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万有引力与航天
1.(2020·山东等级考模拟)2019年10月28日发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同一直线，此时是观察天王星的最佳时间．已知日地距离为R0，天王星和地球的公转周期分别为T和T0，则天王星与太阳的距离为(　　)
A.))R0　　　　　　 B.))R0
C.,T2))R0 D.,T3))R0
解析：选A.由开普勒第三定律可知：＝,T)，所以R＝))R0.
考情分析
典题再现
2.(多选)(2019·高考全国卷Ⅰ)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示．在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a－x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体．已知星球M的半径是星球N的3倍，则(　　)
A.M与N的密度相等
B.Q的质量是P的3倍
C.Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D.Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
解析：选AC.设P、Q的质量分别为mP、mQ；M、N的质量分别为M1、M2，半径分别为R1、R2，密度分别为ρ1、ρ2；M、N表面的重力加速度分别为g1、g2.在星球M上，弹簧压缩量为0时有mPg1＝3mPa0，所以g1＝3a0＝G)等，密度ρ1＝)＝；在星球N上，弹簧压缩量为0时有mQg2＝mQa0，所以g2＝a0＝G)，密度ρ2＝)＝；因为R1＝3R2，所以有ρ1＝ρ2，选项A正确．当物体的加速度为0时有mPg1＝3mPa0＝kx0，mQg2＝mQa0＝2kx0，解得mQ＝6mP，选项B错误．根据a－x图线与坐标轴围成图形的面积和质量的乘积表示合外力做的功可知，EkmP＝mPa0x0，EkmQ＝mQa0x0，所以EkmQ＝4EkmP，选项C正确．根据运动的对称性可知，Q下落时弹簧的最大压缩量为4x0，P下落时弹簧的最大压缩量为2x0，选项D错误.
考情分析
典题再现
3.(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是(　　)
解析：选D.在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小但并不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图象是D.
考情分析
命题研究
天体运动规律及万有引力定律的应用是高考全国卷每年必考内容，考查方向很广泛，从天体质量或密度的计算、行星运动规律的分析，到同步卫星、双星、宇宙速度的求解、变轨问题等，均在考查范围之内；山东模考对该部分也有考查，在备考中要注重复习解答天体运动的两条思路、开普勒定律等核心知识点，并关注一些天体学中的前沿知识点，近几年中国及世界空间技术和宇宙探索为背景的题目备受青睐，会形成新情景的物理题
　万有引力定律及天体质量和密度的求解
【高分快攻】
1．自力更生法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由G＝mg得天体质量M＝.
天体密度：ρ＝＝＝.
2．借助外援法：通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
(1)由G＝m得天体的质量为M＝.
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝.
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运行的周期T，就可估算出中心天体的密度．
【典题例析】
(2018·高考全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A．5×109 kg/m3　　　　　
B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3
D．5×1018 kg/m3
[解析]　毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据G＝m，M＝ρ·πR3，得ρ＝，代入数据解得ρ≈5×1015 kg/m3，C正确．
[答案]　C
【题组突破】
角度1　万有引力定律的应用
1．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示，一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则选项所示的四个F随x变化的关系图中正确的是(　　)
解析：选A.因为质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，则在距离球心x处(x≤R)物体所受的引力为F＝＝＝Gπρmx∝x，故F－x图线是过原点的直线；当x>R时，F＝＝＝∝，故选项A正确．
角度2　天体质量的计算
2．(多选)(2019·大连模拟)宇航员抵达一半径为R的星球后，做了如下的实验：取一根细绳穿过光滑的细直管，细绳的一端拴一质量为m的砝码，另一端连
接在一固定的拉力传感器上，手捏细直管抡动砝码，使它在竖直平面内做圆周运动．若该星球表面没有空气，不计阻力，停止抡动细直管，砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动，如图所示，此时拉力传感器显示砝码运动到最低点与最高点两位置时读数差的绝对值为ΔF.已知万有引力常量为G，根据题中提供的条件和测量结果，可知(　　)
A．该星球表面的重力加速度为
B．该星球表面的重力加速度为
C．该星球的质量为
D．该星球的质量为
解析：选BC.设砝码在最高点的速率为v1，受到的弹力为F1，在最低点的速率为v2，受到的弹力为F2，则有
F1＋mg＝m,R)，F2－mg＝m,R)
砝码由最高点到最低点，由机械能守恒定律得：
mg·2R＋mv＝mv
拉力传感器读数差为ΔF＝F2－F1＝6mg
故星球表面的重力加速度为g＝，A错误，B正确；
在星球表面附近有：
G＝mg，则M＝，故C正确，D错误．
　卫星运行参量的分析
【高分快攻】
1．在讨论有关卫星的运动规律时，关键要明确向心力、轨道半径、线速度、角速度、周期和向心加速度，彼此影响、互相联系，只要其中一个量确定了，其他的量也就不变了；只要一个量发生了变化，其他的量也随之变化．
2．不管是定性分析还是定量计算，必须抓住卫星运动的特点．万有引力提供卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力，根据G＝m＝mω2r＝mr ＝ma求出相应物理量的表达式即可讨论或求解，需要注意的是a、v、ω、T均与卫星质量无关．
3．两种卫星的特点
(1)近地卫星
①轨道半径＝地球半径．
②卫星所受万有引力＝mg.
