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2011年高考试题解析数学（文科）分项版
17 选修系列：矩阵与变换
2011年高考江苏卷21选修42:矩阵与变换(本小题满分10分)
已知矩阵A
求向量a,使得A2c=6
解析:考察矩阵的乘法、待定系数法,容易颞。设c
4x+3y=22011年高考试题解析数学（文科）分项版
18 选修系列：坐标系与参数方程
一、填空题:
1．(2011年高考广东卷文科14)（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为（0≤ 和
（t∈R），它们的交点坐标为 ．
3.（2011年高考陕西卷文科15) C. （坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B分别在曲线 （为参数）和曲线上，则的最小值为________.
【答案】1
【解析】：由得圆心为，由得圆心为，由平几知识知当为连线与两圆的交点时的最小值，则的最小值为
二、解答题:
4.(2011年高考江苏卷21)选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点且与直线（为参数）平行的直线的普通方程。
解：（Ⅰ）设动点，则依题意：，因为点M在曲线上，所以
所以，曲线的参数方程为（为参数）
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为
曲线的极坐标方程为，它们与射线交于A、B两点的极径分别是，因此，
点评：本题考查坐标系与参数方程的有关内容，求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解（关键要掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系）
6.（2011年高考辽宁卷文科23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）曲线C2的参数方程为（，为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点.当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合。
（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(II)设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1,当=-时，l与C1，
C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积。
故四边形与A1 A2B2B1 的面积为。2011年高考试题解析数学（文科）分项版
12 概率
一、选择题:
1. (2011年高考安徽卷文科9) 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于
（A） (B) (C) (D)
2. （2011年高考海南卷文科6)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为每位同学参加各个小组的可能性相等,所以所求概率为,选A.
3.（2011年高考浙江卷文科8)从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是
（A） （B） （C） （D）
【答案】 D
【解析】：无白球的概率是，至少有1个白球的概率为，故选D
4. （2011年高考福建卷文科7)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的重点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于
A． B. C. D.
【答案】C
【解析】这是一几何概型,所求概率为,故选C.
5. （2011年高考四川卷文科12)在集合中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量a=（a，b）从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为n，其中面积等于2的平行四边形的个数m，则=( )
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题：
6.(2011年高考江苏卷5)从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
【答案】
【解析】从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，所有可能的取法有6种, 满足“其中一个数是另一个的两倍”的所有可能的结果有(1,2),(2,4)共2种取法,所以其中一个数是另一个的两倍的概率是.
7．（2011年高考湖南卷文科15)已知圆直线
（1）圆的圆心到直线的距离为 ．
(2) 圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为 ．
答案：5，
解析：（1）由点到直线的距离公式可得；
（2）由（1）可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即与圆相交所得劣弧上，由半径为，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为，故所求概率为.
8. （2011年高考湖北卷文科13) 在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期的概率为 （结果用最简分数表示）
答案：
解析：因为30瓶饮料中未过期饮料有30-3=27瓶，故其概率为.
9．（2011年高考重庆卷文科14)从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为
【答案】
三、解答题：
9. （2011年高考山东卷文科18)（本小题满分12分）
甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.
（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
（II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.
（2）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共15种；选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为.
10. (2011年高考天津卷文科15)（本小题满分13分）
编号分别为的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:
运动员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
得分 15 35 21 28 25 36 18 34
运动员编号 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16
得分 17 26 25 33 22 12 31 38
(Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:
区间
人数
(Ⅱ)从得分在区间内的运动员中随机抽取2人,
用运动员编号列出所有可能的抽取结果;
求这2人得分之和大于50的概率.
【解析】(Ⅰ)4,6,6.
(Ⅱ)(i)解:得分在区间内的运动员编号为.从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:, ,, ,,,, ,,, ,,,,,共15种.
(ii)解:“从得分在区间内的运动员中随机抽取2人,这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有: ,, ,,,共5种.
所以P(B)=.
【命题意图】本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识,考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力.
11.（2011年高考江西卷文科16) (本小题满分12分）
某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5
杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工
一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3
杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
求此人被评为优秀的概率；
求此人被评为良好及以上的概率．
12．（2011年高考湖南卷文科18)（本题满分12分）
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5；已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．
（I）完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
（II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．
解：（I）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
（II）
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为．
13. （2011年高考四川卷文科17)（本小题共12分）
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲乙两人独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时.
（Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率.
解析：（Ⅰ）甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率的分别是，，故甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率都是.
（Ⅱ）设“甲、乙两人每次租车都不超过两小时”为事件A, “甲、乙两人每次租车一人不超过两小时，另一个人在两小时以上且不超过三小时还车”为事件B, 此时，所付的租车费用之和2元；“甲、乙两人每次租车都在两小时以上且不超过三小时还车”为事件C，此时，所付的租车费用之和4元；甲、乙两人每次租车一人不超过两小时，另一个人在三小时以上且不超过四小时还车”为事件D，此时，所付的租车费用之和4元；
则,,,.
因为事件A,B,C,D互斥，故甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率
.
所以甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率.
14. （2011年高考陕西卷文科20)（本小题满分13分）
如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位
从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
（Ⅰ）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
时间（分钟）
选择 6 12 18 12 12
选择 0 4 16 16 4
（Ⅱ ）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
（Ⅲ ）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径。
解：（Ⅰ）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，用频率估计相应的概率为0.44.
（Ⅱ ）选择的有60人，选择的有40人，故由调查结果得频率为：
时间（分钟）
的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
（ Ⅲ ），，分别表示甲选择和时，在40分钟内赶到火车站；，分别表示乙选择和时，在50分钟内赶到火车站。
由（Ⅱ）知 =0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5，
甲应选择
=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8， =0.1+0.4+0.4=0.9，，
∴ 乙应选择.
15．(2011年高考广东卷文科17)（本小题满分13分）
在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用表示编号为的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n 1 2 3 4 5
成绩 70 76 72 70 72
（1）求第6位同学成绩，及这6位同学成绩的标准差；
（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间中的概率．
【解析】
16. （2011年高考福建卷文科19)（本小题满分12分）
某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
x 1 2 3 4 5
f a 0.2 0.45 b c
若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；
（11） 在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1, x2, x3，等级系数为5的2件日用品记为y1,y2，现从x1, x2, x3, y1, y2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.
17. （2011年高考全国新课标卷文科19)（本小题满分12分）
某种产品以其质量指标值衡量，质量指标越大越好，且质量指标值大于102的产品为优质产品，现在用两种新配方（A配方、B配方）做试验，各生产了100件，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
频数 8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组
频数 4 12 42 32 8
分别估计使用A配方，B配方生产的产品的优质品的概率；
已知用B配方生产一件产品的利润与其质量指标的关系为：
估计用B配方生产上述产品平均每件的利润。
分析：用事件所在区间的频率估计值计算概率，再用题设利润表达式求利润。
解：（Ⅰ）由试验结果知：使用A配方生产的优质品的概率为；
使用B配方生产的优质品的概率为
(Ⅱ)有已知条件得，用B配方生产的利润大于0,；当且仅当其质量指标值，由试验结果知：的频率为0.96；所以用B配方生产一件产品利润大于0的概率估值为0.96；因此，用B配方生产一件产品利润为
点评：此题考查统计条件下事件的概率和利润，要熟练掌握概率统计的概念及其概率的计算，同时要学会分析问题和解决问题。
18.（2011年高考辽宁卷文科19) (本小题满分12分)
某农场计划种植某种新作物．为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种
乙)进行田间试验，选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中．随机
选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙
(Ⅰ)假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率：
(Ⅱ)试验时每大块地分成8小块．即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位kg／hm2)如下表：
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为
应该种植哪一品种
附：样本数据x1，x2，…，xa的样本方差，其中为样本平均数。
解析：（I）设第一大块地中的两小块地编号为1,2，第二大块地中的两小块地编号为3,4，令事件A=“第一大块地都种品种甲”，从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）。
而事件A包含1个基本事件：（1，2），所以P（A）=.
19.（2011年高考全国卷文科19) (本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)
根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；
(Ⅱ)求该地的3位车主中恰有一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。
【解析】设该车主购买乙种保险的概率为，由题：，解得
（Ⅰ）设所求概率为，则故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率为0.8.
（Ⅱ）对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为于是所求概率为：
20．（2011年高考重庆卷文科17)（本小题满分13分，（I）小问6分，（II）小问7分）
某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：
（I）没有人申请A片区房源的概率；
（II）每个片区的房源都有人申请的概率。
解：这是等可能性事件的概率计算问题。2011年高考试题解析数学（文科）分项版
16 选修系列：几何证明选讲
一、填空题:
1. (2011年高考天津卷文科13)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=,AF:FB:BE=4:2:1.若CE与圆相切,则线段CE的长为 .
【答案】
【解析】设AF=4x,BF==2x,BE=x,则由相交弦定理得:,即,即,由切割线定理得:,所以.
2．(2011年高考广东卷文科15)（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E、F分别为AD、BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 ．
【答案】
【解析】由题得EF是梯形的中位线，
3.（2011年高考陕西卷文科15) B.（几何证明选做题）如图，
且，，则=_______.
【答案】
【解析】：所以，
即
二、解答题：
4.(2011年高考江苏卷21)选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，圆与圆内切于点，其半径分别为与，
圆的弦交圆于点（不在上），
求证：为定值。
解析：考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题。
证明：由弦切角定理可得
5. （2011年高考全国新课标卷文科22)（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲
如图，D，E分别是AB,AC边上的点，且不与顶点重合，已知
为方程的两根，
证明 C,B,D,E四点共圆；
若，求C,B,D,E四点所在圆的半径。
6.（2011年高考辽宁卷文科22)（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED。
（I）证明：CD//AB；
（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆。
F
E
D
C
B
A
第22题图2011年高考试题解析数学（文科）分项版
05 三角函数
一、选择题:
1. （2011年高考山东卷文科3)若点（a,9）在函数的图象上，则tan=的值为
（A）0 (B) (C) 1 (D)
【答案】D
【解析】由题意知:9=,解得=2,所以,故选D.
2. （2011年高考山东卷文科6)若函数 (ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=
(A) (B) (C) 2 (D)3
4. （2011年高考海南卷文科11)设函数,则( )
A.在单调递增,其图象关于直线对称
B.在单调递增,其图象关于直线对称
C.在单调递减,其图象关于直线对称
D.在单调递减,其图象关于直线对称
【答案】D
【解析】因为,故选D.
5. （2011年高考福建卷文科9)若∈（0， ），且，则的值等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为∈（0， ），且，所以,
即,所以=或(舍去),所以,即,选D.
6.（2011年高考浙江卷文科5)在中，角所对的边分.若，则
(A)- (B) (C) -1 (D) 1
【答案】 D
【解析】：由余弦定理得：
则，故选D
7. (2011年高考天津卷文科7)已知函数其中若的最小正周期为,且当时, 取得最大值,则
A. 在区间上是增函数 B. 在区间上是增函数
C. 在区间上是减函数 D. 在区间上是减函数
【答案】A
【解析】由题意知,解得,又,且,所以,所以,故A正确.
