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一元二次函数（或幂函数）问题的类型与解法
一元二次函数或幂函数是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必有一个一元二次函数或幂函数问题的5分小题。从题型上看是选择题或填空题，难度为中，低档。纵观各种考试试卷，归结起来一元二次函数或幂函数问题主要包括：①求一元二次函数（或幂函数）的解析式；②一元二次函数（或幂函数）的图像与运用；③一元二次函数（或幂函数）的性质与运用；④一元二次函数（或幂函数）的最值问题；⑤一元二次函数（或幂函数）的综合问题等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答一元二次函数（或幂函数）问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、下列函数是幂函数的是（
）
A
y=
B
y=
C
y=5x
D
y=
【解析】
【知识点】①幂函数的定义与性质；②幂函数的结构特征。
【解题思路】根据幂函数的性质和结构特征对各选项进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A,
底数5是常数，指数是自变量与幂函数的结构不符合，A错误；对B,
底数是自变量，指数5是常数与幂函数的结构相符合，B正确，应该选B。
2、设a{-1，，1，3}，则使函数f(x)=的定义域为R且为奇函数的所有a值为（
）
A
1，3
B
-1，1
C
-1，3
D
-1，1，3
【解析】
【知识点】①幂函数的定义与性质；②求函数定义域的基本方法；③奇函数的定义与性质；④判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据幂函数的性质和结构特征对各选项进行判断就可得出选项。
【详细解答】当a=-1时，函数f(x)=
的定义域为（-，0）（0，+）R，函数f(x)=
不是定义域为R的奇函数；当a=时，函数f(x)=
的定义域为［0，+）R，函数f(x)=
不是定义域为R的奇函数；当a=1时，函数f(x)=x的定义域为R，且f(-x)=-x=-
f(x)，函数f(x)=x是定义域为R的奇函数；当a=3时，函数f(x)=
的定义域为R，且f(-x)=
=-=-
f(x)，函数f(x)=
是定义域为R的奇函数；
A正确，选A。
3、已知幂函数f(x)=k.的图像经过点（，），则k+a等于（
）
A
B
1
C
D
2
【解析】
【知识点】①幂函数的定义与性质；②幂函数的结构特征；③求幂函数解析式的基本方法。
【解题思路】根据幂函数的性质和求幂函数解析式的基本方法，结合问题条件求出k，a的值，从而求出k+a的值就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=k.是幂函数，k=1，函数f(x)=，函数f(x)=的图像经过点（，），===，a=,k+a=1+=，
C正确，选C。
4、已知幂函数f(x)=
的图像经过点（9，3），则f(100)=
；
【解析】
【知识点】①幂函数的定义与性质；②求幂函数解析式的基本方法；③求函数值的基本方法。
【解题思路】根据幂函数的性质和求幂函数解析式的基本方法，结合问题条件求出幂函数f(x)的解析式，利用求函数值的基本方法就可求出f(100)的值。
【详细解答】幂函数f(x)=
的图像经过点（9，3），3==，a=,幂函数f(x)=,
f(100)=
=10。
5、已知二次函数f(x)与X轴的两个交点坐标为（0，0）和（-2，0）且有最小值-1，则二次函数f(x)=
；
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②求一元二次函数解析式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质和求一元二次函数解析式的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，b，c的值就可求出一元二次函数f(x)的解析式。
【详细解答】设一元二次函数f(x)=a+bx+c(a0)，函数f(x)与X轴的两个交点坐标为（0，0）和（-2，0）且有最小值-1，f(0)=0+0+c=0①，f(-2)=4a-2b+c=0②，=-1③，联立①②③解得：a=1，b=2，c=0，一元二次函数f(x)=+2x。
6、已知二次函数f(x)满足：①对任意的x∈R都有f(x+2)=f(-x+2)，②其图像在y轴上的截
距是1，③二次函数的最大值是3，求二次函数的解析式；
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②求一元二次函数解析式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质和求一元二次函数解析式的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，b，c的值就可求出一元二次函数f(x)的解析式。
【详细解答】设一元二次函数f(x)=a+bx+c(a0)，一元二次函数f(x)满足：①对任意的x∈R都有f(x+2)=f(-x+2)，②其图像在y轴上的截距是1，③二次函数的最大值是3，
-=2①，f(0)=0+0+c=1②，=3③，联立①②③解得：a=-，b=2，c=1，一元二次函数f(x)=-+2x+1。
