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圆锥曲线高考大题的类型与解法
圆锥曲线问题是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个圆锥曲线问题的12分大题。从题型上看是20（或21）题的12分大题，难度为中，高档题型，一般的考生都只能拿到4到10分。纵观近几年高考试卷，归结起来圆锥曲线大题问题主要包括：①已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求直线方程（或直线的斜率）；②已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求多边形的面积（或多边形面积的最值）；③已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求某个式子的值（或取值范围）和证明某个式子的值为定值；④已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求点的坐标（或点的轨迹方程）；⑤已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，证明直线过定点（或点在定直线上）等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、（理）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B（0,1），右焦点为F，连接BF并延长与椭圆C相交于点C，且|CF|=
|BF|。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点（1，0）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，直线AM，AN分别与直线x=3相交于点P，点Q，若APQ的面积是AMN的面积的2倍。求直线l的方程。（文）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（，）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在经过点（0，2）的直线与椭圆C相交于不同的两点M，N，使得M，N与Y轴上的一点P连线后组成以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由（2019成都市高三零诊）
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③求直线方程的基本方法；
④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤直线斜率的定义与基本求法；⑥求解探索性问题的基本方法。
【解题思路】（理）（1）运用椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，b的值就可得出椭圆C的方程；（2）根据求直线方程的基本方法求出直线l的方程；联立直线方程和椭圆方程消去x得到关于y的一元二次方程，结合问题条件得到关于参数m的方程，求解方程求出m的值就可求出直线l的方程。（文）运用椭圆的性质和求椭圆方程的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，b的值就可得出椭圆C的方程；（2）根据求直线方程的基本方法求出直线l的方程；联立直线方程和椭圆方程消去x得到关于y的一元二次方程，结合问题条件得到关于参数m的方程，求解方程就可得出结论。
【详细解答】（理）（1）设点C（，），
椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点
为A，上顶点为B（0,1），右焦点为F，b=1，A（a，0），F（，0），连接BF并延长与椭圆C相交于点C，且|CF|=
|BF|，=，=，-
=，
a=2，即椭圆C的方程为：+=1；（2）设点M（，），N（，），直线l过点（1，0），直线l的方程为：x=my+1，联立直线l的方程和椭圆C的方程得：（4+）+2my-3=0，+=-，
.=-，直线AM，AN的方程分别为：y=(x-2)，y=
(x-2)，直线AM，AN分别与直线x=3相交于点P，点Q，P（3，），Q（3，），｜MN｜=
=，==，｜PQ｜=-
=，==
，
=1==
，=，
=，m=2，直线l的方程为：x-2y-1=0或x+2y-1=0。
（文）（1）
椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（，），
=①，且+=1②，=+③，联立①②③解得：=4，=1，椭圆C的方程为：+=1；（2）设存在经过点（0，2）的直线与椭圆C相交于不同的两点M，N，使得M，N与Y轴上的一点P连线后组成以P为直角顶点的等腰直角三角形，点M（，），N（，），P（0，），线段MN的中点为Q（,）直线l过点（0，2），直线l的方程为：x=my-2m，联立直线l的方程和椭圆C的方程得：（4+）-4y
+4-4=0，+=，
.=，=16-4（4+）（4-4）=-48+64
>0，+=m（+）-4m=,<，=,=,
Q（,
）,
PMN是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，直线PQ的方程为：y-
=-m(x-)，令x=0，得y=,=,|PQ|=
=，|MN|=.=，|MN|=2|PQ|，
=，
m=，存在经过点（0，2）直线l，其方程为：x-2y+4=0或x+2y-4=0与椭圆C相交于不同的两点M，N，使得M，N与Y轴上的一点P（0，-）连线后组成以P为直角顶点的等腰直角三角形。
2、（理）已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在X轴和Y轴上运动，动点P满足=3，记动点P的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点H（0，1）的直线y=2x+t，与曲线C相交于两点M，N，若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值。
（文）已知点A（m，0）和B（0，n），且+=16，动点P满足=3，记动点P的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点H（0，1）的直线y=2x+t，与曲线C相交于两点M，N，若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值（2019成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①点轨迹方程的定义与基本求法；②椭圆的定义与性质；③直线斜率的定义与基本求法；④设而不求，整体代入数学思想及运用。
【解题思路】（理）（1）运用求点的轨迹方程的基本方法就可求曲线C的方程；（2）联立直线方程和曲线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，；结合韦达定理得到两根之和与两根之积关于t的式子，利用已知直线上两点的坐标求直线的斜率的公式分别求出直线HM，HN的斜率，根据斜率之和为1得到关于t的方程，求解方程并注意M，N是不同两点，直线y=2x+t不经过点（0，1）的条件就可求出t的值；
【详细解答】如图，设P（x，y），A（，0），B（0，），
y
=（x，y-），=（-x，-y），=3，
B
（x，y-）=（3-3x，-3y），
x=3-3x，
P（x，y）
=x，
y-=-3y，
0
A
x
=4y，|AB|==4，+16=16，+=1，曲线C的方程是：+=1；（2）设M（，），N（，），直线y=2x+t不经过点（0，1），
10+
t，即t
1，由
+=1，得：37+36tx+9-9=0，+=-，.
