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部分易错题（二中）
1、在棱长为4的正方体中，是上的一点，且=,则多面体的体积为（ ）
A B C 4 D 16
解析：B 不了解棱锥体积公式
2、幂函数在上的最小值为______
解析：－1、2 函数增减性及图象不清楚
3、已知f(x) = ax + ，若求的范围。
错误解法 由条件得
②×2－①
①×2－②得
+得
错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的。当取最大（小）值时，不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。
正确解法 由题意有, 解得：
把和的范围代入得
4、设是方程的两个实根，则的最小值是
解析：C 不会求解析式
5、已知(x+2)2+ =1, 求x2+y2的取值范围。解析：[1, ]
由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此 x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+ ，
∴当x=－时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是(－∞, )
错误分析：范围的界定、曲线性质把握不准。
6、已知中，的对边分别为若且，
则 A.2 B．4＋ C．4— D．
解析：A 错用正弦定理与余弦定理
7、设，则（ ）
A B C D
解析：C 对于等号成立的条件理解不到位。
8、1．若，则下列关系中不能成立的是 （ ）
A B C D
解析：B 不等式的性质应用不熟练 对做差法的应用
9、已知均为实数，有下列命题：
（1）若，则
（2）若，则
（3）若，，则。其中正确命题的个数是 （ ）
A 0 B 1 C 2 D3
解析：B 不等式的性质应用不熟练、赋值法的应用
10、下列不等式中成立的是 ( )
（A）lgx+logx10≥2(x＞1) （B）+a≥2 (a0)
（C）＜(a＞b) （D）a≥a(t＞0,a＞0,a1)
解析：B 均值不等式成立的条件1、
错解： 错因：把作为一个函数了
2、若函数是指数函数，则（ ）
A、或 B、 C、 D、且
错选A
错因：由幂函数的定义得到，没有检验。
3、若函数只有一个零点，则a的取值范围
解：，所以符合题意。
，则
错因：漏掉二次项系数为零的情况
4、已知函数取值范围是？
解：
；单调递减，所以y的最小值为
错因：（1）转化为最值时出错（2）漏掉等号
5、已知
解：由题意得：解得
错因：没有考虑限制条件，为舍去
6、的值域。
【错解】设，则，所以，
所以，从而的值域为[-3，+∞）。
【分析】若y=3，则，显然不成立，错误的原因是没有注意这一隐含条件。在利用换元法时，一定要注意换元后新变量的取值范围。
【正解】设，则，
所以，
因为当x=0时，y= -2，从而的值域为（-2，+∞）。
【评注】在利用换元法时，一定要注意换元后新变量的取值范围。
7、求函数的单调区间。
【错解】∵，∴在（-∞，3]是减函数；在[3，∞，）是增函数，又是减函数，所以函数的增区间是（-∞，3] ；减区间是[3，∞，）。
【分析】x=3时，无意义，所以上述解法是错误的。错误的原因是没有考虑函数的定义域。
【正解】由得x＜1或x＞5，即函数的定义域为{x| x＜1或x＞5}，
当x＜1时，是减函数，是减函数，所以是增函数；
当x＞5时，是增函数，是减函数，所以是减函数；
所以的增区间是（-∞，1）；减区间是（5，∞，）。
【评注】函数的定义域是函数三要素之一，在解决函数的有关问题时切莫忘记函数的定义域。
8、的定义域为R，求a的取值范围。
【错解】∵的定义域为R，∴在R上恒成立，即：
，所以a的取值范围为（0，4）。
【分析】当a=0时，也满足；
【正解】①当a=0时，y=0，满足条件，即函数y=0的定义域为R；
②当a≠0时，由题意得：；
由①②得a的取值范围为[0，4）。
【评注】参数问题，分类要不重不漏，对于不等式不一定是一元二次不等式。
9、已知集合满足的映射的个数是
A、2 B、4 C、7 D、6
答案：C
解析：可从集合B中，的象的和等于入手分析显然
有四种情况分别对应的映射有：2个、1个、2个、2个共有个。
10、若函数在区间上为减函数，则的取值范围是
A、 B、 C、 D、
答案：C
解析：根据同增异减的规律可知二交函数在区间上为减函数，则易知以a为底的对数函数为增函数，易忽略当x在区间上取值时，真数为零的限制。典 型 错 题
高 密 市 实 验 中 学 命题人：杜乾古
1．若函数的定义域是，则的定义域是--------------
答案：[,4]
2．设x0是方程lnx+x=4的解,则x0属于区间( C )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
3．定义在R上的奇函数在（0，+∞）上是增函数，又，则不等式的解集为（ A ）
A．（－3，0）∪（0，3） B．（－∞，－3）∪（3，+∞）
C．（－3，0）∪（3，+∞） D．（－∞，－3）∪（0，3）
4．设函数f(x)=,若f(-4)=f(0),f(-2)=－2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数是( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
5．已知，则等于（ D ）
A． B． C． D．
6..若不等式对一切成立，则实数的取值范围 ；
7.已知函数f（x）=2ax -在上是增函数，则实数a的取值范围是_______
8、 已知曲线，则曲线过点的切线方程为
4x-y-4=0或x-y+2=0 。
是否存在实数a，使函数在区间[2,4]上是单调递增函数，若存在，说明a可取哪些值；若不存在，说明理由。
（答案：a>1，提示：根据a的范围展开讨论）
10、求证：当x＞1时，+lnx＜.