8.（2011年高考辽宁卷文科12)已知函数, y=f(x)的部分图像如图,则
(A) (B)
(C) (D)
答案：B
解析：函数f(x)的周期是，故，由得.所以，故。
9. （2011年高考陕西卷文科6)方程在内
(A)没有根 (B)有且仅有一个根
(C) 有且仅有两个根 （D）有无穷多个根
【答案】C
【解析】：令，，则它们的图像如图
故选C
10.（2011年高考全国卷文科7)设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】即
z则时故选C
11. （2011年高考江西卷文科10)如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方，其“底端”落在原点O处，一顶点及中心M在Y轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.
今使“凸轮”沿X轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（ ）
【答案】A
【解析】根据中心M的位置，可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转动，M的位置会先变高，当C到底时，M最高，排除CD选项，而对于最高点，当M最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同，因此排除B ,选A.
12. （2011年高考四川卷文科8)在△ABC中，sin2A ≤ sin2B+ sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是
（A） （B）
(C) （D）
答案：C
解析：由正弦定理，得，由余弦定理，得，则,,.
13．（2011年高考重庆卷文科8)若△的内角，满足，则
A． B． C． D．
【答案】D
二、填空题：
13.（2011年高考江西卷文科14)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_______.
16.(2011年高考江苏卷9)函数是常数，的部分图象如图所示，则
【答案】
【解析】由图象知：函数的周期为，而周期，所以，
由五点作图法知：，解得，又A=，所以函数，所以
.
17.(2011年高考安徽卷文科15)设=，其中a，bR，ab0，若对一切则xR恒成立，则
①
②＜
③既不是奇函数也不是偶函数
④的单调递增区间是
⑤存在经过点（a，b）的直线与函数的图像不相交
以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）.
【答案】①③
【命题意图】本题考查辅助角公式的应用，考查基本不等式，考查三角函数求值，考查三角函数的单调性以及三角函数的图像.
【解析】，又
，由题意对一切则xR恒成立，则对一切则xR恒成立，即，恒成立，而，所以，此时.所以.
①，故①正确；
②，
，
19. （2011年高考福建卷文科14)若△ABC的面积为，BC=2，C=，则边AB的长度等于_____________.
【答案】2
【解析】由于△ABC的面积为，BC=2，C=，所以,所以AC=2, △ABC为正三角形,所以AB=2.
20．（2011年高考湖北卷文科6)已知函数，若，则的取值范围为
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由，即，解得，所以选A.
三、解答题：
22. （2011年高考山东卷文科17)（本小题满分12分）
在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
求的值；
若cosB=，
【解析】(1)由正弦定理得所以=,即,即有,即,所以=2.
(2)由(1)知=2,所以有,即c=2a,又因为的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：
，即，解得a=1，所以b=2.
23.(2011年高考安徽卷文科16) (本小题满分13分)
在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，，求边BC上的高.
【命题意图】：本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力。
【解析】：∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A，
又，∴，
即，，又0°在△ABC中，由正弦定理得，
又∵，所以B＜A，B＝45°，C＝75°，
∴BC边上的高AD＝AC·sinC＝
.
【解题指导】：解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可。本题属于中档题。
24. （2011年高考江西卷文科17) (本小题满分12分）
在中，的对边分别是，已知.
（1）求的值；
(2)若，求边的值．
25．(2011年高考广东卷文科16)（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）求的值；
（2）设求的值．
【解析】
26. （2011年高考福建卷文科21)（本小题满分12分）
设函数f（）=，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x,y），且.
（1）若点P的坐标为，求的值；
（II）若点P（x，y）为平面区域Ω：，上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数的最小值和最大值.
【解析】(1)由点P的坐标和三角函数的定义可得,
于是.
(2)作出平面区域(即三角形区域ABC)如图,其中A(1,0),B(1,1),C(0,1),则,
又,且,
故当,即时,取得最大值2;当,即时,取得最小值1.
【命题立意】本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.
27. （2011年高考陕西卷文科18)（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理。
解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有，
，.
证法一 如图，
即
同理可证，
证法二：已知 建立直角坐标系，则
同理可证
28. （2011年高考四川卷文科18)（本小题共13分）
已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知，，求证：.
（Ⅱ），，
..
，
，
所以，结论成立.
29．（2011年高考湖南卷文科17)（本小题满分12分）
在中，角所对的边分别为且满足
（I）求角的大小；
（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．
30. （2011年高考湖北卷文科16)（本小题满分10分）
设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为，已知.
(Ⅰ) 求△ABC的周长；
(Ⅱ)求cos(A—C.)
本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力.
解析：
（1）∵∴.∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.
（2）∵ ∴
∵
∵，故A为锐角.
∴
∴
31.（2011年高考浙江卷文科18)（本题满分14分）已知函数，，，.的部分图像，如图所示，、分别为该图像的最高点和最低点，点的坐标为.
（Ⅰ）求的最小正周期及的值；（Ⅱ）若点的坐标为，，求的值.
法二：设点由题意可知所以，在中
， .
32. (2011年高考天津卷文科16)（本小题满分13分）
在中,内角A,B,C的对边分别为.已知B=C, .
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.
【命题意图】本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力.
33.(2011年高考江苏卷15)在△ABC中，角A、B、C所对应的边为
（1）若 求A的值；
（2）若，求的值.
【解析】（1）因为
所以解得,即A的值为.
（2）因为所以所以在△ABC中，由正弦定理得:,因为,所以
,所以==,解得
又因为,所以,解得的值为.
34.（2011年高考辽宁卷文科17)（本小题满分12分）
△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a。
（I）求；（II）若c2=b2+a2，求B。
35.（2011年高考全国卷文科18)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知 (Ⅰ)求B；（Ⅱ）若
【解析】：(Ⅰ)由正弦定理得
即
，故B=450
（Ⅱ）法一A=750，
由正弦定理得：，则
由，即
法二（Ⅱ）首先
由正弦定理同理
36．（2011年高考重庆卷文科18)（本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分）
设函数
（1）求的最小正周期；
（II）若函数的图象按平移后得到函数的图象，求在上的最大值。
（II）依题意
当为增函数，
所以上的最大值为2011年高考试题解析数学（文科）分项版
10 圆锥曲线
一、选择题:
1. （2011年高考山东卷文科9)设M(，)为抛物线C：上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交，则的取值范围是
(A)(0，2) (B)[0，2] (C)(2，+∞) (D)[2，+∞)
【答案】C
3. （2011年高考海南卷文科9)已知直线过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则的面积为( )
A.18 B.24 C.36 D.48
【答案】C
【解析】因为AB过抛物线的焦点且与对称轴垂直,所以线段AB是抛物线的通径,长为,所以,又点P到AB的距离为焦参数,所以的面积为,故选C.
4. (2011年高考安徽卷文科3) 双曲线的实轴长是
（A）2 (B) (C) 4 (D) 4
【答案】C
【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.
【解析】可变形为，则，，.故选C.
5．(2011年高考广东卷文科8)设圆C与圆 外切，与直线相切．则C的圆心轨迹为（ ）
A． 抛物线 B． 双曲线 C． 椭圆 D． 圆
6.（2011年高考浙江卷文科9)已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与的长度为直径的圆相交于两点.若恰好将线段三等分，则
（A） （B） （C） (D)
【答案】 C
【解析】：由恰好将线段AB三等分得由
又，故选C.
7. (2011年高考天津卷文科6)已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知,抛物线的准线方程为,所以,又,所以,又因为双曲线的一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为,即,所以,即,,选B.
8. （2011年高考福建卷文科11)设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I’上存在点P满足：：= 4:3:2，则曲线I’的离心率等于
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由：：= 4:3:2，可设,,,若圆锥曲线为椭圆,则
,,;若圆锥曲线为双曲线,则,,,故选A.
9. （2011年高考四川卷文科11)在抛物线y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为x1=-4,x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆相切，则抛物线的顶点坐标是（ ）
（A） (-2,-9) （B）(0,-5)
(C) (2,-9) （D）(1,6)
10. （2011年高考陕西卷文科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是
（A） （B） (C) (D)
【答案】C
【解析】：设抛物线方程为，则准线方程为于是故选C
11．（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线的渐近线方程为则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：C
解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。
12．（2011年高考湖北卷文科4)将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为
n，则
A. B. C. D.
答案：C
解析：设满足条件的正三角形的三顶点为A、B、F，依题意可知，A、B必关于x轴对称，故设 ，则，则，故由抛物线定义可得，则由，解得，由判别式计算得△>0，故有两个正三角形，可知选C.
13.（2011年高考辽宁卷文科7)已知 F 是抛物线 的焦点，A．B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为
(A) (B)1 (C) (D)
答案： C
解析：设A、B的横坐标分别是m、n，由抛物线定义，得=m++n+= m+n+=3，故m+n=，，故线段AB的中点到y轴的距离为。
二、填空题：
14. （2011年高考山东卷文科15)已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .
16. （2011年高考四川卷文科14)双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是 .
答案：16
解析：由双曲线第一定义，|PF1|-|PF2|=±16，因|PF2|=4，故|PF1|=20，（|PF1|=-12舍去），设P到左准线的距离是d，由第二定义，得，解得.
17.（2011年高考全国卷文科16)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2| = .
已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = .
【答案】6
【解析】：，由角平分线的性质得
又
18．（2011年高考重庆卷文科9)设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为
A． B． C． D．，
【答案】B
三、解答题：
18. （2011年高考山东卷文科22)（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若 ，（i）求证：直线过定点；
（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）由题意:设直线,
由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即,,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得
，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.
（Ⅱ）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且 ，所以,又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).
（ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,
由（i）知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为.综上所述, 点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为.
19. （2011年高考江西卷文科19) (本小题满分12分）
已知过抛物线的焦点，斜率为的直
线交抛物线于（）两点，且．
（1）求该抛物线的方程；
（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．
【解析】（1）直线AB的方程是
所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，
抛物线方程为：
由p=4，化简得，从而,从而A:(1,),B(4,)
设=，又，即8（4），即，解得.
20. （2011年高考福建卷文科18)（本小题满分12分）
如图，直线l ：y=x+b与抛物线C ：x2=4y相切于点A。
求实数b的值；
（11） 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
【解析】（I）由得 ()
因为直线与抛物线C相切,所以,解得.
（II）由（I）可知,故方程()即为,解得,将其代入,得y=1,故点A(2,1).
因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r,
即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为.
【命题立意】本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想.
21．（2011年高考湖南卷文科21)已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的等等于1．
（I）求动点的轨迹的方程；
（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．
解析：（I）设动点的坐标为，由题意为
化简得
当、
所以动点P的轨迹C的方程为
（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．
由，得
设则是上述方程的两个实根，于是
．
因为，所以的斜率为．
设则同理可得
故
当且仅当即时，取最小值16．
22. （2011年高考陕西卷文科17)（本小题满分12分）设椭圆C: 过点（0，4），离心率为（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标
解：（Ⅰ）将（0，4）代入C的方程得 ∴b=4又 得即，
∴ ∴C的方程为
（ Ⅱ）过点且斜率为的直线方程为，
设直线与Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，将直线方程代入Ｃ的方程，
得，即，解得，，
AB的中点坐标， ，即中点为。
注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。
23. （2011年高考四川卷文科21)（本小题共12分）
过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点.
