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1.关于静电力做功和电势能的理解，下列说法正确的是(　　)
A.静电力做功与重力做功相似，均与路径无关
B.正电荷具有的电势能一定是正的，负电荷具有的电势能一定是负的
C.静电力做正功，电势能一定增加
D.静电力做功为零，电荷的电势能也为零
答案　A
2.一个电荷只在静电力作用下从电场中的A点移动到B点时，静电力做了5×
10－6 J的功，那么(　　)
A.电荷在B点将具有5×10－6 J的电势能
B.电荷在B点将具有5×10－6 J的动能
C.电荷的电势能减少了5×10－6 J
D.电荷的电势能增加了5×10－6 J
解析　电荷只在静电力作用下从电场中的A点移动到B点时，静电力做正功，电势能减少，静电力做了多少正功，电荷的电势能就减少多少。因为不知道电荷在A点的动能和电势能，所以不能确定电荷在B点的动能和电势能，故选项C正确。
答案　C
3.如图1所示为某静电场等势面的分布，电荷量为1.6×10－9 C的正电荷从A经B、C到达D点，整个过程中电场力对电荷做的功为(　　)
图1
A.4.8×10－8 J B.－4.8×10－8 J
C.8.0×10－8 J D.－8.0×10－8 J
解析　电场力做功与路径无关，WAD＝qUAD＝q(φA－φD)＝－4.8×10－8 J，B项正确。
答案　B
4.将两金属球P、Q固定，让球P带上正电后，形成稳定的电场如图2所示，已知实线为电场线，虚线为等势面，其中A、B、C、D为静电场中的四点，则(　　)
图2
A.C、D两点的电场强度相同，电势相等
B.A、B两点的电势相同，电场强度不同
C.将电子从A点移至B点，电场力做负功
D.将电子从A点移至D点，电势能增大
解析　C、D两点在同一等势面上，电势相等，但场强方向不同，故电场强度不相同，则A项错误；A、B两点不在同一等势面上，电势不相同，场强方向相反，电场强度不同，故B项错误；由题图可知从A点移至B点电势降低，故将电子从A点移至B点，电场力做负功，则C项正确；A点、D点在同一等势面上，故将电子从A点移至D点，电场力不做功，电势能不变，故D项错误。
答案　C
　描述电场的能的性质的物理量
1.电势高低常用的两种判断方法
(1)沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)若UAB＞0，则φA＞φB；若UAB＜0，则φA＜φB。
2.电势能大小的判断方法
判断角度 判断方法
做功判断法 电场力做正功，电势能减小；
电场力做负功，电势能增大
电荷电势法 正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大
公式法 由Ep＝qφp，将q、φp的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越大，电势能越大；Ep的负值越小，电势能越大
能量守恒法 在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大，电势能减小；反之，电势能增大
【例1】 (多选)(2019·全国Ⅲ卷，21)如图3，电荷量分别为q和－q(q>0)的点电荷固定在正方体的两个顶点上，a、b是正方体的另外两个顶点。则(　　)
图3
A.a点和b点的电势相等
B.a点和b点的电场强度大小相等
C.a点和b点的电场强度方向相同
D.将负电荷从a点移到b点，电势能增加
解析　b点距q近，a点距－q近，则b点的电势高于a点的电势，A错误；如图所示，a、b两点的电场强度可视为E3与E4、E1与E2的合场强。其中E1∥E3，E2∥E4，且知E1＝E3，E2＝E4，故合场强Ea与Eb大小相等、方向相同，B、C正确；由于φa＜φb，负电荷从低电势移至高电势过程中，电场力做正功，电势能减少，D错误。
答案　BC
1.(2016·全国Ⅲ卷，15)关于静电场的等势面，下列说法正确的是(　　)
A.两个电势不同的等势面可能相交
B.电场线与等势面处处相互垂直
C.同一等势面上各点电场强度一定相等
D.将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功
