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第一部分 函数图象中点的存在性问题
1.1 因动点产生的相似三角形问题
例1 2011年上海市闸北区中考模拟第25题
例2 2011年上海市杨浦区中考模拟第24题
例3 2010年义乌市中考第24题
例4 2010年上海市宝山区中考模拟第24题
例5 2009年临沂市中考第26题
例6 2009年上海市闸北区中考模拟第25题
例7 2008年杭州市中考第24题
1.2 因动点产生的等腰三角形问题
例1 2011年湖州市中考第24题
例2 2011年盐城市中考第28题
例3 2010年上海市闸北区中考模拟第25题
例4 2010年南通市中考第27题
例5 2009年重庆市中考第26题
例6 2009年上海市中考第24题
1.3 因动点产生的直角三角形问题
例1 2011年沈阳市中考第25题
例2 2011年浙江省中考第23题
例3 2010年北京市中考第24题
例4 2009年嘉兴市中考第24题
例5 2008年河南省中考第23题
例6 2008年天津市中考第25题
1.4 因动点产生的平行四边形问题
例1 2011年上海市中考第24题
例2 2011年江西省中考第24题
例3 2010年河南省中考第23题
例4 2010年山西省中考第26题
例5 2009年福州市中考第21题
例6 2009年江西省中考第24题
例7 2008年太原市中考第29题
1.5 因动点产生的梯形问题
例1 2011年北京市海淀区中考模拟第24题
例2 2011年义乌市中考第24题
例3 2010年杭州市中考第24题
例4 2010年上海市奉贤区中考模拟第24题
例5 2009年广州市中考第25题
例6 2009年河北省中考第26题
1.6 因动点产生的面积问题
例1 2011年南通市中考第28题
例2 2011年上海市松江区中考模拟第24题
例3 2010年广州市中考第25题
例4 2010年扬州市中考第28题
例5 2009年兰州市中考第29题
例6 2008年长春市中考第25题
1.7因动点产生的相切问题
例1 2011年上海市奉贤区中考模拟第25题
例2 2011年上海市徐汇区中考模拟第25题
例3 2010年福州市中考第22题
例4 2010年盐城市中考第28题
例5 2009年江苏省中考第28题
例6 2008年哈尔滨市中考第28题
例7 2008年南京市中考第27题
1.8因动点产生的线段和差问题
例1 2011年嘉兴市中考第24题
例2 2011年菏泽市中考第21题
例3 2010年中山市中考第22题
例4 2010年南通市中考第28题
例5 2009年济南市中考第24题
例6 2009年北京市中考第25题
第一部分 函数图象中点的存在性问题
1.1 因动点产生的相似三角形问题
例1 2011年上海市闸北区中考模拟第25题
直线分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．
(1) 写出点A、B、C、D的坐标；
(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；
(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11闸北25”， 拖动点Q在直线BG上运动， 可以体验到，
△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种．
思路点拨
1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．
2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．
3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．
4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个．
满分解答
（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．
（2）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，所以 解得
所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点G的坐标为(1，4)．
（3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG．
因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．
因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x＋1)，那么．
Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况：
①当时，．解得．所以，．
②当时，．解得．所以，．
图2 图3
考点伸展
第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB⊥BG；二是．
我们换个思路解答第（3）题：
如图3，作GH⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为H、N．
通过证明△AOB≌△BHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG＝90°．
在Rt△BGH中，，．
①当时，．
在Rt△BQN中，，．
当Q在B上方时，；当Q在B下方时，．
②当时，．同理得到，．
例2 2011年上海市杨浦区中考模拟第24题
Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数在第一象限内的图像与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．
（1）求m与n的数量关系；
（2）当tan∠A＝时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式；
（3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果△AEO与△EFP 相似，求点P的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A在x轴上运动，可以体验到，直线AB保持斜率不变，n始终等于m的2倍，双击按钮“面积BDE＝2”，可以看到，点E正好在BD的垂直平分线上，FD//x轴．拖动点P在射线FD上运动，可以体验到，△AEO与△EFP 相似存在两种情况．
思路点拨
1．探求m与n的数量关系，用m表示点B、D、E的坐标，是解题的突破口．
2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD//x轴．
3．如果△AEO与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．
满分解答
（1）如图1，因为点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数的图像上，所以 整理，得n＝2m．
（2）如图2，过点E作EH⊥BC，垂足为H．在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝，EH＝2，所以BH＝1．因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m＋1)．
已知△BDE的面积为2，所以．解得m＝1．因此D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)．
因为点D（4，1）在反比例函数的图像上，所以k＝4．因此反比例函数的解析式为．
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入B(4，3)、E(2，2)，得 解得，．
因此直线AB的函数解析式为．
图2 图3 图4
（3）如图3，因为直线与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），所以FD// x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP 相似存在两种情况：
①如图3，当时，．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）．
②如图4，当时，．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）．
考点伸展
本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：
第（1）题的结论m与n的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为，直线AB为．第（3）题FD不再与x轴平行，△AEO与△EFP 也不可能相似．
图5
例3 2010年义乌市中考第24题
如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图像，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．
思路点拨
1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．
2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．
3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方．
满分解答
（1）抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M（1，）．
（2） 梯形O1A1B1C1的面积，由此得到．由于，所以．整理，得．因此得到．
当S=36时， 解得 此时点A1的坐标为（6，3）．
（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．
在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．
在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．
因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．
由于，，所以．解得．
图3 图4
考点伸展
第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．
例4 2010年上海市宝山区中考模拟第24题
如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线上．
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A A′B′B为菱形．再拖动点D在x轴上运动，可以体验到，△B′CD与△ABC相似有两种情况．