答案：构造函数：，
求导，证明其在上单调递增，且一轮复习十个易错题解析
一、不明确集合的本质，数集、点集搞混。
已知集合,，若,求实数m的取值范围。
【错解分析】：可能误以为集合A是一个一元二次方程的解集而导致失误，也可能不考虑集合中对的限制从而在整个实数集上解决这个问题。
【正确解法】：问题等价于方程组在上有解，即在上有解，,则由知抛物线过点，抛物线在上与x轴有交点等价于或，由上得，实数的取值范围为。
二、分类讨论遗忘空集导致错误。
错因【错解分析】：本题易忽略B为空集的情况易得错解。
【正确解法】，
综上可知m的取值范围为。
三：求函数奇偶性的几种常见错误
判断函数的奇偶性：
（1）（2）
（3）（4）
【错解分析】：解本题出现的几种错误是：求错定义域或是忽视定义域，函数奇偶性概念的前提条件不清，对分段函数的奇偶性判断方法不对等。
【正确解法】：（1）由，的定义域为，关于原点不对称，所以函数为非奇非偶函数。
（2）既是奇函数又是偶函数。
（3）由，得到函数得定义域为，
所以函数为偶函数。
（4）当，则，
当，则，。
综上所述对任意的，都有。
所以函数为奇函数。
四、利用均值不等式时，忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。
已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值。
【错解分析】 (a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,
∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.
上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。
【正确解法】原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4
= (1－2ab)(1+)+4，
由ab≤()2= 得：1－2ab≥1－=, 且≥16，1+≥17，
∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，
∴(a + )2 + (b + )2的最小值是。
五、忽视隐含条件，导致结果错误。
已知(x+2)2+ =1, 求x2+y2的取值范围。
【错解分析】 由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此 x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+ ，
∴当x=－时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是(－∞, ]。
分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。
【正确解法】:由于(x+2)2+ =1 (x+2)2=1－ ≤1 －3≤x≤－1，
从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴ x2+y2的取值范围是[1, ]。
注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。
六、知识掌握不够熟练，借助死记硬背，往往只能停留在“课本知识”的表面，对基础知识不能灵活理解，相互沟通，缺乏综合运用知识的能力
定义域为R的函数在（8，+）上为单调递减，且函数y=为偶函数，则（ ）
B.
C.D.