y=2x+t，=，M，N是不同两点，
=-437
（9-9）=36（36-37+37）>0，-+=+===4
+=+4=1，t=31，且-<3<，t的值是3。
（文）（1）如图，设P（x，y），A（，0），B（0，），
y
=（x，y-），=（-x，-y），=3，
B
（x，y-）=（3-3x，-3y），
x=3-3x，
P（x，y）
=x，
y-=-3y，
0
A
x
=4y，|AB|==4，+16=16，+=1，曲线C的方程是：+=1；（2）设M（，），N（，），直线y=2x+t不经过点（0，1），
10+
t，即
t
1，由
+=1，得：
37+36tx+9-9=0，+=-，.
y=2x+t，
=，M，N是不同两点，
=-437
（9-9）=36（36-37+37）>0，-+=+4=1，t=31，且-<3<，t的值是3。
3、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）（理）设椭圆C的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C设位于X轴上方的两点，且M//N，记直线AM，BN的斜率分别为，，若3
+2=0，求直线M/的方程。（文）设椭圆C的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C设位于X轴上方的两点，且M//N，直线M
的斜率为2
，记直线AM，BN的斜率分别为，，求3+2的值（2019成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②椭圆离心率的定义与性质；③椭圆标准方程的定义与求法；④设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；⑤直线与椭圆相交的定义与性质；⑥已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；⑦求直线方程的基本方法。
【解题思路】（1）运用椭圆的定义与性质，结合椭圆离心率的定义与性质，求出a，b的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）（理）运用设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件和已知直线上两点求直线斜率的公式把，表示出来，从而得到关于参数M的方程，求解方程得出m的值，利用求直线方程的基本方法就可求出直线M的方程。（文）运用设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件和已知直线上两点求直线斜率的公式把，表示出来，从而得到关于参数m的方程，求解方程得出m的值，利用求直线方程的基本方法就可求出直线M的方程。
【详细解答】（1）
由题意有：2b=4①，=②,=
+③，联立①②③解
得=9,
=8,
椭圆C的标准方程是：
N
y
EMBED
Equation.DSMT4
+
=1；（2）（理）设M（，），
M
D（，），N（，），由（1）知，
A
B
（-1，0），（1，0），A（-3，0），
B（3，0），如图，直线M过点（-1，0），直线M的方程为：x=my-1,
由x=my-1,得：（8+9）-16my-64=0，+=，.=-，
+
=1，M//N,
点D与点N关于原点对称，=-，=-，
N（-，-），=，==，3+2=0，=-，
3（+3）=-2（+3），3+2+9+6=0，3（m-1）
+2(m-1)
+9+6=0，5m-3+2++4=0，=,
=-,>0，m>0，.=-.=-，m=，直线M的方程是：x=y-1，即：y=2x+2。（2）设M（，），直线M与椭圆C的另一个交点为D（，），N（，），由（1）知，（-1，0），（1，0），A（-3，0），B（3，0），如图，直线M过点（-1，0），斜率为2直线M的方程为：y=2(x+1)，由y=2(x+1)，14+27x+9=0，
+
=-
，
+
=1，.=，M//N,
点D与点N关于原点对称，=-，=-，
N（-，-），=，=
=，3+2=+=
==
==,+
=-
，.=，=-或=-，=2(x+1)>0，=-，3+2
===0。
『思考问题1』
（1）【典例1】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是直线的方程或直线斜率的值（或取值范围）；
（2）解答这类问题的基本思路是：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），然后运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程，消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④结合问题条件得到关于参数k（或m）的方程（或不等式）（注意相交于不同两点的条件）；⑤求解方程（或不等式）求出参数k（或m）的值；⑥得出问题的结果。
［练习1］解答下列问题：
1、（理）设椭圆C：+=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）。
（1）当l与X轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：OMA=OMB。
（文）设抛物线C：=2x，点A（2，0），B（-2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点。
（1）当l与X轴垂直时，求直线BM的方程；
（2）证明：ABM=ABN（2018全国高考新课标I卷）
2、设抛物线C：=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8。
