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2.电势差

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)UAB＞0说明从A到B电势升高(φA＜φB)。 (×)
(2)WAB越大，UAB越大，UAB与WAB成正比。 (×)
(3)等差等势面的疏密可以表示电场的强弱。 (√)
(4)同一电荷在同一等势面上一定具有相同的电势能。 (√)
2．在电场中A、B两点间电势差为UAB＝75 V，B、C两点间电势差UBC＝－200 V，则A、B、C三点的电势高低关系为(　　)
A．φA>φB>φC　　　 B．φA<φC<φB
C．φC>φA>φB D．φC>φB>φA
C　[因为UAB＝φA－φB＝75 V>0，所以φA>φB，因为UBC＝φB－φC＝－200 V<0，所以φB<φC，又UAC＝UAB＋UBC＝75 V＋(－200)V＝－125 V<0，所以φA<φC，则φC>φA>φB，C正确。]
3.如图所示，实线表示某静电场的电场线，虚线表示该电场的等势面。下列判断正确的是(　　)
A．1、2两点的电场强度相等
B．1、3两点的电场强度相等
C．1、2两点的电势相等
D．2、3两点的电势相等
D　[根据电场线的疏密表示电场强度的大小知，1点的电场强度大于2点、3点的电场强度，选项A、B错误；根据沿着电场线方向电势逐渐降低，在同一等势面上各点的电势相等知，1点的电势高于2点电势，2、3点处于同一等势面上，电势相等，选项C错误，D正确。]
电势与电势差
如何求电场中两点A、B的电势之差？
提示：根据移动电荷从A点到B点电场力做的功，利用WAB＝qUAB，计算求得UAB。
1．对电势差的几点认识
(1)电场中两点间的电势差，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电荷量、静电力做功的大小无关。在确定的电场中，即使不放入电荷，任何两点间的电势差也有确定值。
(2)对于电势差必须明确指出是哪两点间的电势差，而且先后顺序不能乱。如A、B间的电势差记为UAB，B、A间的电势差记为UBA，而UAB＝－UBA。
(3)电势差为标量，有正、负之分，电势差的正负表示电场中两点电势的高低。
(4)电场中两点间的电势差与零电势位置的选取无关。
2．电势差与电势的对比
电势φ 电势差U
区别 定义 电势能与电荷量的比值φ＝ 电场力做功与电荷量的比值U＝
决定
因素 由电场和在电场中的位置决定 由电场和场内两点位置决定
相对性 有，与零电势位置的选取有关 无，与零电势位置的选取无关
联系 数值关系 UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA
单位 相同，均是伏特(V)
标矢性 都是标量，且均具有正负
物理意义：均是描述电场的能的性质的物理量
【例1】　有一带电荷量q＝－3×10－6 C的点电荷，从电场中的A点移到B点时，克服静电力做功6×10－4 J，从B点移到C点时，静电力做功9×10－4 J。求：
(1)AB、BC、CA间电势差各为多少？
(2)如果B点电势为零，则A、C两点的电势各为多少？电荷在A、C两点的电势能各为多少？
思路点拨：(1)可根据UAB＝分析电势差。
(2)可由φ＝确定电势及电势能。
[解析]　(1)根据U＝，则UAB＝ V＝200 V
即φA－φB＝200 V
UBC＝ V＝－300 V
即φB－φC＝－300 V
UCA＝φC－φA＝100 V。
(2)若φB＝0，则φA＝200 V，φC＝300 V
EpA＝φAq＝200×(－3×10－6) J＝－6×10－4 J
EpC＝φCq＝300×(－3×10－6) J＝－9×10－4 J。
[答案]　(1)200 V　－300 V　100 V
(2)200 V　300 V　－6×10－4 J　－9×10－4 J
上例中，若规定A点电势为零，则B、C两点的电势各为多少？电荷在B、C两点的电势能各为多少？
[解析]　若φA＝0，则φB＝－200 V，φC＝100 V
