析】
【知识点】①对数函数的图像与特征；②对数函数的性质及运用；③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】运用对数函数的性质和比较实数大小的基本方法，结合问题确定出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】
c==6=，2<<3，1<
c=<
a=，
0<
b=<1，
b＜c＜a,，D正确，选D。
2、已知0
＜＜，则a，b
的关系是（
）
A
0＜a＜b＜1
B
0＜b＜a＜1
C
1＜a＜b
D
1＜b＜a
【解析】
【知识点】①对数函数的图像与特征；②对数函数的性质及运用；③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】运用对数函数的性质和比较实数大小的基本方法，结合问题条件确定出a，b的大小关系就可得出选项。
【详细解答】0
＜＜，13、设a、b、c均为正数，且=a，=b，=c，则（
）
A
a＜b＜c
B
c＜b＜a
C
c＜a＜b
D
b＜a＜c
【解析】
【知识点】①对数函数的图像与特征；②对数函数的性质及运用；③指数函数的图像与特征；④指数函数的性质及运用；⑤比较实数大小的基本方法。
【解题思路】在同一直角坐标系中作出函数y=，y=
，y=x，y=x的图像，四个函数图像的交点分别为A，B，C，运用对数函数和指数函数的性质，结合图像，根据比较实数大小的基本方法，确定出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】在同一直角坐标系中作出函数y=，
y
y=
y=
，y=x，y=x的图像，四个函数
y=
y=x
y=x
图像的交点分别为A，B，C，=a，
0
ab
1c
x
=b，=c，点A，B，C的横坐标分别为a，b，c，由图知a4、函数y=x在［1,2］上的值域是（
）
A
R
B
［0,+
）
C
（-,1］
D
［0,1］
【解析】
【知识点】①对数函数的图像与特征；②对数函数的性质及运用；③求函数值域的基本方法。
【解题思路】运用对数函数的性质和求函数值域的基本方法，结合问题条件求出函数y=x在［1,2］上的值域就可得出选项。
【详细解答】2>1，x［1,2］0≤x≤1，D正确，选D。
5、设a=，b=，c=(x＞1)，则a，b，c的大小关系是（
）
A
a＜b＜c
B
b＜a＜c
C
c＜b＜a
D
b＜c＜a
【解析】
【知识点】①对数函数图像与特征；②对数函数性质及运用；③指数函数图像与特征；④指数函数性质及运用；⑤比较实数大小的基本方法。
【解题思路】运用对数函数和指数函数的性质，比较实数大小的基本方法，结合问题条件确定a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】1<
a==<，0
(x＞1)
=2，
b＜a＜c，B正确，选B。
6、已知函数f(x)与函数g(x)=
互为反函数，则（
）
A
f(x)=lgx(x∈R)
B
f(x)=lgx(x＞0)
C
f(x)=lnx(xR)
D
f(x)=lnx(x＞0)
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②指数函数性质及运用；③指数函数与对数函数的关系。
【解题思路】运用对数函数和指数函数的性质，指数函数与对数函数的关系，结合问题条件求出函数f(x)的解析式就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)与函数g(x)=
互为反函数，函数f(x)=
lnx(x＞0)，D正
确，选D。
7、若函数f(x)=
（-ax）（a＞0且a≠1）在区间（-，0）内单调递增，则a的取值范围是（
）
A
［,1）
B
［,1）
C
（，+）
D
（1,
）
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②复合函数的定义与性质；③判断复合函数单调性的法则与基本方法；④导函数的定义与性质；⑤运用导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用对数函数的性质，判断复合函数单调性的法则与基本方法，根据导函数判断函数单调性的基本方法，结合问题条件，根据函数f(x)
在区间（-，0）内单调递增得到关于a的不等式组，求解不等式组求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】设g(x)=
-ax
，①当a>1时，=3-a，函数f(x)=
（-ax）（a＞0且a≠1）在区间（-，0）内单调递增，
g(x)>0，0在区间（-，0）上恒成立，
g(x)>0，且a3在区间（-，0）上恒成立，a0，与题设不符合；②当0（-ax）（a＞0且a≠1）在区间（-，0）内单调递增，
g(x)>0，0在区间（-，0）上恒成立，
g(x)>0，且a3在区间（-，0）上恒成立，a<1，综上所述，若函数f(x)=
（-ax）（a＞0且a≠1）在区间（-，0）内单调递增，则a的取值范围是［,1），B正确，选B。
8、已知x，y为正实数，则（
）
A
=+
B
=.
