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6　电势差与电场强度的关系

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由公式E＝可知，电场强度与电势差U成正比。 (×)
(2)电场线的方向就是电势逐渐降落的方向。 (×)
(3)E＝与E＝k中的q和Q表示相同的含义。 (×)
(4)沿电场线方向任意相同距离上的电势差必相等。 (×)
(5)在匀强电场中，任意两点间的电势差等于场强与这两点间距离的乘积。 (×)
2．关于匀强电场中的场强和电势差的关系，下列说法正确的是(　　)
A．电场强度越大，则任意两点间的电势差也越大
B．任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积
C．沿着电场线方向，任何相同距离上的电势降低必定相等
D．场强与电势处处相同
C　[U＝Ed中的d指两点所在等势面的距离，选项A、B、D错误，C正确。]
3．如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50 V，φc＝20 V，则a、c连线中点b的电势φb为(　　)
A．等于35 V　　 B．大于35 V
C．小于35 V D．等于15 V
C　[从电场线疏密可以看出Ea＞Eb＞Ec，由公式UAB＝Ed可以判断Uab＞Ubc，所以φb＜＝35 V。]
对关系式U＝Ed和E＝U/d的理解
1.关系式表明了电场强度与电势差的关系
大小关系 由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势
方向关系 电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向
物理意义 电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间变化的快慢
2.在非匀强电场中，公式E＝可用来定性分析问题，由E＝可以得出结论：
在等差等势面越密的地方场强就越大，如图甲所示。再如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故Uab【例1】　如图所示，在匀强电场中，电荷量q＝5.0×10－10 C的正电荷由a点移到b点和由a点移到c点，电场力做功都是3.0×10－8 J，已知a、b、c三点的连线组成了一个直角三角形，ab＝20 cm，∠a＝37°，∠c＝90°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)a、b两点的电势差Uab；
(2)匀强电场的场强大小和方向。
思路点拨：(1)电场力对电荷做功一定时，初、末位置的电势差一定，其数值可由U＝求解。
(2)匀强电场的场强可由公式E＝求解。
[解析]　(1)因为正电荷从a到b和从a到c，电场力做功相等，所以由W＝qU可得Uab＝Uac，b、c两点在同一等势面上，根据电场线与等势面垂直，可知场强方向与ac平行，垂直指向bc。
Uab＝＝ V＝60 V。
(2)由U＝Ed可得
E＝＝＝ V/m＝375 V/m
场强方向平行于ac，且由a指向c。
[答案]　(1)60 V　(2)375 V/m　方向与bc边垂直且由a指向c
计算电场强度应注意的问题
(1)在选取场强公式计算电场强度时，首先要注意公式的适用条件，然后判断题目中物理情境是否满足公式的适用条件。
(2)应用公式UAB＝Ed计算时，首先要明确所研究的电荷所处的电场必须是匀强电场，其次要明确所要研究的两点的距离应当是沿场强方向两点间的距离。如果给出电场中两点间的距离不是沿场强方向上的距离，则应通过数学知识转化为沿场强方向上的距离。
训练角度1：应用E＝定性分析
1．如图所示，a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以判定(　　)
A．φa>φb>φc　　　 B．Ea>Eb>Ec
C．φa－φb＝φb－φc D．Ea＝Eb＝Ec
A　[只给出一条电场线无法判断电场线的疏密，故无法判断a、b、c三点电场强度的大小；沿电场线方向电势降低，故φa＞φb＞φc，选项A正确。]
训练角度2：应用E＝定量计算
2.如图所示，A、B、C、D是匀强电场中的四个点，D是BC的中点，A、B、C构成一个直角三角形，AB长为L m，电场线与三角形所在的平面平行，已知φA＝5 V，φB＝－5 V，φC＝15 V，由此可以判断(　　)
A.场强的方向由C指向B
B．场强的方向垂直AD连线斜向上
C．场强的大小为 V/m
D．场强的大小为V/m
D　[D为BC的中点，则φD＝5 V，AD连线为一等势线，场强的方向垂直AD连线斜向下，选项A、B错误；由B到AD的距离d＝L cos 30° m＝L m，则电场强度E＝＝ V/m，选项C错误，选项D正确。]
对电场强度的进一步理解
1.关于场强E的几个表达式
公式 适用范围 说明
E＝ 任何电场 定义式，q为试探电荷的电荷量
E＝k 真空中点电荷形成的电场 Q为场源电荷的电荷量，E表示跟点电荷相距r处的某点的场强
E＝ 匀强电场 U为沿电场线方向上相距为d的两点间的电势差
2.关于电场强度与电势的理解
(1)电场强度为零的地方电势不一定为零，如等量同种点电荷连线的中点；电势为零的地方电场强度也不一定为零，如等量异种点电荷连线的中点。
(2)电场强度相等的地方电势不一定相等，如匀强电场；电势相等的地方电场强度不一定相等，如点电荷周围的等势面。
【例2】　有两块平行金属板A、B相隔6 cm，接在36 V的直流电源上。电源的正极接地，C点在两板间且到A板的距离为2 cm。
(1)求A、B两板间的场强大小和方向；
(2)以地面为电势的零点，问C点的电势多高？
思路点拨：(1)A、B两板间的电场为匀强电场。
(2)电场中某点的电势等于该点与零电势点间的电势差。
