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第一节　匀速圆周运动
学习目标：1.[物理观念]知道什么是圆周运动和匀速圆周运动。　2.[物理观念]会描述圆周运动的快慢，掌握线速度、角速度、周期的定义及它们之间的关系。　3.[科学思维]学会用比值定义法来描述物理量。会应用公式进行线速度、角速度、周期、频率、转速的计算。　4.[科学态度与责任]会分析常见的传动装置问题。
一、线速度和角速度
1．圆周运动：质点的运动轨迹是圆的运动。
2．匀速圆周运动：质点的线速度大小不随时间变化的圆周运动。
3．线速度
(1)定义：质点做匀速圆周运动时，质点通过的弧长l跟通过这段弧长所用时间t的比值。
(2)公式：v＝。
(3)矢量性：线速度是矢量，其方向在圆周该点的切线方向上。
(4)单位：国际单位制中其单位是米每秒，符号是m/s。
(5)意义：表示匀速圆周运动的快慢。
4．角速度
(1)定义：质点做匀速圆周运动时，质点所在半径转过的角度θ跟所用时间t的比值。
(2)公式：ω＝。
(3)单位：国际单位制中其单位是弧度每秒。符号是rad/s。
(4)意义：表示匀速圆周运动转动的快慢。
5．周期
(1)定义：匀速圆周运动的质点运动一周所用的时间，用符号T表示。
(2)单位：国际单位制中其单位是秒，符号s。
6．转速
(1)定义：物体转过的圈数与所用时间的比值，用符号n表示。
(2)单位：转速的单位是转每秒，符号是r/s，或者转每分，符号是r/min。
二、线速度、角速度、周期间的关系
1．线速度与周期的关系为v＝。
2．角速度与周期的关系为ω＝。
3．线速度与角速度的关系为v＝ωr。
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)匀速圆周运动是变速曲线运动。 (√)
(2)匀速圆周运动的线速度恒定不变。 (×)
(3)匀速圆周运动的角速度恒定不变。 (√)
(4)若匀速圆周运动的周期相同，则角速度大小及转速都相同。 (√)
2．(多选)关于匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A．匀速圆周运动是匀速运动
B．匀速圆周运动是变速运动
C．匀速圆周运动是线速度不变的运动
D．匀速圆周运动是线速度大小不变的运动
BD　[这里的“匀速”，不是“匀速度”，也不是“匀变速”，而是速率不变，匀速圆周运动实际上是一种速度大小不变、方向时刻改变的变速运动，故B、D正确。]
3．关于地球上不同位置的物体随地球自转的角速度关系、线速度大小关系，下列说法正确的是(　　)
A．处于同一纬度线上的海拔相同的物体线速度大小相等
B．处于同一经度线上的物体线速度大小相等
C．在赤道上的物体角速度最大
D．在两极处的物体线速度最大
A　[地球上不同位置的物体随地球自转时，共轴转动，角速度相同，处于同一纬度线上的海拔相同的物体转动半径相等，由公式v＝ωr分析知，线速度大小相等，故A正确，C错误；处于同一经度线上的物体转动半径不全相等，所以线速度不一定大小相等，故B错误；在两极处的物体转动半径最小，则线速度最小，故D错误。]
匀速圆周运动及描述的物理量
日常生活中，时钟指针的尖端、摩天轮上的座舱、电风扇工作时叶片上的点都在做圆周运动，它们的运动有何共同点？有什么不同之处？
提示：它们的运动都是圆周运动，共同点是运动轨迹都是圆周。不同点是转动的快慢不一样。
1．匀速圆周运动的特点
(1)匀速圆周运动一定是变速运动。因为速度是矢量，只要方向改变就说明速度发生了改变，而圆周运动的速度方向是时刻改变的，所以匀速圆周运动一定是变速曲线运动。
(2)匀速圆周运动是针对某个质点而言的，它在各个时刻的速度不同，因此质点必有加速度。
2．描述圆周运动的物理量之间的关系
【例1】　(多选)质点做匀速圆周运动，则(　　)
A．在任何相等的时间里，质点的位移都相等
B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
D．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
思路点拨：(1)匀速圆周运动是变加速曲线运动。
(2)位移、平均速度是矢量。
BD　[如图所示，由于线速度大小不变，根据线速度的定义，Δx＝v·Δt，所以相等时间内通过的路程相等，B对；但位移sAB、sBC大小相等，方向并不相同，平均速度不同，A、C错；由角速度的定义ω＝知Δt相同，Δθ＝ωΔt相同，D对。]
1．线速度描述圆周运动质点通过弧长的快慢程度，匀速圆周运动线速度大小不变，方向不断变化。
2．角速度描述质点转过角度的快慢，匀速圆周运动的角速度恒定不变。
训练角度1　匀速圆周运动的理解
1．关于匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A．线速度的方向保持不变
B．线速度的大小保持不变
C．角速度不断变化