C
=+
D
=.
【解析】
【知识点】①对数的定义与性质；②指数的定义与性质；③指数的运算法则和基本方法；④对数的运算法则和基本方法。
【解题思路】运用对数和指数的性质，指数与对数的运算法则和基本方法，结合问题条件对各选项式子的正确性解析判断就可得出选项。
【详细解答】对A，=.+，A错误；对B，lg(x+y)
lgx+lgy，
=.，
B错误；对C，=+，C错误；对D，
==.，D正确，选D。
9、如果函数f(x)=
x，x
1，那么f(x)的值域为
；
【解析】
，x＜1，
【知识点】①对数函数的定义与性质；②指数函数的定义与性质；③分段函数的定义与性质；④求分段函数值域的基本方法。
【解题思路】运用对数函数，指数函数和分段函数的性质，根据求分段函数值域的基本方法就可求出函数f(x)的值域。
【详细解答】当x
1时，函数f(x)=
x的值域为（-
，0]，当x＜1时，函数f(x)=的值域为（0，1），函数f(x)的值域（-
，1）。
10、已知函数f(x)=
+x（a＞0且a≠1）在［1,2］上的最大值与最小值之和为2+6，则a的值为
；
【解析】
【知识点】①对数函数的性质及运用；②指数函数的性质及运用；③函数最值的定义与性质；④求函数最值的基本方法。
【解题思路】运用对数函数和指数函数的性质，根据求函数最值的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出实数a的值。
【详细解答】①当a>1时，函数f(x)=
+x（a＞0且a≠1）在［1,2］上单调递增，
=
f(2)=
+2，=
f(1)=a+1=a，+=
+
2+a=2+6，+a-6=0，a=2；②当0+x（a＞0且a≠1）在［1,2］上单调递减，=
f(1)=
a+1=a，
=
f(2)=
+2，
+=
+2+a=2+6，+a-6=0，a=2（0，1），综上所述，若函数f(x)=
+x（a＞0且a≠1）在［1,2］上的最大值与最小值之和为2+6，则a的值为2。
11、求函数f(x)=
(2-5x+3)的单调区间；
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②复合函数的定义与性质；③判断复合函数单调性的法则与基本方法。
【解题思路】运用对数函数的性质，判断复合函数单调性的法则与基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)=
(2-5x+3)的单调区间。
【详细解答】设g(x)=
2-5x+3，作出函数g(x)的图像如图所示，由图知函数f(x)的定义域为（-
，-）（3，+
），函数g(x)
y
在（-
，-）上单调递减，在（3，+
）上
单调递增，①当a>1时，函数f(g(x))在（-
，
-1
0
1
2
3
x
-），（3，+
）上单调递增，函数f(x)
在（-
，-）上单调递减，在（3，+
）上单调递增；②当0，
-），（3，+
）上单调递减，函数f(x)
在（-
，-）上单调递增，在（3，+
）上单调递减，综上所述，当a>1时，函数f(x)
在（-
，-）上单调递减，在（3，+
）上单调递增；当0在（-
，-）上单调递增，在（3，+
）上单调递减。
12、已知函数f(x)=
〔3-〕，求函数f(x)的值域及单调区间；
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②复合函数的定义与性质；③判断复合函数单调性的法则与基本方法；④求函数值域的基本方法。
【解题思路】运用对数函数的性质，判断复合函数单调性的法则与基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)=
(2-5x+3)的单调区间；利用对数函数的性质，求函数值域的基本方法就可求出函数f(x)的值域。
y
【详细解答】设g(x)=
3-
，作出函数g(x)
的图像如图所示，由图知函数f(x)的定义为（1-，
-2
1-
0
1
2
3
x