EpB＝φBq＝(－200)×(－3×10－6) J＝6×10－4 J
EpC＝φCq＝100×(－3×10－6)J＝－3×10－4 J。
[答案]　－200 V　100 V　6×10－4J　－3×10－4J
利用公式UAB＝计算电势差的两种方法
方法一：各物理量均带正、负号运算，但代表的意义不同。WAB的正、负号表示正、负功；q的正、负号表示电性；UAB的正、负号反映φA、φB的高低。计算时W与U的角标要对应，即WAB＝qUAB，WBA＝qUBA。
方法二：绝对值代入法。WAB、q、UAB均代入绝对值，然后再结合题意判断电势的高低。
训练角度1：对电势差的认识
1．下列说法正确的是 (　　)
A．电场中两点间电势的差值叫作电势差，也叫作电压
B．电势差与电势一样，是相对量，与零电势点的选取有关
C．UAB表示B点与A点之间的电势差，即UAB＝φB－φA
D．A、B两点间的电势差是恒定的，不随零电势点的改变而改变，所以UAB＝UBA
A　[电场中两点间电势的差值叫作电势差，也叫作电压，A正确；电势差的大小与零电势点的选取无关，B错误；电势差可以反映出两点电势的高低，UAB＝φA－φB＝－UBA，而电压只是电势差的大小，C、D错误。]
训练角度2：电势差与电势的关系
2．在某电场中，A、B两点间的电势差UAB＝60 V，B、C两点间的电势差UBC＝－50 V，则A、B、C三点电势高低关系是(　　)
A．φA＞φB＞φC　 B．φA＜φC＜φB
C．φA＞φC＞φB D．φC＞φB＞φA
C　[因为UAB＝φA－φB＝60 V>0，所以φA>φB，又UBC＝φB－φC＝－50 V<0，所以φB<φC，又UAC＝UAB＋UBC＝60 V＋(－50 V)＝10 V>0，所以φA>φC，故φA>φC>φB，C正确。]
等势面的理解和应用
(教师用书独具)教材P34“思考与讨论”答案提示：
①重力势能Ep＝mgh，电势能Ep＝qφ，两种势能对比，m与q，h与φ(都有相对性)两种势能都是标量，正、负可表示大小。
②正电荷：由Ep＝qφ可知，电势φ越高，电势能Ep越大；负电荷：由Ep＝qφ可知，电势φ越高，电势能Ep越小。
当电荷从同一等势面上的A点移到B点时，电荷的电势能是否变化？静电力做功情况如何？等势面与电场线垂直吗？
提示：电势能不变，静电力做功为零，等势面与电场线垂直。
1．等势面的特点
(1)在等势面上任意两点间移动电荷，电场力不做功。
(2)在空间中两等势面不相交。
(3)电场线总是和等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面。
(4)在电场线密集的地方，等差等势面密集；在电场线稀疏的地方，等差等势面稀疏。
(5)等势面是为描述电场的性质而假想的面。
(6)等势面的分布与零电势点的选取无关。
2．几种常见电场的等势面
3．电场线与等势面的区别与联系
电场线 等势面
物理 意义 形象描述电场强度的强弱和方向 形象描述电场中各点电势的高低
图线 特点 带箭头的不闭合的曲线，两电场线不相交 可以闭合，也可以不闭合，不同等势面不相交
描述 电场 曲线上某一点的切线方向为场强方向，疏密表示场强大小 等势面的垂线方向为场强方向，等差等势面的疏密表示场强大小
做功 情况 电荷沿电场线移动时静电力必做功 电荷沿等势面移动时静电力不做功
联系 (1)沿电场线方向电势降低
(2)电场线与等势面垂直
【例2】　(多选)如图所示，一带电粒子在两个固定的等量正点电荷的电场中运动，图中的实线为等势面，虚线ABC为粒子的运动轨迹，其中B点是两点电荷连线的中点，A、C位于同一等势面上。下列说法正确的是(　　)
A．该粒子可能带正电
B．该粒子经过B点时的速度最大
C．该粒子经过B点时的加速度一定为零
D．该粒子在B点的电势能小于在A点的电势能
CD　[由该粒子的运动轨迹知，最初粒子受到吸引力，由固定电荷带正电可知，该粒子一定带负电，故A错误；因为粒子从A到B的过程中，只受电场力且电场力先做正功后做负功，由动能定理知，动能先增大后减小，故在B点的动能不是最大，则经过B点时的速度不是最大，故B错误；B点是两点电荷连线的中点，合电场强度为零，故粒子在该点受力为零，加速度为零，故C正确；等量正点电荷连线的中垂线上，连线中点，电势最高，可知φA<φB，因粒子带负电，由Ep＝φq得EpA>EpB，故D正确。]
