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1.(多选)如图1所示，在光滑水平面上有A、B两个木块，A、B之间用一轻弹簧连接，A靠在墙壁上，用力F向左推B使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状态。若突然撤去力F，则下列说法中正确的是(　　)
图1
A.木块A离开墙壁前，A、B和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒
B.木块A离开墙壁前，A、B和弹簧组成的系统动量不守恒，但机械能守恒
C.木块A离开墙壁后，A、B和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒
D.木块A离开墙壁后，A、B和弹簧组成的系统动量不守恒，但机械能守恒
解析　木块A离开墙壁前，由A、B和弹簧组成的系统受墙壁的弹力，属于外力，故系统动量不守恒，但机械能守恒，故选项A错误，B正确；木块A离开墙壁后，由A、B和弹簧组成的系统所受合外力为零，故系统动量守恒，又没有机械能和其他形式的能量转化，故机械能也守恒，故选项C正确，D错误。
答案　BC
2.如图2所示，两滑块A、B在光滑水平面上沿同一直线相向运动，滑块A的质量为m，速度大小为2v0，方向向右，滑块B的质量为2m，速度大小为v0，方向向左，两滑块发生弹性碰撞后的运动状态是(　　)
图2
A.A和B都向左运动 B.A和B都向右运动
C.A静止，B向右运动 D.A向左运动，B向右运动
解析　以两滑块组成的系统为研究对象，两滑块碰撞过程动量守恒，由于初始状态系统的动量为零，所以碰撞后两滑块的动量之和也为零，所以A、B的运动方向相反或者两者都静止，而碰撞为弹性碰撞，碰撞后两滑块的速度不可能都为零，则A应该向左运动，B应该向右运动，选项D正确，A、B、C错误。
答案　D
3.(多选)[粤教版选修3－5·P9·T4改编]把两条磁性很强且完全相同的磁铁分别固定在质量相等的小车上，磁铁的同名磁极相对，小车放在光滑的水平桌面上，开始时甲车速度大小为3 m/s，乙车速度大小为2 m/s，相向运动并在同一条直线上，则(　　)
A.当乙车的速度为零时，甲车的速度大小是1 m/s
B.当乙车的速度为零时，甲车的速度大小是5 m/s
C.若两车不相碰，两车距离最短时，乙车速度大小为0.5 m/s
D.若两车不相碰，两车距离最短时，乙车速度大小为0 m/s
答案　AC
4.(2017·全国Ⅰ卷，14)将质量为1.00 kg的模型火箭点火升空，50 g燃烧的燃气以大小为600 m/s的速度从火箭喷口在很短时间内喷出。在燃气喷出后的瞬间，火箭的动量大小为(喷出过程中重力和空气阻力可忽略)(　　)
A.30 kg·m/s B.5.7×102 kg·m/s
C.6.0×102 kg·m/s D.6.3×102 kg·m/s
解析　设火箭的质量为m1，燃气的质量为m2。由题意可知，燃气的动量p2＝m2v2＝50×10－3×600 kg·m/s＝30 kg·m/s。根据动量守恒定律可得0＝m1v1－m2v2，则火箭的动量大小为p1＝m1v1＝m2v2＝30 kg·m/s，所以选项A正确，B、C、D错误。
答案　A
　动量守恒定律的理解和基本应用
1.动量守恒定律的四个特性
相对性 公式中v1、v2、v1′、v2′必须相对于同一个惯性系
同时性 公式中v1、v2是在相互作用前同一时刻的速度，v1′、v2′是在相互作用后同一时刻的速度
矢量性 应先选取正方向，凡是与选取的正方向一致的动量为正值，相反为负值
普适性 不仅适用于低速宏观系统，也适用于高速微观系统
2.应用动量守恒定律解题时应该首先判断动量是否守恒，这就需要理解好动量守恒的条件，基本思路如下
【例1】 (多选)(2019·安徽省宜城市第二次调研)如图3所示，小车在光滑水平面上向左匀速运动。水平轻质弹簧左端固定在A点，物体与固定在A点的细线相连，弹簧处于压缩状态(物体与弹簧未连接)，某时刻细线断了，物体沿车滑动到B端粘在B端的油泥上，取小车、物体和弹簧为一个系统，下列说法正确的是(　　)
图3
A.若物体滑动中不受摩擦力，则该系统全过程机械能守恒