思路点拨
1．点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B′ 的坐标、AC和B′C的长．
2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．
3．探求△ABC与△B′CD相似，根据菱形的性质，∠BAC＝∠CB′D，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．
满分解答
(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线上，所以 解得，．
(2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB＝5．因为四边形A A′B′B为菱形，所以A A′＝B′B＝ AB＝5．因为，所以原抛物线的对称轴x＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x＝4．
因此平移后的抛物线的解析式为．
图2
(3) 由点A (-2，4) 和点B′ (6，0)，可得A B′＝．
如图2，由AM//CN，可得，即．解得．所以．根据菱形的性质，在△ABC与△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D．
①如图3，当时，，解得．此时OD＝3，点D的坐标为（3，0）．
②如图4，当时，，解得．此时OD＝，点D的坐标为（，0）．
图3 图4
考点伸展
在本题情境下，我们还可以探求△B′CD与△AB B′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．
我们也可以讨论△B′CD与△CB B′相似，这两个三角形有一组公共角∠B，根据对应边成比例，分两种情况计算．
例5 2009年临沂市中考第26题
如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
,
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“ P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景．
双击按钮“第(3)题”， 拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察△DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．
思路点拨
1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．
2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．
3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．
4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的 坐标（0，－2），解得．所以抛物线的解析式为．
（2）设点P的坐标为．
①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，，．
如果，那么．解得不合题意．
如果，那么．解得．
此时点P的坐标为（2，1）．
②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，，．
解方程，得．此时点P的坐标为．
解方程，得不合题意．
③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，，．
解方程，得．此时点P的坐标为．
解方程，得．此时点P与点O重合，不合题意．
综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或或．
图2 图3 图4
（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为．
设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为．所以．
因此．
当时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．
图5 图6
考点伸展
第（3）题也可以这样解：
如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．
设点D的横坐标为（m，n），那么
．
由于，所以．
例6 2009年上海市闸北区中考模拟第25题
如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cosA＝．D为射线BA上的点（点D不与点B重合），作DE//BC交射线CA于点E.．
(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；
(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；
(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．
图1 备用图 备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D可以在射线BA上运动．双击按钮“第（2）题”，拖动点D可以体验到两圆可以外切一次，内切两次．
双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”，可以体验到，△DEF为等腰三角形．
思路点拨
1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形．
2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况．
3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．
4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．
满分解答
（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝，所以AH＝＝AC．所以BH垂直平分AC，△ABC 为等腰三角形，AB＝CB＝5．
因为DE//BC，所以，即．于是得到，（）．
（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以，，即，．因此，圆心距．
图2 图3 图4
在⊙M中，，在⊙N中，．
①当两圆外切时，．解得或者．
如图5，符合题意的解为，此时．
②当两圆内切时，．
当x＜6时，解得，如图6，此时E在CA的延长线上，；
当x＞6时，解得，如图7，此时E在CA的延长线上，．
图5 图6 图7
（3）因为△ABC是等腰三角形，因此当△ABC与△DEF相似时，△DEF也是等腰三角形．
如图8，当D、E、F为△ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，此时BF＝2.5．根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF＝4.1．
如图9，当DE为等腰三角形DEF的底边时，四边形DECF是平行四边形，此时．
图8 图9 图10 图11
考点伸展
第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH是△ABC的高，D、E、F为△ABC的三边的中点，那么四边形DEHF是等腰梯形．
例 7 2008年杭州市中考第24题
如图1，在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）．平移二次函数的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B、C两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A，B．
（1）是否存在这样的抛物线F，使得？请你作出判断，并说明理由；
（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO＝，求抛物线F对应的二次函数的解析式．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“08杭州24”，拖动点A在y轴上运动，可以体验到，AQ与BC保持平行，OA∶OB与OA∶OB′保持3∶2．
双击按钮“t＝3”，“t＝0．6”，“t＝－0．6”，“t＝－3”，抛物线正好经过点B（或B′）．
思路点拨
1．数形结合思想，把转化为．
2．如果AQ∥BC，那么以OA、AQ为邻边的矩形是正方形，数形结合得到t＝b．
3．分类讨论tan∠ABO＝，按照A、B、C的位置关系分为四种情况．A在y轴正半轴时，分为B、C在y轴同侧和两侧两种情况；A在y轴负半轴时，分为B、C在y轴同侧和两侧两种情况．
满分解答
（1）因为平移的图象得到的抛物线的顶点为（t，b），所以抛物线对应的解析式为．
因为抛物线与x轴有两个交点，因此．
令，得，．
所以)( )| ．即．所以当时，存在抛物线使得．
（2）因为AQ//BC，所以t＝b，于是抛物线F为．解得．
①当时，由，得．
如图2，当时，由，解得．此时二次函数的解析式为．
如图3，当时，由，解得．此时二次函数的解析式为＋＋．
图2 图3
②如图4，如图5，当时，由，将代,可得，．此时二次函数的解析式为＋－或．
图4 图5
考点伸展
第（2）题还可以这样分类讨论：
因为AQ//BC，所以t＝b，于是抛物线F为．由，得．
①把代入，得（如图2，图5）．
②把代入，得（如图3，图4）．
第一部分 函数图象中点的存在性问题
1.2 因动点产生的等腰三角形问题
例1 2011年湖州市中考第24题
如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；
（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，△APD的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”， 拖动点P由O向C运动，可以体验到，点H在以OM为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换．
思路点拨
1．用含m的代数式表示表示△APD的三边长，为解等腰三角形做好准备．
2．探求△APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解．
3．猜想点H的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt△OHM的斜边长OM是定值，以OM为直径的圆过点H、C．
满分解答