(1)已知等势面的情况时，可作等势面的垂线来确定电场线，并由“电势降低”的方向确定电场线方向。
(2)已知电场线时，可作电场线的垂线来确定等势面，并由“沿电场线方向电势降低”确定等势面的电势高低。
2．关于等势面的说法，正确的是(　　)
A．电荷在等势面上移动时，由于不受电场力作用，所以电场力不做功
B．同一个等势面上各点的电场强度大小相等
C．两个电势不相等的等势面可能相交
D．若相邻两等势面间的电势差相等，则等势面的疏密程度能反映场强的大小
D　[等势面由电势相等的点组成，电场线垂直于等势面，因此电荷在等势面上移动时，电场力不做功，但仍受电场力的作用，A错误；等势面上各点电场强度大小不一定相等，等势面不可能相交，B、C错误；等差等势面的疏密程度能反映电场强度的大小，D正确。]
静电力做功的计算
带电粒子可能在匀强电场中运动，也可能在非匀强电场中运动，可能是只在静电力作用下运动，也可能是在多个力作用下运动，可能是做直线运动，也可能是做曲线运动……
思考：公式WAB＝qUAB适用于任何电场吗？适用于带电粒子受多个力的情况吗？功的公式W＝Fscos θ可以用来计算静电力做的功吗？
提示：公式WAB＝qUAB适用于任何电场，也适用于带电粒子受多个力的情况，功的公式W＝Fscos θ是功的定义式，对任何力做功都可以适用，一般用于求恒力做功，如匀强电场中电场力做功。
1．静电力做功的四种求法
四种求法 表达式 注意问题
功的定义 W＝Fd＝qEd (1)适用于匀强电场
(2)d表示沿电场线方向的距离
功能关系 WAB＝EpA－EpB
＝－ΔEp (1)既适用于匀强电场，也适用于非匀强电场
(2)既适用于只受电场力的情况，也适用于受多种力的情况
电势差法 WAB＝qUAB
动能定理 W静电力＋W其他力＝ΔEk
2.应用公式WAB＝qUAB时的两点注意
(1)WAB、UAB、q均可正可负，WAB取负号表示从A点移动到B点时静电力对电荷做负功，UAB取负号表示φA<φB，q取负号表示试探电荷为负电荷。
(2)应用公式WAB＝qUAB求解时，可将各量的正负号及数值一并代入进行计算。也可以将各物理量都取绝对值，先计算大小，再根据电荷的移动方向及所受电场力的方向的具体情况来确定电场力做功的正负。
【例3】　如图所示，光滑绝缘的细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q?Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为，其中g为重力加速度，求：
(1)小球由A到B的过程中静电力做的功；
(2)A、C两点间的电势差UAC。
思路点拨：(1)点电荷形成的电场中，距离点电荷相等的点电势相等。
(2)电场力做功与路径无关，做功的多少与初末位置的电势差有关。
[解析]　(1)因为杆是光滑的，所以小球从A到B的过程中只有两个力做功，即静电力做的功WAB和重力做的功mgh，由动能定理得WAB＋mgh＝mv
代入已知条件vB＝得
WAB＝m·3gh－mgh＝mgh。
(2)因为B、C在同一等势面上，所以φB＝φC
即UAC＝UAB＝＝－。
[答案]　(1)mgh　(2)－
静电场中功能关系问题的三种情况
(1)合力做功等于物体动能的变化量，即W合＝ΔEk。这里的W合指合外力做的功。
(2)电场力做功决定物体电势能的变化量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。这与重力做功和重力势能变化之间的关系类似。
(3)只有电场力做功时，带电体电势能与动能的总量不变，即Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2。这与只有重力做功时，物体的机械能守恒类似。
3．(多选)一个带电小球在从空中a点运动到b点的过程中，重力做功3 J，电场力做功1 J，克服空气阻力做功0.5 J，则小球(　　)