【错解分析】根据y=为偶函数，所以=，又令t=8+x， 代入=中得：=，所以函数是偶函数，再去选择答案时，发现不能确定对错
【正确解法】y=是偶函数，即y=关于直线x=8对称，又在（8，+）上为减函数，故在（-）上为增函数，检验知：选D
[纠错反思]由为偶函数，则有=，而不是=，该题还可把y=向右平移8个单位得到y=图象，故y=的对称轴为X=8，从而得到的单调性
七、 主观臆断出错
[例8]（2006年全国高考题）函数y=的图象与函数=log2x（x>0）的因素关于原点对称，则y=的解析式为（ ）
A.=(x>0) B. =(x<0)
C．=-log2 x（x>0） D.=-log2（ <0）
【错解分析】：1把X换成-X，代入g（x）= log2 x（x>0）得：=(x<0)，所以选 B
2.根据=log2 x（x>0）恒过点（1，0），所以y=f（x）恒过点（-1，0），所以选B
[错因诊断]第一种解法没有真正理解对称的含义，不清楚利用图系变换去求函数表达式的方法
第二种解法主观臆断，以为只要恒过点（-1，0）的解析式即为所求
【正确解法】：设y=f（x）上任一点p（x,y），由于p关于o对称的点p′（-x,-y）在y=g（x）上，∴-y=log2（）即y=-log2（- x）这里-x>0，∴x<0，故=-log2 （）（x<0）为所求故选D
[纠错反思]
解题必须有根有据，由似曾相识的结论去武断行事，缺乏推理盲目地套用，往往导致全盘皆输，所以数学解题必须理由充分，不能妄下结论
八、恒成立问题不注意范围
若不等式对于任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．a >1
【错解分析】此题容易错选为B，错误原因是对恒成立问题理解不清楚。
【正确解法】当a>1时，易知是恒成立；当0九、惯性思维，考虑问题不全面
设是方程的两个实根，则的最小值是
【错解分析】：误A，应注意∴
思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。
利用一元二次方程根与系数的关系易得：
有的学生一看到，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。【正确解法】如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。
原方程有两个实根，∴
当时，的最小值是8；
当时，的最小值是18。
这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。
十、实际应用问题不考虑定义域
甲、乙两地相距s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元。
把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；
为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
【错解分析】（1）依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间是，全程运输成本为 y=a+bv2=s(+bv) 故所求函数即定义域为y= s(+bv) , 0＜v≤c
（2）由题意s,a,b,v均为正数，故s(+bv)≥2s （当且仅当=bv时，即 v=时，等号成立）∴v=时，全程运输成本最小。
【正确解法】在（2）中，结论成立的条件是v=，但速度能否达到呢？没有注意实际问题中的条件限制，使解答不够完整。应分以下两种情况讨论：①若≤c,则当v=时，全程运输成本最小。②若＞c,当0＜v≤c时,易证y是v的增函数，因此，当v=c时，全程运输成本最小。事实上，
s(+bv)- s(+bc)=s[a(-)+b(v-c)]=(c-v)(a-bcv)
∵c-v≥0且a＞bc2 ∴a-bcv≥a-bc2＞0
∴s(+bv)≥s(+bc) （当且仅当v=c时，等号成立）
综上所述，为使全程运输成本最小，当≤c时，行驶速度v=；当＞c时，行驶速度v=c。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m已知在x=2处有极大值，则常数c的值为____________。
【错因分析】：本小题易忽略函数取极大值的充要条件！对于可导函数，取得极大值的充要条件有两个：一是；二是在的左侧，；在的右侧，。学生在此类题目时往往忽视第二个条件，而产生了错误答案。
【解题思路】：6
求函数的递增区间？
【错因分析】：我们一直强调研究单调性时，定义域先行！但学生很容易忽视！导致错误答案为。
【解题思路】：
3.若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是 （ ）
A B C D
【答案】D
【解题思路】分类求解.当时，二次方程无实根，由得；当时，分母满足条件。因此，故选D.
【错因分析】
误区：的定义域为R，对任意x，分母，即二次方程无实根，，故选错B.
上述解法漏掉了这种特殊情况，当时，同样可以满足分母.
4.函数的值域为 （ ）
A B C D
【答案】C
【解题思路】因为，所以，即定义域为.原函数式变形为 ①
当2y-1=0，即y=时，此时方程①变为.原函数无意义，所以.
当2y-10时，方程①的根的判别式.
若，则，方程①变为，原函数无意义.
所以，若，则恒成立，此时方程①至少有一个解在原函数的定义域内。
综上，，故所求值域为，故选C
【错因分析】
误区：原函数式变形得，由
知恒成立，所以值域为，故错选A
上述解答中，利用根的判别式求值域有两个地方出错：①忽略了对的系数的讨论；②忽略了函数定义域对值域的制约.
5、已知A={x|}，B={x|}，若AB，求实数m的取值范围．
【错解】AB，解得：
【分析】忽略A=的情况.
【正解】（1）A≠时，AB，解得：；
（2）A= 时，，得.
综上所述，m的取值范围是（,
6、已知函数，，那么集合中元素的个数为…………………………………………………………………………（ ）
（A） 1 （B）0 （C）1或0 （D） 1或2
【错解】：不知题意，无从下手,蒙出答案D.
【分析】：集合的代表元，决定集合的意义，这是集合语言的特征.事实上，、、、分别表示函数定义域，值域，图象上的点的坐标，和不等式的解集.
【正解】：本题中集合的含义是两个图象的交点的个数.从函数值的唯一性可知，两个集合的交中至多有一个交点.即本题选C.
7、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m或x>1＋m}且BA，求m的范围.
【错解】因为BA，所以：.
【分析】两个不等式中是否有等号，常常搞不清楚.
【正解】因为BA，所以：.