1+），函数g(x)在（1-，1）上单调递增，在
（1，1+）上单调递减，函数f(g(x))在（1-，1+）上单调递减，函数f(x)
在（1-，1）上单调递减，在（1，1+）上单调递增；函数g(x)的值域为（0，3]，函数f(x)=
〔3-的值域为[-1，+）。
13、已知函数f(x)=
(-ax+1-a)在区间（-∞，1-〕上是单调递减函数，求实数a的取值范围。
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②复合函数的定义与性质；③判断复合函数单调性的法则与基本方法。
【解题思路】运用对数函数的性质，判断复合函数单调性的法则与基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】设g(x)=
-ax-1-a，函数f(x)=
(-ax+1-a)在区间（-∞，1-〕上是单调递减函数，1-①，且-a（1-）+1-a>0②，联立①②解得：
2-2a<4+，若函数f(x)=
(-ax+1-a)在区间（-∞，1-〕上是单调递减函数，则实数a的取值范围是[2-2，4+）。
14、已知函数f(x)=
（a+2x+3）。
（1）若f(1)=1，求函数f(x)的单调区间；
（2）是否存在实数a，使函数f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②复合函数的定义与性质；③判断复合函数单调性的法则与基本方法；④求探索性问题的基本方法；⑤求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据f(1)=1得到关于a的方程，求解方程求出a的值，运用对数函数的性质，判断复合函数单调性的法则与基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)的单调区间；（2）利用求解探索性问题的基本方法，得到关于a的不等式与方程，联立解不等式与方程求解就可得出结论。
【详细解答】（1）
f(1)=1，a+21+3=4，a=-1，
设g(x)=
-+2x+3，作出函数g(x)的图像如图所示，
由图知函数f(x)的定义域为（-1，3），函数g(x)在
（-1，1）是单调递增，在（1，3）上单调递减，
函数f(g(x))在（-1，3）上单调递增，函数f(x)
在（-1，1）是单调递增，在（1，3）上单调递减；（2）设存在实数a，使函数f(x)的最小值为0，h(x)=
a+2x+3，函数f(x)的最小值为0，函数h(x)的最小值为1，a>0①，且=1②，联立①②解得：a
=，存在实数a=，使函数f(x)的最小值为0。
『思考问题4』
（1）【典例4】是对数函数的性质及应用问题，解答这类问题需要理解并掌握对数函数的性质，同时注意数形结合数学思想的灵活运用；
（2）解答比较对数函数值大小问题的基本方法是：①底数相同时，直接运用对数函数的性质得出结果；②底数不相同时，可借助于某一个常量作为比较标准，再得出结果；
（3）解答对数函数的应用问题的基本方法是：①分辨清楚问题的类型，建立相应的对数函数模型；②借助于对数函数的图像并结合对数函数的性质解答问题；③综合实际应用问题的实际意义得出结果。
（4）解答指数函数与对数函数综合问题的基本方法是：①图像法，在同一直角坐标系中分别作出问题涉及的所有函数的图像，借助于图像寻找结论；②代数法，分别运用指数函数，对数函数的性质求出问题中涉及的所有元素的取值范围，再根据结果得出结论。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知0＜x＜y＜a＜1，则有（
）
A
(xy)＜0
B0＜
(xy)＜1
C1＜(xy)＜2
D(xy)＞2
2、设a=2，b=3，c=，则（
）
A
a＜b＜c
B
a＜c＜b
C
b＜c＜a
D
b＜a＜c
3、求函数f(x)=
（ax-3）在［1,3］上单调递增，则实数a的取值范围是（
）
A
（1，+）
B
（0,1）
C
