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【例1】 [粤教版必修1·P22·T3]
一座小岛与码头相距300 m，某人用摩托艇接送游客往返其间。如果从码头出发时开始计时，图1－6－8是该摩托艇的位移—时间图象。
图1－6－8
(1)摩托艇在30 s内发生的位移大小是________ m，60 s内发生的位移大小是________ m，210 s内发生的位移大小是________ m。
(2)在75 s时摩托艇正在向________方向航行；摩托艇在270 s内经过的路程是________ m。
(3)摩托艇第一次到达小岛时，在小岛停留了________ s。
(4)将摩托艇看成质点，用简笔画画出上述运动过程中的情景，并把各个阶段的运动情况和对应的时间标注在图中。
答案　(1)300　300　300　(2)码头　1 200　(3)30
(4)
拓展提升1　单个物体?两个物体
如图2所示，Ⅰ、Ⅱ两条直线分别为P、Q两个物体的位移－时间图象，下列说法正确的是(　　)
图2
A.两物体从同一地点出发做匀速直线运动
B.M点表示两物体在t1时刻处于同一位置
C.0～t1时间内，P的位移较大
D.0～t1时间内，P的速度比Q的大，t1时刻以后P的速度比Q的小
解析　图象的纵截距表示出发点，所以出发点不同，A错误；两图象的交点表示两个物体在某时刻处于相同的位置，B正确；0～t1时间内，P的位移为s1－s0，Q的位移为s1，Q的位移大，C错误；位移—时间图象中，图线的斜率表示物体运动的速度，斜率越大，速度越大，故Q的速度一直比P的速度大，D错误。
答案　B
拓展提升2　直线图象?曲线图象
2－1.(2019·4月浙江选考，9)甲、乙两物体零时刻开始从同一地点向同一方向做直线运动，位移－时间图象如图3所示，则在0～t1时间内(　　)
图3
A.甲的速度总比乙大
B.甲、乙位移相同
C.甲经过的路程比乙小
D.甲、乙均做加速运动
解析　位移－时间图象中，图线斜率大小等于物体速度大小。由图可知，甲做匀速直线运动，乙做变速直线运动，D错误；靠近t1时刻时乙的斜率大于甲的斜率，即乙的速度大于甲的速度，故A错误；在该时间段内，甲、乙物体的初位置和末位置相同，故位移相同，B正确；由于甲、乙物体
做的是单向直线运动，故位移大小等于路程，两者的路程也相同，故C错误。
答案　B
2－2. (多选)(2018·全国Ⅲ卷，18)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图4所示。下列说法正确的是(　　)
图4
A.在t1时刻两车速度相等
B.从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C.从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D.在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
解析　x－t图象某点的切线斜率表示瞬时速度，A错误；从0～t1时间内，由于甲、乙的出发点不同，故路程不同，B错误；t1～t2时间内，甲、乙的位移和路程都相等，大小都为x2－x1，C正确；t1～t2时间内，甲的x－t图象在某一点的切线与乙的x－t图象平行，此时刻两车速度相等，D正确。
答案　CD
　v－t图象的理解及应用——真题溯源之教材研读(二)
1.意义：反映了直线运动的物体速度随时间变化的规律。
2.图线上某点切线的斜率的意义
(1)斜率的大小：表示物体加速度的大小。
(2)斜率的正负：表示物体加速度的方向。
3.两种特殊的v－t图象
(1)匀速直线运动的v－t图象是与横轴平行的直线。(如图5中甲所示)
(2)匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线。(如图5中乙所示)
图5
4.图线与时间轴围成的“面积”的意义
(1)图线与时间轴围成的“面积”表示相应时间内的位移。
(2)若此“面积”在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正方向；若此“面积”在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负方向。
【例2】 [粤教版必修1·P26·T11]甲、乙两物体在同一直线上做匀变速直线运动，它们的速度图象如图1－5所示，则(　　)
图1－5
A.甲、乙两物体的运动方向一定相反
B.前4 s内甲、乙两物体的位移相同
C.在t＝4 s时，甲、乙两物体的速度相同
D.甲物体的加速度比乙物体的加速度大
