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第2节　位移变化规律

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)匀速直线运动表示任意相等的时间内，质点的位移都是相等的． (√)
(2)匀速直线运动的v?t图像是一条倾斜直线． (×)
(3)公式s＝v0t＋at2既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动． (√)
(4)由公式v－v＝2as可知在一定时间t内，运动物体的末速度越大，位移就越大． (×)
2．关于公式s＝，下列说法正确的是(　　)
A．此公式只适用于匀加速直线运动
B．此公式适用于匀减速直线运动
C．此公式只适用于位移为正的情况
D．此公式不可能出现a、s同时为负值的情况
B　[公式s＝适用于匀变速直线运动，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动，既适用于位移为正的情况，也适用于位移为负的情况，选项B正确，选项A、C错误； 当物体做匀加速直线运动，且规定初速度的反方向为正方向时，a、s就会同时为负值，选项D错误．]
3.(多选)甲、乙两个物体沿同一直线运动，它们的速度—时间图像如图所示，由图像可知(　　)
A．甲运动时的加速度为－1 m/s2
B．乙运动时的加速度为4 m/s2
C．从开始计时到甲、乙速度相同的过程中，甲的位移为250 m，乙的位移为50 m
D．甲、乙沿相反方向运动
ABC　[在v?t图像中，图线的斜率表示物体运动的加速度，故a甲＝ m/s2＝－1 m/s2，选项A正确；a乙＝ m/s2＝4 m/s2，选项B正确；图线与时间轴围成的面积表示物体运动的位移，速度相同时，s甲＝×(20＋30)×10 m＝250 m，s乙＝×5×20 m＝50 m，选项C正确；甲、乙两物体的速度都为正值，故运动方向相同，选项D错误．]
匀变速直线运动的位移—时间关系
为备战校运会，四个同学在直跑道上进行4×100 m接力训练，他们在奔跑时有相同的最大速度，最大速度为10 m/s，且从静止开始全力奔跑需跑出25 m才能达到最大速度，这一过程可看作是匀加速直线运动，现在甲持棒以最大速度向乙奔来，乙在接力区伺机全力奔出．若要求乙接棒时奔跑的速度达到最大速度的80%.
探究：(1)根据描述，在接力过程中甲做什么运动？乙做什么运动？
(2)甲与乙在接力过程中的平均速度之比为多少？
提示：(1)甲做匀速直线运动，乙做匀加速直线运动．
(2)甲＝10 m/s
乙＝×80% m/s＝4 m/s.
故甲∶乙＝5∶2.
1．公式的适用条件：位移公式s＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动．
2．公式的矢量性：公式s＝v0t＋at2为矢量公式，其中s、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向．一般选v0的方向为正方向．通常有以下几种情况：
运动情况 取值
若物体做匀加速直线运动 a与v0同向，a取正值(v0方向为正方向)
若物体做匀减速直线运动 a与v0反向，a取负值(v0方向为正方向)
若位移的计算结果为正值 说明位移的方向与规定的正方向相同
若位移的计算结果为负值 说明位移的方向与规定的正方向相反
3．公式的两种特殊形式
(1)当a＝0时，s＝v0t(匀速直线运动)．
(2)当v0＝0时，s＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)．
【例1】　一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为a＝0.5 m/s2，求：
(1)物体在3 s内的位移；
(2)物体在第3 s内的位移．
思路点拨：(1)分别求的是哪段时间内的位移？
(2)选用什么公式来求解位移？
[解析]　(1)用位移公式求解，3 s内物体的位移
s3＝v0t3＋at＝5×3 m＋×(－0.5)×32 m＝12.75 m.
(2)同理2 s内物体的位移
s2＝v0t2＋at＝5×2 m＋×(－0.5)×22 m＝9 m
因此，第3 s内的位移
s＝s3－s2＝12.75 m－9 m＝3.75 m.
[答案]　(1)12.75 m　(2)3.75 m
关于s＝v0t＋at2的注意点
(1)利用公式s＝v0t＋at2计算出的物理量是位移而不是路程．
(2)物体做匀减速运动时，若以初速度v0的方向为正方向，a仅表示加速度的大小，这时的位移公式可表示为s＝v0t－at2.
(3)因为位移公式是一元二次函数，故s?t图像是一条抛物线(一部分)．
【一题多变】　在上题中，试求物体在15 s内的位移．
[解析]　物体匀减速运动到速度为零时所用时间
t＝＝ s＝10 s<15 s
物体在15 s内的位移即为10 s内的位移，
s＝v0t＋at2＝5×10 m＋×(－0.5)×102 m＝25 m.
[答案]　25 m
[跟进训练]
1．以36 km/h的速度行驶的汽车，刹车后做匀减速直线运动，若汽车在刹车后第2 s内的位移是6.25 m，求：
(1)汽车刹车过程中加速度的大小；
(2)刹车后5 s内的位移大小．
[解析]　(1)以汽车的运动方向为正方向．
v0＝36 km/h＝10 m/s
由公式s＝v0t＋at2得第2 s内的位移
s2＝v0t2＋at－
＝v0(t2－t1)＋a(t－t)
代入数据解得a＝－2.5 m/s2
负号表示加速度方向与汽车的运动方向相反．
(2)设刹车后经时间t汽车停止运动，
由v＝v0＋at，得t＝＝ s＝4 s
可见，刹车后5 s内汽车在最后1 s是静止的，故刹车后5 s内的位移为s′＝v0t＋at2＝ m＝20 m.
[答案]　(1)2.5 m/s2　(2)20 m
匀变速直线运动的位移—速度关系
如图所示，狙击步枪射击时，若把子弹在枪筒中的运动看作是匀加速直线运动，假设枪筒长s，子弹的加速度为a.
