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【例1】 如图2所示，ab、cd是竖直平面内两根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，b点为圆周的最低点，c点为圆周的最高点，若每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，将两滑环同时从a、c处由静止释放，用t1、t2分别表示滑环从a到b、从c到d所用的时间，则(　　)
图2
A.t1＝t2 B.t1＞t2
C.t1＜t2 D.无法确定
解析　设光滑细杆与竖直方向的夹角为α，圆周的直径为D，根据牛顿第二定律得滑环的加速度为a＝＝gcos α，光滑细杆的长度为s＝Dcos α，则根据s＝at2得，t＝＝＝，可见时间t与α无关，故有t1＝t2，因此A项正确。
答案　A
1.(2020·广东省普宁市高三冲刺模拟)如图3所示，在倾角为θ＝30°的斜面上方的A点处悬挂一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上。木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α角的大小为(　　)
图3
A.α＝10° B.α＝15°
C.α＝30° D.α＝60°
解析　如图所示：在竖直线AC上取一点O，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A点，且与斜面相切于D点，根据等时圆的结论可知：A点滑到圆上任一点的时间都相等，所以由A点滑到D点所用时间比由A到达斜面上其他各点时间都短，将木板下端B点与D点重合即可，而角COD为θ，所以α＝＝15°，故选B。
答案　B
2.(2020·合肥质检)如图4所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ，现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为(　　)
图4
A.tAB＝tCD＝tEF 　　　 B.tAB>tCD>tEF
C.tAB解析　如图所示，过D点作OD的垂线与竖直虚线交于G点，以OG为直径作圆，可以看出F点在辅助圆内，而B点在辅助圆外，由等时圆结论可知，tAB>tCD>tEF，选项B正确。
答案　B
模型二　“传送带”模型
1.水平传送带模型
项目 图示 运动情况 判断方法
情景1
可能一直加速，也可能先加速后匀速 若≤l，物、带能共速
情景2
当v0>v时，可能一直减速，也可能先减速再匀速；当v0情景3
传送带较短时，滑块一直减速达到左端；传送带较长时，滑块还要被传送带传回右端 若,2μg)≤l，物块能返回
2.倾斜传送带模型
项目 图示 运动情况 判断方法
情景1
可能一直加速，也可能先加速后匀速 若≤l，物、带能共速
情景2
可能一直加速，也可能先加速后匀速，还可能先以a1加速后以a2加速 若≤l，物、带能共速；若μ≥tan θ，物、带共速后匀速；若μ考向　水平传送带
(1)解题关键1：对物体所受的摩擦力进行正确的分析判断。
(2)解题关键2：物体的速度与传送带速度相等的时刻就是物体所受摩擦力发生突变的时刻。
【例2】 (多选)(2019·陕西榆林三模)如图5所示，绷紧的水平传送带足够长，且以v1＝2 m/s的恒定速率运行。初速度大小v2＝3 m/s的小墨块从与传送带等高的光滑水平地面(图中未画出)上的A处滑上传送带，墨块可视为质点。若从墨块滑上传送带开始计时，墨块在传送带上运动5 s后与传送带的速度相同，则(　　)
图5
A.墨块与传送带速度相同之前，受到传送带的摩擦力方向水平向右
B.墨块在传送带上滑行的加速度大小a＝0.2 m/s2
C.墨块在传送带上留下的痕迹长度为4.5 m
D.墨块在传送带上留下的痕迹长度为12.5 m
解析　法一　运动学方法　
墨块与传送带速度相同之前，相对传送带向左运动，受到传送带的摩擦力方向水平向右，选项A正确；墨块在摩擦力的作用下匀变速滑行，t＝5 s后与传送带速度相同，则墨块加速度大小a＝＝1 m/s2，选项B错误；墨块向左匀减速运动过程，对墨块有0＝v2－at1，s1＝t1，解得该过程用时t1＝3 s，墨块的路程s1＝4.5 m，t1时间内传送带的路程s2＝v1t1＝6 m，墨块向右匀加速运动过程，对墨块有v1＝at2，s1′＝t2，解得该过程用时t2＝2 s，墨块的路程s1′＝2 m，t2时间内传送带的路程s2′＝v1t2＝4 m，则墨块在传送带上留下的痕迹长度s＝s1＋s2＋s2′－s1′＝12.5 m，选项C错误，D正确。