答案　C
拓展提升3　定性分析?定量计算
(多选)如图6是某司机在春节假期试驾中某次小轿车在平直公路上运动的0～25 s内的速度随时间变化的图象，由图象可知(　　)
图6
A.小轿车在0～15 s内的位移为200 m
B.小轿车在10～15 s内加速度为20 m/s2
C.小轿车在16～24 s内的加速度大小为1 m/s2
D.小轿车在15～25 s内的位移为100 m
解析　小轿车在0～15 s内的位移为200 m，A正确；10～15 s内小轿车做匀速直线运动，加速度a1＝0，B错误；小轿车在16～24 s内的加速度大小为a2＝||＝1 m/s2，故C正确；小轿车在15～25 s内的位移s＝×(20＋10)×(25－15) m＝150 m，D错误。
答案　AC
拓展提升4　单个物体?两个物体
(多选)(2016·全国Ⅰ卷，21)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图象如图7所示。已知两车在t＝3 s时并排行驶，则(　　)
图7
A.在t＝1 s时，甲车在乙车后
B.在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C.两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
解析　根据v－t图象知，甲、乙两车都沿正方向运动。t＝3 s时，甲、乙两车并排行驶，此时v甲＝30 m/s，v乙＝25 m/s，由v－t图线与时间轴所围“面积”对应位移知，0～3 s内甲车位移s甲＝×3×30 m＝45 m，乙车位移s乙＝×3×(10＋25) m＝52.5 m。故t＝0时，甲、乙两车相距Δs1＝s乙－s甲＝7.5 m，即甲车在乙车前方7.5 m，选项B正确；0～1 s内，s甲′＝×1×10 m＝5 m，s乙′＝×1×(10＋15) m＝12.5 m，Δs2＝s乙′－s甲′＝7.5 m＝Δs1，说明在t＝1 s时甲、乙两车第一次相遇，选项A、C错误；甲、乙两车两次相遇地点之间的距离为s＝s甲－s甲′＝45 m－5 m＝40 m，所以选项D正确。
答案　BD
拓展提升5　直线图象?曲线图象
(多选)(2018·全国Ⅱ卷，19)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图8中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶。下列说法正确的是(　　)
图8
A.两车在t1时刻也并排行驶
B.在t1时刻甲车在后，乙车在前
C.甲车的加速度大小先增大后减小
D.乙车的加速度大小先减小后增大
解析　本题可巧用逆向思维分析，两车在t2时刻并排行驶，根据题图分析可知在t1～t2时间内甲车运动的位移大于乙车运动的位移，所以在t1时刻甲车在后，乙车在前，B正确，A错误；依据v－t图象斜率表示加速度分析出C错误，D正确。
答案　BD
s－t图象与v－t图象的对比分析
(1)对于运动图象，首先应看清图象的横、纵坐标。
(2)s－t图象中图线的交点表示两个物体在对应时刻相遇，v－t图象中图线的交点表示两个物体在对应时刻速度相等，此时两个物体之间的距离达到极值(最大或最小)。
(3)s－t图象中图线与时间轴所围“面积”没有物理意义，v－t图象中图线与时间轴所围“面积”表示对应时间内物体的位移大小。
　多种图象间的转换问题
对题目中所给图象进行必要的转化，然后根据转化后的运动图象分析问题。
【例3】 小球沿某一斜面下滑，在斜面底端与垂直斜面的挡板相碰后又回到斜面上的某一位置，小球与挡板作用时间不计，其速度v随时间t变化的关系如图9所示。以下滑起点为位移坐标原点，以小球开始下滑时刻为t＝0时刻，则下列选项中能正确反映小球运动的图象是(　　)
图9
解析　由小球运动的v－t图象可知，小球下滑和上滑都做匀变速直线运动，但两个阶段加速度大小不等，由图线斜率可以看出，下滑加速度小于上滑加速度，加速度方向都沿斜面向下(即正方向)，C、D错误；下滑时小球做初速度为零的匀加速直线运动，由s＝at2可知，s－t2图象为过原点的直线，且位移s随时间增大；上滑时末速度为零，可看做反向的初速度为零的匀加速直线运动，位移随时间减小，因此，s－t2图象也是一条直线，由v－t图象可知，小球反弹初速度小于下滑末速度，上滑运动时间比下滑时间短，因此小球速度为零时没有回到初始位置，A正确，B错误。
答案　A
1.一质点的位移－时间图象如图10所示，能正确表示该质点的速度v与时间t关系的图象是图中的(　　)
图10