（I）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；
（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值.
解析：（I）因为椭圆过C(1,0)，所以b=1.因为椭圆的离心率是，所以，故，椭圆方程为.
当直线过椭圆右焦点时，直线的方程为，由得或则,故.
（Ⅱ）直线CA的方程为 ①.设点P，则直线AP的方程为 ②.
把②代入椭圆方程，得，从而可求.
因为B(-2,0),所以直线BD的方程为 ③，
由①③可得，从而求得.
，
所以为定值.
24.（2011年高考全国卷文科22) (本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)
已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足(Ⅰ)证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.
【解析】(Ⅰ)证明：由，，
由
设
，，
故点P在C上
（Ⅱ）法一：点P，P关于点O的对称点为Q，，
，即，同理即， A、P、B、Q四点在同一圆上.
法二：由已知有则的中垂线为：设、的中点为
∴
∴则的中垂线为：
则的中垂线与的中垂线的交点为∴
到直线的距离为
∴即
∴、、、四点在同一圆上。
25. （2011年高考湖北卷文科21) （本小题满分13分）
平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加
上A1、A2两点所在所面的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.
(Ⅰ)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的位置关系；
(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C1：对给定的，对应的曲线为C2，
设F1、F2是C2的两个焦点，试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面
积，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想.
解析：（1）设动点为M，其坐标（x, y）.
当时，由条件可得
即又的坐标满足
故依题意，曲线C的方程为
当时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；
当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；
当时，曲线C 的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；
当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线.
（2）由（1）知，当时，C1的方程为；
当时，C2的两个焦点分别为.
对于给定的，C1上存在点使得的充要条件是
由①得，由②得
当即，或时.
存在点N, 使
当即，或时，
不存在满足条件的点N.
当时，
由，
可得
令
则由可得，
从而于是由
可得，即
综上可得：
当时，在C1上，存在点N，使得，且
当时，在C1上，存在点N，使得，且；
当时，在C1上，不存在满足条件的点N.
26．（2011年高考浙江卷文科22)（本题满分15分）如图，设是抛物线:上动点。圆:的圆心为点M，过点做圆的两条切线，交直线：于两点。（Ⅰ）求的圆心到抛物线 准线的距离。
（Ⅱ）是否存在点，使线段被抛物线在点处得切线平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
【解析】：（Ⅰ）由得准线方程为，由得M，圆心M到抛物线的准线的距离为
（Ⅱ）设点的坐标为抛物线在点处的切线交直线于点，再设横坐标分别为，过点的抛物线的切线方程为（1）
当时，过点与圆的切线为可得，；当时，过点与圆的切线为可得，，所以。设切线，的斜率为则：（2）：27. (2011年高考天津卷文科18)（本小题满分13分）
设椭圆的左、右焦点分别为,点满足.
（Ⅰ）求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A,B两点.若直线与圆相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.
【解析】（Ⅰ）设，（），因为，所以，整理得
，即，解得.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知,可得椭圆方程为,直线的方程为,
A,B两点坐标满足方程组,消y整理得,解得或,所以
A,B两点坐标为,,所以由两点间距离公式得|AB|=,
于是|MN|=|AB|=,圆心到直线的距离,
因为,所以,解得,所以椭圆方程为.
【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.
28. (2011年高考江苏卷18)如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB
【解析】（1）因为、,
所以MN的中点坐标为(-1,),又因为直线PA平分线段MN，
所以k的值为
(2)因为k=2,所以直线AP的方程为,由得交点P()、A(),
因为PC⊥x轴，所以C（)，所以直线AC的斜率为1，直线AB的方程为，所以
点P到直线AB的距离d==.
（3）法一：由题意设，
A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，
，两式相减得：
法二：设,
A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,
,两式相减得：,
,.
29. （2011年高考辽宁卷文科21) (本小题满分12分)
如图，已知椭圆C1的中心在圆点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C1的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C1交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D.
（I）设e=，求|BC|与|AD|的比值；
（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO//AN,并说明理由.
解析：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设
。
设直线分别和C1，C2联立，求得。
当时，，分别用yA，yB表示A、B的纵坐标，可知
|BC|:AD|=
（II）t=0时的l不符合题意，t≠0时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即
，
解得。
因为，又，所以，解得。
所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；当时，存在直线l使得BO//AN。
30.(2011年高考安徽卷文科17)（本小题满分13分）
设直线
（I）证明与相交；
（II）证明与的交点在椭圆上.
【命题意图】：本题考察直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考察反证法的证明思路、推理论证能力和运算求解能力。
【解析】：（1）（反证法）假设与不相交，则与必平行， 代入得
，与是实数相矛盾。从而，即与相交。
（2）（方法一）由得交点p的坐标（x,y）为
,
而
所以与的交点p的（x,y）在椭圆上
（方法二）与的交点p的（x,y）满足：，，从而
，代入得，整理得
所以与的交点p的（x,y）在椭圆上
【解题指导】：两直线的位置关系判定方法：
（1）
（2）
（3）
证明两数不等可采用反证法的思路。
点在线上的判断与证明只要将点的坐标代入曲线方程判断其是否成立即可，或求出交点的轨迹方程并判断与所给的曲线方程是否一致即可。本题属于中档题。
31．(2011年高考广东卷文科21)（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设P是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足．
当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2）已知．设H是E上动点，求的最小值，并给出此时点H的坐标；
（3）过点且不平行于轴的直线与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．
【解析】
32．（2011年高考重庆卷文科21)（本小题满分12分。（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设动点P满足：，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点F，使得与点P到直线l：的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。
题（21）图
解：（I）由
解得，故椭圆的标准方程为
（II）设，则由
得
因为点M，N在椭圆上，所以
，
故
设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知
因此
所以
所以P点是椭圆上的点，该椭圆的右焦点为，离心率是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点，使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。
①
②
N
M
P
A
x
y
B
C2011年高考试题解析数学（文科）分项版
02 简易逻辑
一、选择题:
1. （2011年高考山东卷文科5)已知a，b，c∈R，命题“若=3，则≥3”，的否命题是
(A)若a+b+c≠3，则<3
(B)若a+b+c=3，则<3
(C)若a+b+c≠3，则≥3
(D)若≥3，则a+b+c=3
4．（2011年高考湖南卷文科3)的
A．充分不必要条件　　　　Ｂ．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
答案：A
解析：因，反之
，不一定有。
5. （2011年高考四川卷文科5) “x=3”是“x2=9”的
（A）充分而不必要的条件 （B）必要而不充分的条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要的条件
答案：A
解析：因为x=3，所以x2=9；但若x2=9，x=-3或3，故“x=3”是“x2=9”的充分不必要条件.
6. （2011年高考陕西卷文科1)设是向量，命题“若，则”的逆命题是
（A）若则 （B）若则
（C）若则 （D）若则
【答案】D
【解析】：交换一个命题的题设与结论，所得到的命题与原命题是（互逆）命题。故选D
7. （2011年高考湖北卷文科10)若实数满足，且，则称与互补，记那么是与b互补的
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：C
解析：由，即，故，则，化简得，即ab=0，故且，则且，故选C.
8.（2011年高考辽宁卷文科4)已知命题P：n∈N，2n＞1000，则p为（ ）
（A）n∈N，2n≤1000 （B）n∈N，2n＞1000
（C）n∈N，2n≤1000 （D）n∈N，2n＜1000
答案： A
解析：特称命题的否定是全称命题，“＞”的否定是“≤”，故正确答案是A.
9.（2011年高考全国卷文科5)下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】： 故选A。2011年高考试题解析数学（文科）分项版
19 选修系列：不等式选讲
一、填空题:
1.（2011年高考陕西卷文科15) A.（不等式选做题）若不等式对任意恒成立，则的取值范围是______。
【答案】
【解析】：因为，对任意恒成立，所以有
二、解答题:
2.(2011年高考江苏卷21)选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
解不等式：
（Ⅱ）因为，所以，，可化为，
即
因为，所以，该不等式的解集是，再由题设条件得
点评：本题考查含有绝对值不等式的解法，以及解法的应用，注意过程的完整性与正确性。
4.（2011年高考辽宁卷文科24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。
（I）证明：-3≤f（x）≤3；
（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。
解析:考察绝对值不等式的求解,容易题
原不等式等价于:x-3<2x-1<3
解集为(-2,
3.〔2011年高考全国新课标卷文科24)(本小题满分10分)选修45不等选讲
设函数f(x)=kx-a+3x,a>0(1)当a=1时,求不等式f(x)23x+2的解集;(2如果
不等式f(x)≤0的解集为≤-1},求a的值
分析:解含有绝对值得不等式,一般采用零点分段法,去掉绝对值求解;已知不等式的解集
要求字母的值,先用字母表示解集,再与原解集对比可得字母的值
解:(I)当a=1时,不等式f(x)≥3x+2,可化为
x≤-1,x≥3,所以不等式f(x)23x+2的解集为x≤-或x≥23
x≤2
解析:(1)f(x=x-2|-1|x-5=12x-7,2>
当21)由(1)知
当x≤2时,f(x1≥x2-8x+15的解集为空集
当2当x≥5时,f(x1≥x2-8x+15的解集为:x15≤x≤6
综上,不等式fx12x2-8x+15的解集是x15-√3≤x≤62011年高考试题解析数学（文科）分项版
07 平面向量
一、选择题:
1．(2011年高考广东卷文科3)已知向量，若为实数，，则= （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
所以选B.
2.（2011年高考全国卷文科3)设向量满足||=||=1, ,则
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】
故选B
3.（2011年高考辽宁卷文科3)已知向量a=（2,1），b=（-1，k），a·（2a-b）=0，则k=（ ）
（A）-12 （B）-6 （C）6 （D）12
答案： D
解析：由题意，得2a-b =（5，2-k），a·（2a-b）=2×5+2-k=0，所以k=12.
4．（2011年高考重庆卷文科5)已知向量共线，那么的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
二、填空题：
5. （2011年高考海南卷文科13)已知与为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量与向量垂直,则 .
【解析】要求*，只需将题目已知条件带入，得：*=（-2）*（3+4）=
其中=1，==1*1*=，，带入，原式=3*1—2*—8*1=—6.
8. （2011年高考福建卷文科13)若向量a=（1,1），b（-1,2），则a·b等于_____________.
【答案】1
【解析】因为向量a=（1,1），b（-1,2），所以a·b等于1.
9. （2011年高考四川卷文科7)如图，正六边形ABCDEF中，=
(A)0 (B) (C) (D)
答案：D
解析：.
10．（2011年高考湖南卷文科13)设向量满足且的方向相反，则的坐标为 ．
答案：
解析：由题，所以
11．（2011年高考湖北卷文科2)若向量，则与的夹角等于
A. B. C. D.
答案：C
解析：因为,设其夹角为r，故，即，所以选C.