③卫星向心加速度＝g.
(2)同步卫星
①同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期．
②所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上．
【典题例析】
(2019·高考天津卷)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”．已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的(　　 )
A．周期为 　　　　
B．动能为
C．角速度为
D．向心加速度为
[解析]　嫦娥四号探测器环绕月球做匀速圆周运动时，万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，有＝mω2r＝m＝mr＝ma，解得ω＝、v＝、T＝、a＝，则嫦娥四号探测器的动能为Ek＝mv2＝，由以上可知A正确，B、C、D错误．
[答案]　A
【题组突破】
角度1　卫星轨道上物理参量的比较
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火．已知它们的轨道半径R金A．a金>a地>a火 B．a火>a地>a金
C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金
解析：选A.金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G＝ma，解得a＝G，结合题中R金a地>a火，选项A正确，B错误；同理，有G＝m，解得v＝，再结合题中R金v地>v火，选项C、D均错误．
角度2　三种宇宙速度及其应用
2．使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1.已知某星球的半径为地球半径R的4倍，质量为地球质量M的2倍，地球表面重力加速度为g.不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．　
解析：选C.设在地球表面飞行的卫星质量为m，由万有引力提供向心力得＝，又由G＝mg，解得地球的第一宇宙速度为v1＝ ＝；设该星球的第一宇宙速度为v′1，根据题意，有＝×＝；由题意知第二宇宙速度v2＝v1，联立得该星球的第二宇宙速度为v′2＝，故A、B、D错误，C正确．
角度3　同步卫星的特点
3．(2019·高考北京卷)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)．该卫星(　　)
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
解析：选D.同步卫星只能位于赤道正上方，A项错误；由＝知，卫星的轨道半径越大，卫星做匀速圆周运动的线速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B项错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C项错误；若发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较小，D项正确．
命题角度 解决方法 易错辨析
天体运行参量分析 由万有引力提供向心力求解 分清做哪种圆周运动来确定是根据万有引力提供向心力来计算还是作为整体来计算
宇宙速度的计算 由万有引力定律结合“黄金代换”联立求解 一定是针对圆周运动而言
同步卫星的特点 从周期入手分析其他运动参量 掌握几个定量关系的数值
　
　卫星变轨与对接问题
【高分快攻】
人造卫星变轨过程中各物理量的分析比较
人造卫星的发射过程要经过多次变轨，过程简图如图所示．
1．变轨原理：卫星绕中心天体稳定运动时，万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，有G＝m.当由于某种原因卫星速度v突然增大时，有G＜m，卫星将偏离圆轨道做离心运动；当v突然减小时，有G＞m，卫星将做向心运动．
2．各物理量的比较
(1)两个不同轨道的“切点”处线速度v不相等．图中vⅢ＞vⅡB，vⅡA＞vⅠ.
(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度v大小不相等．从远地点到近地点万有引力对卫星做正功，动能增大(引力势能减小)．图中vⅡA＞vⅡB，EkⅡA＞EkⅡB，EpⅡA＜EpⅡB.
(3)两个不同圆轨道上线速度v大小不相等．轨道半径越大，v越小，图中vⅠ＞vⅢ.
(4)不同轨道上运行周期T不相等．根据开普勒行星运动第三定律＝k，内侧轨道的运行周期小于外侧轨道的运行周期．图中TⅠ＜TⅡ＜TⅢ.
(5)卫星在不同轨道上的机械能E不相等，“高轨高能，低轨低能”．卫星变轨过程中机械能不守恒．图中EⅠ＜EⅡ＜EⅢ.
(6)在分析卫星运行的加速度时，只要卫星与中心天体的距离不变，其加速度大小(由万有引力提供)就一定与轨道形状无关，图中aⅢ＝aⅡB，aⅡA＝aⅠ.
