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第三节　动能　动能定理
学习目标：1.[物理观念]知道什么是动能，动能定理的内容和表达式。　2.[科学思维]　会应用动能定理分析生活中的现象。3.[科学思维]动能定理在多过程中的应用。
一、动能
1．定义：物体由于运动而具有的能量。
2．表达式：Ek＝mv2。
3．单位：在国际单位制中是焦耳，简称焦，符号是J。
4．特点：(1)动能是标量(填“矢”或“标”)
(2)动能与参考系有关(填“有”或“无”)
二、动能定理
1．内容：合力对物体所做的功等于物体动能的变化量。
2．表达式：W＝Ek2－Ek1＝mv－mv。
3．适用条件：动能定理在直线运动、恒力做功、曲线运动、变力做功时均成立。
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)动能是物体由于运动而具有的能。 (√)
(2)动能是矢量，其方向与速度方向相同。 (×)
(3)物体的速度发生变化，其动能就一定发生变化。 (×)
(4)两质量相同的物体，若动能相同，则速度一定相同。 (×)
2．在水平路面上，有一辆以36 km/h行驶的客车，在车厢后座有一位乘客甲，把一个质量为4 kg的行李以相对客车5 m/s的速度抛给前方座位的另一位乘客乙，则行李的动能是(　　)
A．500 J　　 B．200 J
C．450 J D．900 J
C　[行李相对地面的速度v＝v车＋v相对＝15 m/s，所以行李的动能Ek＝mv2＝450 J，选项C正确。]
3.如图所示，一颗质量为0.1 kg的子弹以500 m/s的速度打穿第一块固定木板后，速度变为300 m/s，则这个过程中子弹克服阻力所做的功为(　　)
A．8 000 J B．4 500 J
C．12 500 J D．无法确定
A　[在子弹穿过木块的过程中，设它克服阻力做功为Wf，根据动能定理得：－Wf＝mv2－mv，代入数据得：Wf＝8 000 J，故选项A正确。]
动能和动能定理
如图，A球质量大于B球质量，球从斜面上滚下，静止在地面上的纸盒被碰后，滑行一段距离停下来。你认为物体的动能可能与哪些因素有关？
提示：物体动能与质量和速度有关。
1．动能的性质
(1)动能的“三性”：
①相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。
②标量性：动能是标量，没有方向。
③状态量：动能是表征物体运动状态的物理量，与物体的运动状态(或某一时刻)的速度相对应。
(2)动能与速度的三种关系：
①数值关系：Ek＝mv2，同一物体，速度v越大，动能Ek越大。
②瞬时关系：动能和速度均为状态量，二者具有瞬时对应关系。
③变化关系：动能是标量，速度是矢量。当动能发生变化时，物体的速度(大小)一定发生了变化，当速度发生变化时，可能仅是速度方向的变化，物体的动能可能不变。
2．动能定理的含义
(1)W的含义：包含物体重力在内的所有外力所做功的代数和。
(2)W与ΔEk的关系：合力做功是引起物体动能变化的原因。
①合力对物体做正功，即W＞0，ΔEk＞0，表明物体的动能增大。
②合力对物体做负功，即W＜0，ΔEk＜0，表明物体的动能减小。
③如果合力对物体不做功，则动能不变。
(3)动能定理的实质：功能关系的一种具体体现，物体动能的改变可由合外力做功来度量。
【例1】　质量为m的小车在水平恒力F推动下，从山坡底部A处由静止起运动至高为h的坡顶B，获得速度为v，AB的水平距离为s。下列说法正确的是(　　)
A．重力对小车所做的功是mgh
B．合力对小车做的功是mv2＋mgh
C．推力对小车做的功是Fs
D．阻力对小车做的功是Fs－mv2－mgh
思路点拨：(1)合力的功可利用动能定理求出。
(2)F是恒力，F的功可根据功的定义求出。
C　[小车由A运动到B，克服重力做功，故A错误；根据动能定理，合力的功等于小车动能的变化，由题意可知，小车动能的变化为mv2，故B错误；推力为恒力，在力方向上的位移为s，根据功的定义有：W＝Fs，故C正确；以小车为研究对象，根据动能定理，有：Wf＋Fs－mgh＝mv2，故阻力对小车做的功为：Wf＝mv2＋mgh－Fs，故D错误。]
训练角度1　动能的理解
1．下列关于动能的说法正确的是(　　)