（1）因为PC//DB，所以．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以AD＝4－m．于是得到点D的坐标为(2，4－m)．
（2）在△APD中，，，．
①当AP＝AD时，．解得（如图3）．
②当PA＝PD时，．解得（如图4）或（不合题意，舍去）．
③当DA＝DP时，．解得（如图5）或（不合题意，舍去）．
综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为，或．
图3 图4 图5
（3）点H所经过的路径长为．
考点伸展
第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：
①如图3，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以．因此，．
②如图4，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此．解得．
第（2）题的思路是这样的：
如图6，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．
图6 图7
例2 2011年盐城市中考第28题
如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图像中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．
思路点拨
1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．
2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．
3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．
满分解答
（1）解方程组 得 所以点A的坐标是(3，4)．
令，得．所以点B的坐标是(7，0)．
（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．
因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．
图2 图3 图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．
如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．
如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．
因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．
此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．
我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．
在△APQ中， 为定值，，．
如图5，当AP＝AQ时，解方程，得．
如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．
如7，当PA＝PQ时，那么．因此．解方程，得．
综上所述，t＝1或或5或时，△APQ是等腰三角形．
图5 图6 图7
考点伸展
当P在CA上，QP＝QA时，也可以用来求解．
例3 2010年上海市闸北区中考模拟第25题
如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．
(1)求证：MN∶NP为定值；
(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；
(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10闸北25”，拖动点M在CA上运动，可以看到△BNP与△MNA的形状随M的运动而改变．双击按钮“△BNP∽△MNA”，可以体验到，此刻两个三角形都是直角三角形．分别双击按钮“BP＝BN，N在AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在AB的延长线上”，可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况．
思路点拨
1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．
2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．
3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．
4．探求等腰三角形BNP，N在AB上时，∠B是确定的，把夹∠B的两边的长先表示出来，再分类计算．
满分解答
(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒．
在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t ，AQ＝3t．
在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．
在图3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．
(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．
如图4，△BNP∽△MNA，在Rt△AMN中，，所以．解得．此时CM．
图2 图3 图4
(3)如图5，图6，图7中，，即．所以．
①当N在AB上时，在△BNP中，∠B是确定的，，．
(Ⅰ)如图5，当BP＝BN时，解方程，得．此时CM．
(Ⅱ)如图6，当NB＝NP时，．解方程，得．此时CM．
(Ⅲ)当PB＝PN时，．解方程，得t的值为负数，因此不存在PB＝PN的情况．
②如图7，当点N在线段AB的延长线上时，∠B是钝角，只存在BP＝BN的可能，此时．解方程，得．此时CM．
图5 图6 图7
考点伸展
如图6，当NB＝NP时，△NMA是等腰三角形，，这样计算简便一些．
例4 2010年南通市中考第27题
如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图像，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图像，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值．双击按钮“m＝8”，拖动E到BC的中点，可以体验到，点F是AB的四等分点．
拖动点A可以改变m的值，再拖动图像中标签为“y随x” 的点到射线y＝x上，从图形中可以看到，此时△DCE≌△EBF．
思路点拨
1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式．
2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．
3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x＝y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值．
满分解答
(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此，即．整理，得y关于x的函数关系为．
(2)如图2，当m＝8时，．因此当x＝4时，y取得最大值为2．
(3) 若，那么．整理，得．解得x＝2或x＝6．要使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．将x＝y ＝2代入，得m＝6（如图3）；将x＝y ＝6代入，得m＝2（如图4）．
图2 图3 图4
考点伸展
本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：
由第（1）题得到，
那么不论m为何值，当x＝4时，y都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB边为多长，当E是BC的中点时，BF都取得最大值．第（2）题m＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．
再如，不论m为小于8的任何值，△DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程
总有一个根的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．
例5 2009年重庆市中考第26题
已知：如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09重庆26”，拖动点G在OC上运动，可以体验到，△DCG与△DEF保持全等，双击按钮“M的横坐标为1.2”，可以看到，EF＝2，GO＝1．
拖动点P在AB上运动的过程中，可以体验到，存在三个时刻，△PCG可以成为等腰三角形．
思路点拨
1．用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到．
2．过点M作MN⊥AB，根据对应线段成比例可以求FA的长．
3．将∠EDC绕点D旋转的过程中，△DCG与△DEF保持全等．
4．第（3）题反客为主，分三种情况讨论△PCG为等腰三角形，根据点P的位置确定点Q的位置，再计算点Q的坐标．
满分解答
（1）由于OD平分∠AOC，所以点D的坐标为（2，2），因此BC＝AD＝1．
由于△BCD≌△ADE，所以BD＝AE＝1，因此点E的坐标为（0，1）．
设过E、D、C三点的抛物线的解析式为，那么 解得，．因此过E、D、C三点的抛物线的解析式为．
（2）把代入，求得．所以点M的坐标为．
如图2，过点M作MN⊥AB，垂足为N，那么，即．解得．
因为∠EDC绕点D旋转的过程中，△DCG≌△DEF，所以CG＝EF＝2．因此GO＝1，EF＝2GO．
（3）在第（2）中，GC＝2．设点Q的坐标为．
①如图3，当CP＝CG＝2时，点P与点B（3，2）重合，△PCG是等腰直角三角形．此时，因此。由此得到点Q的坐标为．
②如图4，当GP＝GC＝2时，点P的坐标为（1，2）．此时点Q的横坐标为1，点Q的坐标为．
③如图5，当PG＝PC时，点P在GC的垂直平分线上，点P、Q与点D重合．此时点Q的坐标为（2，2）．
图3 图4 图5
考点伸展
在第（2）题情景下，∠EDC绕点D旋转的过程中，FG的长怎样变化？
设AF的长为m，那么．
点F由E开始沿射线EA运动的过程中，FG先是越来越小，F与A重合时，FG达到最小值；F经过点A以后，FG越来越大，当C与O重合时，FG达到最大值4．
例6 2009年上海市中考第24题
在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM//x轴（如图1所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．
（1）求b的值和点D的坐标；