7、在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v（单位：/s）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比。
（1）写出气体其流量速率v关于管道半径r的函数解析式；
（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到1/s）。
【解析】
【知识点】①幂函数的定义与性质；②正比例函数的定义与性质；③求幂函数解析式的基本方法；④求函数值的基本方法。
【解题思路】（1）根据正比例函数的性质，结合问题条件就可求出写出气体其流量速率v关于管道半径r的函数解析式；（2）把流量速率v，管道半径r的值代入（1）的函数解析式求出k的值就可得到流量速率v的表达式；（3）利用求函数值的基本方法就可求出该气体的流量速率。
【详细解答】（1）流量速率v与管道半径r的四次方成正比，流量速率v=k；（2）气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400/s，400=k，k=,
v=；
(3)当r=5时，v=
3088（/s）。
『思考问题1』
（1）【典例1】是求一元二次函数（或幂函数）解析式的问题，解答这类问题首先应该理解一元二次函数（或幂函数）的定义，其次是掌握一元二次函数（或幂函数）解析式的一般形式和结构特征；
（2）求一元二次函数（或幂函数）解析式的基本方法是待定系数法，待定系数法的基本方法是：①设出一元二次函数（或幂函数）的一般式；②根据条件列出方程组（或方程）；③求解方程组（或方程）；④把③中求得的结果代入假设式得出结果。
〔练习1〕解答下列问题：
1、在函数y=，y=2，y=-x，y=1中，是幂函数的有
；
2、已知函数f(x)=(
-m-1)
。
（1）若函数f(x)是幂函数，则m=
；
（2）若函数f(x)是正比例函数，则m=
；
（3）若函数f(x)是反比例函数，则m=
。
3、已知二次函数f(x)=a+bx+1，（a，b∈R），x∈R，若函数f(x)的最小值为f(-1)=0，则函数f(x)=
；
4、若二次函数f(x)=（x+a）（bx+2a）（常数a，b∈R）是偶函数，且它的值域为（-，4］，则该函数的解析式f(x)=
；
5、已知二次函数的顶点坐标是（-1,2），且f(1)=7，求二次函数的解析式；
6、已知二次函数f(x)满足f（2）=-1，f（-1）=-1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式。
【典例2】解答下列问题：
1、函数f(x)=
的图像大致是（
）
y
y
y
y
0
x
0
x
0
x
0
x
A
B
C
D
【解析】
【知识点】①幂函数的定义与性质；②幂函数图像的基本特征。
【解题思路】根据幂函数的性质和幂函数图像的基本特征，结合问题条件确定函数f(x)=
的大致图像就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=
的定义域为R，A，D错误，排除A，D，（x）=＞0，函数f(x)是定义域上的正增长函数，C错误，排除C，B正确，选B。
2、下列命题中正确的是（
）
A当a=0时，函数y=的图像是一条直线
B幂函数的图像都经过（0，0），（1，1）两点C若幂函数y=的图像关于原点对称，则y=在定义域上是指数D幂函数的图像不可能在第四象限
【解析】
【知识点】①幂函数的定义与性质；②幂函数图像的基本特征。
【解题思路】根据幂函数的性质和幂函数图像的基本特征，结合问题条件对各选项分别进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，当a=0时，函数y=的定义域是（-，0）（0，+），函数y=的图像两条射线，不是一条直线，A错误；对B，当a＜0时，函数y=的图像不过点（0，0），B错误；对C,
幂函数y=的图像关于原点对称，函数y=是奇函数，不是指数，C错误；对D，幂函数y=的图像一定不过第四象限，幂函数y=的图像不可能在第四象限，D正确，选D。
3、在同一直角坐标系内作出下列幂函数的图像：
（1）y=x；
（2）y=；
（3）y=；
（4）y=；
（5）y=；
（6）y=。
【解析】
【知识点】①幂函数的定义与性质；②幂函数图像的基本作法。
【解题思路】根据幂函数的性质和幂函数图像的基本作法，结合问题条件在同一直角坐标系中分别作出各幂函数的图像。
【详细解答】函数y=x，y=，y=，y=，y=，y=是指数分别为1，2，3，
，-1，-2的幂函数，在同一直角坐标系中作出函数y=x，y=，y=，y=，y=，y=的图像如图所示：
4、作出下列一元二次函数的图像：
（1）作出函数f(x)=；
（2）作出函数f(x)=2+4x+3的图像；
（3）作出函数f(x)=-
+4x-2的图像。
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②一元二次函数图像的基本作法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质和一元二次函数图像的基本作法，结合问题条件在同一直角坐标系中分别作出各一元二次函数的图像。
【详细解答】函数f(x)=，f(x)=2+4x+3，f(x)=-
+4x-2的顶点坐标分别为（0，0），
（-1，1），（2，2），对称轴分别为x=0，x=-1,x=2，与X轴的交点分别是（0，0），无交点，（2-，0），（2+，0），图像的开口分别是向上，向上，向下，在同一直角坐标系中作出函数f(x)=，f(x)=2+4x+3，f(x)=-
+4x-2的图像如图所示：