解析　质点在开始一段时间内的s－t图象是一条直线，其斜率不变且为负值，故做匀速直线运动，速度方向与规定的正方向相反；在第二段时间内，质点处于静止状态，速度为零；在第三段时间内，图线的斜率不变且为正值，即速度不变且为正值；在第四段时间内，质点静止在出发点。综上可知，质点的v－t图象是A图。
答案　A
2.(2019·天津河西二模)一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图11所示，取物体开始运动的方向为正方向，则如图所示关于物体运动的v－t图象正确的是(　　)
图11
解析　由a－t图象可得，0～1 s内和2～3 s内，加速度恒为正，则v－t图象斜率恒定且为正；1～2 s内和3～4 s内，加速度恒为负，则v－t图象斜率恒定且为负；对a－t图象，0～1 s内和1～2 s内，图线与时间轴所围的面积大小相等，速度的变化量方向相反，则0～2 s内的速度变化量为0，选项C正确。
答案　C
　追及相遇问题
考向　追及相遇问题常见的分析方法
追及相遇问题的实质就是分析两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置。
1.分析技巧：可概括为“一个临界条件”“两个关系”。
(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。
(2)两个关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体运动的时间关系和位移关系是解题的突破口。
2.能否追上的判断方法
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距s0，到vA＝vB时，若sA＋s0sB，则不能追上。
3.牢记“一个思维流程”
【例4】 甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v1＝8 m/s，乙车在后，速度为v2＝16 m/s，当两车相距s0＝8 m时，甲车因故开始刹车，加速度大小为a1＝2 m/s2，为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？
解析　法一　临界法
设两车减速后速度相同时为v，所用时间为t，乙车的加速度大小为a2，则v1－a1t＝v2－a2t＝v，t＝t－s0，解得t＝2 s，a2＝6 m/s2，即t＝2 s时，两车恰好未相撞，显然此后到停止运动前，甲的速度始终大于乙的速度，故可避免相撞。满足题意的条件为乙车的加速度至少为6 m/s2。
法二　函数法
甲运动的位移s甲＝v1t－a1t2，
乙运动的位移s乙＝v2t－a2t2
避免相撞的条件为s乙－s甲≤s0
即(a2－a1)t2＋(v1－v2)t＋s0≥0
代入数据有(a2－2)t2－16t＋16≥0
由数学知识得，不等式成立的条件是
162－4×16(a2－2)≤0，且a2－2＞0
解得a2≥6 m/s2。
答案　6 m/s2
1.[匀速追加速]一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则(　　)
A.人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B.人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C.人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D.人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
解析　在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2 的加速度匀加速启动前进，当汽车加速到6.0 m/s 时二者相距最近。汽车加速到6.0 m/s所用时间t＝6 s，人运动距离为6×6 m＝36 m，汽车运动距离为18 m，二者最近距离为18 m＋25 m－36 m＝7 m，选项A、C错误，B正确；人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，选项D错误。
答案　B
2.[匀速追减速]如图12所示，可视为质点的A、B两物体相距s＝7 m时，A在水平拉力和摩擦力作用下，正以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时正在摩擦力作用下以初速度vB＝10 m/s向右匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，则A追上B所经历的时间是(　　)
图12
A.7 s B.8 s