（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆与圆O外切，求圆O的半径．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09上海24”，拖动点P在x轴正半轴上运动，可以体验到，△POD的形状可以成为等腰三角形，分别双击按钮“PD＝PO”、“OD＝OP”和“DO＝DP”可以显示三个等腰三角形．在点P运动的过程中，两个圆保持相切，可以体验到，当PD＝PO时，圆O不存在．
思路点拨
1．第（1）题情景简单，内容丰富，考查了对称点的坐标特征、待定系数法、代入求值、数形结合．
2．分三种情况讨论等腰三角形POD的存在性，三个等腰三角形的求解各具特殊性．
3．圆O与圆P的半径、圆心距都是随点P而改变，但是两圆外切，圆心距等于半径和的性质不变．
满分解答
（1）因为点A的坐标为（1，0），点B与点A关于原点对称，所以点B的坐标为（－1，0）．将B（－1，0）代入y＝x＋b，得b＝1．将y＝4代入y＝x＋1，得x＝3．所以点D的坐标为（3，4）．
（2）因为D（3，4），所以OD＝5，．
①如图2，当PD＝PO时，作PE⊥OD于E．在Rt△OPE中，，，所以．此时点P的坐标为．
②如图3，当OP＝OD＝5时，点P的坐标为．
③如图4，当DO＝DP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为．
图2 图3 图4
（3）圆P的半径，两圆的圆心距为OP．当两圆外切时，圆O的半径．
①如图2，当PD＝PO时，，此时圆O不存在．
②如图3，当OP＝OD＝5时，作DH⊥OP于H．在Rt△DHP中，DH＝4，HP＝2，所以．此时．
③如图4，当DO＝DP时，．
考点伸展
如图5，在本题情景下，如果圆P与圆C外切，那么点P的变化范围是什么？
如图6，当圆P经过点C时，点P在CD的垂直平分线上，点P的坐标为．
因此当点P在x轴上点的右边时，圆P与圆C外切．
图5 图6
第一部分 函数图象中点的存在性问题
1.3 因动点产生的直角三角形问题
例1 2011年沈阳市中考第25题
如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
①当线段时，求tan∠CED的值；
②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11沈阳25”，拖动点E或F在y轴上运动，可以体验到，△CDE有两次机会成为等腰直角三角形．双击按钮“PQ＝3”可以准确显示时的位置．
思路点拨
1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．
2．第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．
3．根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了．
满分解答
（1）设抛物线的函数表达式为，代入点C(0，－3)，得．所以抛物线的函数表达式为．
（2）由，知A(－1，0)，B(3，0)．设直线BC的函数表达式为，代入点B(3，0)和点C(0，－3)，得 解得，．所以直线BC的函数表达式为．
（3）①因为AB＝4，所以．因为P、Q关于直线x＝1对称，所以点P的横坐标为．于是得到点P的坐标为，点F的坐标为．所以，．
进而得到，点E的坐标为．
直线BC:与抛物线的对称轴x＝1的交点D的坐标为（1，－2）．
过点D作DH⊥y轴，垂足为H．
在Rt△EDH中，DH＝1，，所以tan∠CED．
②，．
图2 图3 图4
考点伸展
第（3）题②求点P的坐标的步骤是：
如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标，再求出CE的中点F的坐标，把点F的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标．
例2 2011年浙江省中考第23题
设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．
（1）已知直线①；②；③；④和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；
（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11浙江23”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，∠APB有两个时刻可以成为直角，此时△BCP∽△POA．
答案
（1）直线①和③是点C的直角线．
（2）当∠APB＝90°时，△BCP∽△POA．那么，即．解得OP＝6或OP＝1．
如图2，当OP＝6时，l1：， l2：y＝－2x＋6．
如图3，当OP＝1时，l1：y＝3x＋1， l2：．
图2 图3
例3 2010年北京市中考第24题
在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上．
（1）求点B的坐标；
（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）．
①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10北京24”，拖动点P从O向A运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线．
思路点拨
1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．
2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t的式子表示这些线段的长．
3．点C的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长．
4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t的方程就可以求解了．
满分解答
(1) 因为抛物线经过原点，所以． 解得，（舍去）．因此．所以点B的坐标为（2，4）．
(2) ①如图4，设OP的长为t，那么PE＝2t，EC＝2t，点C的坐标为(3t, 2t)．当点C落在抛物线上时，．解得．
②如图1，当两条斜边PD与QM在同一条直线上时，点P、Q重合．此时3t＝10．解得．
如图2，当两条直角边PC与MN在同一条直线上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝PE．此时．解得．
如图3，当两条直角边DC与QN在同一条直线上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此时．解得．
图1 图2 图3
考点伸展
在本题情境下，如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切，求t的值．
如图5，当P、Q重合时，两圆内切，．
如图6，当两圆外切时，．
图4 图5 图6
例4 2009年嘉兴市中考第24题
如图1，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09嘉兴24”，拖动点B在AN上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；∠CAB和∠ACB可以成为直角，∠CBA不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U”形，当AB等于1.5时，面积达到最大值．
思路点拨
1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x的不等式组，可以求得x的取值范围．
2．分类讨论直角三角形ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．
3．把△ABC的面积S的问题，转化为S2的问题．AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论，分CD在三角形内部和外部两种情况．
满分解答
（1）在△ABC中，，，，所以 解得．
（2）①若AC为斜边，则，即，此方程无实根．
②若AB为斜边，则，解得，满足．
③若BC为斜边，则，解得，满足．
因此当或时，△ABC是直角三角形．
（3）在△ABC中，作于D，设，△ABC的面积为S，则．
①如图2，若点D在线段AB上，则．移项，得．两边平方，得．整理，得．两边平方，得．整理，得
所以（）．
当时（满足），取最大值，从而S取最大值．
图2 图3
②如图3，若点D在线段MA上，则．
同理可得，（）．
易知此时．
综合①②得，△ABC的最大面积为．
考点伸展
第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设，
例如在图2中，由列方程．
整理，得．所以
．
因此
．
例 5 2008年河南省中考第23题
如图1，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．
① 求S与t的函数关系式；
② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“08河南23”，拖动点M从A向B运动，观察S随t变化的图象，可以体验到，当M在AO上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M在OB上时，S随t的增大而增大．
观察S的度量值，可以看到，S的值可以等于4．
观察△MON的形状，可以体验到，△MON可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．
思路点拨
1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．
2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．
3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．
4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．
满分解答
（1）直线与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．
（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．在Rt△BNH中，BN＝t，，所以．
如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时
．
定义域为0＜t≤2．
如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时
．
定义域为2＜t≤5．
图2 图3
②把S＝4代入，得．解得，（舍去负值）．因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时．