（1）求直线l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程（2018全国高考新课标II卷）
3、已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，
m）(m＞0）（2018全国高考新课标III卷）。
（1）证明：k＜-；
（2）（理）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=0，证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差。（文）设F为C的右焦点，P为C上一点，，且++=0，证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差。
【典例2】解答下列问题：
1、已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别为（-，0），（，0），且经过点A（，）（2020成都市高三零诊）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）（理）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，记点P关于X轴对称的点为，若直线Q与X轴相较于点D，求DPQ面积的最大值。
（文）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，记点P关于X轴对称的点为，证明直线Q经过X轴上一定点D，并求出定点D的坐标。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）（理）利用设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|PQ|，点D到直线PQ的距离关于参数k的式子，根据三角形的面积公式得到DPQ面积关于参数k的函数，由求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到DPQ面积的最大值。（文）利用设而不求，整体代入的数学思想，求直线方程的基本方法求出直线Q的方程，运用证明直线过定点的基本方法证明直线Q经过X轴上一定点D，并求出定点D的坐标。
【详细解答】（1）c=，A（，）在椭圆C上，=+3①，+=1②，联立①②解得：=4，=1，椭圆C的标准方程为+=1；（2）（理）设P（，），Q（，），直线l的斜率不为0，过点B（4，0），直线l的方程为：x=my+4，由x=my+4，得（+4）+8my+12=0，+=-，.=，|PQ|=.
+=1，
==，点
P关于X轴对称的点为，（，-），直线Q的方程为，y-=(x-)，令y=0得x=-==
==4+=4-3=1，点D（1，0），==，
P，Q是不同的两点，=64-48（4+）=16-1612>0，>12，
=|PQ|.=.=，设t=，t（0，
+），===，当且仅当t=4，即m=2时，等号成立，DPQ面积的最大值为。（2）设P（，），Q（，），直线l的斜率不为0，且过点B（4，0），直线l的方程为：x=my+4由
x=my+4，得（+4）+8my
+=1，+12=0，+
=-，.=，点P关于X轴对称的点为，（，-），直线Q的方程为，y-=
(x-)，令y=0得x=-=
===4+=4-3=1为定值，直线Q经过X轴上一定点D，且定点D的坐标为（1，0）。
（1题图）
（2题图）
（3题图）
2、已知椭圆C：+
=1（0（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BP
BQ，求APQ的面积（2020全国高考新课标III）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③直线垂直直线的定义与性质；④求直线方程的基本方法；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥两点之间的距离公式及运用；⑦三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出的值就可得到椭圆的标准方程；（2）设点P（，），Q（6，），根据等腰直角三角形的性质，直线垂直直线的性质和两点之间的距离公式，结合问题条件得到关于，，的方程组，求解方程组求出，，的值，利用三角形的面积公式通过运算就可求出APQ的面积。
【详细解答】（1）椭圆C：+
=1（0==，25=+，=25-=，即椭圆C的方程为：+=1；
（2）如图设点P（，），Q（6，），A（-5，0），B（5，0），|BP|=|BQ|，BP
BQ，点P在C上，.=-1①，+
=1②，=
③，联立①②③解得：=3，=1，=2，或=-3，=1，=8，P（3，1），Q（6，2），或P（-3，1），Q（6，8），|AQ|==5，或|AQ|=
=，直线AQ的方程为：2x-11y+10=0，或8x-11y+40=0，=
=，或==，=|AQ|.=5=,
或=|AQ|.==,综上所述APQ的面积为。
3、已知椭圆C：+=1（a>b>0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为（2020全国高考新高考II）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）N为椭圆上任意一点，求AMN面积的最大值。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③求直线方程的基本方法；④点到直线的距离公式及运用；⑤两点之间的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求三角函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）设点N（x，y），根据椭圆的性质，点到直线的距离公式和两点之间的距离公式，结合问题条件求出|AM|的值，得到点N到直线AM的距离关于角的三角函数式，由三角形的面积公式得到AMN面积关于角的三角函数式，利用求三角函数最值的基本方法就可求出AMN面积的最大值。