12.（2011年高考浙江卷文科15)若平面向量α、β 满足，且以向量α、β为邻边的
平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ取值范围是___。
【答案】
【解析】：，又
13. (2011年高考天津卷文科14)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为 .
【答案】5
【解析】画出图形,容易得结果为5.
14.(2011年高考江苏卷10)已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为 .
【答案】
【解析】0,解得.2011年高考试题解析数学（文科）分项版
03 函数与导数
一、选择题:
1. （2011年高考山东卷文科4)曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是
(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15
【答案】C
【解析】因为,切点为P（1，12），所以切线的斜率为3,故切线方程为3x-y+9=0,令x=0,得y=9,故选C.
2.(2011年高考安徽卷文科5)若点(a,b)在 图像上，,则下列点也在此图像上的是
（A）（，b） (B) (10a,1b) (C) (,b+1) (D)(a2,2b)
【答案】D
【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.
【解析】由题意，，即也在函数 图像上.
3.(2011年高考安徽卷文科10)函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n的值可能是
（A）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
【答案】A
【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.
【解析】代入验证，当时
，则
，由可知，，结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由，知a存在.故选A.
【解题指导】：排除法解决存在性问题和不确定性问题很有效。
4. （2011年高考山东卷文科10)函数的图象大致是
【答案】C
【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C正确.
7 ．(2011年高考广东卷文科4)函数的定义域是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得所以选C.
8．(2011年高考广东卷文科10)设是R上的任意实值函数．如下定义两个函数和；对任意,；．则下列等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10. （2011年高考江西卷文科4)曲线在点A（0,1）处的切线斜率为（ ）
A.1 B.2 C. D.
【答案】A
【解析】.
11. （2011年高考福建卷文科8)已知函数f（x）=。若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
【答案】A
【解析】由题意知因为,所以.当时,无解;当时,,所以,解得.
12. （2011年高考海南卷文科12)已知函数的周期为2,当时,那么函数的图象与函数的图象的交点共有( )
A.10个 B.9个 C.8个 D.1个
【答案】A
【解析】画出图象,不难得出选项A正确.
13.（2011年高考浙江卷文科10)设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是
【答案】 D
【解析】：，令则
，因为为函数的一个极值点，所以是的一个根，即
15. （2011年高考四川卷文科4)函数的图像关于直线y=x对称的图像大致是( )
答案：A
解析：由，得，故函数的反函数为，其对应的函数图象为A.
16．（2011年高考湖南卷文科7)曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
18. （2011年高考陕西卷文科4)函数的图像是
【答案】B
【解析】：过和，由过可知在直线下方，故选B
19.（2011年高考全国卷文科2)函数的反函数为
（A） （B）
（C） （D）
22．（2011年高考湖北卷文科3)若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则
A. B. C. D.
答案：D
解析：因为①，则，即②，故由①-②可得，所以选D.
23.（2011年高考辽宁卷文科11)函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2,对任意，,则的解集为
(A)(-1，1) (B)(-1，+∞) (c)(-∞，-l) (D)(-∞,+∞)
26．（2011年高考重庆卷文科6)设的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】B
二、填空题:
25. （2011年高考山东卷文科16)已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点 .
【答案】2
【解析】方程=0的根为,即函数的图象与函数的交点横坐标为,且,结合图象,因为当时,,此时对应直线上的点的横坐标;当时, 对数函数的图象上点的横坐标,直线的图象上点的横坐标,故所求的.
26.（2011年高考浙江卷文科11)设函数 ,若,则实数=____
【答案】
【解析】：
27.(2011年高考江苏卷2)函数的单调增区间是__________
【答案】
【解析】考察函数性质，容易题。因为,所以定义域为,由复合函数的单调性知:函数的单调增区间是.
28.(2011年高考江苏卷8)在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________
【答案】4
【解析】考察函数与方程，两点间距离公式以及基本不等式，中档题。设坐标原点的直线方程为,则由解得交点坐标为、，即为P、Q两点，所以线段PQ长为，当且仅当时等号成立，故线段PQ长的最小值是4.
29.(2011年高考安徽卷文科13)函数的定义域是 .
【答案】（－3,2）
【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法.
【解析】由可得，即，所以.
30.(2011年高考江苏卷11)已知实数，函数，若，则a的值为________
【答案】
又,所以,所以,由题意知,,所以
,整理得,所以或(舍去).
33．（2011年高考湖南卷文科12)已知为奇函数， ．
答案：6
解析：，
又为奇函数，所以。
34. （2011年高考四川卷文科16)函数的定义域为A,若A，且时总有，则称为单函数.例如是单函数，下列命题：
①函数是单函数；
②函数是单函数，
③若为单函数，且，则；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数
其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）
答案：②③④
解析：，但，∴①不正确；
与“若A，且时总有”等价的命题是“若A，且时总有，故②③④正确.
35.（2011年高考陕西卷文科11)设 则 =______.
【答案】1
【解析】：
36. （2011年高考湖北卷文科15)里氏震级M的计算公式为：M=lgA－lgA0,,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍.
答案：6， 10000
解析：由
当为9级地震时，则有
当为5级地震时，则有，故, ，
则.
37.(2011年高考江苏卷12)在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________.
7．（2011年高考重庆卷文科7)若函数在处取最小值，则
A． B． C．3 D．4
【答案】C
39.(2011年高考安徽卷文科11)设是定义在R上的奇函数，当x≤0时，=，则 .
【答案】－3
【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属中等难度题.
【解析】.
三、解答题:
40. （2011年高考江西卷文科20) (本小题满分13分）
设.
（1）如果在处取得最小值，求的解析式；
（2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和
的值．(注：区间的长度为）
.
41. （2011年高考福建卷文科22)（本小题满分14分）
已知a，b为常数，且a≠0，函数（e=2.71828…是自然对数的底数）.
（I） 求实数b的值；
（II）求函数f（x）的单调区间；
（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m【解析】(1)由得.
(2)由(1)可得从而,因为a≠0，故有:
①当时,由得;由得;
②当时,由得;由得.
综上所述, 当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为(0,1);
当时, 函数的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为.
(3)当时, .
由(2)可得,当在区间内变化时, ,的变化情况如下表:
1
- 0 +
单调递减 极小值1 单调递增 2
又<2,所以函数的值域为[1,2].
【命题立意】本题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.42．（2011年高考四川卷文科22)（本小题满分14分）
已知函数.
（Ⅰ）设函数F(x)=18 f(x)-x2 [h(x)]2,求F(x)的单调区间与极值；
（Ⅱ）设aR,解关于x的方程lg[f(x-1)- ]=2lgh(a-x)- 2lgh(4-x);
（Ⅲ）设n*,证明：f(n)h(n)- [h(1)+h(2)+ …+h（n）] ≥.
当时，方程有一个解；
当方程无解.
（Ⅲ）当时，，不等式成立；
假设时，不等式成立，
当时，
所以，当时，不等式成立，
综上，对一切，不等式都成立.
43. （2011年高考陕西卷文科19)（本小题满分12分）
如图，从点做x轴的垂线交曲线于点曲线在点处的切线与x轴交于点，再从做x轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：
记点的坐标为.
（Ⅰ）试求与的关系
（ Ⅱ）求
解：（Ⅰ）设，由得点处切线方程为
由得。
（ Ⅱ），得，
44. （2011年高考陕西卷文科21)（本小题满分14分）
设。（Ⅰ）求的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论与的大小关系；（Ⅲ）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立。
45. （2011年高考湖北卷文科19)（本小题满分12分）
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数.
(Ⅰ)当时，求函数的表达式；
(Ⅱ)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）
本小题主要考查函数，最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.
解析：
（1）由题意：当时，；当时，设
再由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
（2）依题意并由（1）可得，
当时，为增函数.故当x=20时，其最大值为60×20=1200；
当时，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，当时，在区间[20，200]上取得最大值.
综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.
46. （2011年高考湖北卷文科20)（本小题满分13分）
设函数，其中为常数，已知曲线与在点(2,0)处有相同的切线.
(Ⅰ)求的值，并写出切线的方程；
(Ⅱ)若方程有三个互不相同的实数根，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.
（2）由（1）得，所以
依题意，方程有三个互不相同的实根0、x1、x2，
故x1、x2是方程的两相异的实根.
所以△=9-4（2-m）>0，即
又对任意的成立.
特别地，取时，成立，得m<0.
由韦达定理，可得故
对任意的，有，，x>0.
则又
所以函数在的最大值为0.
于是当m<0时，对任意的，恒成立.
综上，m的取值范围是（）.
47．(2011年高考广东卷文科19)（本小题满分14分）
设,讨论函数 的单调性．
【解析】
48．（2011年高考湖南卷文科22)（本小题13分）
设函数
(I)讨论的单调性；
（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
解析：（I）的定义域为
令
当故上单调递增．
当的两根都小于0，在上，，故上单调递增．
当的两根为，
当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．
（II）由（I）知，．
因为，所以
又由(I)知，．于是
若存在，使得则．即．亦即
再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得
49. （2011年高考山东卷文科21)（本小题满分12分）
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.
（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.
【解析】（Ⅰ）因为容器的体积为立方米，所以,解得,所以圆柱的侧面积为=,两端两个半球的表面积之和为,所以+,定义域为(0,).
50. （2011年高考全国新课标卷文科21)（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求的值
（2）证明：当时，
分析：（1）利用导数的几何意义列式求待定系数的值；（2）构造新函数求其导数，利利用单调性和极值证明。
解：（Ⅰ），由题意知：即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，
设则，
当时， ，而
故，当得：
从而，当时，即
点评：这道题考查导数的概念、几何意义、导数的应用（证明不等式）；考查分析问题解答问题的能力；其中构造函数利用导数证明不等式是解答导数应用问题的常用策略之一。
51．（2011年高考浙江卷文科21)（本题满分15分）设函数（Ⅰ）求单调区间（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立
注：为自然对数的底数
52.（2011年高考全国卷文科21)已知函数
(Ⅰ)证明：曲线
（Ⅱ）若求a的取值范围。
【解析】(Ⅰ)，，故x=0处切线斜率，又
即，当
故曲线
（Ⅱ），令
，
故
53. (2011年高考天津卷文科19)（本小题满分14分）
已知函数其中.
（Ⅰ）当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求的单调区间;
(Ⅲ)证明:对任意,在区间(0,1)内均在零点.
【解析】（Ⅰ）当时, ,
所以曲线在点处的切线方程为.
(Ⅱ) 令,解得或,因为,以下分两种情况讨论:
(1)若,则.当变化时, ,的变化情况如下表:
+ - +
所以的单调递增区间是,;的单调递减区间是.
+ - +
(2)若,则.当变化时, ,的变化情况如下表:
所以的单调递增区间是,;的单调递减区间是.
所以在内存在零点.
若,,
所以在内存在零点,所以,对任意,在区间(0,1)内均在零点.
综上, 对任意,在区间(0,1)内均在零点.
【命题意图】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.