③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM ，，所以．解得．
如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，．不存在∠ONM＝90°的可能．
所以，当或者时，△MON为直角三角形．
图4 图5
考点伸展
在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．
如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．
图6 图7
例6 2008年天津市中考第25题
已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．
（1）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图1，求证：；
思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△沿直线对折，得△，连，只需证，就可以了．请你完成证明过程．
（2）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“08天津25”，拖动点E绕点C任意旋转，可以体验到，△ACM≌△DCM，△BCN≌△DCN．观察度量值，可以看到∠MDN总是等于90°．
思路点拨
1．本题的证明思路是构造△ACM≌△DCM，证明△BCN≌△DCN．
2．证明△BCN≌△DCN的关键是证明．
3．证明的结论是勾股定理的形式，基本思路是把三条线段AM、BN、MN集中在一个三角形中，设法证明这个三角形是直角三角形．
满分解答
（1）如图3，将△沿直线对折，得△，连，则△≌△．因此，，，．
又由，得 ．由，，得．
又，所以△≌△．因此，．
所以．
在Rt△中，由勾股定理，得．即．
图3 图4
（2）关系式仍然成立．
如图4，将△沿直线对折，得△，连，则△≌△．
所以，，，．
又由，得 ．由，，得．
又，所以△≌△．因此，．
又由于
，
所以．
在Rt△中，由勾股定理，得．即．
考点伸展
当扇形CEF绕点C旋转至图5，图6，图7的位置时，关系式仍然成立．
图5 图6 图7
1.4 因动点产生的平行四边形问题
例 1 2011年上海市中考第24题
已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MO＝MA．二次函数
y＝x2＋bx＋c的图像经过点A、M．
（1）求线段AM的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11上海24”，拖动点B在y轴上点A下方运动，四边形ABCD保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上．
思路点拨
1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．
2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．
3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．
满分解答
（1）当x＝0时，，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3．
如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为．将代入，得x＝1．所以点M的坐标为．因此．
（2）因为抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，3)、M，所以解得，．所以二次函数的解析式为．
（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E．
在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．
因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m)代入，得．解得或者m＝0（舍去）．
因此点C的坐标为（2，2）．
图2 图3
考点伸展
如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：
如图4，点C的坐标为．
图4
例2 2011年江西省中考第24题
将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．
（1）请直接写出抛物线c2的表达式；
（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．
①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11江西24”，拖动点M向左平移，可以体验到，四边形ANEM可以成为矩形，此时B、D重合在原点．观察B、D的位置关系，可以体验到，B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况．
思路点拨
1．把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来．
2．B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程．
3．根据矩形的对角线相等列方程．
满分解答
（1）抛物线c2的表达式为．
（2）抛物线c1：与x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为．
抛物线c2：与x轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)，顶点为．
抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为，与x轴的两个交点为、，AB＝2．
抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为，与x轴的两个交点为、．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．
①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：
情形一，如图2，B在D的左侧，此时，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．
情形二，如图3，B在D的右侧，此时，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得．
图2 图3 图4
②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1（如图4）．
考点伸展
第（2）题②，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：
在等腰三角形ABM中，因为AB＝2，AB边上的高为，所以△ABM是等边三角形．
同理△DEN是等边三角形．当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合．
因为起始位置时BD＝2，所以平移的距离m＝1．
例3 2010年河南省中考第23题
如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“10河南23”，拖动点M在第三象限内抛物线上运动，观察S随m变化的图像，可以体验到，当D是AB的中点时，S取得最大值．拖动点Q在直线y＝－x上运动，可以体验到，以点P、Q、B、O为顶点的四边形有3个时刻可以成为平行四边形，双击按钮可以准确显示．
思路点拨
1．求抛物线的解析式，设交点式比较简便．
2．把△MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值OA．
3．当PQ与OB平行且相等时，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q的上下位置关系，分两种情况列方程．
满分解答
(1) 因为抛物线与x轴交于A(－4,0)、C(2,0)两点，设y＝a(x＋4)(x－2)．代入点B(0,－4)，求得．所以抛物线的解析式为．
(2)如图2，直线AB的解析式为y＝－x－4．过点M作x轴的垂线交AB于D，那么．所以
．
因此当时，S取得最大值，最大值为4．
(3) 如果以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ//OB，PQ＝OB＝4．
设点Q的坐标为，点P的坐标为．
①当点P在点Q上方时，．解得．
此时点Q的坐标为（如图3），或（如图4）．
②当点Q在点P上方时，．
解得或（与点O重合，舍去）．此时点Q的坐标为(－4,4) （如图5）．
图3 图4 图5
考点伸展
在本题情境下，以点P、Q、B、O为顶点的四边形能成为直角梯形吗？
如图6，Q(2,－2)；如图7，Q(－2,2)；如图8，Q(4,－4)．
图6 图7 图8
例4 2010年山西省中考第26题
在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“10山西26”，拖动点M可以在直线DE上运动．分别双击按钮“DO、DM为邻边”、“ DO、DN为邻边”和“DO为对角线”可以准确显示菱形．
思路点拨
1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．
2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，DO与DM、DO与DN为邻边．
满分解答
(1)如图2，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3．
在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝，所以BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)．
(2) 因为OE＝2EB，所以，，E(2,4)．
设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得 解得，．所以直线DE的解析式为．
(3) 由，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝．
①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M的坐标为(5,)，点N的坐标为(－5,)．
②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)．
③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P．
由△NPO∽△DOF，得，即．解得，．此时点N的坐标为．
图3 图4
