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瓜豆原理——主从联动
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是顶角，则两动点的运动路径相同。瓜豆原理是主从联动轨迹问题。主动点叫做瓜，从动点叫做豆，瓜在直线上运动，豆的运动轨迹也是直线。瓜在圆周上运动，豆的运动轨迹也是圆，关键是作出从动点的运动轨迹，根据主动点的特殊位置点，作出从动点的特殊点，从而连成轨迹。
类型一：点直线上运动
线段+直线
条件：线段AB上A为直线l上的动点。C为线段AB中点，B为定点，A为动点。
结论：1.点C的轨迹为A轨迹的一半
2.C的轨迹与A的轨迹平行
2.角+直线
条件：A为定点，B为主动点，C为从动点，并且A与B，C的连线的夹角为定值，且AB不等于AC
条件：A为定点，B为主动点，C为从动点，并且A与B，C的连线的夹角为定值，且AB=AC
结论：1.C的运动轨迹和B的运动轨迹一样，都是直线
B运动的直线和C运动的直线的夹角等于∠A
为一个定值k
C运动的长度和B运动长度之比等于k
若AB不等于AC，则有△ABM∽△AM′C，相似比k
若AB=AC，则有△ABM≌△AM′C
轨迹之线段篇
引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？
【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？
【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．
当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．
【模型总结】
必要条件：
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．
结论：
P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）
P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）
【2017姑苏区二模】如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．
【分析】根据△DPF是等边三角形，所以可知F点运动路径长与P点相同，P从E点运动到A点路径长为8，故此题答案为8．
【2013湖州中考】如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．
【分析】根据∠PAB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB=，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为，P点轨迹长ON为，故B点轨迹长为．
【练习】如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．
【分析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．
取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．
根据∠ABP=60°可知：与y轴夹角为60°，作OP⊥，所得OP长度即为最小值，OP2=OA=3，所以OP=．
【2019宿迁中考】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　　．
【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：
考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在位置，最终G点在位置（不一定在CD边），即为G点运动轨迹．
CG最小值即当CG⊥的时候取到，作CH⊥于点H，CH即为所求的最小值．
根据模型可知：与AB夹角为60°，故⊥．
过点E作EF⊥CH于点F，则HF==1，CF=，
所以CH=，因此CG的最小值为．
类型二：点在圆上运动
线段+圆
条件：线段AB中，A为上一动点，B为定点，C为AB中点
结论：1.点C的运动轨迹与点A的运动轨迹都是圆
2.两元半径之比为2:1
3.△ABO∽△BCO，相似比为2:1
2.角+圆
条件：A为定点，B为主动点，C为从动点，并且A与B，C的连线的夹角为定值，且AB=AC
条件：A为定点，B为主动点，C为从动点，并且A与B，C的连线的夹角为定值，且AB不等于AC
结论：1.C的运动轨迹和B的运动轨迹一样，都是圆
B圆和C圆上对应线段的夹角等于∠A
为一个定值k
C运动的长度和B运动长度之比等于k
B圆的半径和C圆的半径之比为k
若AB不等于AC，则有△ABM∽∽△AM′C，相似比k
若AB=AC，则有△ABM≌△AM′C
若k=1，B圆和C圆是等圆，若k≠1，那么B圆和C圆不是等圆
轨迹之圆篇
引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？
考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，
由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，
由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．
Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．
根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；
根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．
引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．
考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．
【模型总结】
为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．
此类问题的必要条件：两个定量
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．
【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：
∠PAQ=∠OAM；
（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：
AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．
按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．
【思考1】：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
【分析】
Q点满足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：
考虑∠PAQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；
考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系．
【思考2】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．
考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？
【分析】Q点满足（1）∠PAQ=45°；（2）AP:AQ=：1，故Q点轨迹是个圆．
连接AO，构造∠OAM=45°且AO:AM=：1．M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定点Q的轨迹圆．
【练习】如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．
【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．
当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．