解析　若两个不同的等势面相交，则在交点处存在两个不同电势数值，与事实不符，选项A错误；电场线一定与等势面垂直，选项B正确；同一等势面上的电势相同，但电场强度不一定相同，选项C错误；将一负电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做负功，故选项D错误。
答案　B
2.(2020·河南郑州模拟)如图4所示，以O点为圆心的圆周上有六个等分点a、b、c、d、e、f，等量异种点电荷分别放置在a、d两点上，下列说法正确的是(　　)
图4
A.b、c、e、f四点的场强相同
B.b、c、e、f四点的电势相等
C.将一带正电的试探电荷从O点移到e点，电场力做负功
D.将一带正电的试探电荷从O点移到e点，电场力做正功
解析　由题意可知，对两点电荷在b、c、e、f四点处的电场强度各自进行矢量合成，可知四点处的电场强度大小相等，方向不同，A错误；依据等量异种点电荷等势线的分布，可知b、f两点的电势为正，而c、e两点的电势为负。O点的电势为零，B错误；将一带正电的试探电荷从O点移到e点，即从高电势处移到低电势处，电势能减小，因此电场力做正功，C错误，D正确。
答案　D
3.(多选)(2018·全国Ⅰ卷，21)图5中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是(　　)
图5
A.平面c上的电势为零
B.该电子可能到达不了平面f
C.该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D.该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
解析　电子在等势面b时的电势能为E＝qφ＝－2 eV，电子由a到d的过程电场力做负功，电势能增加6 eV，由于相邻两等势面之间的距离相等，故相邻两等势面之间的电势差相等，则电子由a到b、由b到c、由c到d、由d到f电势能均增加2 eV，则电子在等势面c的电势能为零，等势面c的电势为零，A正确；由以上分析可知，电子在等势面d的电势能应为2 eV，C错误；电子在等势面b的动能为8 eV，电子在等势面d的动能为4 eV，由公式Ek＝mv2可知，该电子经过平面b时的速率为经过平面d时速率的倍，D错误；如果电子的速度与等势面不垂直，则电子在该匀强电场中做曲线运动，所以电子可能到达不了平面f就返回平面a，B正确。
答案　AB
　电势差与电场强度的关系
1.公式E＝的三点注意
(1)只适用于匀强电场。
(2)d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离。
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向。
2.由E＝可推出的两个重要推论
推论1　匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图6甲所示。
推论2　匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图6乙所示。
甲　　　　　　　　乙
图6
3.解题思路
【例2】 (多选)(2017·全国Ⅲ卷，21)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图7所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是(　　)
图7
A.电场强度的大小为2.5 V/cm
B.坐标原点处的电势为1 V
C.电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D.电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
解析　如图所示，设a、c之间的d点电势与b点电势相同，则＝＝，所以d点的坐标为(3.5 cm，6 cm)，过c点作等势线bd的垂线，电场强度的方向由高电势指向低电势。由几何关系可得，cf的长度为3.6 cm，电场强度的大小E＝＝ V/cm＝2.5 V/cm，故选项A正确；因为Oacb是矩形，所以有Uac＝UOb ，可知坐标原点O处的电势为1 V ，故选项B正确；a点电势比b点电势低7 V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，故选项C错误；b点电势比c点电势低9 V，电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV，故选项D正确。