D．线速度和角速度都保持不变
B　[做匀速圆周运动的物体，线速度大小不变，方向不断改变，故线速度不断变化，角速度保持不变，故选B。]
训练角度2　描述圆周运动物理量的计算
2．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。某国产轿车的车轮半径约为30 cm，当该型号的轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车轮的转速约为(　　)
A．1 000 r/s　　　 B．1 000 r/min
C．1 000 r/h D．2 000 r/s
B　[由公式ω＝2πn，得v＝rω＝2πrn，其中r＝30 cm＝0.3 m，v＝120 km/h＝ m/s，代入得n＝ r/s，约为1 000 r/min。]
常见的传动方式
跷跷板的支点位于板的中点，两个小朋友坐在两端。
分析：
(1)在撬动跷跷板的某一时刻，两个小朋友的线速度的大小关系及角速度的大小关系如何？
提示：线速度、角速度大小都相等。
(2)如果跷跷板的支点不在板的中点，线速度和角速度的关系如何？
提示：角速度大小相等，线速度的大小不相等。
常见传动装置及特点
同轴传动 皮带传动 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上
两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点
两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点 角速度、周期相同 线速度相同 线速度相同
转动 方向 相同 相同 相反
规律 线速度与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝。
周期与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝。
周期与半径成正比：＝
【例2】　如图所示，A、B、C分别是自行车的大齿轮、小齿轮和后轮的边缘上的三个点，到各自转动轴的距离分别为3r、r和10r。支起自行车后轮，在转动踏板的过程中，A、B、C三点(　　)
A．角速度大小关系是ωA＞ωB＝ωC
B．线速度大小关系是vA＜vB＜vC
C．转动周期之比TA∶TB∶TC＝3∶1∶1
D．转速之比nA∶nB∶nC＝3∶3∶1
思路点拨：抓住两个特点：(1)A、B两点的线速度大小相等。
(2)B、C两点的角速度相同。
C　[大齿轮与小齿轮是链条传动，边缘点线速度相等，则有vA∶vB＝1∶1，根据v＝ωr，则有ωA∶ωB＝rB∶rA＝1∶3；小齿轮与后轮是同轴传动，角速度相等，则有ωB∶ωC＝1∶1，根据v＝ωr则有vB∶vC＝1∶10，所以角速度大小关系是ωA∶ωB∶ωC＝1∶3∶3，线速度大小关系是vA∶vB∶vC＝1∶1∶10，根据T＝可知TA∶TB∶TC＝3∶1∶1，根据ω＝2πn可知转速之比是nA∶nB∶nC＝1∶3∶3，故选项C正确。]
三种传动装置的特征
3．科技馆的科普器材中常有如图所示的匀速率的传动装置：在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮。若齿轮的齿很小，大齿轮的半径(内径)是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮顺时针匀速转动时，下列说法正确的是(　　)
A．小齿轮逆时针转动
B．小齿轮每个齿的线速度均相同
C．小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍
D．小齿轮的线速度是大齿轮线速度的
C　[大齿轮、小齿轮在转动过程中，两者的线速度大小相等，当大齿轮顺时针转动时，小齿轮也顺时针转动，故A、D错；
速度是矢量，具有方向，所以小齿轮每个齿的线速度不同，故B错；
由v＝ωr知，当线速度大小相等时，角速度与半径成反比，故C对。]
圆周运动的周期性和多解问题
指尖陀螺是一种一个轴承对称结构、可以在手指上空转的小玩具，它是由一个双向或多向的对称体作为主体，在主体中间嵌入一个轴承的设计组合，整体构成一个可平面转动的新型物品，其中就包括可以悬浮在空中的指尖陀螺。
分析当指尖陀螺的转速达到一定程度时，我们看到好像陀螺处于静止状态一样，为什么？
提示：每经过特定的时间指尖陀螺就会转回到初始位置，所以我们看到好像陀螺不动一样。
1．问题特点
(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。
(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动，匀速直线运动等)。
(3)运动的关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量。
2．分析技巧