B.若物体滑动中有摩擦力，则该系统全过程动量守恒
C.不论物体滑动中有没有摩擦，小车的最终速度与断线前相同
D.不论物体滑动中有没有摩擦，系统损失的机械能相同
解析　物体与油泥粘合的过程，发生非弹簧碰撞，系统机械能有损失，故A错误；整个系统在水平方向不受外力，竖直方向上合外力为零，则系统动量一直守恒，故B正确；取系统的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律可知，物体在沿车滑动到B端粘在B端的油泥上后系统共同的速度与初速度是相同的，故C正确；由C的分析可知，当物体与B端油泥粘在一起时，系统的速度与初速度相等，所以系统的末动能与初动能是相等的，系统损失的机械能等于弹簧的弹性势能，与物体滑动中有没有摩擦无关，故D正确。
答案　BCD
【例2】 如图4所示，光滑水平轨道上放置长板A(上表面粗糙)和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为mA＝2 kg、mB＝1 kg、mC＝2 kg。开始时C静止，A、B一起以v0＝5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞(时间极
短)后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞。求A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小。
图4
解析　因碰撞时间极短，A与C碰撞过程动量守恒，设碰后瞬间A的速度为vA，C的速度为vC，以向右为正方向，由动量守恒定律得
mAv0＝mAvA＋mCvC①
A与B在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为vAB，由动量守恒定律得
mAvA＋mBv0＝(mA＋mB)vAB②
A与B达到共同速度后恰好不再与C碰撞，应满足
vAB＝vC③
联立①②③式，代入数据得
vA＝2 m/s。
答案　2 m/s
1.(多选)(2020·湖北武汉三模)如图5所示，在光滑水平面上有一辆平板车，一人手握大锤站在车上。开始时人、锤和车均静止。此人将锤抡起至最高点，此时大锤在头顶的正上方，然后，人用力使锤落下敲打车的左端，如此周而复始，使大锤连续地敲打车的左端，最后，人和锤都恢复至初始状态并停止敲打。在此过程中，下列说法中正确的是(　　)
图5
A.锤从最高点落下至刚接触车的过程中，车的动量方向先水平向右，后水平向左
B.锤从刚接触车的左端至锤的速度减小至零的过程中，车具有水平向左的动量，车的动量减小至零
C.锤从刚离开车的左端至运动到最高点的过程中，车具有水平向右的动量，车的动量先增大后减小
D.在任一时刻，人、锤和车组成的系统动量守恒
解析　由水平方向动量守恒可知锤从最高点落下至刚接触车的过程中，车的动量方向先水平向右，后水平向左，故A正确；锤从刚接触车的左端至锤的速度减小至零的过程中，车具有水平向左的动量，车的动量减小至零，故B正确；锤从刚离开车的左端至运动到最高点的过程中，锤的动量方向先向左再向右，则车的动量先向右再向左，故C错误；人、锤和车组成的系统，只在水平方向上所受的外力之和为零，水平方向上动量守恒，故D错误。
答案　AB
2.[临界问题]两磁铁各放在两辆小车上，小车能在水平面上无摩擦地沿同一直线运动。已知甲车和磁铁的总质量为0.5 kg，乙车和磁铁的总质量为1 kg，两磁铁的N极相对。推动一下，使两车相向运动，某时刻甲的速率为2 m/s，乙的速率为3 m/s。方向与甲相反，两车运动过程中始终未相碰。则：
(1)两车最近时，乙的速度为多大？
(2)甲车开始反向时，乙的速度为多大？
解析　(1)两车相距最近时，两车的速度相同，设该速度为v，取刚开始运动时乙车的速度方向为正方向，由动量守恒定律得m乙v乙－m甲v甲＝(m甲＋m乙)v
所以两车最近时，乙车的速度为
v＝＝ m/s＝1.3 m/s。
(2)甲车开始反向时，其速度为0，设此时乙车的速度为v乙′，取刚开始运动时乙车的速度方向为正方向，由动量守恒定律得
m乙v乙－m甲v甲＝m乙v乙′
解得v乙′＝2 m/s。