答案　ABD
1.如图8所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势φA＝30 V，B点的电势φB＝－10 V，则C点的电势(　　)
图8
A.φC＝10 V B.φC＞10 V
C.φC＜10 V D.上述选项都不正确
解析　由于A、C之间的电场线比C、B之间的电场线密，相等距离之间的电势差大，所以φC＜10 V，C项正确。
答案　C
2.在匀强电场中有一个正六边形区域abcdhf，电场线与六边形所在平面平行，如图9所示。已知a、b、h三点的电势分别为8 V、12 V、－4 V，带电荷量为3e的粒子(重力不计)以48 eV的初动能从b点沿不同方向射入abcdhf区域，当粒子沿bd方向射入时恰能经过c点，下列判断正确的是(　　)
图9
A.粒子带正电
B.粒子可以经过正六边形各顶点射出该区域
C.粒子经过f点时动能为84 eV
D.粒子可能从b点射出该区域
解析　依题意可知，Ubh＝φb－φh＝16 V＝4Uba，作直线bh、ac相交于g，则bh＝4bg，因此φg＝8 V＝φa，a、g在同一等势面上且bg⊥ac，结合电势高低可判断匀强电场的方向沿bh方向由b指向h，如图所示。沿bd射入的带电粒子经过c点，粒子做曲线运动，可判断粒子所受电场力与场强方向相反，粒子带负电，A错误；带电粒子沿bh方向做直线运动时克服电场力做功最大，且做的功Wbh＝3e×Ubh＝48 eV，与带电粒子的初动能相等，因此粒子到达h点时速度为零，然后反向加速沿直线hb从b点射出，故B错误，D正确；Ubf＝φb－φf＝12 V－0＝12 V，由动能定理得Ekf＝Ek0－qUbf＝12 eV，C错误。
答案　D
　电场线、等势面和带电粒子轨迹问题
1.判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
2.判断电场力(或电场强度)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断电场强度的方向。
3.判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。
【例3】 (2018·天津理综，3)如图10所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是(　　)
图10
A.vMC.φM<φN，EpM解析　由粒子的轨迹知电场力的方向偏向右，因粒子带负电，故电场线方向偏向左，由沿电场线方向电势降低，可知φN<φM，EpMvN。综上所述，选项D正确。
答案　D
1.下列选项中实线表示电场线，虚线表示带电粒子运动的轨迹，带电粒子只受电场力作用，运动过程中电势能一直减少，关于粒子运动到b处时的速度方向与受力方向，下列选项表示的可能正确的是(　　)
解析　因粒子所受电场力的方向指向粒子运动轨迹的凹侧，所以可判断出粒子所受电场力的方向与电场线重合且向右，由于运动过程中粒子的电势能一直减少，所以电场力一直做正功，则电场力方向与粒子速度方向的夹角一定为锐角，故选C。
答案　C
2.如图11所示，虚线a、b、c是电场中的三条等势线，相邻等势线间的电势差相等，即Uab＝Ubc，实线为一个带负电的粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，P、Q是轨迹上的两点。下列说法正确的是(　　)
图11
A.三个等势线中，等势线a的电势最低
B.带负电的粒子通过Q点时的电势能比通过P点时的小
C.带负电的粒子通过Q点时的加速度比通过P点时的大
D.带负电的粒子通过P点时的加速度的方向沿着等势线c在P点处的切线方向
解析　由曲线运动的轨迹与电场力的关系可知，该粒子所受的电场力方向指向运动轨迹的凹侧，即大致向下，由于粒子带负电，因此电场强度方向大致指向上方，则电场线方向大致指向上方，由于电场线与等势线处处垂直。且由高电势指向低电势，故等势线a的电势最高，A错误；假设粒子从Q点运动到P点，从Q到P电场力对粒子做负功，故粒子电势能增加，故B正确；因等差等势线越密，电场强度越大，所以Q点处的电场强度较小，故粒子在Q点所受的电场力较小，由牛顿第二定律可知粒子在该点的加速度较小，故C错误；由于电场线与等势线处处垂直，故粒子通过P点时所受电场力的方向，即加速度的方向一定与等势线c在P点处的切线垂直，故D错误。