5、已知幂函数y=f(x)的图像经过点（2，），求该幂函数的解析式，并作出幂函数的图像，判断幂函数的单调性与奇偶性。
【解析】
【知识点】①幂函数的定义与性质；②幂函数图像的基本作法；③求函数解析式的基本方法；④判断函数单调性的基本方法；⑤判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据幂函数的性质和求函数解析式的基本方法，结合问题条件就可求出幂函数的解析式；运用作幂函数图像的基本方法就可作出幂函数的图像；利用判断函数单调性（或奇偶性）的基本方法就可判断幂函数的单调性（或奇偶性）。
【详细解答】设幂函数f(x)=
，幂函数y=f(x)的图像经过点（2，），=，a=,幂函数的解析式为：f(x)=；作出函数f(x)=的图像如图所示：函数f(x)=的定义域为［0，+
），任取，
［0，+
），且＜，
f()-
f()=-
==＜0，函数f(x)=在［0，+
）上单调递增；函数f(x)=定义域为［0，+
）关于原点不对称，函数f(x)=不具有奇偶性。
『思考问题2』
（1）【典例2】是一元二次函数（或幂函数）图像及运用的问题，解答这类问题需要了解一元二次函数（或幂函数）的图像，掌握一元二次函数（或幂函数）图像的基本作法；
（2）若a＞0,则幂函数y=的图像为单曲线型，幂函数y=的图像都过点（0，0）和点（1，1）；①当a＞1时，图像在〔0，+∞）上是向下凸的（简称为凸函数）；②当0＜a＜1时，图像在〔0，+∞）上是向上凸的（简称为凹函数）；
（3）若a＜0,则幂函数y=的图像为双曲线型，幂函数y=的图像都过点（1，1），且与x轴、y轴无限接近，在（0，+∞）上图像都是向左凸的；
（4）幂函数y=的图像一定经过第一象限，且一定不经过第四象限。
（5）作二次函数f(x)=a+bx+c(a≠0)的图像的基本步骤是：①确定图像的开口方向和顶点坐标；②确定图像的对称轴；③求出图像与X轴的交点坐标。
〔练习2〕解答下列问题：
y
1、如图所示的曲线是幂函数y=在第一象限
的图像，已知a取2，
四个值，则相应
1
----|
于，，，的a依次为（
）
0
1
x
A
-2，-，，2
B
-2，，-，-2
C
-，-2，2，
D
2，，-2，-
2、在同一直角坐标系内作出下列幂函数的图像：
（1）y=x；
（2）y=；
（3）y=；
（4）y=；
（5）y=；
（6）y=。
3、已知幂函数y=f(x)的图像经过点（2，），试求出此函数的解析式，并作出其图像，判断其奇偶性和单调性；
4、作出下列一元二次函数的图像：
（1）作出函数f(x)=2-3x-2的图像；
（2）作出函数f(x)=-
+3x-2的图像。
【典例3】解答下列问题：
1、当0＜a＜b＜1时，下列不等式正确的是（
）
A＞
B＞
C＞
D＞
【解析】
【知识点】①幂函数的定义与性质；②比较实数大小的基本方法。
【解题思路】运用幂函数的性质和比较实数大小的基本方法，结合问题条件对各选项进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，0＜a＜b＜1，0＜1-a＜1，＞b,
＜,A错误；对B，0＜a＜b＜1，1＜1+a＜1+b，
＜，B错误；对C，0＜a＜b＜1，0＜1-a＜1，b＞,
＜，C错误；对D，0＜a＜b＜1，0＜1-b＜1-a＜1，＞＞,D正确，选D。
2、下列幂函数中，①y=；②y=；③y=x；④y=；⑤y=。其中在定义域内为增函数的个数为（
）
A
2
B
3
C
4
D
5
【解析】
【知识点】①幂函数的定义与性质；②判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用幂函数的性质和判断函数单调性的基本方法，结合问题条件对函数的单调性进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①，
函数y=在定义域（-，0），（0，+）上单调递减，①不是；对②，
函数y=在定义域[0，+）上单调递增，②是；对③，
函数y=x在定义域R是单调递增，③是；对④，
函数y=在定义域（-，0）上单调递减，④不是；对⑤，
函数y=在定义域R是单调递增，⑤是，B正确，选B。
3、设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是（
）
A
a＜c＜b
B
b＜a＜c
C
a＜b＜c
D
c＜a＜b
【解析】
【知识点】①幂函数的定义与性质；②比较实数大小的基本方法。
【解题思路】运用幂函数的性质和比较实数大小的基本方法，结合问题条件确定出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】
a==
，b==
，0.6>0.4，
a=<
b=，B错误，排除B；0<0.6<1，0.5>0.3，
b=<
c=，A，D错误，排除A，D；C正确，选C。
4、函数f(x)=
+mx+1的图像关于直线x=1对称的充要条件是（
）
A
m=-2
B
m=2
C
m=-1
D
m=1
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法。
【解题思路】运用一元二次函数的性质和判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法，结合问题条件求出m的值就可得出选项。
【详细解答】①充分性，当m=-2时，函数f(x)=
+mx+1图像的对称轴x=-=-=-
=1,
m=-2是函数f(x)=
+mx+1的图像关于直线x=1对称的充分条件；②必要性，
当函数f(x)=
