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◎考点一　天体质量、密度的计算
1．一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要(　　)
A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径
C．测定行星的体积 D．测定飞船的运行速度
A　[取飞船为研究对象，由G＝mR及M＝πR3ρ，知ρ＝，故选A。]
2．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有(　　)
A．月球的质量　　 B．地球的质量
C．地球的半径 D．地球的密度
B　[由天体运动规律知G＝mR可得地球质量M＝，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项B正确。]
3．构成星球的物质靠引力吸引在一起随星球自转，如果某质量分布均匀的星球自转周期为T，引力常量为G，为使该星球不至于因自转而瓦解，该星球的密度至少是(　　)
A． B．
C． D．
B　[当星球即将瓦解时，物体对星球表面的压力最小为零，此时万有引力提供向心力，即G＝mR，又知M＝ρπR3，联立解得ρ＝。]
4．某同学从网上得到一些信息，如表中数据所示，判断地球和月球的密度之比为(　　)
月球半径 R0
月球表面处的重力加速度 g0
地球和月球的半径之比 ＝4
地球表面和月球表面 的重力加速度之比 ＝6
A． B．
C．4 D．6
B　[在地球表面，认为重力等于万有引力，则有G＝mg，解得M＝，故密度为ρ＝＝＝，同理，月球的密度为ρ0＝，故地球和月球的密度之比为＝＝6×＝。]
◎考点二　天体运动分析
5．我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是(　　)
A．周期 B．角速度
C．线速度 D．向心加速度
A　[卫星围绕地球做匀速圆周运动，满足G＝mr＝mω2r＝m＝ma，由此可推出，半径r越小，周期T越小，选项A正确，半径r越小，角速度ω、线速度v、向心加速度a越大，选项B、C、D错误。]
6．由于太阳不断向外辐射电磁能，其自身质量不断减小。根据这一理论，在宇宙演变过程中，地球公转的情况是(　　)
A．公转周期变大 B．公转半径减小
C．公转速率变大 D．公转角速度变大
A　[如果太阳质量不变，正好能够满足万有引力提供需要的向心力。可是太阳质量变小了，万有引力变小了，这个时候需要的向心力就比万有引力大了。地球就做离心运动了，也就离太阳越来越远了，所以运动半径变大，B错；
地球远离太阳，假定地球在新轨道上做匀速圆周运动，由＝m，得v＝，r↑、M↓，所以速度变小了。根据ω＝可知角速度变小了，根据T＝可知周期变大了，A对，C、D错。]
7．(多选)甲、乙两恒星相距为L，质量之比＝，它们离其他天体都很遥远，我们观察到它们的距离始终保持不变，由此可知(　　)
A．两恒星一定绕它们连线的某一位置做匀速圆周运动
B．甲、乙两恒星的角速度之比为2∶3
C．甲、乙两恒星的线速度之比为∶2
D．甲、乙两恒星的向心加速度之比为3∶2
AD　[根据题目描述的这两颗恒星运行的特点可知，它们符合双星的运动规律，即绕它们连线上某一位置做匀速圆周运动，选项A正确。它们的角速度相等，选项B错误。由于m甲a甲＝m乙a乙，所以＝＝，选项D正确。由于m甲ω甲v甲＝m乙ω乙v乙，所以＝＝，选项C错误。]
8．为了纪念祖冲之的功绩，1967年，国际天文学家联合会把月球上的一座环形山命名为“祖冲之环形山”，将永久编号为1888的小行星命名为“祖冲之星”。已知“祖冲之星”的公转周期约为4年，假设其与地球均绕太阳做匀速圆周运动，与地球相比，下列关于“祖冲之星”绕太阳公转的说法正确的是(　　)
A．它的公转半径更大
B．它的公转线速度更大
C．它的公转角速度更大
D．它的公转向心加速度更大
A　[行星绕太阳做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有G＝mr＝m＝mω2r＝ma，得T＝2π，v＝，ω＝，a＝，式中M是太阳的质量，r是行星的轨道半径。根据上列各式分析可知，“祖冲之星”的公转周期比地球的大，则它的公转半径比地球的大，线速度、角速度和向心加速度比地球的小，故A正确，BCD错误。]
