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第六章　圆周运动
第1节　圆周运动
1．圆周运动：把轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动称为圆周运动。
2．线速度
(1)定义：物体沿圆弧经过某点附近时，一段很短的时间Δt内通过的弧长为Δs，则弧长Δs与时间Δt之比称为线速度的大小，用符号v表示。
(2)定义式：v＝。
(3)标矢性：线速度是矢量，方向为物体做圆周运动时该点的切线方向。
(4)物理意义：描述做圆周运动的物体在某点时运动的快慢。
3．匀速圆周运动
(1)定义：沿着圆周，并且线速度的大小处处相等的运动。
(2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动，“匀速”是指速率不变。
4．角速度
(1)定义：物体沿圆弧经过某点附近时，一段很短的时间Δt内半径转过的角为Δθ，则角Δθ与所用时间Δt之比叫作角速度，用符号ω表示。
(2)定义式：ω＝。
(3)单位：角的单位是弧度，符号是rad，所以角速度的单位是弧度每秒，符号是rad/s或s－1。
(4)物理意义：描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢。
(5)匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
5．周期与转速
6．线速度与角速度的关系
(1)两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积。
(2)关系式：v＝ωr。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
典型考点一　　　匀速圆周运动的理解
1．(多选)质点做匀速圆周运动，则(　　)
A．在任何相等的时间里，质点的位移都相同
B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
D．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
答案　BD
解析　如图所示，经，质点由A到B，再经，质点由B到C，由于线速度大小不变，根据线速度的定义，Δs＝v·，所以相等时间内通过的路程相等，B正确；但位移xAB、xBC大小相等，方向并不相同，故平均速度不同，A、C错误；由角速度的定义ω＝知Δt相同，Δθ＝ωΔt相同，D正确。
典型考点二　　　描述圆周运动的物理量间的关系
2．甲、乙两物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为1∶2，在相等时间里都转过60°圆心角。则(　　)
A．线速度之比为1∶2 B．线速度之比为2∶1
C．角速度之比为2∶1 D．角速度之比为1∶2
答案　A
解析　根据角速度定义式ω＝，角速度之比为1∶1，故C、D错误；甲、乙两物体转动半径之比为1∶2，角速度之比为1∶1，根据线速度与角速度的关系式v＝ωr，可知线速度之比为1∶2，故A正确，B错误。
3．教师在黑板上画圆，圆规脚之间的距离是25 cm，他保持这个距离不变，用粉笔在黑板上匀速地画了一个圆，粉笔的线速度是2.5 m/s。关于粉笔的运动，有下列说法：①角速度是0.1 rad/s；②角速度是10 rad/s；③周期是10 s；④周期是0.628 s；⑤频率是10 Hz；⑥频率是1.59 Hz；⑦转速小于2 r/s；⑧转速大于2 r/s。下列哪个选项中的结果是全部正确的(　　)
A．①③⑤⑦ B．②④⑥⑧
C．②④⑥⑦ D．②④⑤⑧
答案　C
解析　根据描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系得：角速度ω＝＝ rad/s＝10 rad/s，周期T＝＝ s≈0.628 s，频率f＝＝ Hz≈1.59 Hz，转速n＝f＝1.59 r/s<2 r/s，故C正确。
4．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是(　　)
A．根据T＝，线速度越大，则周期越小
B．根据T＝，角速度越大，则周期越小