答案　B
3.(多选)如图12所示，在两个固定的等量正点电荷产生的电场中，实线为等势面，虚线ABC为甲粒子的运动轨迹，虚线MBN为乙粒子的运动轨迹，其中B点是两点电荷连线的中点，A、C位于同一等势面上，粒子重力均不计。下列说法正确的是(　　)
图12
A.甲、乙两粒子一定都带负电
B.甲、乙两粒子到达B点时的加速度一定为零
C.甲粒子到达B点时的速度一定不为零
D.甲、乙两粒子分别到达C、N位置时，速度均可能为零
解析　从轨迹ABC的弯曲方向可知，甲粒子在A点时，速度一定不为零，且应受到向下的电场力，所以甲粒子一定带负电，当乙粒子在M点的初速度方向指向N点时，乙粒子可以带负电，也可以带正电，A错误；由于是等量正点电荷产生的电场，所以B点场强一定为零，粒子到达B点时的加速度一定为零，B正确；由于φA＜φB，由A到B的过程，甲粒子的电势能减小，根据能量守恒，甲粒子的动能一定增大，所以一定有vB＞vA，即甲粒子到达B点时的速度一定不为零，C正确；由于φA＝φC，根据能量守恒，一定有vC＝vA，即甲粒子到达C点时的速度一定不为零，当乙粒子在M点速度为零时，则其在N点速度也为零，D错误。
答案　BC
　电场中常考的“四类”图象问题
考向　v－t图象
(1)根据v－t图象中速度变化、斜率确定电荷所受电场力的方向与大小变化。
(2)由电场力方向确定电场的方向、电势高低及电势能变化。
【例4】 (多选)(2020·安徽黄山模拟)光滑绝缘水平面上固定两个等量点电荷，它们连线的中垂线上有A、B、C三点，如图13甲所示。一质量m＝1 g的带正电小物块由A点静止释放，并以此时为计时起点，沿光滑水平面经过B、C两点，其运动过程的v－t图象如图乙所示，其中图线在B点位置时斜率最大，根据图线可以确定(　　)
图13
A.中垂线上B点电场强度最大
B.A、B两点之间的位移大小
C.B点是连线中点，C与A点必在连线两侧
D.UBC＞UAB
解析　v－t图象的斜率表示加速度，可知小物块在B点的加速度最大，所受的电场力最大，所以B点的电场强度最大，A正确；小物块由A运动到B的过程中，由图乙可知A、B两点的速度，已知小物块的质量，则由动能定理可知qUAB＝mv－mv，由上式可求出小物块由A运动到B的过程中电场力所做的功qUAB，因为电场强度的关系未知，则不能求解A、B两点之间的位移大小，B错误；中垂线上电场线分布不是均匀的，B点不在连线中点，C错误；在小物块由A运动到B的过程中，根据动能定理有qUAB＝mv－mv＝(×1×10－3×42－0) J＝8×10－3 J，同理，在小物块由B运动到C的过程中，有qUBC＝mv－mv＝(×1×10－3×72－×1×10－3×42) J＝16.5×10－3 J，对比可得UBC＞UAB，D正确。
答案　AD
考向　φ－s图象
(1)φ－s图线上某点切线的斜率的绝对值等于电场强度的大小，φ－s图线存在极值，极值点切线的斜率为零，则对应位置处电场强度为零。
(2)在φ－s图象中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向。
(3)在φ－s图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB＝q(φA－φB)进而分析WAB的正负，然后作出判断。
【例5】 (多选)(2017·全国Ⅰ卷，20)在一静止点电荷的电场中，任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r的关系如图14所示。电场中四个点a、b、c和d的电场强度大小分别为Ea、Eb、Ec和Ed。点a到点电荷的距离ra与点a的电势φa已在图中用坐标(ra，φa)标出，其余类推。现将一带正电的试探电荷由a点依次经b、c点移动到d点，在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为Wab、Wbc和Wcd。下列选项正确的是(　　)
图14
A.Ea∶Eb＝4∶1 B.Ec∶Ed＝2∶1