（0,
）
D
（3,+
）
4、若函数f(x)=lg(-2ax+1+a)在区间（-
，1］上单调递减，则实数a的取值范围是（
）
A
［
1，2）
B
［
1，2］
C
［
1，+
）
D
［2,+
）
5、设函数f(x)=
，x1，则满足f(x)
2的x的取值范围是（
）
A
［-1，2］
1-x，x＞1，
B
［
0，2］
C
［1，+
）
D
［0,+
）
6、如果x＞0成立，则x的取值范围是（
）
A
x＞
B
＜x＜1
C
x＜1
D
0＜x＜1
7、若定义在（-1,0）内的函数f(x)=
(x+1)＞0,则a的取值范围是（
）
A
(0，)
B
〔0，〕
C
(,
+∞)
D
(0,
+∞)
8、函数f(x)=
(+x-6)的单调递减区间是
；
9、已知函数f(x)=1+3，g(x)=22，试比较f(x)与g(x)的大小；
10、函数y=x，y=x，y=lgx的图像如图所示。
（1）试说明哪个函数对应于哪个图像，并说明理由；
y
③
②
（2）以已有图像为基础，在同一直角坐标系中画出
①
y=x,y=x，y=x的图像；
0
1
x
（3）从（2）的图中你发现了什么问题？
11、已知函数f(x)=
〔+2-+1〕(a、b∈)，如果f(x)＜0，求x的取值范围。
【典例5】解答下列问题：
1、若不等式-x＜0对x∈（0，）恒成立，则实数a的取值范围是（
）
A
｛a|0＜a＜1｝
B｛a|≤a＜1｝
C
｛a|a＞1｝
D｛a|0＜a≤｝
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②对数函数图像的特征；③二次函数的性质及运用；④二次函数图像的特征；⑤求解不等式的基本方法。
【解题思路】设f(x)=
x，g(x)=
，运用函数f(x)，g(x)的图像，对数函数和二次函数的性质，结合问题条件得到关于实数a的不等式组，求解不等式组得出实数a的取值范围就可确定选项。
【详细解答】设f(x)=
x，g(x)=
，根据题意
y
f(x)=
x
可知0的图像如图所示，不等式-x＜0对x∈（0，）
g(x)=
恒成立，不等式0
1
x
由图得：02、函数f(x)的定义域为D，若满足：（1）函数f(x)在D内是单调函数；（2）存在〔m,n〕D，使f(x)在〔m,n〕上的值域为〔,〕，那么就称y=f(x)为“成功函数”，若函数f(x)=
(+t)
(a＞0,且a≠1)是“成功函数”，则t的取值范围为（
）
A
（0,+∞)
B
（-∞，)
C
（0,
〕
D
（0,
）
【解析】
【知识点】①“成功函数”的定义与性质；②对数函数性质及运用；③指数函数的性质及运用；④求函数值域的基本方法。
【解题思路】运用“成功函数”和对数函数的性质，结合问题条件得到t关于x的函数，根据求函数值域的基本方法求出该函数的值域，从而得出t的取值范围就可确定选项。
【详细解答】函数f(x)=
(+t)
(a＞0,且a≠1)是“成功函数”，
对任意的x[m，n]，都有f(x)=
(+t)=
，方程+t=
g(u)=
u-
有两个不同的实数根，设g(x)=
-，u=（u>0），
0
1
方程t=
g(u)=
u-
有两个不同的正实数根，=-=-=，作出函数g(u)的图像如图所示，由图知，03、设a＞1,
函数f(x)=
x在区间［
a，2a］上的最大值与最小值之差为，则实数a等于（
）
A
B
2
C
2
D
4
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求函数最值的基本方法。
【解题思路】运用对数函数的性质，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出实数a的值就可确定选项。
【详细解答】
a＞1,
函数f(x)=
x在区间［
a，2a］上单调递增，
=f(2a)=
(2a)=
2+1，=
f(a)=
a=1，-=2+1-1
=2=，a==4，D正确，选D。
4、已知函数f(x)=
x，其中a∈｛a|20＜12a-｝.
