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4　匀变速直线运动的速度与位移的关系
【例1】　一物体由静止开始做匀加速直线运动，当其位移为x时速度为v，则当位移为时物体的速度v′为多大？
物体在做匀加速直线运动的过程中，加速度不变，本题没有涉及时间，也不需要求时间，故可根据速度—位移关系式求解．
【解析】　由匀变速直线运动的速度—位移关系式v2－v＝2ax和v0＝0，可得v2＝2ax，即v∝
所以＝＝＝
故位移为时物体的速度v′＝v.
【答案】　v
总结提能 解答匀变速直线运动问题的方法比较多，故在选用公式时，应从简便的原则出发，以最简的形式进行解答．
解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法是：(1)如果题目中无位移x，也不让求x，一般选用速度公式v＝v0＋at；(2)如果题目中无末速度v，也不让求v，一般选用位移公式x＝v0t＋at2；(3)如果题目中无运动时间t，也不让求t，一般选用导出公式v2－v＝2ax.
随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显．分析交通违规事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命．一货车严重超载后的总质量为49 t，以54 km/h的速率匀速行驶．发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s2(不超载时则为5 m/s2)．
(1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？
(2)若超载货车刹车时正前方25 m处停着总质量为1 t的轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度．
解析：(1)设货车刹车时的速度大小为v0，加速度大小为a，末速度大小为vt，刹车距离为x，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式得x＝
代入数据，得超载时x1＝45 m
不超载时x2＝22.5 m.
(2)超载货车与轿车碰撞时的速度为
v＝＝ m/s＝10 m/s.
答案：(1)45 m　22.5 m　(2)10 m/s
考点二 　匀变速直线运动的几个常用推论
(1)推论1：做匀变速直线运动的物体，在相邻的相等的时间内位移之差Δx＝at2是恒定的．
推证：设物体以初速度v0、加速度a做匀加速直线运动，自计时起时间T内的位移
x1＝v0T＋aT2.
在第2个时间T内的位移
x2＝v0·2T＋a(2T)2－x1＝v0T＋aT2，
即Δx＝aT2.
进一步推证可得
①a＝＝＝＝＝…
②x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1，据此可补上纸带上缺少的长度数据．
(2)推论2：做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于初速度与末速度和的一半，也等于中间时刻的瞬时速度，即＝v＝.
推证：由v＝v0＋at，①
知经时间的瞬时速度v＝v0＋a·.②
由①得at＝v－v0，代入②中，得
v＝v0＋(v－v0)＝v0＋－＝，
即v＝.
又x＝v0t＋at2，
由①得a＝，则x＝v0t＋··t2＝v0t＋t，所以＝＝v0＋＝.
即＝v＝.
(3)推论3：做匀变速直线运动的物体，一段位移中点的速度等于初速度、末速度的平方和的一半的平方根，即
v＝.
推证：由速度位移公式v2－v＝2ax，①
知v2－v＝2a·.②
将①代入②可得v2－v＝，
即v＝.
注意：这些推论都只适用于匀变速直线运动，不论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动都是适用的．
(4)推论4：初速度为零的匀变速直线运动的比例式(T为等时间间隔)
①1T末、2T末、3T末、……nT末瞬时速度之比为
v1?v2?v3?……?vn＝1?2?3?……?n.
②1T内、2T内、3T内、……nT内的位移之比为
x1?x2?x3?……?xn＝12?22?32?……?n2.
③第1个T内，第2个T内，第3个T内，……第n个T内位移之比为
xⅠ?xⅡ?xⅢ?……?xn＝1?3?5?……?(2n－1)．
④通过连续相等的位移所用时间之比为
t1?t2?t3?……?tn
＝1?(－1)?(－)?……?(－)．
【例2】　某物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，到达斜面的最高点时速度恰好为零，如图所示，已知物体从底端A点运动到B点时，所用的时间为t，AB的长度为斜面长度的，则物体从B点运动到最高点C所用的时间为________．
本题中物体做匀减速直线运动，到最高点时速度为零，故可以利用可逆思维结合比例法快速求解．
【解析】　解法1(逆向思维法)　物体向上匀减速冲上斜面，相当于向下匀加速滑下斜面．
故xBC＝at，xAC＝a(t＋tBC)2，又xBC＝
由以上三式解得tBC＝t.
解法2(比例法)　对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内通过的位移之比为
x1?x2?x3?……?xn＝1?3?5?…?(2n－1)
因为xBC?xAB＝()?()＝1?3，而通过xAB的时间为t，所以通过xBC的时间tBC＝t.
解法3(图象法)　根据匀变速直线运动的规律，作出v－t图象，如图所示．利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边的平方之比，得＝，且＝，OD＝t，OC＝t＋tBC.