9．如图所示，是按一定比例尺绘制的太阳系五颗行星的轨道，可以看出，行星的轨道十分接近圆，由图可知(　　)
A．火星的公转周期小于地球的公转周期
B．水星的公转速度小于地球的公转速度
C．木星的公转角速度小于地球的公转角速度
D．金星的向心加速度小于地球的向心加速度
C　[根据万有引力提供向心力有：＝mr＝m＝mrω2＝ma，可得：公转周期T＝，火星的轨道半径大于地球，故其公转周期大于地球，故A错误；公转速度v＝，水星的轨道半径小于地球，故其公转速度大于地球，故B错误；公转角速度ω＝，木星的轨道半径大于地球，故其公转角速度小于地球，故C正确；向心加速度a＝，金星的轨道半径小于地球，故金星的向心加速度大于地球，故D错误。]
(建议用时：15分钟)
10．如图所示，一个质量均匀分布的星球，绕其中心轴PQ自转，AB与PQ是互相垂直的直径。星球在A点的重力加速度是P点的90%，星球自转的周期为T，引力常量为G，则星球的密度为(　　)
A． B．
C． D．
D　[因为两极处的万有引力等于物体的重力，
故：GP＝(R为星球半径)
由于赤道处的向心力等于万有引力与物体在赤道处的重力之差，
故：－0.9＝mR
解得：M＝
则星球的密度ρ＝＝。]
11.地球和木星绕太阳运行的轨道可以看成是圆形的，它们各自的卫星轨道也可以看成是圆形的。已知木星的公转轨道半径约为地球公转轨道半径的5倍，木星半径约为地球半径的11倍，木星质量大于地球质量。如图所示是地球和木星的不同卫星做匀速圆周运动的半径r的三次方与周期T的二次方的关系图像，已知引力常量为G，地球的半径为R。下列说法正确的是(　　)
A．木星与地球的质量之比为
B．木星与地球的线速度之比为1∶5
C．地球密度为
D．木星密度为
C　[对于卫星绕行星的运动，根据G＝mr得r3＝，可知图线的斜率k＝，由于木星的质量大于地球的质量，可知图线斜率较大的是卫星绕木星做匀速圆周运动的卫星的轨道半径的三次方和周期二次方的关系图线，图线斜率较小的是卫星绕地球做匀速圆周运动的卫星的轨道半径的三次方和周期二次方的关系图线。对于地球，k＝＝，解得地球的质量M地＝，则地球的密度ρ＝＝。对于木星，k＝＝，解得木星的质量M木＝，木星的密度ρ木＝＝，木星与地球的质量之比为＝，A、D错，C对；根据v＝可知木星与地球的线速度之比为＝＝，B错。]
12．土星和地球均可近似看成球体，土星的半径约为地球半径的9.5倍，土星的质量约为地球质量的95倍，已知地球表面的重力加速度g0＝10 m/s2，地球密度约为ρ0＝5.5×103kg/m3，试计算：
(1)土星的密度；
(2)土星表面的重力加速度。
[解析]　(1)星体的密度ρ＝＝，
＝＝≈0.11，
故土星的密度约为
ρ＝0.11ρ0≈0.61×103 kg/m3。
(2)根据星球表面的物体受到的万有引力近似等于物体的重力，mg＝G，g＝，
则＝＝≈1.05。
所以土星表面的重力加速度g＝1.05g0＝10.5 m/s2。
[答案]　(1)0.61×103kg/m3　(2)10.5 m/s2
13．某宇航员在飞船起飞前测得自身连同宇航服等随身装备共重840 N，在火箭发射阶段，发现当飞船随火箭以a＝的加速度匀加速竖直上升到某位置时(其中g为地球表面处的重力加速度)，其身体下方体重测试仪的示数为1 220 N。已知地球半径R＝6 400 km。地球表面重力加速度g取10 m/s2(求解过程中可能用到＝1.03，＝1.02)。问：
(1)该位置处的重力加速度g′是地面处重力加速度g的多少倍？
(2)该位置距地球表面的高度h为多大？
(3)地球的平均密度是多少？
[解析]　(1)飞船起飞前，对宇航员受力分析有G＝mg，得m＝84 kg。
在h高度处对宇航员受力分析，应用牛顿第二定律有F－mg′＝ma，得＝。
(2)根据万有引力公式可知，在地面处有＝mg。
在h高度处有＝mg′。
解以上两式得h＝0.02R＝128 km。
(3)根据＝mg可得，地球质量M＝，地球的密度ρ＝＝
代入数据得ρ＝5.6×103kg/m3。
[答案]　(1)倍　(2)128 km
(3)5.6×103kg/m3
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