54.(2011年高考江苏卷17)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
P
【解析】（1）由题意知, 包装盒的底面边长为,高为,所以包装盒侧面积为
S==,当且仅当,即时,等号成立,所以若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，应15cm.
（2）包装盒容积V==,
所以=,令得; 令得,
所以当时, 包装盒容积V取得最大值,此时的底面边长为,高为,包装盒的高与底面边长的比值为.
55.(2011年高考江苏卷19)已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致
（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；
（2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值
解析：(1)考察单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，中档题；（2）综合考察分类讨论、线性规划、解二次不等式、二次函数、含参不等式恒成立问题、导数及其应用、化归及数形结合的思想，难题。
（1）因为函数和在区间上单调性一致，所以，即
即
（2）当时，因为，函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以，
即，
设，考虑点(b,a)的可行域，函数的斜率为1的切线的切点设为
则；
当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，
即，
当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，
即而x=0时，不符合题意，
当时，由题意：
综上可知，。
56.（2011年高考辽宁卷文科20)（本小题满分12分）
设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2.
（I）求a，b的值；
（II）证明：f(x)≤2x-2。
57.(2011年高考安徽卷文科18)（本小题满分13分）
设，其中为正实数
（Ⅰ）当时，求的极值点；
（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。
【命题意图】：本题考察导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解二次不等式，考察运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力。
【解析】：
当时，，由得解得
由得，由得，当x变化时与相应变化如下表：
x
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以，是函数的极大值点，是函数的极小值点。
因为为上的单调函数，而为正实数，故为上的单调递增函数
恒成立，即在上恒成立，因此
，结合解得
【解题指导】：极值点的判定一定要结合该点两侧导数的符号，不可盲目下结论。同时还要注意“极值”与“极值点”的区别避免画蛇添足做无用功。
某区间（a,b）上连续可导函数单调性与函数导数符号之间的关系为：
若函数在区间（a,b）上单调递增（递减），则（）
若函数的导数（），则函数在区间（a,b）上单调递增（递减）
若函数的导数恒成立，则函数在区间（a,b）上为常数函数。
58．（2011年高考重庆卷文科19)（本小题满分12分，（Ⅰ）小题5分，（Ⅱ）小题7分）
设的导数为，若函数的图像关于直线对称，且．
（Ⅰ）求实数的值
（Ⅱ）求函数的极值
解：（I）因
从而
即关于直线对称，从而由题设条件知
又由于
（II）由（I）知
令
当上为增函数；
当上为减函数；
当上为增函数；
从而函数处取得极大值处取得极小值2011年高考试题解析数学（文科）分项版
01 集合
一、选择题:
1.（2011年高考山东卷文科1)设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =
（A）[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3]
【答案】A
【解析】因为，所以，故选A.
2. （2011年高考海南卷文科1)已知集合,,,则P的子集共有( )
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
【解析】方法一：由题得，，所以选C.
方法二：直接作出单位圆和直线，观察得两曲线有两个交点，所以选C.
5． （2011年高考江西卷文科2)若全集,则集合等于（ ）
A. B. C. D.
8．（2011年高考湖北卷文科1)已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则=
A.{6,8} B. {5,7} C. {4,6,7} D. {1,3,5,6,8}
答案：A
解析：因为，故，所以选A.
9. （2011年高考四川卷文科1)若全集M=，N=，=（ ）
（A） (B) (C) (D)
答案：B
【解析】：，故选 C
13. (2011年高考天津卷文科4)设集合则“”是
“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由两个集合并集的含义知,选项C正确.
14.（2011年高考辽宁卷文科1)已知集合A={x}，B={x}}，则AB=（ ）
（A） {x}} （B）{x} （C）{x}} （D）{x}
答案： D
解析：利用数轴可以得到AB={x}。
15．（2011年高考重庆卷文科2)设，则=
A．[0，2] B．
C． D．
【答案】A
二、填空题:
16. (2011年高考天津卷文科9)已知集合为整数集,则集合中所有元素的和等于 .
解析：综合考察集合及其运算、直线与圆的位置关系、含参分类讨论、点到直线距离公式、两条直线位置关系、解不等式，难题。当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间， ，因为此时无解；当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有 .又因为.2011年高考试题解析数学（文科）分项版
11 排列组合、二项式定理
一、选择题:
1．(2011年高考广东卷文科7)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）
A．20 B．15 C．12 D．10
【答案】A
【解析】先从5个侧面中任意选一个侧面有种选法，再从这个侧面的4个顶点中任意选一个顶点有种选法，由于不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，所以除去这个侧面上、相邻侧面和同一底面上的共8个点，还剩下2个点，把这个点和剩下的两个点连线有种方法，但是在这样处理的过程中刚好每一条对角线重复了一次，所以最后还要乘以所以这个正五棱柱对角线的条数共有,所以选择A.
2.（2011年高考全国卷文科9)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有
（A）12种 （B）24种 （C）30种 （D）36种
二、填空题:
3.（2011年高考湖南卷文科16)给定，设函数满足：对于任意大于的正整数，
（1）设，则其中一个函数在处的函数值为 ；
（2）设，且当时，，则不同的函数的个数为 。
答案：（1），（2）16
解析：（1）由题可知，而时，则，故只须，故。
（2）由题可知，则，而时，即，即，，由乘法原理可知，不同的函数的个数为。
4. （2011年高考四川卷文科13)的展开式中的系数是 （用数字作答）
答案：84
解析：的展开式中的系数是.
5.（2011年高考全国卷文科13) (1-)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: .
7．（2011年高考重庆卷文科11)的展开式中的系数是
【答案】240
三、解答题:
8．(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分）
设整数，是平面直角坐标系中的点，其中
（1）记为满足的点的个数，求；
（2）记为满足是整数的点的个数，求
解析：考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力，较难题。
（1）因为满足的每一组解构成一个点P,所以。
（2）设，则
对每一个k对应的解数为：n-3k,构成以3为公差的等差数列；
当n-1被3整除时，解数一共有：
当n-1被3除余1时，解数一共有：
当n-1被3除余2时，解数一共有：2011年高考试题解析数学（文科）分项版
08 立体几何
一、选择题:
1.(2011年高考安徽卷文科8)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为
（A） 48 (B)32+8 (C) 48+8 (D) 80
【答案】C
【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.
【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为，四个侧面的面积为，所以几何体的表面积为.故选C.
【解题指导】：三视图还原很关键，每一个数据都要标注准确。
2．(2011年高考广东卷文科9)如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）
A． B． C． D． 2
【答案】C
【解析】由题得该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD，所以选择C.
3．（2011年高考湖南卷文科4)设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A．　　　Ｂ．
Ｃ．　　Ｄ．
答案：D
解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积。
4．（2011年高考湖北卷文科7)设球的体积为V1,它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是
A. V1比V2大约多一半 B. V1比V2大约多两倍半
C. V1比V2大约多一倍 D. V1比V2大约多一倍半
答案：D
解析：设球半径为R，其内接正方体棱长为a，则，即由
，比较可得应选D.
5.（2011年高考山东卷文科11)下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是
(A)3 (B)2 (C)1 (D)0
【答案】A
【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.
6.（2011年高考海南卷文科第8题）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图，则相应的侧视图可以为（ ）
解析：D. 由主视图和府视图可知，原几何体是由后面是半个圆锥，前面是三棱锥的组合体，所以，左视图是D。
点评：本题考查三视图、直观图及他们之间的互化，同时也考查空间想象能力和推理能力，要求有扎实的基础知识和基本技能。
7.（2011年高考浙江卷文科4)若直线不平行于平面，且，则
(A) 内的所有直线与异面 (B) 内不存在与平行的直线
(C) 内存在唯一的直线与平行 (D) 内的直线与都相交
【答案】 B
【解析】：直线不平行于平面，所以与相交，故选B
8．（2011年高考陕西卷文科5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
答案： C
解析：取SC的中点D,则D为球心，则AD=BD=DS=2。因为∠ASC=∠BSC=45°，所以∠SDB=∠SDA=900，即AD⊥SC,BD⊥SC,⊿ABD是等边三角形，故棱锥S-ABC的体积等于棱锥S-ABD和棱锥C-ABD的体积和，即。
11.（2011年高考辽宁卷文科8)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示．左视图是一个矩形．则这个矩形的面积是
(A)4 (B) (c)2 (D)
答案：B
解析：设正三棱柱的侧棱长和底面边长为a，则由，解得a=2，正三棱柱的左视图与底面一边垂直的截面大小相同，故该矩形的面积是。
12.（2011年高考全国卷文科8)已知直二面角，点为垂足，为垂足，若则到平面的距离等于
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】如图，作于，由为直二面角，，得平面，进而,又,,
于是平面。故为到平面的距离。
在中，利用等面积法得
13.（2011年高考全国卷文科12)已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成，二面角的平面截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为
(A) (B) (c) (D)
解：由圆的面积为得，
，在
故选D
14.（2011年高考江西卷文科9)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）
【答案】D
【解析】左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案.
15. （2011年高考四川卷文科6)，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
（A）// （B）,//
（C）//// ，，共面 （D），，共点，，共面
答案：B
解析：若则有三种位置关系，可能平行、相交或异面，故A不对.虽然，或共点，但是可能共面，也可能不共面，故C、D也不正确.
16．（2011年高考重庆卷文科10)高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、、、、均在半径为1的同一球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为
A． B． C． D．
【答案】A
二、填空题：
16. （2011年高考海南卷文科16)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .
【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为,球半径为,则,解得,所以对应球心距为,故小圆锥的高为,大圆锥的高为,所以之比为.
17. （2011年高考福建卷文科15)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2。，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于_____________.
【答案】
【解析】由于在正方体中,AB=2,所以AC=.又E为AD中点, EF∥平面AB1C，
EF平面ADC,平面ADC平面AB1C=AC,所以EF∥AC,所以F为DC中点,所以EF==.
18. （2011年高考四川卷文科15)如图，半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差是 .
答案：
19.（2011年高考全国卷文科15)已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为
【答案】
【解析】取的中点，为所求角，设棱长为2，则，
20. (2011年高考天津卷文科10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为
.
【答案】4
【解析】由三视图知,该几何体是由上、下两个长方体组合而成的,容易求得体积为4.
三、解答题：
21. （2011年高考山东卷文科19)（本小题满分12分）
如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，，，60°.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：.
【解析】（Ⅰ）证明：因为，所以设
AD=a,则AB=2a,又因为60°,所以在中,由余弦定理得：,所以BD=,所以,故BD⊥AD,又因为
平面，所以BD,又因为, 所以平面,故.
理计算得A1C1=，所以A1C1∥OC且A1C1=OC，故四边形OCC1A1是平行四边形，所以CC1∥A1O，又CC1平面A1BD，A1O平面A1BD，所以.
22．（2011年高考湖南卷文科19)（本题满分12分）
如图3，在圆锥中，已知的直径的中点．
（I）证明：
（II）求直线和平面所成角的正弦值．
解析：（I）因为
又内的两条相交直线，所以
（II）由（I）知，又所以平面在平面中，过作则连结，则是上的射影，所以是直线和平面所成的角．
在
在
23. (2011年高考天津卷文科17)（本小题满分13分）
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,为PD的中点.
