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【例1】 (2018·全国Ⅱ卷，24)汽车A在水平冰雪路面上行驶。驾驶员发现其正前方停有汽车B，立即采取制动措施，但仍然撞上了汽车B。两车碰撞时和两车都完全停止后的位置如图1所示，碰撞后B车向前滑动了4.5 m，A车向前滑动了2.0 m。已知A和B的质量分别为2.0×103 kg和1.5×103 kg，两车与该冰雪路面间的动摩擦因数均为0.10，两车碰撞时间极短，在碰撞后车轮均没有滚动，重力加速度大小g＝10 m/s2。求：
图1
(1)碰撞后的瞬间B车速度的大小；
(2)碰撞前的瞬间A车速度的大小。
解析　(1)设B车的质量为mB，碰后加速度大小为aB。根据牛顿第二定律有
μmBg＝mBaB①
式中μ是汽车与路面间的动摩擦因数。
设碰撞后瞬间B车速度的大小为vB′，碰撞后滑行的距离为sB。由运动学公式有vB′2＝2aBsB②
联立①②式并利用题给数据得
vB′＝3.0 m/s。③
(2)设A车的质量为mA，碰后加速度大小为aA。根据牛顿第二定律有
μmAg＝mAaA④
设碰撞后瞬间A车速度的大小为vA′，碰撞后滑行的距离为sA。由运动学公式有vA′2＝2aAsA⑤
设碰撞前的瞬间A车速度的大小为vA。两车在碰撞过程中动量守恒，有
mAvA＝mAvA′＋mBvB′⑥
联立③④⑤⑥式并利用题给数据得
vA＝4.25 m/s≈4.3 m/s 。⑦
答案　(1)3.0 m/s　(2)4.3 m/s
1.(多选)从2017年6月5日起至年底，兰州交警采取五项措施部署预防较大道路交通事故工作。在交通事故中，汽车与拖车脱钩有时发生。如图2所示，质量为M的汽车带着质量为m的拖车在平直公路上以加速度a匀加速前进，当速度为v0时拖车突然与汽车脱钩，到拖车停下瞬间司机才发现。若汽车的牵引力一直未变，车与路面间的动摩擦因数为μ，那么从脱钩到拖车刚停下的过程中，下列说法正确的是(　　)
图2
A.汽车和拖车整体动量守恒
B.汽车和拖车整体机械能守恒
C.从脱钩到拖车刚停下用时
D.拖车刚停下时汽车的速度为v0
解析　汽车和拖车整体所受合外力不为零，故动量不守恒，选项A错误；系统匀加速前进，系统机械能增加，选项B错误；以拖车为研究对象，由牛顿第二定律得－μmg＝ma′，则a′＝－μg，由－v0＝a′t得，拖车脱钩后到停止经历的时间为t＝，选项C正确；全过程系统受到的合外力始终为F合＝(M＋m)a，末状态拖车的动量为零，全过程对系统应用动量定理可得(M＋m)a·＝Mv′－(M＋m)v0，解得v′＝v0，选项D正确。
答案　CD
2.如图3所示，质量为m的b球用长为h的细绳悬挂于水平轨道BC的出口C处，质量也为m的小球a从距BC高h的A处由静止释放，沿光滑轨道ABC滑下，在C处与b球发生正碰并与b粘在一起。已知BC轨道距地面有一定的高度，悬挂b球的细绳能承受的最大拉力为2.8mg。则：
图3
(1)a球与b球碰前瞬间的速度多大？
(2)a、b两球碰后，细绳是否会断裂？(要求通过计算回答)
解析　(1)设a球与b球碰前瞬间的速度大小为vC，由机械能守恒定律得
mgh＝mv
解得vC＝
即a球与b球碰前瞬间的速度大小为。
(2)设碰后b球的速度为v，a、b碰撞过程中动量守恒，则
mvC＝(m＋m)v
故v＝vC＝
假设a、b球碰撞后将一起绕O点摆动，设小球在最低点时细绳拉力为FT，则FT－2mg＝2m
解得FT＝3mg
因FT＞2.8mg，故细绳会断裂。
答案　(1)　(2)会断裂
　动量观点与能量观点的综合应用