（1）判断函数f(x)=
x的增减性；
（2）若命题p：|f()|＜1-|f(2)|为真命题，求实数x的取值范围。
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求解不等式的基本方法；③绝对值的意义与性质；④判断命题真假的基本方法。
【解题思路】运用求解不等式的基本方法，求出a的取值范围，根据对数函数的性质就可判断函数f(x)=
x的增减性；（2）运用绝对值的性质去掉绝对值符号得到关于x的不等式，求解不等式就可求出实数x的取值范围。
【详细解答】（1）
a∈｛a|20＜12a-｝=｛a|2＜a<10｝，函数f(x)=
x在定义域上单调递增；（2）|f()|＜1-|f(2)||f()|+|f(2)|＜1，①当0|f()|+|f(2)|=--2=-2-2=-（2x），|f()|+
|f(2)|＜1，（2x）>-1，（2x）>，2x>，
x>
；②
≤x<1时，|f()|+|f(2)|=-+2=2，|f()|+|f(2)|
＜1，2<1，2=+2=2+2=x+2=（2x），|f()|+|f(2)|
＜1，（2x）<1，（2x）5、已知函数f(x)=
是奇函数（a＞0,且a≠1）。
（1）求m的值；
（2）判断f(x)在区间（1，
+∞)上的单调性，并加以证明；
（3）当a＞1,x∈(r,a-2)时，f(x)的值域是（1，
+∞)，求a与r的值。
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②奇函数的性质及运用；③判断复合函数单调性的法则与基本方法；④求函数值域的基本方法。
【解题思路】（1）运用奇函数和对数函数的性质得到关于m的方程，求解方程就可求出m的值；
2）运用判断复合函数单调性的法则与基本方法就可判断函数f(x)在区间（1，
+∞)上的单调性；（3）由（2）可知，当a＞1时,函数f(x)在区间(r,a-2)上单调递减，根据求函数值域的基本方法，结合问题条件得到关于r，a的方程组，求解方程组就可求出a与r的值。
【详细解答】（1）函数f(x)=
是奇函数，
f(-x)=
=-
=，=，==0在定义域上恒成立，m=1或m=-1，当m=1时，==-1<0不符合题意，m=-1；（2）由（1）得f(x)=
，设g(x)=
，函数g(x)=
=1+在区间（1，
+∞)上的单调递减，①当a＞1时,函数f(g(x))
在区间（1，
+∞)上的单调递增，函数f(x)在区间（1，
+∞)上的单调递减；②当0＜a＜1时，函数f(g(x))
在区间（1，
+∞)上的单调递减，函数f(x)在区间（1，
+∞)上的单调递增，综上所述，当a＞1时,
函数f(x)在区间（1，
+∞)上的单调递减；当0＜a＜1时，函数f(x)在区间（1，
+∞)上的单调递增；（2）当a＞1,x∈(r,a-2)时，f(x)的值域是（1，
+∞)，
f(x)=
>1，
>a，即>0，<0①，
f(x)=
=
f(x)=
（1+
），①当x>1时，1+>1，
f(x)>0；②当x<1时，0<1+<1，
f(x)<0，
函数f(x)的值域是（1，
+∞)，
x>1，由①解得：1，r=1，=
a-2，且a＞1,
r=1，a=2+，当a＞1,x∈(r,a-2)时，f(x)的值域是（1，
+∞)时，r=1，a=2+。
6、已知函数f(x)=
(-2ax+3)。
（1）若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f(-1)=-3，求函数f(x)的单调区间；
（3）是否存在实数a，使f(x)在（-∞，2）上为增函数？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由。
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求函数定义域的基本方法；③一元二次函数的定义与性质；④判断复合函数单调性的基本方法；⑤求解探索性问题的基本方法。
【解题思路】（1）运用求函数定义域的基本方法和对数函数的性质得到关于a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围；（2）由f(-1)=-3求出实数a的值，运用判断复合函数单调性的法则与基本方法就可求出函数f(x)的单调区间；（3）利用求解探索性问题的基本方法得到关于实数a的不等式组，求解不等式组就可得出结论。
