资源简介 24.2.2直线和圆的位置关系(第3课时)自主预习1.如图,⊙O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的( )A.三条边的垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点1题图2题图2.如图,P为⊙O外一点,PA,PB分别切⊙O于A,B两点,若PA=3,则PB=( )A.2B.3C.4D.53.已知I为△ABC的内心,∠B=50O,则∠AIC=.4.等边三角形内切圆半径与外接圆半径之比是.互动训练知识点一:切线长定理1.如图,PA、PB分别切圆O于A、B,并与圆O的切线,分别相交于C、D,已知△PCD的周长等于10cm,则PA= cm.1题图2题图4题图2.如图所示,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点,直线OP交⊙O于D,E,交AB于C,图中互相垂直的线段有.(只需写出一对线段)3.过⊙O外一点P,可以作()条⊙O的切线.A.0条B.1条C.2条D.1条或2条4.如图所示,PA切⊙O于A,PB切⊙O于B,OP交⊙O于C,下列结论中错误的是().A.∠1=∠2B.PA=PBC.AB⊥OCD.∠PAB=∠APB5.如图,AB、AC、BD是⊙O的切线,切点分别是P、C、D.若AB=5,AC=3,则BD的长是( )A.4B.3C.2D.15题图6题图7题图6.如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为( )A.44B.42C.46D.477.如图,⊙O为△ABC的内切圆,AC=10,AB=8,BC=9,点D、E分别为BC、AC上的点,且DE为⊙O的切线,则△CDE的周长为( )A.9B.7C.11D.88.如图所示,PA,PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,连接PO,交⊙O于点D,交AB于点C,根据以上条件,请写出三个你认为正确的结论,并对其中的一个结论给予证明.8题图知识点二:三角形的内切圆及内心的性质9.如图所示,⊙O内切于Rt△ABC,∠C=90°,D,E,F为切点,若∠BOC=105°,则∠A=,∠ABC=.9题图10题图11题图10.如图所示,等边△ABC的内切圆面积为9,则△ABC的周长为.11.如图,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为D、E、F,∠B=50°,∠C=60°,则∠EDF= .12.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,若AB、BC、CA的长分别为5cm、4cm、3cm,则△ABC的内切圆半径为 .12题图13题图14题图13.如图,△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F,且AD=2,BC=5,则△ABC的周长为 .14.如图,点I是△ABC的内心,∠BIC=130°,则∠BAC=( )A.60°B.65°C.70°D.80°15.如图所示,△ABC中,内切圆I和边BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,若∠FDE=70°,求∠A的度数.15题图16.如图所示,已知△ABC的内心为I,外心为O.(1)试找出∠A与∠BOC,∠A与∠BIC的数量关系.(2)由(1)题的结论写出∠BOC与∠BIC的关系.16题图课时达标1.如图,已知PA、PB分别切⊙O于A、B两点,C是AB上任一点,过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E,若△PDE的周长为12,则PA长为_______.1题图2题图2.如图,已知⊙O是△ABC的内切圆,且∠ABC=50°,∠ACB=80°,则∠BOC=.3.△ABC的内切圆⊙O与AC、BC、AB分别切于D、F、E,且AB=6cm,BC=11cm,AC=7cm,则AE=_____cm,BF=_______cm.CD=_______cm.4.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边,则该三角形为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形5.如图,已知PA、PB是⊙O的切线,AC是⊙O的直径,∠P=40°,则∠BAC的大小是()A.70°B.40°C.50°D.20°5题图6题图7题图6.如图,PA、PB为圆O的切线,切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D,下列结论不一定成立的是()A.PA=PBB.∠BPD=∠APDC.AB⊥PDD.AB平分PD7.(2020·重庆北碚)如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PA=AO,PD与⊙O相切于点D,BC⊥AB交PD的延长线于点C,若⊙O的半径为1,则BC的长是( )A.1.5B.2C.D.8.