(Ⅰ)证明PB∥平面;
(Ⅱ)证明AD⊥平面PAC;
(Ⅲ)求直线与平面ABCD所成角的正切值.
【解析】(Ⅰ)证明:连接BD,MO.在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,所以O为BD的中点,又M为PD的中点,所以PB∥MO,因为PB平面,平面,所以PB∥平面.
(Ⅱ)证明:因为,AD=AC=1,所以AD⊥AC,又PO⊥平面ABCD,AD平面ABCD,所以PO⊥AD,而
EMBED Equation.DSMT4 ,所以AD⊥平面PAC.
(Ⅲ)取DO点N,连接MN,AN,因为M为PD的中点,所以MN∥PO,且MN=PO=1,由PO⊥平面ABCD,得
MN⊥平面ABCD,所以是直线AM与平面ABCD所成的角.在中,AD=1,AO=,所以
,从而.在中, ,即直线与平面ABCD所成角的正切值为.
【命题意图】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
24. （2011年高考江西卷文科18) (本小题满分12分）
如图，在交AC于 点D,现将
（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；
（2）若点P为AB的中点，E为
【解析】（1）设，则
令,则
单调递增 极大值 单调递减
由上表易知：当时，有取最大值.
(2)证明：作得中点F，连接EF、FP,由已知得：,
为等腰直角三角形，,所以.
25. （2011年高考福建卷文科20)（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。
求证：CE⊥平面PAD；
（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积
【解析】(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE平面ABCD,所以PA⊥CE,
因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PAAD=A,所以CE⊥平面PAD.
(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD.
又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以
==,又PA⊥平面ABCD,PA=1,
所以四棱锥P-ABCD的体积等于.
【命题立意】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.
26. （2011年高考四川卷文科19)（本小题共12分）
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=A A1=1，延长A1C1至点,使C1= A1C1，连结AP交棱C C1于点D.
（Ⅰ）求证：P B1∥BDA1;
(Ⅱ)求二面角A- A1D-B的平面角的余弦值.
27．（2011年高考陕西卷文科16)（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，
∠BAC=90°，AD，沿AD把是BC上的△ABD折起，
使∠BDC=90°。（Ⅰ）证明：平面 ；
（Ⅱ ）设BD=1，求三棱锥D—的表面积。
解（Ⅰ）∵折起前是边上的高，∴ 当折起后，AD⊥，AD⊥，又＝，
∴AD，∵AD平面. ∴平面
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,,,
DB=DA=DC=1，AB=BC=CA=,
，
三棱锥表面积：
28. （2011年高考湖北卷文科18)如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且.
(Ⅰ)求证：
(Ⅱ)求二面角的大小.
本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力.
解析：（1）由已知可得
于是有
所以
又所以平面CEF.
由CEF，故CF
（2）在△CEF中，由（1）可得
于是有所以CF⊥EF.
又由（1）知，且，所以CF⊥平面C1EF.
又平面C1EF，故CF⊥C1F.
于是∠EFC1即为二面角E-CF-C1的平面角.
由（1）知△CEF是等腰直角三角形，所以∠EFC1=450，即所求二面角E-CF-C1的大小为450.
29．(2011年高考广东卷文科18)（本小题满分13分）
如图所示，将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右平移到的分别为的中点，分别为的中点．
证明：四点共面；
设为中点，延长到,
使得,证明: ．
【解析】
30. （2011年高考全国新课标卷文科18)（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，
（1）证明：;
(2) 设求三棱锥D-PBC锥的高.
分析：利用垂直的判定与性质证明并计算。
解：(1)证明：在三角形ABD中，因为
该三角形为直角三角形，所以
,
31.（2011年高考浙江卷文科20)（本题满分14分）如图，在三棱锥中，，为的中点，⊥平面，垂足落在线段上.
（Ⅰ）证明：⊥；（Ⅱ）已知，
，，.求二面角的大小.
【解析】：：（Ⅰ）
（Ⅱ）在平面内作得平面，所以，
在中，得
在中，，
在中，
所以得，
在中，得
又从而故
同理，因为所以即二面角的大小为
32.(2011年高考江苏卷16)如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点.求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD
【解析】证明: （1）因为E、F分别是AP、AD的中点,
所以EF∥PD,又因为EF平面PCD,PD平面PCD,
所以直线EF∥平面PCD；
（2）设AB=AD=,则AF=,又因为∠BAD=60°，
所以在中,由余弦定理得：BF=，
所以，所以BF⊥AF，
因为平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，平面ABCD，所以BF⊥平面PAD，因为平面BEF，
所以平面BEF⊥平面PAD.
33. (2011年高考江苏卷22)（本小题满分10分）
如图，在正四棱柱中，，点是的中点，点在上，设二面角的大小为。
（1）当时，求的长；
（2）当时，求的长。
解析：考察空间向量基本概念、线面所成角、距离、数量积、空间想象能力、运算
能力，（1）是中档题，（2）是较难题。
以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴，
建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0) )，设M(0，1,z),
面MDN的法向量，
设面A1DN的法向量为，则
取即
(1)由题意：取
（2）由题意：即取
34.（2011年高考辽宁卷文科18)（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD。
（I）证明：PQ⊥平面DCQ；
（II）求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值。
解析：（I）由条件知，PDAQ是直角梯形，
因为AQ⊥平面ABCD,所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交线是AD。
又四边形ABCD是正方形，DC⊥AD,所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC。
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD.
所以PQ⊥平面PCQ.
35.(2011年高考安徽卷文科19)（本小题满分13分）
如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，,△，△，△都是正三角形。
（Ⅰ）证明直线∥；
（II）求棱锥F-OBED的体积。
【命题意图】：本题考察空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算，考察空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力。
（1）【证法一】： 同理可证
，
【证法二】：设G是线段DA与EB延长线的交点，
同理设是线段DA与FC延长线的交点，有，又G与都在线段DA的延长线上，所以G与重合。
又 和 ,可知B和C分别是线段GE和GF的中点，
（2）【解析】：由OB=1，OE=2，,得，而是边长为2的正三角形，故，所以
过点F作FQ⊥DG，交DG于Q点，由于平面ABED⊥平面ACFD，所以FQ⊥平面ABED
所以FQ就是棱锥F-OBED的高，且,所以
【解题指导】：空间线线、线面、面面位置关系的证明方法，一是要从其上位或下位证明，本题的第一问方法一，是从其上位先证明面面平行，再借助面面平行的性质得到线面平行，再借助线面平行的性质得到线线平行；二是借助中位线定理等直接得到；三是借助空间向量直接证明。
求不规则的几何体体积或表面积，通常采用分割或补齐成规则几何体即可。求解过程要坚持“一找二证三求”的顺序和原则防止出错。
36.（2011年高考全国卷文科20) (本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)
如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，.
（Ⅰ）证明：;
（Ⅱ)求与平面所成角的大小.
【解析】（Ⅰ）：连结BD过D作
，在
，在
，同理可证
（Ⅱ）过做平面，如图建立空间直角坐标系，
可计算平面的一个法向量是，
所以与平面所成角为
37．（2011年高考重庆卷文科20)（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）
如题（20）图，在四面体中，平面ABC⊥平面，
（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；
（Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值。
解法一：（I）如答（20）图1，过D作DF⊥AC垂足为F，
故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF
是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，
则由AC=AD，知AG⊥CD，从而
由
故四面体ABCD的体积
解法二：（I）如答（20）图2，设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB于H，过O作OM⊥AC，交AD于M，由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM。因此以O为原点，以射线OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系O—xyz.已知AC=2，故点A，C的坐标分别为A（0，—1，0），C（0，1，0）。
设点B的坐标为，有
即点B的坐标为
又设点D的坐标为有
即点D的坐标为从而△ACD边AC上的高为
又
故四面体ABCD的体积
即二面角C—AB—D的平面角的正切值为
3
3
2
正视图
侧视图
俯视图
图1
第8题图
E2011年高考试题解析数学（文科）分项版
15 算法框图
一、选择题:
1. （2011年高考福建卷文科5)阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是
A.3 B.11 C.38 D.123
【答案】B
【解析】,所以输出,选B.
2. （2011年高考陕西卷文科7)如右框图，当时，等于
(A) 7 (B) 8 (C)10 （D）11
【答案】B
【解析】：而则
所以即故选B
二、填空题:
3.(2011年高考安徽卷文科12)如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .
【答案】15
【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n项和.
【解析】由算法框图可知，若T＝105，则K＝14，继续执行循环体，这时k＝15，T>105，所以输出的k值为15.
4.（2011年高考江西卷文科13)下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_ ___.
【答案】27
【解析】由框图的顺序，s=0,n=1,s=(s+n)n=(0+1)*1=1,n=n+1=2,依次循环S=(1+2)*2=6,n=3,注意此刻3>3仍然是否，所以还要循环一次s=(6+3)*3=27,n=4，此刻输出，s=27.
5．（2011年高考湖南卷文科11)若执行如图2所示的框图，输入则输出的数等于 ．
答案：
解析：由框图功能可知，输出的数等于。
开始
输入
开始
开始
否
是
结束
输出
开始
图22011年高考试题解析数学（文科）分项版
04 数列
一、选择题:
1.(2011年高考安徽卷文科7)若数列的通项公式是,则
（A） 15 (B) 12 (C ) (D)
【答案】A
【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题.
【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；
4. （2011年高考四川卷文科9)数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1, an+1 =3Sn(n ≥1),则a6=
（A）3 ×44 （B）3 × 44+1
(C) 44 （D）44+1
答案： A
解析：由题意，得a2=3a1=3.当n ≥1时，an+1 =3Sn(n ≥1) ①，所以an+2 =3Sn+1 ②，
②-①得an+2 = 4an+1 ，故从第二项起数列等比数列，则a6=3 ×44.
5. （2011年高考陕西卷文科10)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）
（A）(1)和（20） （B）(9)和（10） (C) （9）和（11） (D) （10）和（11）
7.（2011年高考全国卷文科6)设为等差数列的前项和，若，公差，，则
（A）8 （B）7 （C）6 （D）5
【答案】D
【解析】
故选D。
1．（2011年高考重庆卷文科1)在等差数列中，，＝
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】D
二、填空题:
8.（2011年高考浙江卷文科17)若数列中的最大项是第项，则=_______。
【答案】4
11.(2011年高考江苏卷13)设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________
【答案】
【解析】考察综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，难题。
由题意：，
，而的最小值分别为1，2，3；。
15.（2011年高考辽宁卷文科15)Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=____________。
答案： -1
解析：设等差数列的公差为d，解方程组得d=-2，a5=a4+d=-1.
三、解答题:
16. （2011年高考江西卷文科21) (本小题满分14分）
（1）已知两个等比数列，满足，
若数列唯一，求的值；
（2）是否存在两个等比数列，使得成公差为
的等差数列？若存在，求 的通项公式；若存在，说明理由．
（2）假设存在这样的等比数列，则由等差数列的性质可得：，整理得：
要使该式成立，则=或此时数列，公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列.