考点伸展
如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．
图5 图6
例 5 2009年福州市中考第21题
如图1，等边△ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE＝EB．设EC＝x（0＜x≤2）．
（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；
（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ的面积（用含的代数式表示）；
（3）当（2）中 的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09福州21”，拖动点E在BC上运动，观察面积随x变化的图象，可以体验到，当E是BC的中点时，平行四边形EFPQ的面积最大，此时四边形EFPQ是菱形．
拖动点M在BC的垂直平分线上运动可以改变⊙E的大小，可以体验到，⊙E与平行四边形EFPQ四条边交点的总个数可能为2，4，6，3，0．
思路点拨
1．如何用含有x的式子表示平行四边形的边PQ，第（1）题作了暗示．
2．通过计算，求出平行四边形面积最大时的x值，准确、规范地画出此时的图形是解第（3）题的关键，此时点E是BC的中点，图形充满了特殊性．
3．画出两个同心圆可以帮助探究、理解第（3）题：过点H的圆，过点C的圆．
满分解答
（1）BE、PE、BF三条线段中任选两条．
（2）如图2，在Rt△CEH中，∠C＝60°，EC＝x，所以．因为PQ＝FE＝BE＝4－x，所以．
（3）因为，所以当x＝2时，平行四边形EFPQ的面积最大．
此时E、F、P分别为△ABC的三边BC、AB、AC的中点，且C、Q重合，四边形EFPQ是边长为2的菱形（如图3）．
图2 图3
过点E点作ED⊥FP于D，则ED＝EH＝．
如图4，当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是2个时，0＜r＜；
如图5，当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是4个时，r＝；
如图6，当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是6个时，＜r＜2；
如图7，当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是3个时，r＝2时；
如图8，当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是0个时，r＞2时．
图4 图5 图6
图7 图8
考点伸展
本题中E是边BC上的动点，设EC＝x，如果没有限定0＜x≤2，那么平行四边形EFPQ的面积是如何随x的变化而变化的？
事实上，当x＞2时，点P就不存在了，平行四边形EFPQ也就不存在了．
因此平行四边形EFPQ的面积随x的增大而增大．
例6 2009年江西省中考第24题
如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09江西24”，拖动点P在BC上运动，可以体验到，四边形PEDF可以成为平行四边形．观察△BCF的形状和S随m变化的图象，可以体验到，S是m的二次函数，当P是BC的中点时，S取得最大值．
思路点拨
1．数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．
2．当四边形PEDF为平行四边形时，根据DE=FP列关于m的方程．
3．把△BCF分割为两个共底FP的三角形，高的和等于OB．
满分解答
（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是x＝1．
（2）①直线BC的解析式为y＝－x＋3．
把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2．所以点E的坐标为（1，2）．
把x＝1代入，得y＝4．所以点D的坐标为（1，4）．
因此DE=2．
因为PF//DE，点P的横坐标为m，设点P的坐标为，点F的坐标为，因此．
当四边形PEDF是平行四边形时，DE=FP．于是得到．解得，（与点E重合，舍去）．
因此，当m=2时，四边形PEDF是平行四边形时．
②设直线PF与x轴交于点M，那么OM+BM=OB=3．因此
．
m的变化范围是0≤m≤3．
图2 图3
考点伸展
在本题条件下，四边形PEDF可能是等腰梯形吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理由．
如图4，如果四边形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此．
于是．解得（与点CE重合，舍去），（与点E重合，舍去）．
因此四边形PEDF不可能成为等腰梯形．
图4
例 7 2008年太原市中考第29题
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）当△CBD为等腰三角形时，求点的坐标．
（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“08太原29”，拖动点D可以在直线AC上运动．
分别双击按钮“BC＝BD”，“CB＝CD”和“DB＝DC”，可以准确显示△CBD为等腰三角形．
双击按钮“平行四边形”，可以体验到，以点E、D、O、A为顶点的平行四边形有三个．
思路点拨
1．数形结合，由两条直线的解析式组成的方程组的解，就是点A的坐标．
2．分类讨论等腰三角形CBD，按照顶角的顶点分三种情况讨论．
3．在计算点D的坐标时，构造以C为顶点的直角三角形，灵活运用三边比3∶4∶5．
4．画平行四边形时，是点E决定点D的位置：过点O作AC的平行线交AB于E，由OE与AD平行且相等得到点D的两个位置，这样就容易得到三个平行四边形．
满分解答
（1）在中，当时，，所以点的坐标为．在中，当时，，所以点的坐标为（4，0）．解方程组 得，．所以点的坐标为．
（2）因为点D在直线上，设点D的坐标为．当△CBD为等腰三角形时，有以下三种情况：
①如图2，当DB＝DC时，设底边BC上的高为DM．在Rt△CDM中，，所以．这时点D的坐标为．
②如图3，当CD＝CB＝5时，点D恰好落在y轴上，此时点D的坐标为（0，3）．根据对称性，点D关于点C对称的点D′的坐标为（8，－3）．
③如图4，当BC＝BD时，设BC、DC边上的高分别为DM、BN．在Rt△BCN中，BC＝5，所以CN＝4，因此DC＝8．在Rt△DCM中，DC＝8，所以，．这时点D的坐标为．
综上所述，当△CBD为等腰三角形时，点D的坐标为、（0，3）、（8，－3）或．
图2 图3 图4
（3）如图5，以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形：
①当四边形AEOD为平行四边形时，．
②当四边形ADEO为平行四边形时，．
③当四边形AODE为平行四边形时，．
考点伸展
如图5，第（3）题这样解：
在△ABC中，已知BC＝5，BC边上的高为，解得AB＝，AC＝．
由，得，所以．
由，得，所以．
结合图5，可以计算出，或．
1.5 因动点产生的梯形问题
例1 2011年北京市海淀区中考模拟第24题
已知平面直角坐标系xOy中， 抛物线y＝ax2－(a＋1)x与直线y＝kx的一个公共点为A(4，8)．
（1）求此抛物线和直线的解析式；
（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；
（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积．
备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“11海淀24”，拖动点P在OA上运动，观察PQ的长随点P变化的跟踪点，可以体验到，当P运动到OA的中点时，PQ的长取得最大值．
答案
（1）抛物线的解析式为y＝x2－2x，直线的解析式为y＝2x．
（2）如图1，当P为OA的中点时，的长度取得最大值为4．
（3）如图2，如果四边形AOMN是梯形，那么点N的坐标为(3，3)，梯形AOMN的面积为9．
图1 图2
例 2 2011年义乌市中考第24题
已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线 y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N． 将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN． 在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“11义乌24”，拖动点M从P向O运动，可以体验到，M在到达PO的中点前，重叠部分是三角形；经过中点以后，重叠部分是梯形．
思路点拨
1．第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况．
2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO的中点．
满分解答
（1）设抛物线的解析式为，代入A（2，0）、C(0，12) 两点，得 解得
所以二次函数的解析式为，顶点P的坐标为（4，－4）．
（2）由，知点B的坐标为（6，0）．
假设在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．设点D的坐标为(x，2x)．
由两点间的距离公式，得．解得或x＝－2．
如图3，当x＝－2时，四边形ODPB是平行四边形．
所以，当点D的坐标为(，)时，四边形OPBD为等腰梯形．
图3 图4 图5
（3）设△PMN与△POB的高分别为PH、PG．
在Rt△PMH中，，．所以．
在Rt△PNH中，，．所以．
① 如图4，当0＜t≤2时，重叠部分的面积等于△PMN的面积．此时．
②如图5，当2＜t＜4时，重叠部分是梯形，面积等于△PMN的面积减去△P′DC的面积．由于，所以．
此时．
考点伸展
第（2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图：
方法一，按照对角线相等画圆．以P为圆心，OB长为半径画圆，与直线y＝2x有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点．
方法二，按照对边相等画圆．以B为圆心，OP长为半径画圆，与直线y＝2x有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点．
例3 2010年杭州市中考第24题
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y ＝，点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上．
(1) 写出点M的坐标；
(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时．
① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1∶2时，求t的值．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10杭州24”，拖动点Q在抛物线上运动，从t随x变化的图像可以看到，t是x的二次函数，抛物线的开口向下．还可以感受到，PQ∶CM＝1∶2只有一种情况，此时Q在y轴上；CM∶PQ＝1∶2有两种情况．
思路点拨
1．第（1）题求点M的坐标以后，Rt△OCM的两条直角边的比为1∶2，这是本题的基本背景图．
2．第（2）题中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根据数形结合，列关于t与x的比例式，从而得到t关于x的函数关系．
3．探求自变量x的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除平行四边形的情况．
4．梯形的两底的长度之比为1∶2，要分两种情况讨论．把两底的长度比转化为QH与MO的长度比．
满分解答
(1)因为AB＝OC＝ 4，A、B关于y轴对称，所以点A的横坐标为2．将x＝2代入y＝，得y＝2．所以点M的坐标为（0，2）．
(2) ① 如图2，过点Q作QH x轴，设垂足为H，则HQ＝y，HP＝x– t ．
因为CM//PQ，所以∠QPH＝∠MCO．因此tan∠QPH＝tan∠MCO，即．所以．整理，得．
如图3，当P与C重合时，，解方程，得．
如图4，当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x＝ 2．
因此自变量x的取值范围是，且x 2的所有实数．
图2 图3 图4
②因为sin∠QPH＝sin∠MCO，所以，即．
当时，．解方程，得（如图5）．此时．
当时，．解方程，得．
如图6，当时，；如图6，当时，．
图5 图6 图7
考点伸展
本题情境下，以Q为圆心、QM为半径的动圆与x轴有怎样的位置关系呢？
设点Q的坐标为，那么．
而点Q到x轴的距离为．
因此圆Q的半径QM等于圆心Q到x轴的距离，圆Q与x轴相切．
例 4 2010年上海市奉贤区中考模拟第24题
已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为，直线与边BC相交于点D．
(1)求点D的坐标；
(2)抛物线经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；
(3)在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10奉贤24”，分别双击按钮“MO//AD”、“MA//OD”和“MD//OA”，可以体验到，在“MO//AD”和“MA//OD”两种情况下，根据两直线平行，内错角相等，可以判定直角三角形相似；在“MD//OA”情况下，根据对称性可以直接得到点M的坐标．
思路点拨
1．用待定系数法求抛物线的解析式，设交点式比较简便．
2．过△AOD的三个顶点分别画对边的平行线与抛物线相交，可以确定存在三个梯形．
3．用抛物线的解析式可以表示点M的坐标．
满分解答
(1)因为BC//x轴，点D在BC上，C(0,－2)，所以点D的纵坐标为－2．把y＝－2代入，求得x＝3．所以点D的坐标为(3,－2)．
(2)由于抛物线与x轴交于点O、A(4,0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入D (3,－2)，得．所求的二次函数解析式为．
(3) 设点M的坐标为．
①如图2，当OM//DA时，作MN⊥x轴，DQ⊥x轴，垂足分别为N、Q．由tan∠MON＝tan∠DAQ，得．
因为x＝0时点M与O重合，因此，解得x＝7．此时点M的坐标为（7，14）．
②如图3，当AM//OD时，由tan∠MAN＝tan∠DOQ，得．
因为x＝4时点M与A重合，因此，解得x＝－1．此时点M的坐标为．
③如图4，当DM//OA时，点M与点D关于抛物线的对称轴对称，此时点M的坐标为（1，－2）．
图2 图3 图4
考点伸展
第（3）题的①、②用几何法进行计算，依据是两直线平行，内错角的正切相等．
如果用代数法进行，计算过程比较麻烦．以①为例，先求出直线AD的解析式，再求出直线OM的解析式，最后解由直线OM和抛物线的解析式组成的二元二次方程组．
例5 2009年广州市中考第25题
如图1，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－1），△ABC的面积为．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09广州25”，可以看到，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AB是它的外接圆直径，拖动点M在y轴上运动，可以体验到，过M的直线与圆相切或者相交时有公共点．
在抛物线上有两个符合条件的点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形．
思路点拨
1．根据△ABC的面积和AB边上的高确定AB的长，这样就可以把两个点的坐标用一个字母表示．
2．数形结合，根据点A、B、C的坐标确定OA、OB、OC间的数量关系，得到△AOC∽△COB，从而得到△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AB是它的外接圆直径，再根据对称性写出m的取值范围．
3．根据直角梯形的定义，很容易确定符合条件的点D有两个，但是求点D的坐标比较麻烦，根据等角的正切相等列方程相对简单一些．
满分解答
（1）因为OC＝1，△ABC的面积为，所以AB＝．
设点A的坐标为（a，0），那么点B的坐标为（a＋，0）．
设抛物线的解析式为，代入点C（0，－1），得．解得或．
因为二次函数的解析式中，，所以抛物线的对称轴在y轴右侧．因此点A、B的坐标分别为，．
所以抛物线的解析式为．
（2）如图2，因为，，所以．因此△AOC∽△COB．所以△ABC是以AB为斜边的直角三角形，外接圆的直径为AB．
因此m的取值范围是≤m≤．
图2 图3 图4
（3）设点D的坐标为．
①如图3，过点A作BC的平行线交抛物线于D，过点D作DE⊥x轴于E．
因为，所以．因此．解得．此时点D的坐标为．
过点B作AC的平行线交抛物线于D，过点D作DF⊥x轴于F．因为，所以．因此．解得．此时点D的坐标为．
综上所述，当D的坐标为或时，以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形．
考点伸展
第（3）题可以用代数的方法这样解：例如图3，先求得直线BC为，再根据AD//BC求得直线AD为，由直线AD和抛物线的解析式组成的方程组，得到点D的坐标．
例6 2009年河北省中考第26题
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设P、Q运动的时间是t秒（t>0）．
（1）当t＝2时，AP＝_____，点Q到AC的距离是________；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）；
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09河北26”，拖动点Q由A向C运动，可以体验到：
在点P从C向A运动的过程中，S关于t的函数图象是开口向下的抛物线的一部分；
四边形QBED可以两次成为直角梯形，双击按钮“直角梯形1”和“直角梯形1”可以准确显示；
DE两次经过点C，双击按钮“P向A时，DE过C”和“P向C时，DE过C”可以准确显示．
思路点拨
1．第（1）题求点Q到AC的距离，暗示了第（2）题求△APQ的高的方法．
2．分类讨论直角梯形QBED的存在性，按照DE与AB、AC平行的可能性分两种情况，列方程的依据是Rt△AQP的三边比为3∶4∶5．
3．分类讨论DE经过点C，按照P运动的方向分两种情况，列方程的依据是PC＝QC．
满分解答
（1）1；．
（2）如图2，作QF⊥AC于F．
在Rt△ABC中，AC＝3，AB＝5，所以BC＝4，．
在Rt△AQF中，AQ＝t，，所以．
因此．
（3）①如图3，当DE//QB时，∠AQP＝90°．在Rt△AQP中，AP＝，AQ＝t，，所以．解得．
②如图4，当DE//BC时，∠APQ＝90°．在Rt△AQP中，AP＝，AQ＝t，，所以．解得．
图2 图3 图4
（4）或．
考点伸展
第（4）题可以这样解：过点Q作QG⊥BC于G，那么
．
①如图5，点P由C向A运动，DE经过点C，此时PC＝t．由，得．解得．
②如图6，点P由A向C运动，DE经过点C，此时PC＝6－t．由，得．解得．
情形①还可以用几何说理解答：由于CQ＝CP＝AQ，所以∠QAC＝∠QCA．
根据等角的余角相等，因此∠B＝∠BCQ．所以CQ＝BQ．于是得到Q是AB的中点，．
图5 图6
第一部分 函数图象中点的存在性问题
1.6 因动点产生的面积问题
例 1 2011年南通市中考第28题
如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x＞0)交于点B(2，1)．过点(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线(x＞0)和(x＜0)于M、N两点．
（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11南通28”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，当直线MN经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN和△AMP是两个同高的三角形，MN＝4MP存在两种情况．
思路点拨
1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．
2．第（3）题把S△AMN＝4S△AMP转化为MN＝4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论．
满分解答
（1）因为点B(2，1)在双曲线上，所以m＝2．设直线l的解析式为，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得 解得 所以直线l的解析式为．
（2）由点(p＞1)的坐标可知，点P在直线上x轴的上方．如图2，当y＝2时，点P的坐标为(3，2)．此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(－1，2)．
由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知△PMB为等腰直角三角形．
由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形．
所以△PMB∽△PNA．
图2 图3 图4
（3）△AMN和△AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上．
当S△AMN＝4S△AMP时，MN＝4MP．