所以有＝，解得tBC＝t.
【答案】　t
总结提能 求解初速度为零的匀加速直线运动(或末速度为零的匀减速直线运动)问题的方法较多，可以采用速度公式、位移公式、速度—位移公式、推论式或图象法等进行求解．合理地选择公式，可以有效地减小计算量．
一质点做匀变速直线运动，它在两段连续的时间为t＝4 s内通过的位移分别是24 m和64 m，求质点的初速度大小和加速度大小．
解析：
依题意画出质点运动的草图如图所示．
解法1(常规解法)
由位移公式得x1＝vAt＋at2
x2＝[vA·2t＋a(2t)2]－(vAt＋at2)
将x1＝24 m，x2＝64 m，t＝4 s代入可解得
vA＝1 m/s，a＝2.5 m/s2.
解法2(用平均速度求解)
1＝＝ m/s＝6 m/s，2＝＝ m/s＝16 m/s
又2＝1＋at，即16 m/s＝6 m/s＋4 s·a，
解得a＝2.5 m/s2
由x1＝vAt＋at2可解得vA＝1 m/s.
解法3(用推论公式求解)
由x2－x1＝at2得64 m－24 m＝a·(4 s)2
解得a＝2.5 m/s2
由x1＝vAt＋at2可求得vA＝1 m/s.
答案：1 m/s　2.5 m/s2
考点三　　应用匀变速直线运动规律解决实际问题
在解决生活和生产中的实际问题时，应根据所描述的情景与匀变速直线运动相结合分析，找出运动过程，并明确每个运动过程的运动情况，分析出各阶段的物理量，再选取合适的匀变速直线运动规律求解．应用匀变速直线运动规律解题的一般步骤及注意事项如下．
1．认真审题，弄清题意和物体的运动过程，必要的时候要画出物体的运动过程示意图．
2．明确已知条件和待求的物理量，要注意各量单位的统一．
3．规定正方向(一般取初速度v0的方向为正方向)，从而确定已知量和未知量的正负号．对于无法确定方向的未知量，可以先假设为正方向，待求解出后，再根据正负号确定所求物理量的方向．
4．选用适当的公式解题．
5．判断所得结果是否合乎题意．即对计算结果进行必要的判断，看其是否符合实际情况．
【例3】　2008年元旦过后，我国南方一些地区遭受了50年未遇的雪灾，致使道路交通严重受阻，甚至发生交通事故．究其原因主要是：大雪覆盖路面后，被车轮挤压，部分融化为水，在严寒的天气下，又马上结成冰，而汽车在光滑的冰面上行驶时，刹车后难以停下．现有一辆载重卡车，没有安装ABS系统，也没有防滑链．司机发现，即使以原速的一半行驶，紧急刹车后的刹车距离仍然达到了正常路面上紧急刹车距离的2倍．据测定，卡车橡胶轮胎与普通路面间的摩擦可以使卡车产生最大为8 m/s2的加速度，为保证安全，卡车在冰雪路面上的刹车距离不得超过8 m．问：
(1)卡车在冰雪路面上刹车的加速度为多大？
(2)卡车在冰雪路面上行驶的速度最大不得超过多少？
本题是匀变速直线运动的规律在实际中的应用问题，分析本题的关键是明确卡车在正常路面和在冰雪路面上刹车的运动都是匀减速直线运动，遵循相同的规律．
【解析】　(1)设卡车在正常路面上行驶的速度为v0，刹车的加速度为a，在冰雪路面上刹车的加速度为a1，
由v2－v＝2as得
卡车在正常路面上的刹车距离为s＝
在冰雪路面上的刹车距离为s1＝，又s1＝2s
由以上各式可得卡车在冰雪路面上刹车的加速度为
a1＝＝ m/s2＝1 m/s2.
(2)要使卡车在冰雪路面上的刹车距离不超过8 m，
即s1m＝8 m，
根据s1m＝得卡车在冰雪路面上行驶的最大速度为
vm＝＝ m/s＝4 m/s
即卡车在冰雪路面上行驶的速度最大不得超过4 m/s.