法二　图象法
墨块与传送带速度相同之前，相对传送带向左运动，受到传送带的摩擦力方向水平向右，选项A正确；以水平向右为正方向，画出墨块、传送带的速度—时间图象，如图所示，由v－t图象斜率表示加速度知，墨块在传送带上滑行的加速度大小a＝ m/s2＝1 m/s2，选项B错误；由v－t图象与坐标轴围成的面积的绝对值表示位移的大小知，墨块在传送带上留下的痕迹长度为×(2＋3)×5 m＝12.5 m，选项C错误，D正确。
答案　AD
【拓展提升1】 若将【例2】中的v1、v2的值改为v1＝3 m/s，v2＝2 m/s，求墨块在传送带上留下的痕迹长度。
解析　以水平向右为正方向，画出墨块、传送带的速度—时间图象，如图所示，由v－t图象与坐标轴围成的面积的绝对值表示位移的大小知，墨块在传送带上留下的痕迹长度为×(2＋2)×4 m＋1×4 m＝12 m。
答案　12 m
考向　倾斜传送带
解决倾斜传送带问题时要特别注意mgsin θ与μmgcos θ的大小和方向的关系，进一步判断物体所受合力与速度方向的关系，确定物体运动的情况。
【例3】 (多选)(2020·福建泉州二模)如图6所示，一足够长的倾斜传送带顺时针匀速转动。一小滑块以某初速度沿传送带向下运动，滑块与传送带间的动摩擦因数恒定，滑块可视为质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则滑块速度v随时间t变化的图象可能是(　　)
图6
解析　设传送带倾角为θ，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ，滑块的质量为m，若μmgcos θ＜mgsin θ，即μ＜tan θ，则滑块所受的合力沿传送带向下，滑块匀加速下滑，选项C正确；若μmgcos θ＝mgsin θ，即μ＝tan θ，则滑块所受的合力为零，滑块匀速下滑；若μmgcos θ＞mgsin θ，即μ＞tan θ，则滑块先匀减速下滑，当速度减为零时，开始反向匀加速上滑，且加速上滑的加速度与减速下滑的加速度大小相等，当加速到与传送带速度相同后，因为μmgcos θ＞mgsin θ，所以滑块随传送带一起匀速运动，选项B正确，A、D错误。
答案　BC
【拓展提升2】 (多选)在【例3】中，若滑块以某一初速度从传送带下端沿传送带向上运动，如图7所示，传送带运动的速度v1小于滑块的初速度v0，其他条件不变，则滑块的速度v随时间t变化的图象可能是(　　)
图7
解析　设传送带倾角为θ，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ，滑块的质量为m，由于滑块的初速度v0＞v1，滑块相对传送带向上运动，此时滑块受到的滑动摩擦力沿传送带向下，滑块受到的合力大小为mgsin θ＋μmgcos θ，加速度大小a1＝＝gsin θ＋μgcos θ，方向沿传送带向下，滑块先做匀减速直线运动，速度变为v1后，若μmgcos θ≥mgsin θ，即μ≥tan θ，则滑块随传送带做匀速直线运动，选项D正确；速度变为v1后，若μmgcos θ＜mgsin θ，即μ＜tan θ，则滑块受到的合力大小为mgsin θ－μmgcos θ，加速度大小a2＝gsin θ－μgcos θ＜a1，方向沿传送带向下，滑块做类竖直上抛运动，选项C正确，A、B均错误。
答案　CD
1.如图8所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率v1运行。初速度大小为v2的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带。若从小物块滑上传送带开始计时，小物块在传送带上运动的v－t图象(以地面为参考系)如图乙所示。已知v2>v1，则 (　　)
图8
A.t2时刻，小物块离A处的距离达到最大
B.t2时刻，小物块相对传送带滑动的距离达到最大
C.0～t2时间内，小物块受到的摩擦力方向先向右后向左
D.0～t3时间内，小物块始终受到大小不变的摩擦力作用
解析　t1时刻小物块向左运动到速度为零，离A处的距离达到最大，A错误；t1～t2时间段，小物块对地向右加速，相对传送带仍向左运动，之后相对静止，B正确；0～t2时间内，小物块受到的摩擦力方向始终向右，C错误；t2～t3时间内小物块随传送带一起向右匀速运动，不受摩擦力作用，D错误。
答案　B