①如图3，当M在NP上时，xM－xN＝4(xP－xM)．因此．解得或（此时点P在x轴下方，舍去）．此时．
②如图4，当M在NP的延长线上时，xM－xN＝4(xM－xP)．因此．解得或（此时点P在x轴下方，舍去）．此时．
考点伸展
在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？
情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．
情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．
不存在∠ANM＝90°的情况．
图5 图6
例2 2011年上海市松江区中考模拟第24题
如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD＝3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点B和点E．
①求二次函数的解析式和它的对称轴；
②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11松江24”，拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察面积比的度量值，可以体验到，有两个时刻，面积的比值等于2．
思路点拨
1．这三道题目步步为赢，错一道题目，就要影响下一道的计算．
2．点M在抛物线的对称轴上且位于x轴上方，要分两种情况讨论，分别为点M在线段FB和FB的延长线上．因为用点M的纵坐标表示△ABM的底边长，因点M的位置不同而不同．
满分解答
（1）因为BC∥OA，所以BC⊥CD．因为CD＝CB＝3，所以△BCD是等腰直角三角形．因此∠BCD＝45°．又因为BC⊥CD，所以∠ODE＝45°．所以△ODE是等腰直角三角形，OE＝OD＝1．所以点E的坐标是（1，0）．
（2）①因为抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B（3，4）和点E（1，0），所以 解得所以二次函数的解析式为y＝－x2＋6x－5，抛物线的对称轴为直线x＝3．
②如图2，如图3，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，点M的坐标为（3，t）．
．
（ⅰ）如图2，当点M位于线段BF上时，．解方程，得．此时点M的坐标为（3，）．
（ⅱ）如图3，当点M位于线段FB延长线上时，．解方程，得．此时点M的坐标为（3，8）．
图2 图3
考点伸展
对于图2，还有几个典型结论：
此时，C、M、A三点在同一条直线上；△CEM的周长最小．
可以求得直线AC的解析式为，当x＝3时，．
因此点M（3，）在直线AC上．
因为点A、E关于抛物线的对称轴对称，所以ME＋MC＝MA＋MC．
当A、M、C三点共线时，ME＋MC最小，△CEM的周长最小．
例3 2010年广州市中考第25题
如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10广州25”，拖动点D由C向B运动，观察S随b变化的函数图像，可以体验到，E在OA上时，S随b的增大而增大；E在AB上时，S随b的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点D由C向B运动，可以观察到，E在OA上时，重叠部分的形状是菱形，面积不变．双击按钮“第（2）题”可以切换．
思路点拨
1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长．
2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．
3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．
4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．
满分解答
(1)①如图2，当E在OA上时，由可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．此时S＝S△ODE＝．
②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入可知，点E的坐标为，AE＝，BE＝．此时
S＝S矩形OABC－S△OAE－ S△BDE －S△OCD
＝
．
(2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．
作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．
设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得．所以重叠部分菱形DMEN的面积为．
图2 图3 图4
考点伸展
把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为，如图7所示．
图5 图6 图7
例 4 2010年扬州市中考第28题
如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1）求线段AD的长；
（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；
②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．
（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
图1 备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“10扬州28”，拖动点E在AB上运动，从y随x变化的图像可以体验到，当F在AC上时，y随x的增大而增大；当F在BC上时，y随x变化的图像是开口向下的抛物线的一部分，y的最大值对应抛物线的顶点．双击按钮“第（3）题”，我们已经设定好了EF平分△ABC的周长，拖动点E，观察图像，可以体验到，“面积AEF”的值可以等于3，也就是说，存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．双击按钮“第（2）题”可以切换。
思路点拨
1．第（1）题求得的AD的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点．
2．第（2）题要按照点F的位置分两种情况讨论．
3．第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断．
满分解答
(1) 在Rt△ABC中， AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．在Rt△ACD中，．
(2) ①如图2，当F在AC上时，．在Rt△AEF中，．所以．
如图3，当F在BC上时，．在Rt△BEF中，．所以．
②当时，的最大值为；
当时，的最大值为．
因此，当时，y的最大值为．
图2 图3 图4
(3)△ABC的周长等于12，面积等于6．
先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，AF＝6－x，x的变化范围为3＜x≤5．因此．解方程，得．
因为在3≤x≤5范围内（如图4），因此存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．
考点伸展
如果把第（3）题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”，那么就不存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．
先假设EF平分△ABC的周长，那么AE＝x，BE＝5－x，BF＝x＋1．
因此．
解方程．整理，得．此方程无实数根．
例5 2009年兰州市中考第29题
如图1，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．
（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“09兰州29”，拖动点Q在x轴上运动，可以体验到，点Q运动的起点为（1，0）；当P在AB上时，△OPQ的面积随x变化的图象是开口向下的抛物线的一部分；观察点P与OQ的垂直平分线的位置关系，可以体验到，有两个时刻，PO=PQ．双击按钮“PO＝PQ，P在AB上”和“PO＝PQ，P在CD上”，可以准确显示PO＝PQ．
思路点拨
1．过点B、C、P向x轴、y轴作垂线段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出现相等、成比例的线段，用含有t的式子表示这些线段是解题的基础．
2．求点C的坐标，为求直线BC、CD的解析式作铺垫，进而为附加题用两点间的距离公式作准备．
3．不论点P在AB、BC还是CD上，点P所在的直角三角形的三边比总是3∶4∶5，灵活运用方便解题．
4．根据二次函数的解析式求函数的最值时，要注意定义域与对称轴的位置关系．
满分解答
（1）(1,0)，点P每秒钟运动1个单位长度．
（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作x轴的垂线交直线BE于F，交x轴于H．
在Rt△ABE中，BE＝8，AE＝10－4＝6，所以AB＝10．由△ABE≌△BCF，知BF＝AE＝4，CF＝BE＝6．所以EF＝8＋6＝14，CH＝8＋4＝12．因此点C的坐标为（14，12）．
（3）过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥轴于N．因为PM//BE，所以，即．因此．于是．
设△OPQ的面积为(平方单位)，那么，定义域为0≤≤10．
因为抛物线开口向下，对称轴为直线，所以当时，△OPQ的面积最大．此时P的坐标为(，)．
（4）当或时, OP与PQ相等．
图3 图4
考点伸展
附加题的一般思路是：点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍．先求直线AB、BC、CD的解析式，根据直线的解析式设点P的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO＝PQ．
附加题也可以这样解：
①如图4，在Rt△AMP中，设AM＝3m，MP＝4 m，AP＝5m，那么OQ＝8m．根据AP、OQ的长列方程组解得．
②如图5，在Rt△GMP中，设GM＝3m，MP＝4 m，GP＝5m，那么OQ＝8m．在Rt△GAD中，GD＝7.5．根据GP、OQ的长列方程组解得．
③如图6，设MP＝4m，那么OQ＝8m．根据BP、OQ的长列方程组解得，但这时点P不在BC上．
图5 图6
例6 2008年长春市中考第25题
在直角坐标系中，抛物线经过点（0，10）和点（4，2）．
（1）求这条抛物线的解析式.
（2）如图1，在边

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