C.Wab∶Wbc＝3∶1 D.Wbc∶Wcd＝1∶3
解析　由图可知，a、b、c、d到点电荷的距离分别为1 m、2 m、3 m、6 m，根据点电荷的场强公式E＝k可知，＝,r)＝，＝,r)＝，故A正确，B错误；电场力做功W＝qU，a与b、b与c、c与d之间的电势差分别为3 V、1 V、1 V，所以＝，＝，故C正确，D错误。
答案　AC
考向　E－s图象
(1)描述电场强度随位移变化的规律。
(2)场强E正负表示场强的方向。
(3)图线与s轴围成的“面积”表示电势差。
【例6】 (多选)(2019·安徽省皖南八校联考)某静电场中x轴上电场强度E随x变化的关系如图15所示，设x轴正方向为电场强度的正方向。一带电荷量大小为q的粒子从坐标原点O沿x轴正方向运动，结果粒子刚好能运动到x＝3x0处，假设粒子仅受电场力作用，E0和x0已知，则(　　)
图15
A.粒子一定带负电
D.粒子的初动能大小为qE0x0
C.粒子沿x轴正方向运动过程中电势能先增大后减小
D.粒子沿x轴正方向运动过程中最大动能为2qE0x0
解析　如果粒子带负电，粒子在电场中一定先做减速运动后做加速运动，因此粒子x＝3x0处的速度不可能为零，故粒子一定带正电，A错误；根据动能定理qE0x0－×2qE0·2x0＝0－Ek0，可得Ek0＝qE0x0，B正确；粒子向右运动的过程中，电场力先做正功后做负功，因此电势能先减小后增大，C错误；粒子运动到x0处动能最大，根据动能定理qE0x0＝Ekmax－Ek0，解得Ekmax＝2qE0x0，D正确。
答案　BD
考向　Ep－s图象
(1)描述电势能随位移变化的规律。
(2)根据电势能的变化可以判断电场力做功的正、负。
(3)根据W＝Ep－Ep0＝Fs，图象Ep－s的斜率为电场力。
【例7】 在坐标－x0到x0之间存在一沿x轴方向的电场，一质量为m的带正电的粒子由－x0处运动到x0处的电势能随位移的变化规律如图16所示，已知粒子只受电场力作用。则下列说法正确的是(　　)
图16
A.粒子的初速度可以等于零
B.粒子初动能的最小值应为E0
C.原点的电势一定等于零
D.粒子由原点运动到x0的过程中，加速度一直减小
解析　粒子由－x0运动到原点的过程中，粒子的电势能一直增加，则粒子的动能一直减少，因此粒子的初速度不可能为零，A错误；由于粒子从－x0运动到原点的过程中，电场力一直做负功，由功能关系可知，粒子要运动到原点，则在－x0处具有的动能至少为E0，B正确；－x0处的电势能为零，则－x0处的电势为零，由题图可知，粒子在原点处的电势能大于零，故原点处的电势一定大于零，选项C错误；由＝＝Eq可知Ep－x图象的斜率等于电场力，粒子从原点运动到x0的过程中，图象的斜率先增大后减小，则粒子的加速度先增大后减小，D错误。
答案　B
1.一带负电粒子在电场中仅受静电力作用沿x轴正方向做直线运动的v－t图象如图17所示，起始点O为坐标原点，下列关于电势φ、粒子的动能Ek、电场强度E、粒子加速度a与位移x的关系图象中可能合理的是(　　)
图17
解析　由v－t图象可知速度减小，且加速度逐渐减小，电场力做负功，动能逐渐减小，而电场强度E＝＝，所以沿＋x方向场强逐渐减小，则电势不是均匀减小，所以A、B、D错误，C可能合理。
答案　C
2.(2020·福建泉州模拟)在坐标－x0到x0之间有一静电场，x轴上各点的电势φ随坐标x的变化关系如图18所示，一电荷量为e的质子从－x0处以一定初动能仅在电场力作用下沿x轴正向穿过该电场区域。则该质子(　　)
图18
A.在－x0～0区间一直做加速运动
B.在0～x0区间受到的电场力一直减小
C.在－x0～0区间电势能一直减小
D.在－x0～0区间电势能一直增加
解析　从－x0到0，电势逐渐升高，意味着该区域内的场强方向向左，质子受到的电场力向左，与运动方向相反，所以质子做减速运动，A错误；设在x～x＋Δx，电势为φ～φ＋Δφ，根据场强与电势差的关系式E＝，当Δx无限趋近于零时，表示x处的场强大小(即φ－x图线的斜率)，从0到x0区间，图线的斜率先增大后减小，所以电场强度先增大后减小，根据F＝Ee，质子受到的电场力先增大后减小，B错误；在－x0～0区间质子受到的电场力方向向左，与运动方向相反，电场力做负功，电势能增加，C错误，D正确。
答案　D

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