A．两个物体中，速度大的动能也大
B．某物体的速度加倍，它的动能也加倍
C．做匀速圆周运动的物体动能保持不变
D．某物体的动能保持不变，则速度一定不变
C　[动能的表达式为Ek＝mv2，即物体的动能大小由质量和速度大小共同决定，速度大的物体的动能不一定大，故A错误；速度加倍，它的动能变为原来的4倍，故B错误；速度只要大小保持不变，动能就不变，故C正确，D错误。]
训练角度2　动能定理的理解
2．下列关于运动物体的合力做功和动能、速度变化的关系，正确的是 (　　)
A．物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化
B．若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零
C．物体的合外力做功，它的速度大小一定发生变化
D．物体的动能不变，所受的合外力必定为零
C　[物体做变速运动，速度一定变化，合外力一定不为零，但速度大小不一定变化，所以动能不一定变化，故A错误；若合外力对物体做功为零，合外力不一定为零，可能是由于合外力方向与速度方向始终垂直，如匀速圆周运动，合外力不为零，故B错误；物体的合外力做功，由动能定理知物体的动能一定变化，则它的速度大小一定发生变化，故C正确；物体的动能不变，所受的合外力做功一定为零，但合外力不一定为零，故D错误。]
利用动能定理解决问题
如图所示，一辆汽车正在上坡路上加速行驶。
探究：
(1)汽车上坡过程受哪些力作用？各个力做什么功？
(2)汽车的动能怎样变化？其动能的变化与各个力做功有什么关系？
提示：(1)汽车受重力、支持力、牵引力及路面的阻力作用，上坡过程中牵引力做正功，重力、阻力做负功，支持力不做功。
(2)由于汽车加速上坡，其动能增大，汽车动能的变化等于重力、牵引力及路面的阻力三个力做功的代数和。
1．对动能定理的几点说明
名词 释疑
正负关系 W＞0，ΔEk＞0(合力是动力)；W＜0，ΔEk＜0(合力是阻力)
研究对象 一般是一个物体，也可以是一个系统
过程要求 适用于全过程，也适用于某一阶段
对应关系 一个过程量(做功)对应着两个状态量(动能)，过程量等于状态量的变化
2.动能定理与牛顿运动定律(结合运动学公式)解题的比较
动能定理 牛顿运动定律
(结合运动学公式)
相同点 确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
应用条件 对于物体在恒力或变力作用下，物体做直线运动或曲线运动均适用 只能研究恒力作用下物体做直线运动的情况或几种特殊的曲线运动，如抛体运动、圆周运动等
应用方法 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能 要考虑运动过程的每个环节，结合运动学公式解题
运算方法 代数运算 矢量运算
【例2】　如图所示，用与水平方向成37°的恒力F＝10 N将质量为m＝1 kg的物体由静止开始从A点拉到B点撤去力F，已知A、B间距L＝2 m，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5。求撤去外力后物体还能滑行多远？
思路点拨：(1)F是恒力，滑动摩擦力也是恒力，物体做匀变速直线运动，可以用牛顿第二定律和运动学公式求解。
(2)F做正功，f做负功，重力不做功，根据动能定理也能求位移。
[解析]　(方法1：牛顿运动定律)
在A→B过程中，物体受力如图所示
其中：FN＝mg－Fsin θ ①
Fcos θ－μFN＝ma1 ②
前进L＝2 m后，速度设为v，则v2＝2a1L ③
撤去外力后，设物体加速度为a2，则－μmg＝ma2 ④
再前进位移设为x，则0－v2＝2a2x ⑤
解①②③④⑤式得x＝2.4 m。
(方法2：动能定理)
对全程利用动能定理，其中过程一物体所受摩擦力f1＝μ(mg－Fsin 37°)＝2 N
则FLcos 37°－f1L－μmgx＝0
得x＝2.4 m。
[答案]　2.4 m
优先考虑应用动能定理的情况
1．不涉及加速度、时间的问题。
2．变力做功问题。
3．有多个物理过程且不需要研究整个过程中间状态的问题。
4．含有F、s、m、v、W、Ek等物理量的问题。
训练角度1　应用动能定理求变力的功
