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第二节　向心力与向心加速度
学习目标：1.[物理观念]认识向心力，通过实例认识向心力的作用及向心力的来源。　2.[物理观念]理解向心加速度的表达式，会根据问题情景选择合适的向心加速度的表达式。　3.[科学探究]通过实验理解向心力的大小与哪些因素有关，会设计方案，验证规律、得出关系。能运用向心力的公式进行计算。
一、感受向心力
1．向心力的定义
物体做匀速圆周运动时所受合外力的方向始终指向轨迹的圆心，这个合外力称为向心力。
2．向心力的作用效果
(1)只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
(2)向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以由不同性质的力提供，也可以由某一力的分力或某些力的合力提供。
二、探究影响向心力大小的因素
1．实验与探究
实验目的 探究影响向心力大小的因素
实验方法 控制变量法
探究过程 m、r不变 改变角速度ω，则ω越大，向心力F就越大
m、ω不变 改变半径r，则r越大，向心力F就越大
ω、r不变 改变质量m，则m越大，向心力F就越大
结论 物体做圆周运动需要的向心力与物体的质量、半径、角速度都有关
2.公式
做匀速圆周运动的物体，所受向心力的大小为F＝mω2r，而ω＝，则F＝m。
三、向心加速度
1．定义
做匀速圆周运动的物体，其加速度a的方向一定指向圆心，所以也叫向心加速度。
2．大小
a＝ω2r，a＝。
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向心力可以是合力，也可以是某个力的分力。 (√)
(2)向心力既改变物体做圆周运动的速度大小，也改变速度的方向。 (×)
(3)角速度越大，半径越大，向心力就越大。 (×)
(4)做圆周运动的物体，线速度越大，向心加速度就越大。 (×)
2．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列判断正确的是(　　)
A．合力的大小不变，方向一定指向圆心
B．合力的大小不变，方向也不变
C．合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小
D．合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小
AD　[匀速圆周运动的合力等于向心力，由于线速度v的大小不变，故F合只能时刻与v的方向垂直，即指向圆心，故A对，B错；合力F合的方向时刻与速度的方向垂直而沿切线方向无分力，故该力只改变速度的方向，不改变速度的大小，C错，D对。]
3．下列关于向心加速度的说法中正确的是(　　)
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
A　[向心加速度的方向时刻指向圆心，A正确；向心加速度的大小不变，方向时刻指向圆心，不断变化，故B、C、D错误。]
向心力的来源和计算
飞机在空中水平面内做匀速圆周运动；在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周运动。
探究：
(1)飞机和小球在运动过程中受到哪些力的作用？
(2)这些力的合力方向及作用效果是什么？
提示：(1)重力和支持力。
(2)指向圆心，充当向心力。
1．向心力大小的计算
Fn＝m＝mrω2＝mωv＝mr，在匀速圆周运动中，向心力大小不变；在非匀速圆周运动中，其大小随速率v的变化而变化。
2．向心力来源的分析
物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供。可以由一个力充当向心力；也可以由几个力的合力充当向心力；还可以是某个力的分力充当向心力。
实例 向心力 示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时 绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动 线的拉力提供向心力，F向＝FT
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止 转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝f
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动 重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合
【例1】　如图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
甲　　　　　　　　乙
(1)绳子拉力的大小；
(2)转盘角速度的大小。
思路点拨：该题有以下关键点
(1)质点在竖直方向上的合力等于零，在水平方向上的合力提供向心力。
(2)利用几何关系准确求出圆周运动的半径。
[解析]　(1)如图所示，对质点进行受力分析，图中F为绳子的拉力，在竖直方向：
Fcos 37°－mg＝0
解得F＝＝750 N。
(2)质点在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgtan 37°＝mω2R
R＝d＋lsin 37°
联立解得ω＝＝rad/s。
[答案]　(1)750 N　(2) rad/s
分析匀速圆周运动问题的基本步骤
1．明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
2．确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。
3．将物体所受外力通过力的正交分解，分解到沿切线方向和沿半径方向。
4．列方程：沿半径方向满足F合1＝mrω2＝m＝，沿切线方向F合2＝0。
5．解方程求出结果。
训练角度1　向心力的理解
1．(多选)关于向心力的下列说法中正确的是(　　)
A．向心力不改变做圆周运动物体速度的大小
B．做匀速圆周运动的物体，其向心力是不变的
C．做圆周运动的物体，所受合外力一定等于向心力
D．做匀速圆周运动的物体，一定是所受的合外力充当向心力
AD　[向心力不改变做圆周运动物体速度的大小，只改变速度的方向，A正确；做匀速圆周运动的物体，其向心力的方向时刻在变，B错误；做圆周运动的物体，所受合外力不一定等于向心力，因为物体不一定做匀速圆周运动，C错误；物体做匀速圆周运动时，合外力等于向心力，D正确。]
训练角度2　向心力的分析和计算
2.(多选)用细绳拴着小球做圆锥摆运动，如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．小球受到重力、绳子的拉力和向心力的作用
B．小球做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力的合力
C．向心力的大小可以表示为F＝mrω2，也可以表示为F＝mgtan θ
D．以上说法都正确
BC　[小球受两个力的作用：重力和绳子的拉力，两个力的合力提供向心力，因此有F＝mgtan θ＝mrω2。所以正确答案为B、C。]
匀速圆周运动的向心加速度
天宫二号空间实验室在轨飞行时，可认为它绕地球做匀速圆周运动。尽管线速度大小不变，但方向却时刻变化，因此，它运动的加速度一定不为0。那么，该如何确定它在轨飞行时加速度的方向和大小呢？
提示：根据a＝，加速度的方向应与向心力的方向一致。
加速度的大小可根据a＝或a＝和a＝rω2来确定，本节将详细讲解。
1．向心加速度的物理意义
向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量。向心加速度由于速度的方向改变而产生，线速度的方向变化的快慢决定了向心加速度的大小。
2．向心加速度的几种表达式
3．向心加速度与半径的关系