+mx+1的图像关于直线x=1对称时，-=1，m=-2，
m=-2是函数f(x)=
+mx+1的图像关于直线x=1对称的必要条件，即m=-2是函数f(x)=
+mx+1的图像关于直线x=1对称的充分必要条件，A正确，选A。
5、函数f(x)=
a+(a-3)x+1在区间［-1，+）上是单调递减的，则实数a的取值范围是（
）
A
［-3，0）
B
（-，-3］
C
［-2，0］
D
［-3，0］
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用一元二次函数的性质和判断函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式组，求解不等式组求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=
a+(a-3)x+1在区间［-1，+）上是单调递减，a<0①，且
--1②，联立①②解得：-3a<0，A正确，选A。
6、如果二次函数f(x)=
-(a-1)x+5在区间（，1）上是增函数，求f(2)的取值范围；
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用一元二次函数的性质和判断函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于实数a的不等式，求解不等式求出实数a的取值范围，从而就可求出f(2)的取值范围。
【详细解答】一元二次函数f(x)=
-(a-1)x+5在区间（，1）上是增函数，x=-
=，a2，
f(2)=4-2a+2+5=11-2a
11-4
7，f(2)的取值范围是[7，+）。
7、已知幂函数f(x)=
给出下列命题：
（1）若x＞1，则f(x)
＞1；（2）若0＜＜，则f()-f()＞-；（3）若0＜＜，则f()＜f()；（4）若0＜＜，则＞，其中所有正确命题的序号是
；
【解析】
【知识点】①幂函数的定义与性质；②判断命题真假的基本方法。
【解题思路】运用幂函数的性质和判断命题真假的基本方法，结合问题条件对各个命题的真假进行判断就可得出正确命题的序号。
【详细解答】对（1），幂函数f(x)=
在R上单调递增，f(1)=1
，
f(x)
＞1，即若x＞1，则f(x)
＞1正确；对（2），当0＜＜时，->0，
f()-f()>-，
＞1，即幂函数f(x)=
图像上任意两点连线的斜率大于1不成立，
若0＜＜，则f()-f()＞-错误；对（3）若0＜＜，.>0，f()＜f()，<，即幂函数f(x)=
图像上任意一点与原点连线的斜率随x的增大而增大不成立，若0＜＜，则f()＜f()错误；对（4），幂函数f(x)=
在R上单调递增，若0＜＜，则＞正确，正确命题的序号是（1），（4）。
8、已知二次函数f(x)=
-x+1在区间［-1，1］上不等式f(x)＞2x+m恒成立，则实数m的取值范围是
；
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②含参数不等式恒成立时，求参数取值范围的基本方法。
【解题思路】由在区间［-1，1］上不等式f(x)＞2x+m恒成立，在区间［-1，1］上不等式-3x+1＞m恒成立，运用一元二次函数的性质求出函数-3x+1区间［-1，1］上的最小值，从而就可求出实数m的取值范围。
【详细解答】在区间［-1，1］上不等式f(x)＞2x+m恒成立，在区间［-1，1］上不等式-3x+1＞m恒成立，设函数g(x)=-3x+1，函数g(x)=-3x+1区间［-1，1］上单调递减，=
g(1)=1-31+1=-1，m<-1，在区间［-1，1］上不等式f(x)＞2x+m恒成立时，实数m的取值范围是（-，-1）。
9、已知a是实数，函数f(x)=2
a+2x-3在x∈［-1，1］上恒小于0，则实数a的取值范围为
；
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②含参数不等式恒成立时，求参数取值范围的基本方法。
【解题思路】运用一元二次函数的性质，结合问题条件得到关于参数a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】函数f(x)=2
a+2x-3在x∈［-1，1］上恒小于0，
f(-1)=2
a-2-3=2
a-5<0①，且f(1)=2
a+2-3=2
a-1<0②，联立①②解得：a<，当函数f(x)=2
a+2x-3在x∈［-1，1］上恒小于0时，实数a的取值范围是（-，）。
10、已知＜，求m的取值范围；
【解析】
【知识点】①幂函数的定义与性质；②比较实数大小的基本方法。
【解题思路】运用幂函数的性质和比较实数大小的基本方法，结合问题条件就可求出实数m的取值范围。
【详细解答】=，=，①若m>0，>1，
0<<1，＜成立；②若m=0，=1，=1，
＜不成立；③若m<0，0<<1，>1，＜不成立，综上所述，当＜时，实数m的取值范围是
（0，+）。
11、已知＞，求x的取值范围；
【解析】
【知识点】①幂函数的定义与性质；②比较实数大小的基本方法。
【解题思路】运用幂函数的性质和比较实数大小的基本方法，结合问题条件就可求出实数x的取值范围。
【详细解答】=，=，>，①若x>0，＞，x>1；②若x<0，>0，
<0，＞恒成立，综上所述，当＞时，实数x的取值范围是（-，0）（1，+），
12、证明幂函数f(x)=
在〔0，+∞）上是增函数；
【解析】
【知识点】①幂函数的定义与性质；②证明函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用幂函数的性质和证明函数单调性的基本方法，结合问题条件就可证明函数f(x)=