C.9 s D.10 s
解析　由题意知，t＝5 s时，物体B的速度减为零，位移大小sB＝vBt＋at2＝25 m，此时A的位移sA＝vAt＝20 m，A、B两物体相距Δs＝s＋sB－sA＝7 m＋25 m－20 m＝12 m，再经过Δt＝＝3 s，A追上B，所以A追上B所经历的时间是5 s＋3 s＝8 s，选项B正确。
答案　B
3.[减速追匀速](多选)一辆汽车正以v1＝10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，发现正前方有一辆自行车以v2＝4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为a＝0.6 m/s2的匀减速运动，汽车恰好没有碰上自行车，则(　　)
A.关闭油门时，汽车恰好没有碰上自行车时所用时间为10 s
B.关闭油门时，汽车恰好没有碰上自行车时所用时间为 s
C.关闭油门时，汽车与自行车的距离为30 m
D.关闭油门时，汽车与自行车的距离为 m
解析　撞不上的临界条件为速度相等时恰好追上，则有v1－at＝v2，代入数据解得t＝10 s，选项A正确，B错误；设汽车的位移为s1，自行车的位移为s2，则由位移关系有s1＝s2＋s，即t＝s＋v2t，代入数据解得s＝30 m，选项C正确，D错误。
答案　AC
考向　与运动图象相结合的追及相遇问题
近几年的高考追及和相遇问题常以v－t图象的形式考查，用图象描述两物理量关系时，比较直观、形象且信息量大，体现了数形结合法的应用。
【例5】 2019年10月5日，在淮徐高速公路上发生六车追尾事故。如图13所示是模拟在该高速公路上的甲、乙两车刹车过程中的v－t图象，甲车在后，乙车在前。若两车发生追尾，则以下判断正确的是(　　)
图13
A.两车一定是在t＝15 s至t＝20 s之间的某时刻发生追尾
B.两车可能是在t＝8 s时发生追尾
C.t＝0时刻两车间距可能大于28 m
D.甲车刹车的加速度大小是乙车的3倍
解析　根据速度—时间图象可知，15～20 s内，甲车的速度小于乙车，不可能发生追尾，选项A错误；0～10 s内任一时刻，甲车的速度大于乙车，这个时间段内可能发生追尾，选项B正确；t＝10 s时两车的速度大小均为5 m/s，在v－t图象中，图象与横坐标轴所围成的“面积”表示位移，0～10 s内，甲车位移大小s1＝×10 m＝100 m，乙车位移大小s2＝×10 m＝75 m，因两车发生追尾，所以两车间距离应小于Δs＝s1－s2＝25 m，选项C错误； 根据速度—时间图象的斜率表示加速度可得甲车的加速度大小a1＝ m/s2＝1 m/s2，乙车的加速度大小a2＝ m/s2＝0.5 m/s2，则a1＝2a2，选项D错误。
答案　B
1.甲、乙两车在同一条直道上行驶，它们运动的位移s随时间t变化的关系图象如图14所示。已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处。则下列说法正确的是(　　)
图14
A.甲车的初速度为零
B.乙车的初位置在s0＝60 m处
C.乙车的加速度大小为1.6 m/s2
D.5 s时两车相遇，此时甲车速度较大
解析　由题图可知甲车做匀速直线运动，速度v甲＝＝ m/s＝4 m/s，故A错误；由题图可知乙车做匀减速直线运动，可看做是反方向的匀加速直线运动，则有s＝at2。由题图可知，当其反向运动5 s时，位移为20 m，则有20＝a·52，得加速度大小a＝1.6 m/s2。因其共运动了10 s，可得s0＝×1.6×102 m＝80 m，C正确，B错误；t＝5 s时，两车相遇，但甲车速度v甲＝4 m/s，乙车速度v乙＝at＝1.6×5 m/s＝8 m/s，乙车速度较大，D错误。
答案　C
2.相距15 m的甲、乙两质点在t＝0时刻开始沿同一直线相向运动，它们运动的v－t图象如图15所示。下列说法正确的是(　　)
图15
A.0～3 s内，甲的平均速度比乙的小
B.t＝3 s时，甲的加速度为零
C.0～5 s内，甲和乙的平均速度相等
D.t＝5 s时，甲、乙相遇
解析　题图中图线与坐标轴所围的“面积”表示质点的位移，所以前3 s内甲的位移大于乙的位移，则甲的平均速度比乙的大，A项错误；v－t图线的斜率的绝对值表示加速度大小，t＝3 s时甲的加速度不为零，B项错误；前5 s内乙质点位移为10 m，乙的平均速度为2 m/s，甲质点位移为－5 m，平均速度为－1 m/s，负号表示方向相反，又两质点相向运动，开始时相距15 m，所以5 s末两质点相遇，C项错误，D项正确。
答案　D

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