(1)若ω为常数，根据a＝ω2r可知，向心加速度与r成正比，如图甲所示。
(2)若v为常数，根据a＝可知，向心加速度与r成反比，如图乙所示。
甲　　　　　　乙
(3)若无特定条件，则不能说向心加速度与r是成正比还是成反比。
4．变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢。所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心。
【例2】　如图所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径。已知r2＝2r1，r3＝1.5r1、A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则A、B、C三点的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)(　　)
A．1∶2∶3　　　 B．2∶4∶3
C．8∶4∶3 D．3∶6∶2
思路点拨：(1)A、B两点线速度大小相等，用a＝分析。
(2)B、C两点角速度相等，用a＝rω2分析。
C　[因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相等，都等于皮带运动的速率，根据向心加速度公式a＝，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1。由于B、C是固定在同一轮上的两点，所以它们的角速度相同，根据向心加速度公式a＝rω2，可得aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5＝4∶3。由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3。]
向心加速度公式的应用技巧
1．先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。
2．在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。
3．向心加速度公式a＝和a＝ω2r不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。
训练角度1　向心加速度的理解
3．下列关于向心加速度的说法中正确的是(　　)
A．向心加速度越大，物体速率变化越快
B．向心加速度的大小与轨道半径成反比
C．向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直
D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
C　[在匀速圆周运动中，速率不变，速度方向时刻变化，向心加速度越大，物体速度变化越快，A错；
向心加速度的大小可用a＝或a＝ω2r表示，当v一定时，a与r成反比；当ω一定时，a与r成正比。可见an与r的比例关系是有条件的，B错；
向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直，C对；
在匀速圆周运动中，向心加速度的大小恒定，但方向始终指向圆心，即其方向时刻变化，所以向心加速度不是恒量，D错。]
训练角度2　向心加速度的计算
4．如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍，压路机匀速行进时，大轮边缘上A点的向心加速度是0.12 m/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度是多少？大轮上距轴心的距离为的C点的向心加速度是多大？
[解析]　因为vB＝vA，由a＝
得＝＝2
所以aB＝0.24 m/s2
因为ωA＝ωC，由a＝ω2r
得＝＝
所以aC＝0.04 m/s2。
[答案]　0.24 m/s2　0.04 m/s2
1．物理观念：向心力和向心加速度。
2．科学探究：用控制变量法探究向心力大小的决定因素。
3．科学思维：(1)分析向心力的来源，计算向心力的大小。
(2)向心加速度的理解和计算。
1．关于向心加速度，下列说法正确的是(　　)
A．由a＝知，匀速圆周运动的向心加速度恒定
B．匀速圆周运动不属于匀速运动
C．向心加速度越大，物体速率变化越大
D．做圆周运动的物体，加速度时刻指向圆心
B　[由a＝知，匀速圆周运动的向心加速度大小是恒定的，但是方向不断改变，A错；
匀速圆周运动的速度方向不断改变，故不属于匀速运动，B错；
在匀速圆周运动中，速率不变，C错；
只有做匀速圆周运动的物体，加速度才时刻指向圆心，D错。]
2.如图所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是(　　)
A．木块A受重力、支持力和向心力
B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相反
C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向指向圆心
D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相同
C　[由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡。而木块在水平面内做匀速圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O，故选C。]
3.如图所示，两个质量相同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的(　　)
A．运动周期相同
B．运动线速度一样大
C．向心力大小相同
D．向心加速度大小相同
A　[对其中一个小球受力分析，如图，受重力，绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向心力；
将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得，合力F＝mgtan θ
①；
由向心力公式得到，F＝mr ②；
设球与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得：r＝htan θ ③；
由①②③三式得，T＝2π，与绳子的长度和转动关系无关，故A正确；
由v＝，两球转动半径不等，线速度不等，故B错误；
由F＝mr，两球转动半径不等，向心力不等，故C错误；
由a＝r，两球转动半径不等，向心加速度不等，故D错误。]
4.如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么(　　)
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
D　[由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误．]
5.2019年欧洲花样滑冰锦标赛在白俄罗斯首都明斯克进行。法国双人滑组合时隔87年再夺金，扎吉托娃领跑女单。如图所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若运动员的转速为30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4.8 m/s，求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度大小。
[解析]　男女运动员的转速、角速度是相同的，由ω＝2πn得ω＝2×3.14× rad/s＝3.14 rad/s。
由v＝ωr得r＝＝ m≈1.53 m
由a＝ω2r得a＝3.142×1.53 m/s2≈15.1 m/s2。
[答案]　3.14 rad/s　1.53 m　15.1 m/s2
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