【例2】 (20分)(2019·全国Ⅰ卷，25)竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B静止于水平轨道的最左端，如图4(a)所示。t＝0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生弹性碰撞(碰撞时间极短)；当A返回到倾斜轨道上的P点(图中未标出)时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块A运动的v－t图象如图(b)所示，图中的v1和t1均为未知量。已知A的质量为m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力。
图4
(1)求物块B的质量；
(2)在图4(b)所描述的整个运动过程中，求物块A克服摩擦力所做的功；
(3)已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等。在物块B停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将A从P点释放，一段时间后A刚好能与B再次碰上。求改变前后动摩擦因数的比值。
教你读题——提取信息
(1)A与B发生弹性碰撞(碰撞时间极短)这个过程满足动量守恒和机械能守恒，
(2)A沿斜面下滑，碰后又沿斜面上滑加速度变化(受力变化)且摩擦力未知的折返问题，
(3)读图可知①A与B碰撞
前后的速度，
②由面积关系可得A下滑和上滑的位移关系。
(4)“一段时间后A刚好能与B再次碰上”此时二者共速，B已停止运动，说明A到此恰好停止运动。
解析　(1)根据题图(b)，v1为物块A在碰撞前瞬间速度的大小，为其碰撞后瞬间速度的大小。设物块B的质量为m′，碰撞后瞬间的速度大小为v′。
由动量守恒定律和机械能守恒定律有
mv1＝m＋m′v′①(2分)
mv＝m＋m′v′2②(2分)
联立①②式得
m′＝3m。③(1分)
(2)在题图(b)所描述的运动中，设物块A与轨道间的滑动摩擦力大小为f，下滑过程中所走过的路程为s1，返回过程中所走过的路程为s2，P点的高度为h，整个过程中克服摩擦力所做的功为W。
由动能定理有mgH－fs1＝mv－0④(2分)
－(fs2＋mgh)＝0－m⑤(2分)
从图(b)所给出的v－t图线可知
s1＝v1t1⑥(1分)
s2＝··(1.4t1－t1)⑦(1分)
由几何关系＝⑧(1分)
物块A在整个过程中克服摩擦力所做的功为
W＝fs1＋fs2⑨(1分)
联立④⑤⑥⑦⑧⑨式可得
W＝mgH。⑩(1分)
(3)设倾斜轨道倾角为θ，物块与轨道间的动摩擦因数在改变前为μ，有
W＝μmgcos θ·(1分)
设物块B在水平轨道上能够滑行的距离为s′，
由动能定理有
－μm′gs′＝0－m′v′2(2分)
设改变后的动摩擦因数为μ′，由动能定理有
mgh－μ′mgcos θ·－μ′mgs′＝0(2分)
联立①③④⑤⑥⑦⑧⑩式可得
＝。(1分)
答案　(1)3m　(2)mgH　(3)
1.(多选)如图5，两质量分别为m1＝1 kg和m2＝4 kg的小球在光滑水平面上相向而行，速度分别为v1＝4 m/s和v2＝6 m/s，发生碰撞后，系统损失的机械能可能为 (　　)
图5
A.25 J B.35 J
C.45 J D.55 J
解析　若两球发生弹性碰撞，则系统机械能不损失；若两球发生完全非弹性碰撞，则系统机械能损失最多，此时由动量守恒定律和能量守恒定律得m2v2－m1v1＝(m1＋m2)v，ΔEmax＝m1v＋m2v－(m1＋m2)v2，联立并代入数据解得ΔEmax＝40 J，综合可知0≤ΔE≤40 J，故A、B正确，C、D错误。
答案　AB
2.(2018·全国Ⅰ卷，24)一质量为m的烟花弹获得动能E后，从地面竖直升空。当烟花弹上升的速度为零时，弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的两部分，两部分获得的动能之和也为E，且均沿竖直方向运动。爆炸时间极短，重力加速度大小为g，不计空气阻力和火药的质量。求：
(1)烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸所经过的时间；