在〔0，+∞）上是增函数。
【详细解答】任取，〔0，+∞），且＜，
f()-f()=-
==
<0，
f()在〔0，+∞）上是增函数。
13、若点（，2）在幂函数f(x)的图像上，点（-2，）在幂函数g(x)的图像上，定义h(x)=
f(x)，f(x)≤g(x)，试求函数h(x)的最大值以及单调区间。
g(x)，f(x)＞g(x)，
【解析】
【知识点】①幂函数的定义与性质；②求函数解析式的基本方法；③判断函数单调性的基本方法；④求函数最值的基本方法。
【解题思路】运用幂函数的性质和求函数解析式的基本方法，结合问题条件分别求出函数f(x)，g(x)的解析式，从而求出函数h(x)的解析式，根据判断函数单调性的基本方法就可求出函数h(x)的单调区间，利用求函数最值的基本方法就能求出函数h(x)的最大值。
【详细解答】设函数f(x)=
，g(x)=
，点（，2）在幂函数f(x)的图像上，点（-2，）在幂函数g(x)的图像上，2===，==，a=2，b=-2，
f(x)=
，g(x)=
，在同一直角坐标系中
y
作出函数f(x)，g(x)的图像如图所示，由图知，
g(x)=
h(x)=
，x（-∞，-1）（1，+∞），
f(x)=
，x[-1，1]，函数h(x)在（-∞，-1），
-1
0
1
x
（0，1]上单调递增，在
[-1，0），（1，+∞）上单调递减；当x[-1，1]时，=
f(-1)
=
f(1)=1；当x（-∞，-1）（1，+∞）时，<
g(-1)=
g(1)<1，
函数h(x)的最大值是1。
14、已知幂函数f(x)=
(m∈)的图像关于y轴对称，且在(0，+∞)上是减函数，求满足＜的a的取值范围；
【解析】
【知识点】①幂函数的定义与性质；②判断函数单调性的基本方法；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】运用幂函数的性质和判断函数单调性，奇偶性的基本方法，结合问题条件求出m的值，利用幂函数的性质得到关于参数a的不等式组，求解不等式组就能求出实数a的取值范围。
【详细解答】幂函数f(x)=
(m∈)的图像关于y轴对称，且在(0，+∞)上是减函数，-2m-3<0，-1m=1，＜，
<，设函数g(x)=
，函数g(x)在（-∞，0），（0，+∞）上单调递减，
<，0<3-2aa<-1或，
满足＜的a的取值范围是（-∞，-1）（，）。
15、已知二次函数f(x)=
a+bx+c(a≠0)的图像与直线y=25有公共点，且不等式a+bx+c＞0(a≠0)的解是-＜x＜，求a，b，c的取值范围；
解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】运用一元二次函数的性质和求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的不等式组，求解不等式组就能求出实数a，b，c的取值范围。
【详细解答】二次函数f(x)=
a+bx+c(a≠0)的图像与直线y=25有公共点，方程a+bx+c-25=0有实数根，=-4a（c-25）=-4ac+100a0①，不等式a+bx+c＞0(a≠0)的解是-＜x＜，a<0②，且a-b+c=0③，a+b+c=0④，联立①②③④解得：a-144，b-24，c24，实数a，b，c的取值范围分别是（-∞，-144]，（-∞，-24]，[24，+∞）。
16、已知函数f(x)=
的定义域是R，求实数a的取值范围。
解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②求函数定义域的基本方法。
【解题思路】运用一元二次函数的性质和求函数定义域的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式组，求解不等式组就能求出实数a的取值范围。
【详细解答】函数f(x)=
的定义域是R，
a+ax-3≠0在R上恒成立，①当a=0时，a+ax-3=0+0-3=-3≠0，②当a≠0时，
a+ax-3≠0在R上恒成立，
=+12a<0，-12的定义域是R，则实数a的取值范围是（-12，0]。
『思考问题3』
（1）【典例3】是一元二次函数（或幂函数）)性质及运用的问题，解答这类问题时应该理解并掌握一元二次函数（或幂函数）的性质，注意结合一元二次函数（或幂函数）的图像；
（2）二次函数f(x)=
a+bx+c(a≠0)的性质与一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，一元二次不等式a+bx+c＞0（或a+bx+c＜0)
(a≠0)的知识密切联系在一起，解答问题时应注意结合一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，一元二次不等式a+bx+c＞0（或a+bx+c＜0)
(a≠0)的相关知识；
（3）幂函数y=的性质是由a的取值来确定的，对于常数a一般有：①a>0；②
a<0两种情况；
（4）运用幂函数y=的性质应从如下几个方面入手：①根据常数a的取值弄清幂函数y=的图像；②分辨清楚幂函数y=的图像在第一象限的凹、凸性；③判别幂函数y=的奇偶性；
（5）比较幂值大小的常见类型有：①底数相同，指数不同，比较的基本方法是运用指数函数的单调性进行比较；②底数不同，指数相同，比较的基本方法是运用幂函数的单调性进行比较；③底数不同，指数也不相同，比较的基本方法是确定一个中间值，再将两个幂值与中间值进行比较，然后得出结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知幂函数y=，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则实数a的取值范围是（