【详细解答】（1）函数f(x)的定义域为R，-2ax+3>0在R上恒成立，=4-12<0，
-f(-1)=
(1+2a+3)=
(4+2a)=-3，4+2a=8，a=2，
f(x)=
(-4x+3)，设
g(x)=
-4x+3，作出函数g(x)的图像如图所示，
y
由图知，函数f(x)的定义域为（-∞，1)
（3，
+∞)，函数g(x)在（-∞，1)上单调递减，在
0
1
2
3
x
（3，
+∞)上单调递增，函数f(g(x))在（-∞，
1)，（3，
+∞)上单调递减，函数f(x)在（-∞，1)上单调递增，在（3，
+∞)上单调递减；
（3）设存在实数a，使f(x)在（-∞，2）上为增函数，g(x)=
-2ax+3，函数f(x)在（-∞，2）上为增函数，函数f(g(x))在（-∞，2)上单调递减，函数g(x)在（-∞，2)上单调递减，a2①，且g(2)=
4-4a+30②，联立①②解得：a，不存在实数a，使f(x)在（-∞，2）上为增函数。
7、已知函数f(x)=
，h(x)=
x，且h（18）=a+2，g(x)=
-的定义域是〔0,1）。
（1）求g(x)的解析式；
（2）求g(x)的单调区间；
（3）求g(x)的值域；
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求函数解析式的基本方法；③指数函数的性质及运用；④判断函数单调性的基本方法；⑤换元法及运用；⑥求函数值域的基本方法。
【解题思路】（1）根据h（18）=a+2，求出a的值，把a的值代入函数g(x)的解析式就可求出函数g(x)的解析式；（2）运用判断函数单调性的基本方法就可求出函数g(x)单调区间；（3）利用求函数值域的基本方法就可求出函数g(x)的值域。
【详细解答】（1）
h（18）==18=2+2=a+2，a=2，
==，
函数g(x)=
-=-；（2）设t=，t（0，
y
+∞)，
g(t)=t-
，作出函数g(t)的图像如图所示，
由图知函数g(t)在（0，）上单调递增，在（，+∞）
0
1
x
上单调递减；
x（-∞，-1)时，t（0，），x（-1，+∞)时，t（，+∞），函数g(x)在（-∞，-1)上单调递增，在（-1，+∞)上单调递减；（3）由（2）知g(t)=t-
=-
+，=
g()=0+=，函数g(x)的值域为（-∞，]。
8、已知函数f(x)=lg(m+4mx+3)。
（1）若函数f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围。
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求函数定义域的基本方法；③一元二次函数函数的性质及运用；④求函数值域的基本方法。
【解题思路】（1）运用对数函数的性质和求函数定义域的基本方法得到关于m的不等式组，求解不等式组就可求出实数m的取值范围；（2）利用求函数值域的基本方法得到关于m的单调性的基本方法就可求出函数g(x)单调区间；（3）利用求函数值域的基本方法得到关于m的不等式组，求解不等式组就可求出实数m的取值范围。
【详细解答】（1）函数f(x)的定义域为R，
m+4mx+3>0在R上恒成立，m>0①，
且=16-12m<0②，联立①②解得：0m+4mx+3可取值为（0，+∞），m>0③，且=16-12m0④，联立③④解得：m，若函数f(x)的值域为R，则实数m的取值范围[，+∞)。
9、已知函数f(x)=
（a＞0,且a≠1）。
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）证明函数f(x)是奇函数；
（3）求使f(x)＞0成立的x的取值范围。
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求函数定义域的基本方法；③判断函数奇偶性的基本方法；④求解不等式的基本方法。
【解题思路】（1）运用对数函数的性质和求函数定义域的基本方法得到关于x的不等式，求解不等式就可求出函数f(x)的定义域；（2）利用判断函数奇偶性的基本方法对函数f(x)的奇偶性解析判断就可证明结论；（3）根据底数a的不同取值和对数函数的性质得到关于x的不等式，求解不等式就可求出使f(x)＞0成立的x的取值范围。
【详细解答】（1）函数f(x)有意义，必有>0，即-1f(-x)=
==-=-
f(x)，函数f(x)是奇函数；（3）①当a>1时，
f(x)＞0，