【2016武汉中考】如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．
【分析】考虑C、M、P共线及M是CP中点，可确定M点轨迹：
取AB中点O，连接CO取CO中点D，以D为圆心，DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点，则弧EF即为M点轨迹．
当然，若能理解M点与P点轨迹关系，可直接得到M点的轨迹长为P点轨迹长一半，即可解决问题．
【2018南通中考】如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．
【分析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．
考虑DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．
直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．
【练习】△ABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为_____________．
【分析】考虑到AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB，将AC看成动线段，由此引发正方形BCED的变化，求得线段AO的最大值．
根据AC=2，可得C点轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆．
接下来题目求AO的最大值，所以确定O点轨迹即可，观察△BOC是等腰直角三角形，锐角顶点C的轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，所以O点轨迹也是圆，以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M即为点O轨迹圆圆心．
连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O，此时AO最大，根据AB先求AM，再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO，相加即得AO．
此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A、C、A’共线时，可得AO最大值．
或者直接利用托勒密定理可得最大值．
轨迹之其他图形篇
所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．
【2016乐山中考】如图，在反比例函数的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【分析】∠AOC=90°且AO:OC=1:2，显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接OC，易证△AMO∽△ONC，∴CN=2OM，ON=2AM，∴ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8．
【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等边三角形”，k会是多少？
【练习】如图，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为________．
【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据OP:OQ=，可得P点轨迹图形与Q点轨迹图形相似比为，故面积比为2:1，△ABC面积为1/2×3×4=6，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3．
【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图．
【练习】如图所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的取值范围为___________．
【分析】固定AB不变，AC=2，则C点轨迹是以A为圆心，2为半径的圆，以BC为斜边作等腰直角三角形BCD，则D点轨迹是以点M为圆心、为半径的圆
考虑到AP=2AD，故P点轨迹是以N为圆心，为半径的圆，即可求出PB的取值范围．
总结：瓜豆原理主要掌握好从动点的变化规律，从动点轨迹到底是直线还是圆，。以及他们轨迹之间的相互的比例关系。这样我们在解题过程中才能够迅速定位，找到破题之道。
费马点问题
“费马点”
作法
图形
原理
△ABC中每一内角都小于120°，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小．
所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求．
两点之间线段最短．PA+PB+PC最小值＝CD．
1.阅读下列材料
对于任意的，若三角形内或三角形上有一点，若有最小值，则取到最小值时，点为该三角形的费马点。
①若三角形内有一个内角大于或等于，这个内角的顶点就是费马点
②若三角形内角均小于，则满足条件时，点既为费马点
解决问题：
⑴如图，中，三个内角均小于，分别以、为边向外作等边、，连接、交于点，
证明：点为的费马点。(即证明)且
⑶若，AB=3，BC=4，直接写出PA+PB+PC的最小值
1.(1)【操作发现】
如图1,将△ABC绕点A顺时针旋转60?，得到△ADE，连接BD，则∠ABD=___度。
(2)【类比探究】
如图2，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形。
(3)【解决问题】
如图3,在边长为的等边三角形ABC内有一点P,∠APC=90?,∠BPC=120?，求△APC的面积。
(4)【拓展应用】
如图4是A,B,C三个村子位置的平面图,经测量AC=4,BC=5,∠ACB=30?，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC.求PA+PB+PC的最小值。
2.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB
≌
△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为+1时，求正方形的边长．
3.如图，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=α，P为△AOB外移动，将△POB绕点O按顺时针方向旋转α得到△OP’A，且点A、P’、P三点在同一条直线上。
（1）【观察猜想】
在图①中，∠APB=______；在图②中，∠APB=
_________；（用含α的代数式表示）
（2）【类比探究】
如图③，若α=90°，请补全图形，再过点O作OH⊥AP与点H，探究线段PB，PA，OH之间的数量关系，并证明你的结论；
【问题解决】
若α=90°，AB=5，BP=3，求点O到AP的距离
4.知识储备
①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意一点。求证：PB+PC=PA.
②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离。
(2)知识迁移
①我们有如下探寻△ABC(其中∠A,∠B,∠C均小于120?)的费马点和费马距离的方法：
如图2,在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆,根据(1)的结论，易知线段___的长度即为△ABC的费马距离。
②在图3中,用不同于图2的方法作出△ABC的费马点P(要求尺规作图).
(3)知识应用
①判断题(正确的打√,错误的打×):
ⅰ。任意三角形的费马点有且只有一个___；
ⅱ。任意三角形的费马点一定在三角形的内部___.
②已知正方形ABCD，P是正方形内部一点，且PA+PB+PC的最小值为，求正方形ABCD的边长。
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精品试卷·第
2
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