）
A
0＜a＜1
B
a＜1
C
0＜a
D
a＜0
2、下列幂函数中图像过点（0，0），（1，1），且是偶函数的是（
）
A
y=
B
y=
C
y=
D
y=
3、下列关系中正确的是（
）
A
＜＜
B
＜＜
C
＜＜
D
＜＜
4、下列函数中定义域和值域不同的函数是（
）
A
y=
B
y=
C
y=
D
y=
5、幂函数y=(mZ)的图像如图所示，
y
则m的值为（
）
|
1
|
A
3
B
0
C
1
D
2
-1
0
1
x
6、已知x∈［-1，1］时,
f(x)=
-ax+＞0恒成立，则实数a的取值范围是（
）
A
（0，2）
B
（2，+）
C
（0，+）
D
（0，4）
7、已知幂函数y=（m）的图像与X轴、Y轴无交点且关于原点对称，则m=
；
8、已知幂函数y=f(x)的图像过点（，），则lgf(2)+lgf(5)=
；
9、已知幂函数f(x)=
若f(a+1)
＜f(10-2a)，则a的取值范围是
；
10、函数y=
的定义域是
；
11、已知f(x)=
-
-2，f(-2014)=5，则f(2014)=
；
12、若函数f(x)=
（a＞0，且a
1）在［-1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)=（1-4m）在〔0，+∞）上是增函数，则a=
；
13、设二次函数f(x)=
a-2x+2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，则实数a的取值范围为
；
14、比较下列各组数的大小：
（1）和；
（2）和；
（3）和。
15、证明幂函数y=在区间〔0，+∞）上是增函数，在区间(-∞,0〕上是减函数；
16、已知幂函数y=（m），的图像关于Y轴对称，且在（0，+）上函数值随x的增大而减小，求满足＜的a的取值范围。
17、已知二次函数f(x)=
+(a+1)x+3在区间（2，3）上是增函数，求f(3)的取值范围；
18、已知函数f(x)=
的定义域是R，求实数a的取值范围。
【典例4】解答下列问题：
1、求函数f(x)=2+3x+1在区间〔2，3〕上的最大值与最小值；
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②求函数最值的基本方法。
【解题思路】运用一元二次函数的性质和求函数最值的基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)的最大值和最小值。
【详细解答】函数f(x)图像的对称轴为x=-
=-
，
函数f(x)在区间〔2，3〕上单调递增，
=
f(3)=29+33+1=28，=
f(2)=24+32+1=15，函数f(x)=2+3x+1在区间〔2，3〕上的最大值为28，最小值为15。
2、设函数f(x)=4-4ax+-2a+2在区间〔0，2〕上有最小值3，求a的值；
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②求函数最值的基本方法。
【解题思路】运用一元二次函数的性质和求函数最值的基本方法，结合问题条件根据对称轴的位置分情况得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】函数f(x)图像的对称轴x=-
=
，①当<0，即a<0时，函数f(x)在区间〔0，2〕上单调递增，=
f(0)=40-4a0+-2a+2=-2a+2=3，a=1-；②当0<2，即0a<4时，=
f()=4-4a+-2a+2=-2a+2=3，此时无解；③当2，即a4时，函数f(x)在区间〔0，2〕上单调递减，=
f(2)=44-4a2+-2a+2=-10a+18=3，a=5+，综上所述，若函数f(x)=4-4ax
+-2a+2在区间〔0，2〕上有最小值3，则a的值为1-或5+。
3、已知函数f(x)=a+2ax+1在区间［-1，2］上有最大值4，求实数a的值；
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②求函数最值的基本方法。
【解题思路】运用一元二次函数的性质和求函数最值的基本方法，结合问题条件根据对称轴的位置分情况得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】函数f(x)图像的对称轴x=-
=-1，①当a>0时，函数f(x)在区间〔-1，2〕上单调递增，=
f(2)=a4+2a2+1=8a+1=4，a=；②当a=0时，
f(x)=0+0+1
=1≠4，此时无解；③当a<0时，函数f(x)在区间〔-1，2〕上单调递减，=
f(-1)=a1+2a（-1）+1=-a+1=4，a=-3，综上所述，若函数f(x)
a+2ax+1在区间［-1，2］上有最大值4，则实数a的值为或-3。
4、已知函数f(x)=+3x-5，x∈〔t，t+1〕。
（1）求f(x)的最小值h(t)；
（2）求f(x)的最大值g(t)。
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②求函数最值的基本方法。
【解题思路】运用一元二次函数的性质和求函数最值的基本方法，结合问题条件根据对称轴的位置分情况得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】函数f(x)图像的对称轴x=-
=-
，①当t+1<-