答案　(1)1.3 m/s　(2)2 m/s
　碰撞问题
1.三种碰撞形式的理解
碰撞类型 特征描述及重要关系式或结论
弹性碰撞 碰撞时，只发生机械能的转移，系统内无机械能损失，叫作弹性碰撞，若系统有两个物体在水平面上发生弹性碰撞，动量守恒，同时机械能也守恒，满足：
m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
m1v＋m2v＝m1v1′2＋m2v2′2
若碰撞前，有一个物体是静止的，设v2＝0，则碰撞后的速度分别为v1′＝、v2′＝
非弹性碰撞 发生非弹性碰撞时，部分机械能转化为物体的内能，机械能有损失，若系统有两个物体在水平面上发生非弹性碰撞，动量守恒，总动能减少。满足：
m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
m1v＋m2v＞m1v1′2＋m2v2′2
完全非弹性碰撞 发生完全非弹性碰撞时，机械能向内能转化得最多，机械能损失最大。两个物体在水平面上碰撞，碰后物体以共同速度运动，动量守恒，损失的机械能转化为内能。满足：
m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v
ΔE＝m1v＋m2v－(m1＋m2)v2
2.碰撞现象满足的规律
(1)动量守恒定律。
(2)机械能不增加。
(3)速度要合理。
①若碰前两物体同向运动，则应有v后＞v前，碰后原来在前面的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v前′≥v后′。
②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变。
考向　弹性碰撞
【例3】 (2019·江西赣州模拟)如图6所示，B、C、D、E、F五个小球并排放置在光滑的水平面上，B、C、D、E四个球质量相等，而F球质量小于B球质量，A球质量等于F球质量。A球以速度v0向B球运动，所发生的碰撞均为弹性碰撞，则碰撞之后(　　)
图6
A.3个小球静止，3个小球运动
B.4个小球静止，2个小球运动
C.5个小球静止，1个小球运动
D.6个小球都运动
解析　A、B质量不等，MA＜MB，A、B相碰后，A向左运动，B向右运动；B、C、D、E质量相等，弹性碰撞后，不断交换速度，最终E有向右的速度，B、C、D静止；E、F质量不等，ME＞MF，则E、F都向右运动，所以B、C、D静止，A向左运动，故A正确。
答案　A
考向　完全非弹性碰撞
【例4】 A、B两球沿同一条直线运动，如图7所示的s－t图象记录了它们碰撞前后的运动情况，其中a、b分别为A、B两球碰撞前的s－t图象，c为碰撞后它们的s－t图象。若A球质量为1 kg，则B球质量为(　　)
图7
A.2 kg 　　　 B. kg
C.4 kg 　　　 D. kg
解析　由图象可知，碰撞前A、B两球都做匀速直线运动，va＝ m/s＝－3 m/s，vb＝ m/s＝2 m/s，碰撞后二者合在一起做匀速直线运动，vc＝ m/s＝－1 m/s。碰撞过程中动量守恒，即mAva＋mBvb＝(mA＋mB)vc，解得mB＝ kg，选项B正确。
答案　B
考向　非弹性碰撞
【例5】 北京成功申办2022年冬奥会，水立方将摇身一变，成为冰立方，承办北京冬奥会冰壶比赛。训练中，运动员将质量为19 kg的冰壶甲推出，运动一段时间后以0.4 m/s的速度正碰静止的冰壶乙，然后冰壶甲以0.1 m/s的速度继续向前滑向大本营中心。若两冰壶质量相等，则：
图8
(1)冰壶乙获得的速度为多大？
(2)试判断两冰壶之间的碰撞是弹性碰撞还是非弹性碰撞。
解析　(1)由动量守恒定律得
mv1＝mv2＋mv3
其中v1＝0.4 m/s，v2＝0.1 m/s
解得v3＝0.3 m/s。
(2)碰撞前的动能E1＝mv＝0.08m，
碰撞后两冰壶的总动能E2＝mv＋mv＝0.05m，
因为E1＞E2，所以两冰壶间的碰撞为非弹性碰撞。
答案　(1)0.3 m/s　(2)非弹性碰撞
考向　碰撞的可能性
例6 (2020·湖北宜昌西陵区期末)甲、乙两球在水平光滑轨道上向同方向运动，已知它们的动量分别是p1＝5 kg·m/s，p2＝7 kg·m/s，甲从后面追上乙并发生碰撞，碰后乙球的动量变为10 kg·m/s，则两球质量m1与m2间的关系可能是(　　)