(2)爆炸后烟花弹向上运动的部分距地面的最大高度。
解析　(1)设烟花弹上升的初速度为v0，由题给条件有
E＝mv①
设烟花弹从地面开始上升到火药爆炸所用的时间为t，由运动学公式有
0－v0＝－gt②
联立①②式得
t＝。③
(2)设爆炸时烟花弹距地面的高度为h1，由机械能守恒定律有
E＝mgh1④
火药爆炸后，烟花弹上、下两部分均沿竖直方向运动，设爆炸后瞬间其速度分别为v1和v2。由题给条件和动量守恒定律有
mv＋mv＝E⑤
mv1＋mv2＝0⑥
由⑥式知，烟花弹两部分的速度方向相反，向上运动部分做竖直上抛运动。
设爆炸后烟花弹向上运动部分继续上升的高度为h2，由机械能守恒定律有
mv＝mgh2⑦
联立④⑤⑥⑦式得，烟花弹向上运动部分距地面的最大高度为
h＝h1＋h2＝。
答案　(1)　(2)
　力学三大观点的综合应用
1.力的观点解题：要认真分析运动状态的变化，关键是求出加速度。
2.两大定理解题：应确定过程的初、末状态的动量(动能)，分析并求出过程中的冲量(功)。
3.三大定律解题：动量守恒定律、机械能守恒定律和能量守恒定律。根据题意选择合适的初、末状态，列守恒关系式，一般这几个守恒定律多用于求某状态的速度(率)。
【例3】 (2019·全国Ⅲ卷，25)静止在水平地面上的两小物块A、B，质量分别为mA＝1.0 kg，mB＝4.0 kg；两者之间有一被压缩的微型弹簧，A与其右侧的竖直墙壁距离l＝1.0 m，如图6所示。某时刻，将压缩的微型弹簧释放，使A、B瞬间分离，两物块获得的动能之和为Ek＝10.0 J。释放后，A沿着与墙壁垂直的方向向右运动。A、B与地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.20。重力加速度取g＝10 m/s2。A、B运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。
图6
(1)求弹簧释放后瞬间A、B速度的大小；
(2)物块A、B中的哪一个先停止？该物块刚停止时A与B之间的距离是多少？
(3)A和B都停止后，A与B之间的距离是多少？
解析　(1)设弹簧释放瞬间A和B的速度大小分别为vA、vB，以向右为正，由动量守恒定律和题给条件有
0＝mAvA－mBvB①
Ek＝mAv＋mBv②
联立①②式并代入题给数据得
vA＝4.0 m/s，vB＝1.0 m/s。③
(2)A、B两物块与地面间的动摩擦因数相等，因而两者滑动时加速度大小相等，设为a。假设A和B发生碰撞前，已经有一个物块停止，此物块应为弹簧释放后速度较小的B。设从弹簧释放到B停止所需时间为t，B向左运动的路程为sB，则有
μmBg＝mBa④
sB＝vBt－at2⑤
vB－at＝0⑥
在时间t内，A可能与墙发生弹性碰撞，碰撞后A将向左运动，碰撞并不改变A的速度大小，所以无论此时碰撞是否发生，A在时间t内的路程sA都可表示为
sA＝vAt－at2⑦
联立③④⑤⑥⑦式并代入题给数据得
sA＝1.75 m，sB＝0.25 m⑧
这表明在时间t内A已与墙壁发生碰撞，但没有与B发生碰撞，此时A位于出发点右边0.25 m处，B位于出发点左边0.25 m处，两物块之间的距离s为
s＝0.25 m＋0.25 m＝0.50 m。⑨
(3)t时刻后A将继续向左运动，假设它能与静止的B碰撞，碰撞时速度的大小为vA′，由动能定理有
－μmAg(2l＋sB)＝mAvA′2－mAv⑩
联立③⑧⑩式并代入题给数据得
vA′＝ m/s
故A与B将发生碰撞。设碰撞后A、B的速度分别为vA″和vB″，由动量守恒定律与机械能守恒定律有
mA(－vA′)＝mAvA″＋mBvB″
mAvA′2＝mAvA″2＋mBvB″2
联立式并代入题给数据得
vA″＝ m/s，vB″＝－ m/s
这表明碰撞后A将向右运动，B继续向左运动，设碰撞后A向右运动距离为sA′时停止，B向左运动距离为sB′时停止，由运动学公式