，即t<-
时，函数f(x)在区间〔t，t+1〕上单调递减，=
g(t)=
f(t)=
+3t-5，=
h(t)=
f(t+1)=
+3(t+1)-5=
+5t-1；②当t<-
t<-
时，
f(t+1)=
+3(t+1)
-5=
+5t-1，f(t)=
+3t-5，f(t+1)-
f(t)=2t+4，
若-2t<-
，=
g(t)=
f(t+1)=
+3(t+1)-5=
+5t-1，若-
t<-2，=
g(t)=
f(t)=
+3t-5，=
h(t)=
f(-
)=+3（-）-5=-；③当t-
时，函数f(x)在区间〔t，t+1〕上单调递增，
=
g(t)=
f(t+1)=
+3(t+1)-5=
+5t-1，
=
h(t)=
f(t)=
+3t-5，综上所述，当t-2时，f(x)的最大值g(t)=
+5t-1，当t<-2时，f(x)的最大值g(t)=
+3t-5；当
t<-
时，f(x)的最小值h(t)=
+5t-1，当-
t<-
时，f(x)的最小值h(t)=-
，当t-
时，f(x)的最小值h(t)=
+3t-5。
5、已知函数f(x)=+2ax+2，x∈［-5，5］.
（1）当a=-1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f(x)在［-5，5］上是单调函数。
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②求函数最值的基本方法；③判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】（1）运用一元二次函数的性质和求函数最值的基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)的最大值和最小值；（2）运用一元二次函数的性质和判断函数单调性的基本方法，结合问题条件根据对称轴的位置分情况得到关于a的不等式，求解不等式就可求出a的取值范围。
【详细解答】（1）当a=-1时，函数f(x)=-2x+2图像的对称轴为x=-
=1，=
f(-5)=25-2
（-5）+2=37，=
f(1)=1-2
1+2=1；（2）函数f(x)=+2ax+2的对称轴为x=-
=-a，①当-a-5，即a5时，函数f(x)
在［-5，5］上单调递增；②当-a5，即a-5时，函数f(x)
在［-5，5］上单调递减，综上所述，若函数f(x)在［-5，5］上是单调函数，则实数a的取值范围是（-，-5]
[5，+）。
『思考问题4』
（1）【典例4】是求二次函数f(x)=
a+bx+c(a≠0)在闭区间〔p，q〕上的最值问题，解答这类问题首先应该明确影响二次函数f(x)=
a+bx+c(a≠0)在闭区间〔p，q〕上的最值的因素，其次是确定二次函数f(x)=
a+bx+c(a≠0)在闭区间〔p，q〕上的单调性；
（2）二次函数f(x)=
a+bx+c(a≠0)在闭区间〔p，q〕上的最值问题主要包括：①对称轴不确定，区间确定；②对称轴确定，区间不确定；③对称轴和区间都不确定三种类型；
（3）在区间内同时讨论最大值和最小值问题时应分：①对称轴在闭区间的左边或过左端点；②对称轴在闭区间之间并靠近左端点；③对称轴在闭区间之间并靠近右端点；
④
对称轴在闭区间的右边或过右端点四种情况来讨论。
〔练习4〕解答下列问题：
1、求函数f(x)=3+2x+2在区间〔2，5〕上的最大值与最小值；
2、已知函数f(x)=a-2x(0
x
1)，求函数f(x)的最小值；
3、已知函数f(x)=4-4ax+-2a+2在区间〔1，3〕上有最大值2，求a的值，
4、若函数f(x)=1-2a-2acosx-2sinx的最小值为g(x)。
（1）求g(x)的表达式；
（2）求能使g(x)=
的a值，并求出当a取此值时，f(x)的最大值。
【典例5】解答下列问题：
1、函数f(x)=
-
的零点个数为（
）
A
0
B
1
C
2
D
3
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②幂函数的定义与性质；③确定函数零点的基本方法。
【解题思路】运用确定函数零点的基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的零点就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=
-
=0，
h(x)=
y
=，设函数g(x)=
，h(x)=
，在
g(x)=
同一直角坐标系中作出函数g(x)，h(x)的图像如图
所示，由图知函数函数g(x)，h(x)的图像只有一个交点，函数f(x)=
-
只有一个零点，B正确，选B。
2、
函数f(x)=-+4x-4在区间〔1，3〕上的零点情况是（
）
A
没有零点
B
有一个零点
C
有两个零点
D
有无数个零点
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②确定函数零点的基本方法。
【解题思路】运用一元二次函数的性质和确定函数零点的基本方法，结合问题条件求出函数f(x)
在区间〔1，3〕上的零点就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)
=-+4x-4图像的对称轴为x=-=2，f(1)=-1+4
1-4=-1<0，
f(2)=-4+4
2-4=0，f(3)=-9+4
3-4=-1<0，函数f(x)=-+4x-4在区间〔1，3〕上只有一个零点，B正确，选B。
3、已知关于x的方程（m+3）-4mx+2m-1=0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，则实数m的取值范围是