探究：(1)如何求出子弹射出枪口的速度大小？
(2)在上面问题中，已知条件和所求的结果都不涉及时间t，它只是一个中间量，能否将两个公式联立，消去t，只用一个关系式表示位移s与速度vt的关系呢？
提示：(1)由s＝at2，vt＝at得vt＝.
(2)vt＝v0＋at，把t＝代入s＝v0t＋at2得v－v＝2as.
1．公式的适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动．
2．公式的意义：公式2as＝v2－v反映了初速度v0、末速度v，加速度a、位移s之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求另一个未知量．
3．公式的矢量性：公式中v0、v、a、s都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向．
(1)物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值．
(2)s>0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；s<0，说明位移的方向与初速度的方向相反．
4．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，v2＝2as.(初速度为零的匀加速直线运动)
(2)当v＝0时，－v＝2as.(末速度为零的匀减速直线运动)
【例2】　随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显．分析交通违法事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命．一货车严重超载后的总质量为49 t，以54 km/h的速率匀速行驶．发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s2(不超载时则为5 m/s2)．
(1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？
(2)若超载货车刹车时正前方25 m处停着总质量为1 t的轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度．
思路点拨：
关键词 分析
54 km/h 开始减速时的速度
分别前进多远 减速运动至停止，超载时a1＝－2.5 m/s2，不超载时a2＝－5 m/s2
25 m 刹车时通过的位移
[解析]　(1)设货车刹车时速度大小为v0，加速度为a，末速度为v，刹车距离为s，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式得s＝
由题意知，v0＝54 km/h＝15 m/s，v＝0，a1＝－2.5 m/s2，
a2＝－5 m/s2
代入数据得，超载时s1＝45 m
不超载时s2＝22.5 m.
(2)超载货车与轿车碰撞时， 由v2－v＝2as知
相撞时货车的速度
v＝＝ m/s＝10 m/s.
[答案]　(1)45 m　22.5 m　(2)10 m/s
解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法
(1)如果题目中无位移s，也不让求s，一般选用速度公式v＝v0＋at.
(2)如果题目中无末速度v，也不让求v，一般选用位移公式s＝v0t＋at2.
(3)如果题目中无运动时间t，也不让求t，一般选用导出公式v2－v＝2as.
[跟进训练]
2．有些航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统，己知某型号的战斗机在跑道上加速时可能产生的最大加速度为5.0 m/s2，当飞机的速度达到50 m/s时才能离开航空母舰起飞．设航空母舰处于静止状态．问：
(1)若要求该飞机滑行160 m后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？
(2)若某舰上不装弹射系统，要求该型号飞机仍能在此舰上正常起飞，则该舰身长至少应为多少？
[解析]　(1)根据公式v2－v＝2as
解得v0＝＝30 m/s.
(2)不装弹射系统时有v2＝2aL
解得L＝＝250 m.
[答案]　(1)30 m/s　(2)250 m
1．物理观念：匀变速直线运动的两个公式：s＝v0t＋at2　v－v＝2as.
2．科学思维：微积分思想，v?t图像及与时间轴所围面积等于位移大小．
3．科学方法：极限法、理想化模型——匀变速直线运动．
1．一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是(　　)
A．物体的末速度与时间成正比
B．物体的位移与时间的平方成正比
C．物体的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比
D．若是匀加速运动，位移和速度随时间增加；若是匀减速运动，位移和速度随时间减小
C　[根据v＝v0＋at和s＝v0t＋at2可知，只有在初速度为零的情况下，速度与时间成正比，位移与时间的平方成正比， 故A、B错误；由a＝可知，a一定，则物体的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比，故C正确；当物体做匀减速运动时，速度减小但位移可能增大，故D错误．]
2．一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为s，则它从出发开始经过4s的位移所用的时间为(　　)
A．　　B． 　　C．2t　　D．4t
C　[由s＝at2和4s＝at′2得t′＝2t，故C正确．]
3．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s末的速度达到4 m/s，物体在第2 s内的位移是(　　)
A．6 m B．8 m
C．4 m D．1.6 m
A　[根据速度公式v1＝at，得a＝＝ m/s2＝4 m/s2.第1 s末的速度等于第2 s初的速度，所以物体在第2 s内的位移s2＝v1t＋at2＝4×1 m＋×4×12 m＝6 m．故选项A正确．]
4．飞机着陆后做匀减速滑行，着陆时的初速度是216 km/h，在最初2 s内滑行114 m．求：
(1)5 s末的速度大小是多少？
(2)飞机着陆后12 s内滑行多远？
[解析]　(1)v0＝216 km/h＝60 m/s
最初2 s内：s1＝v0t1＋at
解得：a＝－3 m/s2
5 s末的速度：v2＝v0＋at2＝45 m/s.
(2)着陆减速总时间：t3＝＝20 s，
飞机着陆后12 s内的位移：s2＝v0t4＋at＝504 m.
[答案]　(1)45 m/s　(2)504 m
5.(思维拓展)汽车是现在最广泛的交通工具之一，汽车的安全驾驶和汽车自身的性能至关重要，某次李先生进行汽车性能测试，由静止出发，从A点匀加速直线运动到达B点速度是v，到达C点时速度是2v.求：
(1)AB两点距离sAB与BC两点距离sBC的比值？
(2)AB两点距离sAB与AC两点距离sAC的比值．
[解析]　(1)由v2－v＝2as得sAB＝，sBC＝
故sAB∶sBC＝1∶3.
(2)由v2－v＝2as得sAB＝，sAC＝.
故sAB∶sAC＝1∶4.
[答案]　(1)1∶3　(2)1∶4

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