【详细解答】（1）椭圆C：+=1（a>b>0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为，+=1①，==②，联立①②解得：=16，=12，椭圆C的标准方程为：+=1；（2）如图设点N（x，y），点A（-4，0），点N为椭圆C上任意一点，|AM|==3，N（4cos，2sin）（
），直线AM的方程为：x-2y+4=0，=
=，=|AM|.=3
=6，当且仅当=，即=时，取得最大值为18，
AMN面积的最大值为18。
『思考问题2』
（1）【典例2】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是多边形面积的值（或取值范围或最值）；
（2）解答这类问题的基本思路是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用多边形面积的相关知识把多边形的面积表示成关于参数的函数；⑤求出关于参数的函数值（或值域或最值）；⑥得出问题的结果。
［练习2］解答下列问题：
1、已知曲线C：y=，D为直线y=-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B（2019全国高考新课标III）。
（1）证明：直线AB过定点；
（2）（理）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积。（文）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程。
2、（理）已知点A（-2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足这些AM与BM的斜率之积为-，记M的轨迹为曲线C。
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过质保原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEX轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G。
①证明：PQG是直角三角形；
②求PQG面积的最大值。
（文）已知，是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点。
（1）若PO为等边三角形，求C的离心率；
（2）如果存在点P，使得PP，且P的面积等于16，求b的值和a的取值范
围（2019全国高考新课标II）
3、（理）在平面在直角坐标系XOY中，动点M与定点F（1，0）的距离和它到直线x=4的距离的比是1：2，记动点M的轨迹为曲线C，直线l：y=kx+m（m
0）与曲线C相交于不同两点P，Q。
（1）求曲线C的方程；
（2）求OPQ面积的最大值。
（文）在平面在直角坐标系XOY中，已知点A（-1，0），B（1，0），动点M满足|AM|+|BM|=4，记动点M的轨迹为曲线C，直线l：y=kx+2与曲线C相交于不同的两点P，Q。
（1）求曲线C的方程；
（2）若曲线C上存在点N，使得+=（R），求的取值范围（2018成都市高三三诊）。
【典例3】解答下列问题：
1、（理）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P在椭圆E上，P，且|P|=3|P|。
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l：x=my+1(mR)与椭圆E相较于A，B两点，与圆+=相较于C，D两点，求|AB|.|CD|的取值范围。
（文）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P（1，）在椭圆E上。
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l：x=my+1(mR)与椭圆E相较于A，B两点，与圆+=相较于C，D两点，当|AB|.|CD|的值为8时，求直线l的方程（2020成都市高三二诊）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③直线垂直直线的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤椭圆弦长公式及运用；⑥圆弦长公式及运用；⑦求函数值域的基本方法。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）（理）设A（，），B（，），根据椭圆的性质，椭圆弦长公式和圆弦长公式，结合问题条件得到|AB|，|CD|关于参数m的式子，从而得到|AB|.|CD|关于参数m的函数，利用求函数值域的基本方法就可求出|AB|.|CD|的取值范围；（文）设A（，），B（，），P（，）根据椭圆的性质，椭圆弦长公式和圆弦长公式，结合问题条件得到关于参数m的方程，求解方程求出m的值就可得到直线l的方程。
【详细解答】（理）（1）设P（，），椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P在椭圆E上，P，且|P|=3|P|，=+1①，+=1②，.