[解析]　(1)板间场强的大小E＝＝ V/m＝6×102 V/m，场强方向由A板垂直指向B板。
(2)UAC＝EdAC＝6×102×2×10－2 V＝12 V
由UAC＝φA－φC，得φC＝φA－UAC＝0－12 V＝－12 V。
[答案]　(1)6×102 V/m，方向由A板垂直指向B板　(2)－12 V
上例中，若改为B板接地，其他条件不变，则C点电势多高？若C点放一电子，则电子的电势能多大？
提示：UCB＝EdBC＝6×102×4×10－2V＝24 V
则φ′C＝UCB＋φB＝24 V
EpC＝－eφC′＝－24 eV。
3.如图所示，有竖直向下的匀强电场，A、B两等势面间距离为5 cm，电势差为25 V，在电场中P点固定放置电荷量为5×10－9 C的负点电荷，此时电场中有一点场强为零，此点在P点的(　　)
A．上方30 cm　　 B．下方30 cm
C．上方25 cm D．下方25 cm
B　[匀强电场的场强E＝＝ V/m＝500 V/m，设距P点L处的合场强为零，则k＝9×109× V/m＝500 V/m，故L＝0.3 m，负点电荷在距P点L处的电场竖直向上，该点在电场中P点的下方，B正确。]
等分法计算匀强电场中的电势
1.在匀强电场中，沿任意一个方向上，电势下降都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等。如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的1/n倍，像这样采用等分间距求电势问题的方法，叫作等分法。
2．在已知电场中几点的电势时，如果要求其他点的电势，一般采用“等分法”，在电场中找与待求点电势相同的等势点。等分法也常用在画电场线的问题中。
3．在匀强电场中，相互平行且相等的线段两端点电势差相等，用这一点可求解电势。
【例3】　如图所示的方框中有一匀强电场，A、B、C三点为电场中的三点，电势分别为φA＝24 V，φB＝12 V，φC＝－24 V，试用作图法作出该电场的电场线。
[解析]　在图示的匀强电场中，沿AB方向和AC方向电势都是均匀降低的，φA＝24 V，φC＝－24 V，则AC连线的中点O的电势必为零，而AO的中心点O′的电势一定等于12 V，即O′和B在同一等势面上，连接BO′即为该匀强电场中的一条等势线，根据电场线与等势面垂直可画出电场的电场线，如图所示，作图步骤如下：
①连接AC，并作出AC的中点O；
②再作出AO的中点O′；
③连接O′B；
④过A点作直线O′B的垂线AD，电场E的方向由A→D。
[答案]　见解析图
画匀强电场中的等势面或电场线的技巧
(1)掌握匀强电场中的两条规律
①在匀强电场中，沿任一方向上距离相等的两点间的电势差都相等。
②在匀强电场中，相互平行、长度相等的线段两端电势差相等。
(2)掌握解题方法，具体如下
在已知匀强电场中几点的电势时，如果要求电场中某点的电势(或画等势面或画电场线)，可先找出电势差最大的两点，然后将两点连线，再采用“等分法”在电场中找到与待求点电势相等的等势点，从而画出等势线，最后利用电场线与等势线垂直的特点画出电场线，由电势的高低判断场强的方向。
4．如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　)
A．200 V/m B．200 V/m
C．100 V/m D．100 V/m
A　[因为φO＝0，φA＝6 V，由匀强电场的特点知OA的中点C处电势φC＝3 V，可连接B与C作等势线，过O点作BC的垂线交BC于D点，如图所示，由几何关系得OD＝1.5 cm，E＝＝＝200 V/m，A正确。]
1．[科学思维]对E＝公式的理解与应用。
2．[物理观念]对场强的进一步理解。
3．[科学方法]匀强电场中场强与电势差的关系。
1．对公式E＝的理解，下列说法正确的是(　　)
A．此公式适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差
B．A点和B点间距离越大，则这两点的电势差越大
C．公式中d是指A点和B点之间的距离
D．公式中的d是匀强电场中A、B两点所在等势面间的距离
D　[公式E＝只适用于匀强电场，A错误；公式中的d是A、B两点所在等势面间的距离，A点和B点之间的距离大，等势面之间的距离不一定大，故B、C错误，D正确。]
2.如图所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆，P为圆周上处于x轴上方的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ。若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100 V/m，则O、P两点间的电势差可表示为(　　)
A．UOP＝－10sin θV
B．UOP＝10sin θV
C．UOP＝－10cos θV
D．UOP＝10cos θV
A　[沿着电场线的方向电势降低，故UOP<0，在匀强电场中，UOP＝－E·R sin θ＝－10sin θV，故A正确。]
3．如图所示，A、B、C是匀强电场中的三点，三点的电势分别为φA＝10 V，φB＝4 V，φC＝－2 V，∠A＝30°，∠B＝90°，AC＝4 cm，可确定该匀强电场的场强大小为(　　)
A．18 V/m　　 B．12 V/m
C．100 V/m D．200 V/m
D　[如图所示，用D、F、G把AC四等分，因此：φD＝7 V，φF＝4 V，φG＝1 V；连接BF直线便是电场中电势为4 V的等势线，过该等势线上任一点M作垂线并指向电势降落方向，便得到一条电场线。
由几何关系知三角形BCF为等边三角形，则B、C两点在场强方向上的距离：
d＝CN＝BC sin 60°＝2× cm＝3 cm＝0.03 m，
则场强：
E＝＝ V/m＝200 V/m，D正确。]

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