(1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两个运动的联系点。
(2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。
【例3】　如图所示，半径为R的水平圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，从正上方中心轴上距O点h处沿OB方向水平抛出一小球，要使小球与圆盘只碰一次，且落点为边缘的B点，求小球的初速度和圆盘转动的角速度ω。
思路点拨：突破的关键是：在小球下落的时间内圆盘转了几周。
[解析]　小球做平抛运动，在竖直方向上h＝gt2，则运动时间t＝。
又因为水平位移为R，
所以小球的初速度v＝＝R。
在时间t内圆盘转过的角度
θ＝N·2π，
又因为θ＝ωt，所以圆盘转动的角速度
ω＝＝2Nπ(N＝1,2,3，…)。
[答案]　R　ω＝＝2Nπ(N＝1,2,3，…)
4．如图所示，直径为d的纸制圆筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口对准圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，忽略重力及空气阻力，则子弹速度不可能是(　　)
A． B．
C． D．
A　[圆筒上只有一个弹孔，说明子弹从同一孔射入、射出，子弹运动的时间t＝，圆筒转过的角度θ＝2nπ＋π(n＝0,1,2，…)，而ω＝，联立可得v＝(n＝0,1,2，…)，所以选项A不可能。]
1．物理观念：匀速圆周运动及线速度、角速度、周期等概念。
2．科学思维：描述圆周运动的物理量间的联系。
3．科学态度与责任：三种传动装置的分析。
1．关于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是(　　)
A．因为在相等的时间内通过的圆弧长度相等，所以线速度恒定
B．如果物体在0.1 s内转过30°角，则角速度为300 rad/s
C．若半径r一定，则线速度与角速度成反比
D．若半径为r，周期为T，则线速度为v＝
D　[物体做匀速圆周运动时，线速度大小恒定，方向沿圆周的切线方向，在不断地改变，故选项A错误；角速度ω＝＝ rad/s＝ rad/s，选项B错误；线速度与角速度的关系为v＝ωr，由该式可知，r一定时，v∝ω，选项C错误；由线速度的定义可得，在转动一周时有v＝，选项D正确。]
2．(多选)如图所示，在风力发电机的叶片上有A、B、C三点，其中A、C在叶片的顶点，B在叶片的中点。当叶片转动时，这三点(　　)
A．线速度大小都相等
B．线速度方向都相同
C．角速度大小都相等
D．周期都相等
CD　[首先A、B、C属于同轴传动，故它们的角速度、周期都相等，故C、D正确；由v＝ωr知，它们的半径r不相等，故线速度的大小不相等，故A错误；A、B两点的线速度方向与C点的不同，线速度的方向沿着切线方向，故B错误。]
3．(多选)一精准转动的机械钟表，下列说法正确的是(　　)
A．秒针转动的周期最长
B．时针转动的转速最小
C．秒针转动的角速度最大
D．秒针的角速度为 rad/s
BCD　[秒针转动的周期最短，角速度最大，A错误，C正确；时针转动的周期最长，转速最小，B正确；秒针的角速度为ω ＝ rad/s＝ rad/s，故D正确。]
4．(多选)如图，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，C点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮半径的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面不打滑。下列说法正确的是(　　)
A．A与B线速度大小相等
B．B与C线速度大小相等
C．A的角速度是C的2倍
D．A与C角速度大小相等
AD　[靠摩擦传动做匀速转动的大、小两轮接触面互不打滑，知A、B两点具有相同的线速度，故A项正确；点A和点C是同轴传动，角速度相等，C项错误，D项正确；点A和点B具有相同的线速度大小，又因为A、C具有相同的角速度，根据v＝rω，可知B点的线速度大于C点的线速度，故B项错误。]
5．如图所示是一种粒子测量器，圆柱形容器的半径为R，容器壁上有一槽口A，其正对的位置是B，P是喷射高速粒子流的喷口，其喷射方向沿直径方向。现使容器以角速度ω匀速转动，则喷射的粒子流可以从槽口A进入容器，最后落在B′上，测得BB′的弧长为l，求喷射的粒子流的速度。
[解析]　粒子流沿直径方向做匀速直线运动的时间为t＝，
在这段时间内，容器转过的弧长为k·2πR＋l(k＝0,1,2，…)，
容器壁转动的线速度为ωR，因此有＝(k＝0,1,2，…)，
解得v＝(k＝0,1,2，…)。
[答案]　(k＝0,1,2，…)
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