以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点F,交AD边于点E,若△CDE的周长为12,则直角梯形ABCE周长为()A.14B.10C.8D.128题图9题图10题图9.如图,⊙O内切于△ABC,切点分别为D、E、F,.已知∠B=50°,∠C=60°,连结OE、OF、DE、DF,那么∠EDF等于( )A.40°B.55°C.65°D.70°10.如图,⊙O为Rt△ABC的内切圆,∠C=90°,若∠BOC=105°,AB=4cm,求∠OBC的度数与BC的长.11.如图,直尺、三角尺都和⊙O相切,AB=8cm.求⊙O的直径.11题图12.如图,⊙O分别切△ABC的三边AB,BC,CA于点D,E,F,若BC=a,AC=b,AB=c.求:(1)AD、DE、CF的长;(2)当∠C=90°时,内切圆的半径长为多少?12题图13.如图,直线AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,且AB∥CD,OB=6cm,OC=8cm.求:(1)∠BOC的度数;(2)BE+CG的长;(3)求⊙O的半径.13题图拓展探究1.如图,⊙O是四边形ABCD的内切圆,连接OA、OB、OC、OD.若∠AOB=110°,则∠COD的度数是 °.1题图2题图2.如图,已知AB、AC分别是⊙O的直径和弦,D为劣弧AC上一点,DE⊥AB于点H,交⊙O于E,交AC于点F,P为ED延长线上一点.当△PCF满足什么条件时,PC与⊙O相切,请说明理由.3.如图,在△ABC中,内切圆⊙I与AB,BC,CA分别相切于点F,D,E,连接BI,CI,FD,ED.(1)若∠A=40°,求∠BIC与∠FDE的度数;(2)若∠BIC=α,∠FDE=β,试猜想α,β的关系,并直接写出你的结论.3题图24.2.2直线和圆的位置关系(第3课时)自主预习1.B.2.B.3.115°4.1:2互动训练1.5.解析:如图,设DC与⊙O的切点为E;1题图∵PA、PB分别是⊙O的切线,且切点为A、B,∴PA=PB;同理,可得:DE=DA,CE=CB;则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10(cm);∴PA=PB=5cm,故答案为:5.2.PD⊥AB(或OA⊥AP,OB⊥PB)3.C.4.D.5.C.解析:∵AC、AP为⊙O的切线,∴AC=AP=3,∵BP、BD为⊙O的切线,∴BP=BD,∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2.故选:C.6.A.解析:∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形,∴AD+BC=AB+CD=22,∴四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=44,故选:A.7.C.解析:设AB,AC,BC和圆的切点分别是P,N,M,CM=x,根据切线长定理,得CN=CM=x,BM=BP=9﹣x,AN=AP=10﹣x.则有9﹣x+10﹣x=8,解得:x=5.5.所以△CDE的周长=CD+CE+QF+DQ=2x=11.故选:C.7题图8.如图所示,结论:①∠AOP=∠BOP或∠AOP=∠BPO5;②OP⊥AB;③AC=BC.8题图证明②:∵PA、PB是⊙O的切线,∴OA⊥PA,OB⊥PB,∴∠OAP=∠OBP.又OA=OB,OP=OP.∴△OAP≌△OBP,∴PA=PB,∠PAB=∠PBA,∴OP⊥AB.9.30°,60°.10.18.11.55°.解析:如图所示,连接OE,OF.∵∠B=50°,∠C=60°,∴∠A=180°﹣50°﹣60°=70°.∵AB是圆O的切线,∴∠OFA=90°.同理∠OEA=90°.∴∠A+∠EOF=180°.∴∠EOF=110°.∴∠EDF=55°,故答案为:55°.12.1.解析:连接圆心O和各个切点.∵Rt△ABC中,∠C=90°,c=5,b=3,∴a=4,∵⊙O为△ABC的内切圆,∴AE=AD,CE=CF,BD=BF,OE⊥AC,OF⊥BC,∴∠OFC=∠OEC=∠C=90°,∴四边形OECF是矩形;∵OE=OF,∴四边形OECF是正方形;∵⊙O的半径为r,∴CE=CF=r,AE=AD=3﹣r,BD=BF=4﹣r,∴3﹣r+4﹣r=5,∴r=1,∴△ABC的内切圆的半径r=1.故答案为:1.12题图13.14.解析:△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F,∴AF=AD=2,BD=BE,CF=CE,∴BD+CF=BE+CE=BC=5,∴△ABC的周长=AD+DB+BC+CF+AF=AD+AF+BC+(BD+CF)=14,故答案为:14.14.D.解析:∵点I是△ABC的内心,∴∠ABC=2∠IBC,∠ACB=2∠ICB,∵∠BIC=130°,∴∠IBC+∠ICB=180°﹣∠CIB=50°,∴∠ABC+∠ACB=2×50°=100°,∴∠BAC=180°﹣(∠ACB+∠ABC)=80°.