>1，0f(x)＞0，0<<1，-11时，使f(x)＞0成立的x的取值范围是（0，1）；当0『思考问题5』
（1）【典例5】是等式函数的综合问题，解答对数函数的综合问题的基本方法是：①分辨清楚问题是由哪几个基本问题组合的；②对每一个基本问题进行逐一解答；③把各个基本问题综合起来得出结果；
（2）【典例5】中的5题，8题涉及到对数函数的值域问题，解答这类问题的基本方法是：①确定对数底数取值，直接运用对数函数的性质得出结果，②底数不确定时，必须分两种情况分别求解，再综合得出结果；
（3）【典例5】中的5题，6题，8题，9题是复合函数问题，解答这类问题的基本方法是：①设出中间函数g(x)，在直角坐标系中作出函数g(x)的图像；②运用复合函数单调性的判断方法确定函数的单调区间；③由复合函数单调性的判断方法与题给的条件得到关于a的不等式组，求解不等式组得出结果；
〔练习5〕解答下列问题：
1、函数f(x)=
(+x-6)的单调递减区间是
；
2、如果x＞0成立，则x的取值范围是（
）
A
x＞
B
＜x＜1
C
x＜1
D
0＜x＜1
3、已知函数f(x)=
-
x+5，x∈［
2，4］，当x=
时，f(x)有最大值
；
当x=
时，f(x)有最小值
；
4、已知函数f(x)=
〔+2-+1〕(a、b∈)，如果f(x)＜0，求x的取值范围；
5、已知函数f(x)=
（0＜a＜1）。
（1）试判断f(x)的奇偶性；
（2）解不等式f(x)
3x。
6、已知f(x)=
(a-)(a＞1).
（1）求f(x)的定义域，值域；
（2）判断函数f(x)的单调性，并证明；
（3）解不等式（-2）＞f(x)。
【典例6】解答下列问题：
1、若不等式-x＜0对x∈（0，）恒成立，则实数a的取值范围是（
）
A
｛a|0＜a＜1｝
B｛a|≤a＜1｝
C
｛a|a＞1｝
D｛a|0＜a≤｝
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②对数函数图像的特征；③二次函数的性质及运用；④二次函数图像的特征；⑤求解不等式的基本方法。
【解题思路】设f(x)=
x，g(x)=
，运用函数f(x)，g(x)的图像，对数函数和二次函数的性质，结合问题条件得到关于实数a的不等式组，求解不等式组得出实数a的取值范围就可确定选项。
【详细解答】设f(x)=
x，g(x)=
，根据题意
y
f(x)=
x
可知0的图像如图所示，不等式-x＜0对x∈（0，）
g(x)=
恒成立，不等式0
1
x
由图得：02、不等式＞恰有三个整数解，则a的取值范围为（
）
A〔，〕
B
〔，）
C
（1，〕
D
（1，〕
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②对数函数图像的特征；③二次函数的性质及运用；④二次函数图像的特征；⑤求解不等式的基本方法。
【解题思路】设f(x)=
x，g(x)=
，运用函数f(x)，g(x)的图像，对数函数和二次函数的性质，结合问题条件得到关于实数a的不等式组，求解不等式组得出实数a的取值范围就可确定选项。
y
【详细解答】设f(x)=
x，g(x)=
，
根据题意可知a>1，在同一直角坐标系中作出函
数f(x)，g(x)
的图像如图所示，不等式
0
1
2
3
4
5
x
＞恰有三个整数解，由图得：a>1①，f(4)=
4>
g(4)=
=9②，f(5)=
5≤g(5)=
=16③，联立①②③解得：≤a<，B正确，选B。
3、若＜1，则实数a的取值范围是
；
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求解不等式的基本方法。
【解题思路】运用对数函数的性质，结合问题条件得到关于a的不等式，利用求解不等式的基本方法就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】＜1＜a，①当a>1时，显然不等式
＜a，成立；②当04、已知函数f(x)=
x，x＞0，则不等式f(x)＞1的解集为
；
，x≤0，
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②分段函数的定义与性质；③求解不等式的基本方法。
【解题思路】运用对数函数和分段函数的性质，结合问题条件分别得到关于x的不等式，利用求解不等式的基本方法就可求出不等式f(x)＞1的解集。