【典题例析】
(2019·临沂市质检)2019年春节期间，中国科幻电影里程碑的作品《流浪地球》热播．影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程如图所示，地球在椭圆轨道 Ⅰ 上运行到远日点B变轨，进入圆形轨道 Ⅱ .在圆形轨道 Ⅱ 上运行到B点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳束缚．对于该过程，下列说法正确的是(　　)
A．沿轨道Ⅰ运动至B点时，需向前喷气减速才能进入轨道Ⅱ
B．沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运动的周期
C．沿轨道Ⅰ运行时，在A点的加速度小于在B点的加速度
D．在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程，速率逐渐增大
[解析]　沿轨道Ⅰ运动至B点时，需向后喷气加速才能进入轨道Ⅱ，A错误；因在轨道Ⅰ的半长轴小于轨道Ⅱ的运动半径，根据开普勒第三定律可知，沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期，B正确；根据a＝可知，沿轨道Ⅰ运行时，在A点的加速度大于在B点的加速度，
C错误；根据开普勒第二定律可知，在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程，速度逐渐减小，D错误．
[答案]　B
(多选)在发射一颗质量为m的地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为h的预定圆轨道Ⅲ上．已知卫星在圆形轨道Ⅰ上运行的加速度为g，地球半径为R，卫星在变轨过程中质量不变，则(　　)
A．卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度大小为g
B．卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度大小为
C．卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P点的速率
D．卫星在轨道Ⅲ上做匀速圆周运动的动能大于在轨道Ⅰ上的动能
解析：选BC.设地球质量为M，由万有引力提供向心力得在轨道Ⅰ上有G＝mg，在轨道Ⅲ上有G＝ma，所以a＝g，A错误；又因a＝，所以v＝，B正确；卫星由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要加速做离心运动，所以卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P点的速率，C正确；尽管卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅲ要在P、Q点各加速一次，但在圆形轨道上稳定运行时的速度v＝，由动能表达式知卫星在轨道Ⅲ上的动能小于在轨道Ⅰ上的动能，D错误．
　双星与多星问题
【高分快攻】
1．宇宙双星模型
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2.
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即 T1 ＝ T2, ω1＝ω2.
(3)两颗星的运行半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2 与星体质量成反比，即＝.
(5)双星的运动周期 T＝2π.
(6)双星的总质量公式 m1＋m2＝.
2．宇宙三星模型
(1)如图1所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动， 另外两颗行星围绕它做圆周运动．这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡，运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：＋＝ ma向．两行星运行的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．
(2)如图2所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动．每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供，即×2×cos 30°＝ma向，其中L＝ 2rcos 30°. 三颗行星运行的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．
3．双星与多星问题的解题思路
(1)记忆口诀：N 星系统周期同，受力源自其他星；几何关系找半径，第二定律列方程．
(2)思维导图
【典题例析】
2018年12月7日是我国发射“悟空”探测卫星三周年的日子，该卫星的发射为人类对暗物质的研究做出了重大贡献．假设两颗质量相等的星球绕其球心连线中点转动，理论计算的周期与实际观测的周期有出入，且＝(n>1)，科学家推测，在以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，设两星球球心连线长度为L，质量均为m，据此推测，暗物质的质量为(　　)
A．(n－1)m　　　　　　　　 B．nm
C.m D.m
[解析]　双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，理论上，由相互间的万有引力提供向心力得：G＝m)·，解得：T理论＝πL.根据观测结果，＝(n>
1)，这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m′，位于中点O处的质点的作用相同．则有：G＋＝m)·，解得：T观测＝πL，联立解得：m′＝m.
[答案]　D
(2019·青岛模拟)2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波的存在，引力波的发现将为人类探索宇宙提供新视角，这是一个划时代的发现．在如图所示的双星系统中，A、B两个恒星靠着相互之间的引力正在做匀速圆周运动，已知恒星A的质量为太阳质量的29倍，恒星B的质量为太阳质量的36倍，两星之间的距离L＝2×105m，太阳质量M＝2×1030kg，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，π2＝10.若两星在环绕过程中会辐射出引力波，该引力波的频率与两星做圆周运动的频率具有相同的数量级，则根据题目所给信息估算该引力波频率的数量级是(　　)
A．102Hz B．104Hz
C．106Hz D．108Hz
解析：选A.A、B的周期相同，角速度相等，靠相互之间的引力提供向心力
有G＝MArA①
G＝MBrB②
有MArA＝MBrB，rA＋rB＝L
解得rA＝L＝L.
由①得T＝
则f＝＝
＝Hz≈1.6×102Hz.

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