C．角速度越大，速度的方向变化越快
D．线速度越大，速度的方向变化越快
答案　BC
解析　R一定时，线速度越大，则周期越小，由于R不确定，A错误。根据T＝可知，B正确。线速度描述物体沿圆周运动的快慢，角速度描述物体沿圆周转动的快慢，C正确，D错误。
5．静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法中正确的是(　　)
A．它们的运动周期都是相同的
B．它们的线速度都是相同的
C．它们的线速度大小都是相同的
D．它们的角速度是不同的
答案　A
解析　如图所示，地球绕自转轴转动时，地球上各点的运动周期及角速度都是相同的，A正确，D错误。地球表面上的物体，随地球做圆周运动的平面是物体所在纬线平面，其圆心分布在整条自转轴上，不同纬线上的物体圆周运动的半径是不同的，只有同一纬线上的物体转动半径相等，线速度的大小才相等，但即使物体的线速度大小相同，方向也各不相同，所以B、C错误。
6．关于匀速圆周运动的线速度v、角速度ω和半径r，下列说法中正确的是(　　)
A．若r一定，则v与ω成正比
B．若r一定，则v与ω成反比
C．若ω一定，则v与r成反比
D．若v一定，则ω与r成正比
答案　A
解析　根据v＝ωr知，若r一定，则v与ω成正比；若ω一定，则v与r成正比；若v一定，则ω与r成反比。故只有A正确。
典型考点三　　　同轴转动与皮带传动问题分析
7. 如图所示是一个玩具陀螺。A、B和C是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述中正确的是(　　)
A．A、B和C三点的线速度大小相等
B．A、B和C三点的角速度相等
C．A、B的角速度比C的大
D．C的线速度比A、B的大
答案　B
解析　A、B和C均是同一陀螺上的点，它们做圆周运动的角速度都为陀螺旋转的角速度ω，B正确，C错误；三点的运动半径关系rA＝rB＞rC，据v＝ωr可知，三点的线速度大小关系vA＝vB＞vC，A、D错误。
8．如图所示，皮带传动装置上有A、B、C三点，OA＝O′C＝r，O′B＝2r，则皮带轮转动时，下列关系成立的是(　　)
A．vA＝vB，vB＝vC B．ωA＝ωB，vB＞vC
C．ωB＝ωC，vA＝vB D．ωA＞ωB，vB＝vC
答案　C
解析　根据同轮轴上的点角速度相等，可得ωB＝ωC，同皮带上的点线速度大小相等，可得vA＝vB，由v＝ωr，即有角速度相等时，半径越大，线速度越大，则得vB>vC，线速度相等时，角速度与半径成反比，则得ωA>ωB，综上可得：ωA>ωB＝ωC，vA＝vB>vC，故C正确，A、B、D错误。
9. 如图所示的齿轮传动装置中，主动轮和从动轮的齿大小相同，主动轮的齿数z1＝24，从动轮的齿数z2＝8，当主动轮以角速度ω逆时针转动时，从动轮的转动情况是(　　)
A．顺时针转动，周期为 B．逆时针转动，周期为
C．顺时针转动，周期为 D．逆时针转动，周期为
答案　A
解析　齿轮不打滑，说明接触点线速度大小相等，主动轮逆时针转动，故从动轮顺时针转动。因为齿的大小相等，主动轮的齿数z1＝24，从动轮的齿数z2＝8，故主动轮与从动轮的角速度之比＝＝＝，解得从动轮的角速度ω2＝3ω1＝3ω。根据ω＝得从动轮的周期T＝＝，故A正确。
典型考点四　　　匀速圆周运动的多解问题
10. 如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R，顶部有入口A，在A的正下方h处有出口B。一质量为m的小球从入口A沿圆筒壁切线方向水平射入圆筒内，要使小球从出口B飞出，小球进入入口A处的速度v0应满足什么条件？(已知重力加速度为g)
答案　v0＝nπR(n＝1,2,3，…)
解析　该题中小球的运动轨迹是空间螺旋曲线，可将其分解为两个简单的分运动：一个是以初速度v0沿圆筒内壁做匀速圆周运动(水平方向)，如图甲所示；另一个是在重力作用下做自由落体运动(竖直方向)。因此若将圆筒沿直线AB展开为平面，则小球沿圆筒壁的运动是平抛运动，如图乙所示。据此得小球在筒内运动的时间t＝。
由题设条件得水平方向的位移应是圆周长的整数倍，
即l＝v0t＝2nπR(n＝1,2,3，…)。
联立以上两式得v0＝nπR(n＝1,2,3，…)。

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