8、“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，则以下四个命题：⑴M的元素都不是P的元素；⑵M中有不属于P元素；⑶M中有P的元素；⑷M的元素不都是P的元素，其中真命题的个数有……………………………………………………………（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 　 （D）4个
【错解】常见错误是认为第（４）个命题不对.
【分析】实际上，由“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题知非空集合M不是集合P的子集，故“M的元素不都是P的元素”（M的元素有的是、有的不是集合P的元素，或M的元素都不是P的元素）是正确的.
【正解】正确答案是B（2、4两个命题正确）.
9、若a<0, 则关于x的不等式的解集是 .
【错解】x<－a或x >5 a
【分析】把解集写成了不等式的形式；没搞清5 a和－a的大小.
【正解】{x|x<5 a或x >－a }
10、已知，求曲线过点的切线方程。
错解：点为切点，斜率，切线方程为
误区分析：因为点是曲线上的点，题意中没有强调是不是切点，所以要分类讨论点是切点或不是切点两种情况。
正解：当点为切点，斜率，切线方程为，
当点不是切点，设切点为
则斜率为
则，得切点为
切线方程为
所以过点的线方程为或。
11、已知函数，当时，函数取得极值，则
错解：，则，则或，故分别可得或
误区分析:导数为与函数取得极值不等价，所以要检验有没有增解。
正解：，则，则或，
经检验当，在取不到极值点，
当，在取到极大值易错十题
1、 已知集合M={y|y =x2＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）
A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}
C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}
错解：求M∩N及解方程组 得 或 ∴选B
错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M、N是数集而不是点集,
M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．
正解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1}, ∴应选D．
点评：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、
{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．
2、 已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．
错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．
欲使BA，只须
∴ p的取值范围是－3≤p≤3.
错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．
正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.
由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.
由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3
②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.
由①、②得：p≤3.
点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
3、判断函数的奇偶性.
错解：∵＝
　　∴　　∴是偶函数
错因：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.
正解：有意义时必须满足
即函数的定义域是｛｜｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数
4、判断函数的单调性.
错解：是减函数
错因：概念不清，导致判断错误.这是一个复合函数，而复合函数的单调性（或单调区间），仍是从基础函数的单调性（或单调区间）分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化.当然这个函数可化为，从而可判断出其单调性.
正解：　令，则该函数在R上是减函数，又在R上是减函数，
∴　是增函数
5、函数y=的单调增区间是_________.
错解：因为函数的对称轴是，图像是抛物线，开口向下，由图可知在上是增函数，所以y=的增区间是
错因：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误.
正解：y=的定义域是，又在区间上增函数，在区间是减函数，所以y=的增区间是
6、 已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x的取值范围.
错解：∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=　f (3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，
∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0，解得x>2或x<－3
又 f(x)是定义在(－3，3)上的函数，
所以2＜x＜3
错因：只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域.
正解：由,故0又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，
∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得27、已知在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是　　　　　
错解：∵是由，复合而成，又＞0
　　∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知
应为增函数，∴＞1
错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义.
正解：∵是由，复合而成，又＞0
　　∴在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知
应为增函数，∴＞1
又由于 在[0，1]上时 有意义，又是减函数，∴＝1时，取最小值是＞0即可，　　∴＜2综上可知所求的取值范围是1＜＜2
8、已知函数若时，≥0恒成立，求的取值范围.
错解：（一）恒成立，∴△＝≤0恒成立
　解得的取值范围为
错解：（二）∵若时，≥0恒成立
∴即
解得的取值范围为
错因：对二次函数＝当上≥0恒成立时，△≤0
片面理解为，≥0，恒成立时，△≤0 ；或者理解为
这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误.二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴定区间变”要对区间进行讨论.
正解：设的最小值为
（1）当即＞4时，＝＝7－3≥0，得故此时不存在；
(2) 当即－4≤≤4时，＝3－－≥0，得－6≤≤2
又－4≤≤4，故－4≤≤2；
（3）即＜－4时，＝＝7＋≥0，得≥－7，又＜－4
故－7≤＜－4
综上，得－7≤≤2
9、求在点和处的切线方程。
错因：直接将，看作曲线上的点用导数求解。
分析：点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；
点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．
解：
即过点的切线的斜率为4，故切线为：．
设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又，
故，。
即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：
点评： 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标
10、已知角的终边经过，求的值.
错解：
错因：在求得的过程中误认为0
正解：若，则，且角在第二象限
若，则，且角在第四象限
说明：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解；
（2）本题由于所给字母的符号不确定，故要对的正负进行讨论.

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