故选D.15.解:连接IE,IF,则∠A=180°-∠FIE=180°-2∠FDE=40°.16.解:(1)如本题图,∠A为⊙O中弧BC所对的圆周角,由圆周角定理得∠A=∠BOC.∵I是△ABC的内心,∴∠IBC=∠ABC,∠ICB=∠ACB.∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∠IBC+∠ICB+∠BIC=180°,∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A.(2)由(1)得∠BIC=90°+∠A=90°+×∠BOC=90°+∠BOC.课时达标1.6.2.115.3.1,5,6.4.B5.D6.D.解析:∵PA,PB是⊙O的切线,∴PA=PB,所以A成立;∠BPD=∠APD,所以B成立;∴AB⊥PD,所以C成立;∵PA,PB是⊙O的切线,∴AB⊥PD,且AC=BC,只有当AD∥PB,BD∥PA时,AB平分PD,所以D不一定成立,故选D.7.D.解析:连接OD,如图,∵PC切⊙O于D,∴∠ODP=90°∵⊙O的半径为1,PA=AO,AB是⊙O的直径∴PO=1+1=2,OD=1,∴∠P=30°,∠C=60°,∵BC⊥AB,AB过O,∴BC切⊙O于B,∵PC切⊙O于D,∴CD=BC.在Rt△PBC中,PB=1+1+1=3,∠P=30°,∴PC=2BC,由勾股定理得:PC2=PB2+BC2即:4BC2=32+BC2,BC=,故选:D7题图8.A.解析:设AE的长为x,正方形ABCD的边长为a,∵CE与半圆O相切于点F,∴AE=EF,BC=CF,∵EF+FC+CD+ED=12,∴AE+ED+CD+BC=12,∵AD=CD=BC=AB,∴正方形ABCD的边长为4;在Rt△CDE中,ED2+CD2=CE2,即(4-x)2+42=(4+x)2,解得:x=1,∵AE+EF+FC+BC+AB=14,∴直角梯形ABCE周长为14.故选:A.9.B.10.BC=AB=2cm11.解:如图,连接OE,OA,OB.∵AC,AB都是⊙O的切线,切点分别是点E,B,∴∠OBA=90°,∠OAE=∠OAB=∠BAC.∵∠CAD=60°,∴∠BAC=120°,∴∠OAB=×120°=60°,∴∠BOA=30°,∴OA=2AB=16(cm).由勾股定理,得OB==8(cm),∴⊙O的直径是16cm.11题图12.解:(1)设AD=x,BE=y,CF=z,由切线长性质可知:AD=AF,BD=BE,CE=CF.则有解得即AD=,CF=.(2)如图所示,设⊙O内切于Rt△ABC,切点分别为D,E,F,连接OD,OE,OF,则OD⊥AC,OF⊥AB,OE⊥BC.12题图∵∠C=90°,∴四边形ODCE为正方形,则CD=CE=r,AD=AF=b-r,BF=BE=a-r,而AF+BF=c,∴b-r+a-r=c,∴r=.13.解:(1)根据切线长定理,得BE=BF,CF=CG,∠OBF=∠OBE,∠OCF=∠OCG.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∴∠OBF+∠OCF=90°,∴∠BOC=90°.(2)由(1)知,∠BOC=90°.∵OB=6cm,OC=8cm,∴BC==10(cm).∴BE+CG=BF+CF=BC=10cm.(3)如答图,连接OF,则OF⊥BC,13题图∴OF==4.8(cm).即⊙O的半径为4.8cm.拓展探究1.70°.解析:如图,连接圆心与各切点,在Rt△DEO和Rt△DFO中,DO=DO,DE=DF,∴Rt△DEO≌Rt△DFO(HL),∴∠1=∠2,同理可得:Rt△AFO≌Rt△AMO,Rt△BMO≌Rt△BNO,Rt△CEO≌Rt△CNO,∴∠3=∠4,∠5=∠7,∠6=∠8,∴∠5+∠6=∠7+∠8=110°,∴2∠2+2∠3=360°﹣2×110°,∴∠2+∠3=∠DOC=70°.故答案为:70°.1题图2题图2.当△PCF为等腰三角形,PC=PF时,PC与⊙O相切.当PC=PF时,∠PCF=∠PFC,∵DE⊥AB,∴∠FAO+∠AFH=90°,∴∠FAO+∠PFC=90°,即∠FAO+∠PCF=90°,又OA=OC,∴∠FAO=∠ACO∴∠ACO+∠PCF=90°,∴PC与⊙O相切于C.3.解:(1)∵⊙I是△ABC的内切圆,∴∠IBC=∠ABC,∠ICB=∠ACB,∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB).∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°,∴∠IBC+∠ICB=70°,∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=110°.如图,连接IF,IE.3题图∵⊙I是△ABC的内切圆,∴∠IFA=∠IEA=90°.∵∠A=40°,∴∠FIE=360°-∠IFA-∠IEA-∠A=140°,∴∠FDE=∠FIE=70°.(2)α+β=180°. 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