A．在a点的重力势能比在b点的重力势能大3 J
B．在a点的动能比在b点的动能小3.5 J
C．在a点的电势能比在b点的电势能小1 J
D．在a点的机械能比在b点的机械能小0.5 J
ABD　[重力做功等于重力势能的变化量，重力做功3 J，重力势能减小3 J，所以a点重力势能比b点大3 J，A正确；合力做功等于动能的变化量，合力做功等于各个分力做的功，总功为3.5 J，故动能增加3.5 J，所以a点动能比b点小3.5 J，B正确；电场力做功等于电势能的变化量，电场力做功1 J，电势能减小1 J，所以a点电势能比b点大1 J，C错误；除重力外的各个力做的总功等于机械能的变化量，除重力外，电场力做功为1 J，克服空气阻力做功0.5 J，故机械能增加0.5 J，所以a点机械能比b点小0.5 J，D正确。]
1．(多选)关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是(　　)
A．UAB表示B点相对于A点的电势差，即UAB＝φB－φA
B．UAB和UBA是不同的，它们有关系UAB＝－UBA
C．φA、φB都可以有正、负，所以电势是矢量
D．电势零点的规定是任意的，但人们通常规定大地或无穷远处为电势零点
BD　[UAB表示A点相对于B点的电势差，UAB＝φA－φB，A错；UBA表示B点相对于A点的电势差，UBA＝φB－φA，故UAB＝－UBA，B对；电势是标量，正负号是相对于零电势点而言的，正号表示高于零电势点，负号表示低于零电势点，C错；零电势点理论上是可以任意选取的，但通常取无穷远处或大地为零电势点，D对。]
2．下列四个图中，a、b两点电势相等、电场强度矢量也相等的是(　　)
A　　　　B　　　　　C　　　　　D
D　[匀强电场的等势面是一系列的平行平面，A图中a、b两点不在同一等势面上，所以，这两点的电势是不相等的，但这两点的电场强度相等；B图中a、b两点在同一个等势面上，电势相等，但这两点的电场强度矢量大小相等、方向不同；C图中a、b两点对称于两电荷的连线，所以电势相等，但在中垂线上电场强度的方向是平行于中垂线的，而且都指向外侧，故两点的电场强度的方向不同；D中，a、b两点的电势相等，电场强度的方向是沿连线的，而且大小相同，故D正确。]
3.如图所示，a、b是电场线上的两点，将一点电荷q从a点移到b点，电场力做功W，且已知a、b间的距离为d，以下说法正确的是(　　)
A．a、b两点间的电势差为B．b、a两点间的电势差为
C．b点的电势为D．a点的电势为
A　[由W＝qU知a、b两点间的电势差Uab＝，所以Uba＝－，故A正确，B错误；题中没有指明零电势点，故C、D错误。]
4．如图所示，三个等势面上有A、B、C、D四点，若将一正电荷由C经A移到D点，静电力做正功W1；若由C经B移到D点，静电力做正功W2。则W1与W2，C、D两点电势φC、φD的大小关系分别为(　　)
A．W1＞W2，φC＜φD B．W1＜W2，φC＜φD
C．W1＝W2，φC＜φD D．W1＝W2，φC＞φD
D　[将一正电荷由C经A移到D时，W1＝qUCD，正电荷由C经B移到D时，W2＝qUCD，所以W1＝W2，由C到D电场力做正功，电势能降低，所以φC＞φD，故D正确。]
5．情境：如图为某一平面内非匀强电场的等势线分布图，已知相邻的等势线间的电势差大小相等，其中A、B两点电势分别为φA＝10 V，φB＝2 V。
问题：(1)比较A、B两点电场强度的大小。
(2)若将一电子从A点沿某一路径运动到B点，则电子的电势能如何变化？变化了多少？
[解析]　(1)等差等势面密的地方电场强度大，B处的等势面密，所以B点的电场强度大。
(2)根据公式：W＝qU得
W＝qU＝－e·(φA－φB)＝－1.6×10－19×8 J＝－1.28×10－18 J
电场力做负功，电子的电势能增大。
[答案]　(1)B点的电场强度大
(2)增大　1.28×10－18 J

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