A.m1＝m2 B.2m1＝m2
C.4m1＝m2 D.6m1＝m2
解析　甲、乙两球在碰撞过程中动量守恒，所以有p1＋p2＝p1′＋p2′，得p1′＝2 kg·m/s。
由于在碰撞过程中，不可能有其他形式的能量转化为机械能，只能是系统内物体间机械能相互转化或一部分机械能转化为内能，因此系统的机械能不会增加。所以有,2m1)＋,2m2)≥＋，得m1≤m2。因为题目给出物理情景是“甲从后面追上乙”，要符合这一物理情景，就必须有＞，即m1＜m2；同时还要符合碰撞后乙球的速度必须大于或等于甲球的速度这一物理情景，即＜，所以m1＞m2。因此选项C正确。
答案　C
1.如图9所示，半径和动能都相等的两个小球相向而行。甲球质量m甲大于乙球质量m乙，水平面是光滑的，两球做对心碰撞以后的运动情况可能是(　　)
图9
A.甲球速度为零，乙球速度不为零
B.两球速度都为零
C.乙球速度为零，甲球速度不为零
D.两球都以各自原来的速率反向运动
解析　首先根据两球动能相等，m甲v＝m乙v得出两球碰前动量大小之比为＝，因m甲＞m乙，则p甲＞p乙，则系统的总动量方向向右。根据动量守恒定律可以判断，碰后两球运动情况可能是A所述情况，而B、C、D情况是违背动量守恒的。
答案　A
2.如图10所示，质量为m的物块Q静止于半径为R的半圆形轨道的最低点，轻质弹簧的一端连接在Q上，另一端固定在圆弧轨道的上端A点，弹簧恰好处于原长。质量也为m的物块P由圆弧轨道的顶端B点由静止释放，运动到轨道的最低点与Q发生弹性正碰，碰撞后物块Q沿轨道上升的高度为h＝，不考虑物块和轨道间的摩擦，重力加速度为g，物块P、Q可以看成质点，则(　　)
图10
A.物块P、Q碰撞后，物块P会原速返回
B.物块P、Q碰撞后，物块Q的机械能守恒
C.弹簧的最大弹性势能等于mgR
D.物块P、Q碰撞过程中，物块P对物块Q做的功为mgR
解析　由题意知，物块P和物块Q发生弹性正碰，质量相等，交换速度，所以物块P碰后静止在轨道的最低点，A错误；物块P、Q碰撞后，在物块Q上升的过程中，Q和弹簧组成的系统机械能守恒，B错误；物块P下滑的过程中机械能守恒，mgR＝mv，可得v0＝，碰撞后交换速度，则碰后对物块Q和弹簧由功能关系可知弹簧的最大弹性势能Ep＝mv－mgh，可得Ep＝mgR，C正确；根据功能关系可知在物块P、Q碰撞过程中，物块P对物块Q做的功W＝
mv＝mgR，D错误。
答案　C
　常见的三个经典模型
模型　“人船模型”类问题的处理方法
1.人船模型的适用条件
物体组成的系统动量守恒且系统中物体原来均处于静止状态，合动量为零。
2.人船模型的特点
(1)遵从动量守恒定律：m1v1－m2v2＝0。如图所示。
(2)两物体的位移满足m－M＝0
s人＋s船＝L
即s人＝L，s船＝L
【例7】 长度为L、质量为M的平板车的左端紧靠着墙壁，右端站着一个质量为m的人(可视为质点)如图11所示，某时刻人向左跳出，恰好落到车的左端，而此时车已离开墙壁有一段距离，那么这段距离为(车与水平地面间的摩擦不计)(　　)
图11
A.L B.
C. D.
解析　设人从小车上跳起后沿水平方向的分速度为v1，小车沿水平方向的速度为v2，人和小车在水平方向的动量守恒，选取向左为正方向，则mv1－Mv2＝0，设人从右端到达左端时间为t，则有mv1t－Mv2t＝0，化简为ms1＝Ms2，由空间几何关系得s1＋s2＝L，联立解得车的位移为s2＝，故只有选项C正确。
答案　C
模型　“滑块—弹簧”碰撞模型
【例8】 如图12所示，静止在光滑水平面上的木板A，右端有一根轻质弹簧沿水平方向与木板相连，木板质量M＝3 kg。质量m＝1 kg的铁块B以水平速度v0＝4 m/s从木板的左端沿板面向右滑行，压缩弹簧后又被弹回，最后恰好停在木板的左端。在上述过程中弹簧具有的最大弹性势能为(　　)
图12
A.3 J B.4 J
C.6 J D.20 J
解析　设铁块与木板共速时速度大小为v，铁块相对木板向右运动的最大距离为L，铁块与木板之间的摩擦力大小为f。铁块压缩弹簧使弹簧最短时，由能量守恒定律可得mv＝f L＋(M＋m)v2＋Ep。由动量守恒定律，得mv0＝(M＋m)v。从铁块开始运动到最后停在木板左端过程，由能量关系得mv＝2fL＋(M＋m)v2，联立解得Ep＝3 J，故选项A正确。