【答案】　(1)1 m/s2　(2)4 m/s
总结提能 在解答有关匀变速直线运动的问题时，由于相关公式较多，对于不同的情况，灵活选用公式能使解题过程变得简捷．像例3的这类问题中选用公式v2－v＝2as进行计算，由于公式中不涉及时间变量，因此，我们可以很方便地根据初速度、末速度和加速度求出位移．
在某市区内，一辆汽车正在平直的公路上以速度vA向东匀速行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路，汽车司机在A处发现这一情况(游客正步行到D处)，经t0＝0.5 s作出反应才紧急刹车，但仍将恰好步行至B的游客撞伤，而汽车仍保持匀减速直线运动到C点停下，整个事故过程如图所示．
为了判断汽车司机是否超速行驶，警方用一性能完全相同的汽车以法定最高速度v0＝12 m/s行驶在同一路段．由于事前有思想准备，司机在A处即紧急刹车，经12 m停下．在事故现场测得AB＝19.5 m，BC＝6.75 m，BD＝3.9 m，问：
(1)该肇事汽车刹车前的行驶速度vA是多大？是否超速？刹车时的加速度是多大？
(2)游客横过公路的步行速度大小．
(3)若汽车司机以法定最高速度v0行驶，发现情况和作出反应条件不变，事故是否会发生？
解析：(1)肇事汽车与实验汽车完全相同，因而急刹车的加速度大小相同．实验汽车初速度v0＝12 m/s，末速度为零，位移x0＝12 m．则由0－v＝2ax0，
得a＝－＝－ m/s2＝－6 m/s2，
肇事汽车司机反应时间t0＝0.5 s，此阶段汽车仍做匀速运动．
所以有xAC＝vAt0＋，解得vA＝15 m/s(vA＝－21 m/s舍)，因此肇事汽车属超速行驶．
(2)设汽车由A到B匀减速运动的时间为t1，
则xAB＝vAt0＋vA·t1＋at，解得t1＝1 s(t1＝4 s舍)，
所以游客横过公路的步行速度
v人＝＝ m/s＝2.6 m/s.
(3)若汽车以法定最高速度v0行驶，则在t0＋t1＝1.5 s内的位移x′＝v0t0＋v0t1＋at，解得x′＝15 m．所以游客经过B点时，汽车还距B点19.5 m－15 m＝4.5 m，因而事故不会发生．
答案：(1)15 m/s　超速　－6 m/s2　(2)2.6 m/s
(3)不会发生
1．两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1?2，它们的运动的最大位移之比为(　B　)
A．1?2　　　　　　　　　　 B．1?4
C．1? D．2?1
解析：由0－v＝2ax得＝，选项B正确．
2．如图所示，木块A、B并排且固定在水平桌面上，A的长度是L，B的长度是2L.一颗子弹沿水平方向以速度v1射入A，以速度v2穿出B.子弹可视为质点，其运动视为匀变速直线运动．则子弹穿出A时的速度为(　C　)
A. B.
C. D.v1
解析：设子弹的加速度为a，则
v－v＝2a·3L①
v－v＝2a·L②
由①②两式得子弹穿出A时的速度vA＝，选项C正确．
3．某航母跑道长200 m．飞机在航母上滑行的最大加速度为6 m/s2，起飞需要的最低速度为50 m/s.那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为(　B　)
A．5 m/s B．10 m/s
C．15 m/s D．20 m/s
解析：由题知，v＝50 m/s，a＝6 m/s2，x＝200 m，根据v2－v＝2ax得飞机需要借助弹射系统获得的最小初速度v0＝＝ m/s＝10 m/s.故选项B正确．
4．(多选)物体先做初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小为a1，当速度达到v时，改为以大小为a2的加速度做匀减速直线运动，直至速度为零．在加速和减速过程中物体的位移和所用时间分别为x1、t1和x2、t2，下列各式成立的是(　AC　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：在加速运动阶段v2＝2a1x1，v＝a1t1；在减速运动阶段0－v2＝2(－a2)x2，v＝a2t2.由以上几式可得＝，＝，进一步可得＝，选项A、C正确．
5．如图所示，一辆长为5 m的汽车以v1＝15 m/s的速度行驶，在离铁路与公路交叉点175 m处，汽车司机突然发现离交叉点200 m处有一列长300 m的列车以v2＝20 m/s的速度行驶过来，为了避免事故的发生，汽车司机应采取什么措施？(不计司机的反应时间与铁路、公路的宽度)
解析：本题需分情况讨论．若汽车不采取措施，到达交叉点的时间为t1＝ s＝ s
穿过交叉点的时间为t2＝ s＝12 s
列车到达交叉点的时间为t01＝ s＝10 s
列车穿过交叉点的时间为t02＝ s＝25 s
因t2>t01，如果要求汽车先于列车穿过交叉点，汽车必须加速，所用时间t必须满足tv1t01＋a1t>180 m
解得a1>0.6 m/s2
因t1因此应有<175 m　所以a2>0.643 m/s2
所以汽车司机可以让汽车以a1>0.6 m/s2的加速度加速通过或以a2>0.643 m/s2的加速度减速停下．
答案：汽车司机可以让汽车以a1>0.6 m/s2的加速度加速通过或以a2>0.643 m/s2的加速度减速停下．

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