；
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②一元二次函数与一元二次方程的关系；③一元二次方程根的判别式及运用；④韦达定理及运用。
【解题思路】运用一元二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式和韦达定理，结合问题条件得到关于m的不等式组，求解不等式组就可求出实数m的取值范围。
【详细解答】关于x的方程（m+3）-4mx+2m-1=0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，=16-4（m+3）（2m-1）=8-20m+120①，且m+30②，<0③，
<0④，联立①②③④解得：-34、对于实数a和b，定义运算“”：ab=
-ab，a＞b，设f(x)=(2x-1)
（x-1），且关于-ab，ab，x的方程f(x)=m（m∈R）恰有三
个互不相等的实数根，，，则的取值范围是
；
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②确定函数零点的基本方法。
【解题思路】运用确定函数零点的基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的零点，，就可求出的取值范围。
-（2x-1）（x-1）=-+x，x>0，
【详细解答】
f(x)=(2x-1)
（x-1）=
-（2x-1）（x-1）=2-x，x0，作出函
数f(x)的图像如图所示，方程f(x)=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根，，，
由图知0，（，0），+=2=1，且>0，>0，0<.
<=，<<0，0<-<，0<-..<，<
..<0，即的取值范围是（，0）。
5、已知关于x的二次方程+2mx+2m+1=0，若方程有两根，其中一根在区间（-1,0）内，另一根在区间（1，2）内，求实数m的取值范围；
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②一元二次函数与一元二次方程的关系；③一元二次方程根的判别式及运用；④韦达定理及运用。
【解题思路】运用元二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式和韦达定理，结合问题条件得到关于m的不等式组，求解不等式组就可求出实数m的取值范围。
【详细解答】根据题意作出函数f(x)的大致图像如图
所示，关于x的二次方程+2mx+2m+1=0有两根，
y
其中一根在区间（-1,0）内，另一根在区间（1，2）内，
=4-4（2m+1）=4-8m-40①，且f(-1).
f(0)
-1
0
1
2
x
=（1-2m+1）（2m+1）=-4+2m+2＜0②，f(1).f(2)=（1+2m+2m+1）(4+4m+1)=16+28m+10＜0③，联立①②③解得：-＜m＜-,若关于x的二次方程+2mx+2m+1=0有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，则实数m的取值范围是（-，-）。
6、已知a是实数，函数f(x)=2a+2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间〔-1,1〕上有零点，求实数a的取值范围。
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②一元二次函数与一元二次方程的关系；③一元二次方程根的判别式及运用；④韦达定理及运用。
【解题思路】运用元二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式和韦达定理，结合问题条件得到关于实数a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】函数f(x)=2a+2x-3-a在区间〔-1,1〕上有零点，=4+8a（3+a）=8+24a+4
0①，且f(-1).
f(1)=(2a-2-3-a)(2a+2-3-a)=（a-5）(a-1)＜0②，联立①②解得：a＜5，函数f(x)=2a+2x-3-a在区间〔-1,1〕上有零点，实数a的取值范围是［，5）。
『思考问题5』
（1）【典例5】是一元二次函数f(x)=
a+bx+c(a≠0)
（或幂函数f(x)=
）的综合问题，解答时应分清综合问题属于哪一类型，具体涉及到哪些相关知识；
（2）一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式之间具有特定的联系，解答一元二次函数综合问题时应该注意三者之间的这种特有的关系，灵活运用相关的数学知识对问题进行快捷，准确的解答。
〔练习5〕解答下列问题：
1、函数f(x)=
-
的零点个数为（
）
A
0
B
1
C
2
D
3
2、函数f(x)=-+2x-2在区间〔0,2〕上的零点情况是（
）
A
没有零点
B
有一个零点
C
有两个零点
D
有无数个零点
3、已知m是实数，函数f(x)=m+2x-3+m，如果函数y=f(x)在区间〔-1,1〕上有零点，求实数m的取值范围；
4、已知关于x的二次方程+mx+m+1=0，若方程有两根，其中一根在区间（-2，0）内，另一根在区间（2，3）内，求实数m的取值范围。

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