答案　A
模型　“子弹打木块”模型
例9 (2019·陕西咸阳模拟)如图13所示，相距足够远完全相同的质量均为3m的两个木块静止放置在光滑水平面上，质量为m的子弹(可视为质点)以初速度v0水平向右射入木块，穿出第一块木块时的速度为v0，已知木块的长为L，设子弹在木块中所受的阻力恒定，不计空气阻力。试求：
图13
(1)子弹穿出第一块木块后，第一个木块的速度大小v以及子弹在木块中所受阻力大小；
(2)子弹在第二块木块中与该木块发生相对运动的时间t。
解析　(1)子弹打穿第一块木块过程，由动量守恒定律有
mv0＝m(v0)＋3mv
解得v＝v0
对子弹与第一块木块组成的相互作用系统，由能量守恒有
fL＝mv－m(v0)2－·(3m)v2
解得子弹受到木块阻力f＝,25L)。
(2)对子弹与第二块木块组成的相互作用系统，由于m·(v0)2＝,25)＜,25)，则子弹不能打穿第二块木块，设子弹与第二块木块共同速度为v共，由动量守恒定律有m(v0)＝(m＋3m)v共
解得v共＝
对第二块木块，由动量定理有
ft＝3m()
子弹在第二块木块中的运动时间为t＝。
答案　(1)v0　,25L)　(2)
1.(多选)如图14甲所示，长木板A放在光滑的水平面上，质量为m＝2 kg的另一物体B以水平速度v0＝3 m/s滑上原来静止的长木板A的表面，由于A、B间存在摩擦，之后A、B速度随时间变化情况如图乙所示，则下列说法正确的是(　　)
图14
A.木板获得的动能为2 J
B.系统损失的机械能为4 J
C.木板A的最小长度为1.5 m
D.A、B间的动摩擦因数为0.1
解析　根据动量守恒定律可得
mv0＝(m＋mA)v，得mA＝4 kg，
A的动能Ek＝mAv2＝2 J，
系统损失的动能ΔEk＝mv－(mA＋m)v2＝6 J，
木板长L≥(v0＋v)t1－vt1＝v0t1＝1.5 m，
μmg＝ma，解得μ＝0.2。选项A、C正确，B、D错误。
答案　AC
2.(2020·广东省韶关市高三诊断性考试)如图15所示，在水平轨道上A点固定一弹簧发射器，D点与半径R＝1 m的竖直半圆形轨道相接，O为轨道圆心、D为最低点；粗糙部分BC段长L＝1 m，其余部分光滑。将质量ma＝0.5 kg的物块a压紧弹簧，释放后滑块a与静置于C点右侧的质量mb＝1 kg的物块b发生弹性正碰。已知物块与BC面的动摩擦因数μ＝0.25。物块均可看成质点。
图15
(1)若物块b被碰后恰好能通过圆周最高点E，求其在平抛运动中的水平位移大小；
(2)在弹性势能Ep0＝37.25 J时弹出物块a，求b被碰后运动到D点时对圆弧轨道的压力；
(3)用质量mc＝1 kg的物块c取代a，问：弹性势能Ep取值在什么范围内，才能同时满足以下两个条件(不考虑物块b脱离轨道后可能的碰撞)
①物块c能与b碰撞；②c与b的碰撞不超过2次。(已知碰撞是弹性正碰)
解析　(1)物块b被碰后恰好过最高点mbg＝mb
得v＝
做平抛运动：gt2＝2R，得t＝
所以平抛运动的水平位移为x＝vt＝2R＝2 m。
(2)Ep0－μmagL＝mav－0，
得va1＝12 m/s
mava1＋0＝mava2＋mbvb2
mav＋0＝mav＋mbv
得va2＝－4 m/s，vb2＝8 m/s
FN－mbg＝mb,R)，得FN＝74 N　方向竖直向上，
根据牛顿第三定律知b被碰后运动到D点时对圆弧轨道的压力大小
FN′＝FN＝74 N　方向竖直向下。
(3)情况1：发生一次弹性碰撞：物块b在半圆形轨道上运动高度超过O点等高点，则mbv＞mgR，
得vb1＞
因为质量相等的两个物体发生弹性碰撞，交换速度，所以碰前c的速度vc1≥；Ep1－μmcgL＝mcv，
得Ep1＞12.5 J
情况2：发生2次弹性碰撞：若要碰撞，
则有Ep＞μmcgL＝2.5 J
仅碰两次Ep＜3μmcgL＝7.5 J，且7.5 J＜12.5 J
综上2.5 J＜Ep2＜7.5 J。
答案　见解析

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