17. （2011年高考福建卷文科17)（本小题满分12分）
已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3.
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.
18．（2011年高考湖南卷文科20)（本题满分13分）
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．
（I）求第n年初M的价值的表达式；
（II）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．
解析：（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列．
当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以
因此，第年初，M的价值的表达式为
(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得
当时，
当时，
因为是递减数列，所以是递减数列，又
所以须在第9年初对M更新．
19. （2011年高考四川卷文科20)（本小题共12分）
已知﹛﹜是以为首项，q为公比的等比数列，为它的前项和.
（Ⅰ）当成等差数列时，求q的值；
(Ⅱ)当，，成等差数列时，求证：对任意自然数也成等差数列.
(Ⅱ)当成等差数列，则.
当时，由，得，即.
；
当时，由，得，
化简得.
，
综上，对任意自然数也成等差数列.
20. （2011年高考湖北卷文科17)（本小题满分12分）
成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列
中的
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)数列的前n项和为，求证：数列是等比数列.
本小题主要考查等差数列、等比数列及其求和公式等基础知识，同时考查基本运算能力.
解析：
（1）设成等差数列的三个正数分别为a-d，a, a+d.
依题意，得a-d+a+a+d=15,解得a=5.
所以中的依次为7-d，10，18+d.
依题意，有（7-d）（18+d）=100，解得d=2或d=-13（舍去）.
故的第3项为5，公比为2.
由，即，解得
所以是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为.
（2）数列的前n项和即
所以
因此是以为首项，公比为2的等比数列.
21. （2011年高考山东卷文科20)（本小题满分12分）
等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.
【解析】（Ⅰ）由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.
22.(2011年高考安徽卷文科21)（本小题满分13分）
在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【命题意图】：本题考察等比和等差数列，指数和对数运算，两角差的正切公式等基本知识，考察灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又
所以数列的前项和为
【解题指导】：做数列题时应优先运用数列的相关性质，本题考察的是等比数列前n项积，自然想到等比数列性质：，倒序相乘法是借鉴倒序相加法得到的，这样处理就避免了对n奇偶性的讨论。
第二问的数列求和应联想常规的方法：倒序相加法，错位相减法，裂项相消法。而出现时自然应该联想正切的和角或差角公式。本题只要将这两个知识点有机结合起来就可以创造性的把问题解决。
23．(2011年高考广东卷文科20)（本小题满分14分）
设b>0,数列满足,．
求数列的通项公式；
证明：对于一切正整数,．
【解析】
24. （2011年高考全国新课标卷文科17)（本小题满分12分）
已知等比数列中，，
（1）为数列前项的和，证明：
（2）设，求数列的通项公式；
17.分析：（1）直接用等比数列通项公式与求和公式；（2）代人化简得到等差数列在求其和。
解：（1）
点评：本题考查等比、等差数列的通项公式与求和公式。注意正确用公式计算。
25．（2011年高考浙江卷文科19)（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项 为 (),且，，成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式（Ⅱ）对，试比较 与的大小.
【解析】：（Ⅰ）
数列的通项公式
（Ⅱ）记因为，所以
从而当时，；当时，
26. (2011年高考天津卷文科20)（本小题满分14分）
已知数列与满足,,且.
（Ⅰ）求的值;
(Ⅱ)设,,证明是等比数列;
(Ⅲ)设为的前n项和,证明.
【解析】（Ⅰ）由,可得,,
当n=1时,由,得;
当n=2时,可得.
(Ⅱ)证明:对任意,--------①
---------------②
②-①得: ,即,于是,所以是等比数列.
(Ⅲ)证明:,由(Ⅱ)知,当且时,
=2+3(2+)=2+,故对任意, ,
由①得所以,,
因此,,于是,
故=,
所以.
【命题意图】本小题主要等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.
27.(2011年高考江苏卷20)设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当n>k时，都成立
（1）设M=｛1｝，，求的值；
（2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式
由（5）（6）得：
由（9）（10）得：成等差，设公差为d,
在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：
28．(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分）
设整数，是平面直角坐标系中的点，其中
（1）记为满足的点的个数，求；
（2）记为满足是整数的点的个数，求
29.（2011年高考全国卷文科17) (本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)
设数列的前N项和为,已知求和
【解析】设等比数列的公比为，由题解得
所以则
则
30．（2011年高考重庆卷文科16)（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）
设是公比为正数的等比数列，，。
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和。
解：（I）设q为等比数列的公比，则由，
即，解得（舍去），因此
所以的通项为
（II）2011年高考试题解析数学（文科）分项版
09 直线与圆
一、选择题:
1.(2011年高考安徽卷文科4)若直线过圆的圆心,则a的值为
（A）1 (B) 1 (C) 3 (D) 3
2. （2011年高考山东卷文科12)设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (λ∈R)，(μ∈R)，且,则称，调和分割， ,已知点C(c，o),D(d，O) (c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是
(A)C可能是线段AB的中点
(B)D可能是线段AB的中点
(C)C，D可能同时在线段AB上
(D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上
【答案】D
【解析】由 (λ∈R)，(μ∈R)知:四点，，，在同一条直线上,
因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,且, 故选D.
3．(2011年高考广东卷文科8)设圆C与圆 外切，与直线相切．则C的圆心轨迹为（ ）
A． 抛物线 B． 双曲线 C． 椭圆 D． 圆
5.（2011年高考全国卷文科11)设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离=
(A)4 (B) (C)8 (D)
【答案】C
【解析】设和两坐标轴相切圆的方程为：，将带入方程整理得：，
二、填空题：
6.（2011年高考浙江卷文科12)若直线与直线与直线互相垂直，则实数=_______
【答案】
【解析】：，即
7．（2011年高考湖南卷文科15)已知圆直线
（1）圆的圆心到直线的距离为 ．
(2) 圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为 ．
答案：5，
9.（2011年高考辽宁卷文科13)已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上．则C的方程为___________.
答案：
解析：直线AB的斜率是kAB=，中点坐标是(3,2).故直线AB的中垂线方程，由得圆心坐标C（2,0），r=|AC|=,故圆的方程为。
10．（2011年高考重庆卷文科13)过原点的直线与圆相交所得弦的长为2，则该直线的方程为
【答案】
三、解答题：
11. （2011年高考山东卷文科22)（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若 ，（i）求证：直线过定点；
（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）由题意:设直线,
由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即,,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得
，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.
（Ⅱ）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且 ，所以,又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).
12.(2011年高考安徽卷文科17)（本小题满分13分）
设直线
（I）证明与相交；
（II）证明与的交点在椭圆上.
【命题意图】：本题考察直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考察反证法的证明思路、推理论证能力和运算求解能力。
【解析】：（1）（反证法）假设与不相交，则与必平行， 代入得
，与是实数相矛盾。从而，即与相交。
（2）（方法一）由得交点p的坐标（x,y）为
,
而
所以与的交点p的（x,y）在椭圆上
（方法二）与的交点p的（x,y）满足：，，从而
，代入得，整理得
所以与的交点p的（x,y）在椭圆上
【解题指导】：两直线的位置关系判定方法：
（1）
（2）
（3）
证明两数不等可采用反证法的思路。
点在线上的判断与证明只要将点的坐标代入曲线方程判断其是否成立即可，或求出交点的轨迹方程并判断与所给的曲线方程是否一致即可。本题属于中档题。
13. （2011年高考福建卷文科18)（本小题满分12分）
如图，直线l ：y=x+b与抛物线C ：x2=4y相切于点A。
求实数b的值；
（11） 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
【解析】（I）由得 ()
因为直线与抛物线C相切,所以,解得.
（II）由（I）可知,故方程()即为,解得,将其代入,得y=1,故点A(2,1).
因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r,
即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为.
【命题立意】本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想.
14. （2011年高考全国新课标卷文科20)（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，曲线坐标轴的交点都在圆C上，
（1）求圆C的方程；
（2）如果圆C与直线交于A,B两点，且，求的值。
分析：用待定系数求圆的方程；由根与系数的关系和向量垂直求字母的值。
解：（Ⅰ）曲线
因而圆心坐标为则有
半径为，所以圆方程是
（Ⅱ）设点满足
解得：
点评：本题考查曲线的交点、直线与圆的方程、直线与圆以及向量的垂直关系的综合应用，要对每一点熟练把握。2011年高考试题解析数学（文科）分项版
13 统计
一、选择题:
1. （2011年高考江西卷文科7)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】计算可以得知，中位数为5.5，众数为5所以选D
2. （2011年高考江西卷文科8)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x（cm） 174 176 176 176 178
儿子身高y（cm） 175 175 176 177 177
则y对x的线性回归方程为
A.y = x-1 B.y = x+1 C.y = 88+ D.y = 176
【答案】C
【解析】线性回归方程，，
3. （2011年高考福建卷文科4)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为
A. 6 B. 8 C. 10 D.12
【答案】B
【解析】设样本容量为N,则,所以,故在高二年级的学生中应抽取的人数为,选B.
4. （2011年高考山东卷文科8)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元
5. （2011年高考四川卷文科2)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
2 4 9 18
11 12 7 3
根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占
（A） (B) (C) (D)
答案：B
解析：大于或等于31.5的数据所占的频数为12+7+3=22，该数据所占的频率约为.
6. （2011年高考陕西卷文科9)设··· ，是变量和的次方个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ）
(A) 直线过点
（B）和的相关系数为直线的斜率
（C）和的相关系数在0到1之间
（D）当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同
【答案】A
【解析】：由得又，所以则直线过点，故选A 7．（2011年高考湖南卷文科5)通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
由
附表：
0．050 0．010 0．001
3．841 6．635 10．828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
答案：A
解析：由，而，故由独立性检验的意义可知选A.
8．（2011年高考湖北卷文科5)有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12]内的频数为
A.18 B.36 C.54 D.72
二、填空题：
10. （2011年高考山东卷文科13)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 .
【答案】16
【解析】由题意知,抽取比例为3:3:8:6,所以应在丙专业抽取的学生人数为40=16.
11．(2011年高考广东卷文科13)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球的时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x 1 2 3 4 5
命中率y 0．4 0．5 0．6 0．6 0．4
小李这 5天的平均投篮命中率为 ，用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 ．
【答案】0.5;0.53
【解析】由题得小李这 5天的平均投篮命中率为
12. （2011年高考湖北卷文科11)某市有大型超市200家、中型超市400家，小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市 家.
答案：20
解析：应抽取中型超市（家）.
13.（2011年高考浙江卷文科13)某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某此数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）。根据频率分布直方图3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_____________________
【答案】600
14.(2011年高考江苏卷6)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差
【答案】3.2
【解析】考查方差的计算,可以先把这组数都减去6,再求方差,,属容易题.
15.（2011年高考辽宁卷文科14)调查了某地若干户家庭的年收x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,井由调查数据得到y对x的回归直线方程.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1万元，年饮食支出平均增加_____________万元.