3．一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点。小球在水平力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图所示，则力F所做的功为(　　)
A．mgL cos θ　　　 B．mgL(1－cos θ)
C．FL sin θ D．Fl cos θ
B　[由动能定理知WF－mg(L－L cos θ)＝0，则WF＝mgL(1－cos θ)，故B正确。]
训练角度2　应用动能定理分析多过程问题
4．如图所示，两个对称的与水平面成60°角的粗糙斜轨与一个半径R＝2 m，圆心角为120°的光滑圆弧轨道平滑相连。一个小物块从h＝3 m高处，从静止开始沿斜面向下运动。物块与斜轨接触面间的动摩擦因数μ＝0.2，g取10 m/s2。
(1)请你分析一下物块将怎样运动？
(2)计算物块在斜轨上通过的总路程。
[解析]　(1)物块最后在圆弧左右两端点间来回往返运动，且在端点的速度为0。
(2)物块由释放到最后运动过程到圆弧的左端点或右端点过程，根据动能定理：
mg[h－R(1－cos 60°)]－μmgcos 60°·s＝0
代入数据解得物块在斜轨上通过的总路程：s＝20 m。
[答案]　见解析
1．物理观念：动能和动能定理。
2．科学思维：(1)应用动能定理求变力的功。
(2)应用动能定理分析多过程问题。
1．(多选)关于动能的理解，下列说法正确的是(　　)
A．一般情况下，Ek＝mv2中的v是相对于地面的速度
B．动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体的运动方向无关
C．物体以相同的速率向东和向西运动，动能的大小相等，方向相反
D．当物体以不变的速率做曲线运动时其动能不断变化
AB　[动能是标量，由物体的质量和速率决定，与物体的运动方向无关。动能具有相对性，无特别说明，一般指相对于地面的动能。选A、B。]
2．两个物体质量比为1∶4，速度大小之比为4∶1，则这两个物体的动能之比(　　)
A．1∶1　　　 B．1∶4
C．4∶1 D．2∶1
C　[由动能表达式Ek＝mv2得＝·＝×＝4∶1，C对。]
3．质量为m的跳水运动员，从离水面高为h的跳台上以速度v1跳起，最后以速度v2进入水中，若不计空气阻力，则运动员起跳时所做的功等于(　　)
A．mv＋mgh B．mv－mgh
C．mv－mgh D．mv－mv
C　[运动员所做的功转化为运动员的动能，W＝mv，在整个过程中，由动能定理可得：mgh＝mv－mv，解得：运动员所做的功W＝mv＝mv－mgh，故A、B、D错误，C正确。]
4．质量为m的金属块，当初速度为v0时，在水平面上滑行的最大距离为s，如果将金属块质量增加到2m，初速度增大到2v0，在同一水平面上该金属块最多能滑行的距离为(　　)
A．s B．2s
C．4s D．8s
C　[根据动能定理得μmgs＝mv
μ·2mgs′＝·2m·(2v0)2
由以上两式解得s′＝4s。]
5.如图所示，物体在离斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑上与斜面平滑连接的水平面，若物体与斜面及水平面的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°。求物体能在水平面上滑行的距离。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
[解析]　对物体在斜面上和水平面上受力分析如图所示。
解法一　分过程
设物体滑到斜面底端时的速度为v，物体下滑阶段N1＝mgcos 37°，
故f1＝μN1＝μmgcos 37°。
由动能定理得：mgsin 37°·x1－μmgcos 37°·x1＝mv2－0
设物体在水平面上滑行的距离为x2，
摩擦力f2＝μN2＝μmg
由动能定理得：－μmgx2＝0－mv2
由以上各式可得x2＝3.5 m。
解法二　全过程
mgx1sin 37°－μmgcos 37°x1－μmgx2＝0
代入数值解得x2＝3.5 m。
[答案]　3.5 m
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