2.如图9所示，传送带与地面夹角θ＝37°，从A到B长度为L＝10.25 m，传送带以v0＝10 m/s的速率逆时针转动。在传送带上端A无初速度地放一个质量为m＝0.5 kg的黑色煤块，它与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.5。煤块在传送带上经过会留下黑色痕迹。已知sin 37°＝0.6，g取10 m/s2，求：
图9
(1)煤块从A到B的时间；
(2)煤块从A到B的过程中传送带上形成痕迹的长度。
解析　(1)煤块刚放上时，受到沿斜面向下的摩擦力，其加速度为
a1＝g(sin θ＋μcos θ)＝10 m/s2，
煤块加速至与传送带速度相等时需要的时间t1＝＝1 s，
发生的位移s1＝a1t＝5 m。
达到v0后，受到沿斜面向上的摩擦力，则
a2＝g(sin θ－μcos θ)＝2 m/s2，
s2＝L－s1＝5.25 m，
s2＝v0t2＋a2t，得t2＝0.5 s。
煤块从A到B的时间为t＝t1＋t2＝1.5 s。
(2)第一过程痕迹长Δs1＝v0t1－s1＝5 m，
第二过程痕迹长Δs2＝s2－v0t2＝0.25 m，
Δs1与Δs2部分重合，故痕迹总长为5 m。
答案　(1)1.5 s　(2)5 m
模型三　“板—块”模型
1.抓住一个转折和两个关联
2.分析“板—块”模型的“四点”注意
(1)用隔离法分析滑块和木板的受力，分别求出滑块和木板的加速度。
(2)建立滑块位移、木板位移、滑块相对木板位移之间的关系式。
(3)不要忽略滑块和木板的运动存在等时关系。
(4)在运动学公式中，位移、速度和加速度都是相对地面的。
【例4】 (2019·江苏卷，15)如图10所示，质量相等的物块A和B叠放在水平地面上，左边缘对齐。A与B、B与地面间的动摩擦因数均为μ。先敲击A，A立即获得水平向右的初速度，在B上滑动距离L后停下。接着敲击B，B立即获得水平向右的初速度，A、B都向右运动，左边缘再次对齐时恰好相对静止，此后两者一起运动至停下。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：
图10
(1)A被敲击后获得的初速度大小vA；
(2)在左边缘再次对齐的前、后，B运动加速度的大小aB、aB′；
(3)B被敲击后获得的初速度大小vB。
解析　A、B的运动过程如图所示
(1)由牛顿第二定律知，A加速度的大小aA＝μg
匀变速直线运动v＝2aAL
解得vA＝。
(2)设A、B的质量均为m
对齐前，B所受合外力大小F＝3μmg
由牛顿第二定律F＝maB，得aB＝3μg
对齐后，A、B整体所受合外力大小F′＝2μmg
由牛顿第二定律F′＝2maB′，得aB′＝μg。
(3)设经过时间t，A、B达到共同速度v，位移分别为sA、sB，A加速度的大小等于aA
则v＝aAt，v＝vB－aBt
sA＝aAt2，sB＝vBt－aBt2
且sB－sA＝L
解得vB＝2。
答案　(1)　(2)3μg　μg　(3)2
1.(多选)如图11所示，质量为m1的足够长的木板静止在光滑水平面上，其上放一质量为m2的物块。t＝0时刻起，给物块施加一水平恒力F，分别用a1、a2和v1、v2表示木板、物块的加速度和速度大小，图中可能符合运动情况的是(　　)
图11
解析　物块和木板可能保持相对静止，一起做匀加速直线运动，此时二者的加速度大小相等，选项A正确；物块可能相对木板向前滑动，即物块的加速度大于木板的加速度，二者均做匀加速直线运动，选项B、D错误，C正确。
答案　AC
2.质量为2 kg的木板B静止在水平面上，可视为质点的物块A从木板的左侧沿木板上表面水平冲上木板，如图12甲所示。A和B经过1 s达到同一速度，之后共同减速直至静止，A和B的v－t图象如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2，求：
图12
(1)A与B上表面之间的动摩擦因数μ1；
(2)B与水平面间的动摩擦因数μ2；
(3)A的质量。
解析　(1)由图象可知，A在0～1 s内的加速度
a1＝＝－2 m/s2，
对A由牛顿第二定律得
－μ1mg＝ma1，解得μ1＝0.2。
(2)由图象知，A、B在1～3 s内的加速度
a3＝＝－1 m/s2，
对A、B整体由牛顿第二定律得
－μ2(M＋m)g＝(M＋m)a3，解得μ2＝0.1。
(3)由图可知B在0～1 s内的加速度a2＝＝2 m/s2
对B由牛顿第二定律得μ1mg－μ2(M＋m)g＝Ma2
代入数据解得m＝6 kg。
答案　(1)0.2　(2)0.1　(3)6 kg

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