【详细解答】①当x＞0时，不等式f(x)＞1，x>，0时，不等式f(x)＞1，>，x+1>0，-15、解关于x的方程lg(+2)=lgx+lg3；
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求解方程的基本方法。
【解题思路】运用对数函数的性质，结合问题条件得到关于x的方程，利用求解方程的基本方法就可求出方程lg(+2)=lgx+lg3的解。
【详细解答】方程lg(+2)=lgx+lg3=lg3x，+2=3x，x=1或x=2，方程lg(+2)=lgx+lg3的解是x=1或x=2。
6、解关于x的方程2lgx-lg(x-1)=lga；
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求解方程的基本方法。
【解题思路】运用对数函数的性质，结合问题条件得到关于x的方程，利用求解方程的基本方法就可求出方程2lgx-lg(x-1)=lga的解。
【详细解答】方程2lgx-lg(x-1)=lg-lg(x-1)=lg=lga，a>0①，且x-1>0②，且
=a③，联立①②③解得：当01；当a>4，即=-4a,>0时，x=
或x=
，综上所述，当a=4时，方程2lgx-lg(x-1)=lga的解为x=2，当a>4时，方程2lgx-lg(x-1)=lga的解为x=
或x=
。
7、解方程（x+4）-=0
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②指数函数性质及运用；③求解方程的基本方法。
【解题思路】运用对数函数和指数函数的性质，结合问题条件在同一直角坐标系中分别作出函数f(x)=
（x+4），函数g(x)=
的图像，根据图像就可求出方程（x+4）-=0的解。
y
【详细解答】方程（x+4）-=0，
1
方程（x+4）=，设函数f(x)=
（x+4），-4
-3
-2
-1
0
1
x
函数g(x)=
，在同一直角坐标系中分别作出函数
f(x)，g(x)的图像如图所示，由图知方程（x+4）-=0有两解，-3<
<-2，0<
<1。
8、设a＞0,且a≠1，若2＜a，求实数a的取值范围；
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求解不等式的基本方法。
【解题思路】运用对数函数的性质，结合问题条件得到关于x的不等式，利用求解不等式的基本方法就可求出不等式2＜a的解。
【详细解答】①当11，02时，0<2<1，a>1，2＜a成立；③当0-1，2＜a不成立；④当9、设a＞1，求不等式（x+1）≥0的解集；
【解析】
【知识点】①对数函数性质及运用；②求解不等式的基本方法。
【解题思路】运用对数函数的性质，结合问题条件得到关于x的不等式，利用求解不等式的基本方法就可求出不等式式（x+1）≥0的解。
【详细解答】
a＞1，不等式（x+1）≥0，（x+1）≥1，
x+1≥1，
x≥0，不等式（x+1）≥0的解集为[0，+∞）。
『思考问题6』
（1）【典例6】是有关对数函数方程或不等式的问题，解答这类问题需要理解并掌握的是函数的性质，掌握解方程或不等式的基本方法；
（2）解答的是函数方程问题的基本方法是：①运用对数函数的性质把原方程转化为熟知的普通方程；②求解普通方程；③结合对数的定义得出结果；
（3）解答对数函数不等式问题的基本方法是：①运用对数函数的性质把原不等式转化为熟知的普通不等式；②求解普通不等式；③结合对数的定义得出结果；
（4）如果问题中涉及到二次函数或指数函数的方程或不等式时，解答的基本方法是：①把原方程转化为对数函数与二次函数(或指数函数)的等式（或不等式）；②在同一直角坐标系中分别作出对数函数，二次函数（或指数函数）的图像；③根据图像求出结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、已知方程x+lgx=3的解是，方程x+=3的解是，则+=（
）
A
6
B
3
C
2
D
1
2、若A={xZ|2＜8},B={xR||x|＞1}，则A（B）的元素个数为（
）
A
0
B
1
C
2
D
3
3、方程lg-lg（x+2）=0的解集是
；
4、解关于x的方程（1-2）=2x+1；
5、解不等式（1-）＞1；
6、若函数y=（2x+1）在（-，0）上总有f(x)
＞0，求实数a的取值范围。

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