【解析】(1)由频率分布表得,即.
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件,所以;
等级系数为5的恰有2件,所以,从而=0.1,所以.
(2)从日用品中任取两件,所有可能的结果为:
,,,,,,,,,.
设事件A表示“从日用品中任取两件,其等级系数相等”,则A包含的基本事件为
,,,,共4个.
又基本事件的总数为10,故所求的概率.
【命题立意】本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、分类与整体思想、必然与或然思想.
17．（2011年高考湖南卷文科18)（本题满分12分）
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5；已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．
（I）完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
（II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．
解：（I）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
（II）
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为．
18．(2011年高考广东卷文科17)（本小题满分13分）
在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用表示编号为的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n 1 2 3 4 5
成绩 70 76 72 70 72
（1）求第6位同学成绩，及这6位同学成绩的标准差；
（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间中的概率．
【解析】
19. （2011年高考陕西卷文科20)（本小题满分13分）
如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位
从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
（Ⅰ）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
时间（分钟）
选择 6 12 18 12 12
选择 0 4 16 16 4
（Ⅱ ）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
（Ⅲ ）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径。
解：（Ⅰ）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，用频率估计相应的概率为0.44.
（Ⅱ ）选择的有60人，选择的有40人，故由调查结果得频率为：
时间（分钟）
的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
（ Ⅲ ），，分别表示甲选择和时，在40分钟内赶到火车站；，分别表示乙选择和时，在50分钟内赶到火车站。
由（Ⅱ）知 =0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5，
甲应选择
=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8， =0.1+0.4+0.4=0.9，，
∴ 乙应选择.
20. （2011年高考全国新课标卷文科19)（本小题满分12分）
某种产品以其质量指标值衡量，质量指标越大越好，且质量指标值大于102的产品为优质产品，现在用两种新配方（A配方、B配方）做试验，各生产了100件，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
频数 8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组
频数 4 12 42 32 8
分别估计使用A配方，B配方生产的产品的优质品的概率；
已知用B配方生产一件产品的利润与其质量指标的关系为：
估计用B配方生产上述产品平均每件的利润。
21.（2011年高考辽宁卷文科19) (本小题满分12分)
某农场计划种植某种新作物．为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种
乙)进行田间试验，选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中．随机
选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙
(Ⅰ)假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率：
(Ⅱ)试验时每大块地分成8小块．即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位kg／hm2)如下表：
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为
应该种植哪一品种
附：样本数据x1，x2，…，xa的样本方差，其中为样本平均数。
解析：（I）设第一大块地中的两小块地编号为1,2，第二大块地中的两小块地编号为3,4，令事件A=“第一大块地都种品种甲”，从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）。
而事件A包含1个基本事件：（1，2），所以P（A）=.
（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是：
，
。
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是：
，
，
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙。
22.(2011年高考安徽卷文科20)（本小题满分10分）
某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份 2002 2004 2006 2008 2010
需求量（万吨） 236 246 257 276 286
（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程;
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。
温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明.
【命题意图】：本题考察回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义和求法，数据处理的基本方法和能力，，考察运用统计知识解决简单实际应用问题能力和运算求解能力。
【解析】：（Ⅰ）由所给数据可以看出，年需求量与年份之间的是近似直线上升，为此对数据预处理如下表：
年份-2006 -4 -2 0 2 4
需求量-257 -21 -11 0 19 29
对预处理后的数据，容易算得
=0 ，=3.2
，
所求的回归直线方程为
即
（Ⅱ）当x=2012时，（万吨）
答：该地2012年的粮食需求量为299.2万吨。
【解题指导】：求回归直线方程的思维含量不高，但对数据处理和运算能力要求非常高，本题若不先对数据进行预处理，出错的可能性很大。此外还要说明一点：试卷开头“考生注意事项”部分已经提示：“若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算.”做卷时要注意这些细节。2011年高考试题解析数学（文科）分项版
14 复数、推理与证明
一、选择题:
1.（2011年高考山东卷文科2)复数z=(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为
（A）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
【答案】D
【解析】因为,故复数z对应点在第四象限,选D.
2. （2011年高考海南卷文科2)复数=( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为=,故选C.
5．(2011年高考广东卷文科1)设复数满足，其中为虚数单位，则= （ ）
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】由题得所以选A.
6. （2011年高考江西卷文科1)若，则复数=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 .
7. （2011年高考江西卷文科6)观察下列各式：则，…，则的末两位数字为（ ）
A.01 B.43 C.07 D.49
【解析】由于=,对于①, 等于402余1，所以;
对于②,-3=-5+2,被5除应余2,所以②错;对于③,任意一整数,被5除余数为0,1,2,3,4,所以,所以③正确;对于④，先证充分性,因为是同一类,可设则即,.不妨令,则,,,所以属于同一类,故④正确,则正确的有①③④.
10．（2011年高考湖南卷文科2)若为虚数单位，且，则
Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．
13.（2011年高考辽宁卷文科2)i为虚数单位，（ ）
（A）0 （B）2i （C）-2i （D）4i
答案： A
解析：。
二、填空题:
14.(2011年高考江苏卷3)设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是_________
【答案】1
【解析】因为，所以,故的实部是1.
15.（2011年高考陕西卷文科13)观察下列等式
照此规律，第五个等式应为__________________.
【答案】
【解析】：第5个等式是首项为5，公差1，项数为9的等差数列，即
三、解答题:
16．(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分）
设整数，是平面直角坐标系中的点，其中
（1）记为满足的点的个数，求；
（2）记为满足是整数的点的个数，求
解析：考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力，较难题。
（1）因为满足的每一组解构成一个点P,所以。
（2）设，则
对每一个k对应的解数为：n-3k,构成以3为公差的等差数列；
当n-1被3整除时，解数一共有：
当n-1被3除余1时，解数一共有：
当n-1被3除余2时，解数一共有：
17．（2011年高考四川卷文科22)（本小题满分14分）
已知函数.
（Ⅰ）设函数F(x)=18 f(x)-x2 [h(x)]2,求F(x)的单调区间与极值；
（Ⅱ）设aR,解关于x的方程lg[f(x-1)- ]=2lgh(a-x)- 2lgh(4-x);
（Ⅲ）设n*,证明：f(n)h(n)- [h(1)+h(2)+ …+h（n）] ≥.
（Ⅱ）由方程lg[f(x-1)- ]=2lgh(a-x)- 2lgh(4-x)，
得，即，即，
方程可以变为，
，
当，方程，，；
当，方程，；
当时，方程有一个解；
当方程无解.
18．(2011年高考广东卷文科20)（本小题满分14分）
设b>0,数列满足,．
求数列的通项公式；
证明：对于一切正整数,．
【解析】2011年高考试题解析数学（文科）分项版
06 不等式
一、选择题:
1. （2011年高考山东卷文科7)设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为
(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5
【答案】B
【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线平移至点A(3,1)时, 目标函数取得最大值为10,故选B.
2.（2011年高考浙江卷文科3)若实数满足不等式组 ,则的最小值是
(A)13 (B)15 (C)20 (D)28
【答案】 A
【解析】三条直线的交点分别为（0,1），（0，－1），（1,0），分别代入，得最大值为2，最小值为－2.故选B.
【解题指导】：线性规划问题不牵涉目标函数的斜率问题时，可以不画图，直接将交点坐标求出代入计算即可。
4.（2011年高考浙江卷文科6)若为实数,则“”是“”的( )
A．充分而不必要条件　　　　 　　B．必要而不充分条件
C．充分必要条件　　　　　　　　 D．即不充分也不必要条件
7. (2011年高考天津卷文科5)已知则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,都小于1且大于0,故排除C,D;又因为都是以4为底的对数,真数大,函数值也大,所以,故选B.
8 ．(2011年高考广东卷文科4)函数的定义域是 （ ）
A． B． C． D．
OABC,，所以就是求的最大值，表示数形结合观察得当点M在点B的地方时，才最大。
,所以，所以选择B
11.（2011年高考江西卷文科3)若，则的定义域为( )
B. C. D.
【答案】C
【解析】 .
12. （2011年高考福建卷文科6)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
A. (-1,1)
B. (-2,2)
C. (-∞，-2) ∪（2，+∞）
D.（-∞，-1）∪（1，+∞）
【解析】,所以在处有极值,所以,即,
又,所以,即,所以,当且仅当时等号成立,所以
的最大值为9,选D.
14. （2011年高考四川卷文科10)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润
（A） 4650元 （B）4700元
(C) 4900元 （D）5000元
15. （2011年高考陕西卷文科3)设，则下列不等式中正确的是
（A） （B）
（C ） (D)
【答案】B
【解析】：，
又所以故选B
16．（2011年高考湖南卷文科3)的
A．充分不必要条件　　　　Ｂ．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
答案：A
解析：因，反之
，不一定有。
17．（2011年高考湖北卷文科8)直线与不等式组表示平面区域的公共点有
A.0个 B.1个
C.2个 D.无数个
答案：B
解析：画出可行域（如图示），可得B(0,2) , A(2,4),
C(5,0) ,D(0, ), E(0,10),故由图知有唯一交点，故选B。
18.（2011年高考全国卷文科4)若变量x、y满足约束条件，则的最小值为
（A）17 （B）14 （C）5 （D）3
【答案】C
【解析】作出可行域，分析可知当，
19.（2011年高考全国卷文科5)下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】： 故选A。
20. （2011年高考湖北卷文科10)若实数满足，且，则称与互补，记那么是与b互补的
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：C
解析：由，即，故，则，化简得，即ab=0，故且，则且，故选C.
21.（2011年高考辽宁卷文科11)函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2,对任意，,则的解集为
(A)(-1，1) (B)(-1，+∞) (c)(-∞，-l) (D)(-∞,+∞)
【解析】两种方法，方法一：分三段，当x<-10时， -x-10+x-2,
当时， x+10-x+2,
当x>2时， x+10-x+2,x>2,
方法二：用绝对值的几何意义，可以看成到两点-10和2的距离差大于等于8的所有点的集合，画出数轴线，找到0到-10的距离为10，到2的距离为2，，并当x往右移动，距离差会大于8，所以满足条件的x的范围是.
24. （2011年高考海南卷文科14)若变量满足约束条件,则的最小值为 .
【答案】-6
【解析】画出不等式组表示的平面区域,平移目标函数表示的直线,不难求出最小值为-6.
25．（2011年高考浙江卷文科16)若实数满足，则的最大值是 。
【答案】
【解析】：：
26. (2011年高考天津卷文科12)已知,则的最小值为 .
Q两点，所以线段PQ长为，当且仅当时等号成立，故线段PQ长的最小值是4.
28.（2011年高考陕西卷文科12)如图，点在四边形ABCD内部和边界上运动，那么的最小值为 .
【答案】1
【解析】：令，所以过时在轴上截距最大，即时有最小值为
29．（2011年高考重庆卷文科15)若实数的最大值是
【答案】
30．（2011年高考湖南卷文科14)设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为 ．
答案：3
解析：画出可行域，可知在点取最大值为4，解得。

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