2asA′＝vA″2，2asB′＝vB″2
由④式及题给数据得
sA′＝0.63 m，sB′＝0.28 m
sA′小于碰撞处到墙壁的距离。由上式可得两物块停止后的距离
s′＝sA′＋sB′＝0.91 m。
答案　(1)4.0 m/s　1.0 m/s　(2)物块B先停止　0.50 m　(3)0.91 m
1.如图7甲所示，质量均为m＝0.5 kg的相同物块P和Q(均可视为质点)分别静止在水平地面上A、C两点，P在按图乙所示的随时间变化的水平力F作用下由静止开始向右运动，3 s末撤去F，此时P运动到B点，之后继续滑行并与Q发生弹性碰撞。已知B、C两点间的距离L＝3.75 m，P、Q与地面间的动摩擦因数均为μ＝0.2，取g＝10 m/s2，求：
图7
(1)P到达B点时的速度大小v及其与Q碰撞前瞬间的速度大小v1；
(2)Q运动的时间t。
解析　(1)在0～3 s内，对P，由动量定理可得
F1t1＋F2t2－μmg(t1＋t2)＝mv－0，
其中F1＝2 N，F2＝3 N，t1＝2 s，t2＝1 s，解得v＝8 m/s。
设P在B、C两点间滑行的加速度大小为a，
由牛顿第二定律可得μmg＝ma，
P在B、C两点间做匀减速直线运动，有v2－v＝2aL，
解得v1＝7 m/s。
或由动能定理－μmgL＝mv－mv2，解得v1＝7 m/s。
(2)设P与Q发生弹性碰撞后瞬间的速度大小分别为v1′和v2′，取水平向右为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得mv1＝mv1′＋mv2′，
mv＝mv1′2＋mv2′2，
联立解得v2′＝v1＝7 m/s，
碰后Q做匀减速直线运动，加速度大小a′＝μg＝2 m/s2，
故Q运动的时间为t＝＝3.5 s。
答案　(1)8 m/s　7 m/s　(2)3.5 s
2.如图8所示，半径R＝2.8 m的光滑半圆轨道BC与倾角θ＝37°的粗糙斜面轨道在同一竖直平面内，两轨道间由一条光滑水平轨道AB相连，A处用光滑小圆弧轨道平滑连接，B处与圆轨道相切。在水平轨道上，两静止小球P、Q压紧轻质弹簧后用细线连在一起。某时刻剪断细线后，小球P向左运动到A点时，小球Q沿圆轨道到达C点；之后小球Q落到斜面上时恰好与沿斜面向下运动的小球P发生碰撞。已知小球P的质量m1＝3.2 kg，小球Q的质量m2＝1 kg，小球P与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，剪断细线前弹簧的弹性势能Ep＝168 J，小球到达A点或B点时已和弹簧分离。重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力，求：
图8
(1)小球Q运动到C点时的速度大小；
(2)小球P沿斜面上升的最大高度h；
(3)小球Q离开圆轨道后经过多长时间与小球P相碰。
解析　(1)两小球弹开的过程，
由动量守恒定律得m1v1＝m2v2
由机械能守恒定律得Ep＝m1v＋m2v
联立可得v1＝5 m/s，v2＝16 m/s
小球Q沿圆轨道运动过程中，由机械能守恒定律可得
m2v＝m2v＋2m2gR
解得vC＝12 m/s。
(2)小球P在斜面向上运动的加速度为a1，
由牛顿第二定律得m1gsin θ＋μm1gcos θ＝m1a1，
解得a1＝10 m/s2
故上升的最大高度为h＝,2a1)sin θ＝0.75 m。
(3)设小球P从A点上升到两小球相遇所用的时间为t，小球P沿斜面下滑的加速度为a2，
则m1gsin θ－μm1gcos θ＝m1a2，
解得a2＝2 m/s2
小球P上升到最高点所用的时间t1＝＝0.5 s，
则2R＝gt2＋h－a2(t－t1)2sin θ
解得t＝1 s。
答案　(1)12 m/s　(2)0.75 m　(3)1 s

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