=-1③，2=a④，联立①②③④解得：=2，=1，椭圆E的标准方程为：+=1；（2）如图设A（，），B（，），由
+=1，得：（2+
）+2my-1=0，+=-，.=-，
x=my+1，|AB|=.=，+
=2，直线l：x=my+1(mR)与圆+=相较于C，D两点，==，
|CD|=4（2-）=，|AB|.|CD|=.=
=8（2-），2-<2，48（2-）<16，即|AB|.|CD|的取值范围是[4，16）。
（文）（1）椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-1，0），（1，0），点P（1，）在椭圆E上，=+1①，+=1②，联立①②解得：=2，=1，椭圆E的标准方程为：+=1；（2）如图设A（，），B（，），由
+=1，得：（2+
）+2my-1=0，+=-，.=-，|AB|
x=my+1，
=.=，+=2，直线l：x=my+1
(mR)与圆+=相较于C，D两点，==，|CD|=4（2-
）=，|AB|.|CD|=.==8，
=1，m=1，当|AB|.|CD|的值为8时，直线l的方程为：x-y-1=0或x+y-1=0。
（1题图）
（2题图）
（3题图）
2、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为（-
，0），点Q（1，）在椭圆C上（2020成都市高三三诊）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）经过圆O：+=5上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相较于异于点P的M，N两点。
（理）①求证：+=0；②求OAB的面积的取值范围。（文）①当直线PA，PB的斜率都存在时，记直线PA，PB斜率分别为，，求证：.=-1；②求的取值范围。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③圆的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤椭圆切线的定义与性质；⑥直线斜率的定义与基本求法；⑦椭圆弦长公式及运用；⑧点到直线的距离公式及运用；⑨三角形面积公式及运用；⑩求函数值域的基本方法。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）（理）①如图设P（，），运用椭圆切线的性质，结合问题条件得到直线PA，PB的斜率，关于，的式子，根据点P在圆O上，证明直线PM垂直直线PN，利用圆的性质就可证明+=0；②如图设A（，），B（，），运用椭圆切线的性质，结合问题条件得到直线PA，PB的斜率关于，的式子，关于，的式子，从而得到直线PA，PB的方程，根据点P在直线PA，PB上，得到关于，，，，，的等式，从而求出直线AB的方程，联立直线AB和椭圆C的方程，得到关于x的一元二次方程，从而由题意弦长公式和点到直线的距离公式求出|AB|,
的值，根据三角形的面积公式得到OAB的面积关于的函数，利用求函数值域的基本方法就可求出OAB面积的取值范围；（文）①如图设P（，），运用椭圆切线的性质，结合问题条件得到直线PA，PB的斜率，关于，的式子，根据点P在圆O上就可证明.=-1；②如图设A（，），B（，），运用椭圆切线的性质，结合问题条件得到直线PA，PB的斜率关于，的式子，关于，的式子，从而得到直线PA，PB的方程，根据点P在直线PA，PB上，得到关于，，，，，的等式，从而求出直线AB的方程，联立直线AB和椭圆C的方程，得到关于x的一元二次方程，从而由题意弦长公式和点到直线的距离公式求出|AB|关于的式子,根据直线PAPB得到MN是圆O的直径求出|MN|的值，从而得到关于的函数，利用求函数值域的基本方法就可求出的取值范围。
【详细解答】（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为（-
，0），点Q（1，）在椭圆C上，=+3①，+=1②，联立①②解得：=4，=1，椭圆E的标准方程为：+=1；（2）（理）①如图设P（，），（i）当直线PA，PB的斜率存在时，设过点P（，）与椭圆C相切的直线方程为：y=k(x-)+，联立直线和椭圆方程消去y得：（1+4）+8k（-k）x+4-4=0，直线与椭圆相切，=64-16[-1].
（1+4）=（4-）+2k+1-=0，
设直线PA，PB的斜率分别为，，点P（，）在圆O：+=5上，+=5，
.===-1，PAPB，即MN是圆O的直径，+=0；（ii）当直线PA或直线PB的斜率不存在时，当y=1时，=5-1=4，x=2或x=-2，点（2，1），（-2，1）在圆O上，取P（2，1），直线PA的方程为：x=2，直线PB的方程为：y=1，点M（2，1），N（-2，1），=（2，-1），=（-2，1），+=0也成立，综上所述，+=0；②如图设A（，），B（，），（i）当直线PA的斜率存在时，设直线PA，PB的斜率分别为，，则直线PA的方程为：y=（x-）+，联立直线PA与椭圆C的方程消去y得：（1+4）+8（-）x+4-4=0，直线PA与椭圆C相切，=64-16[-1].
（1+4）=（4-）+2k+1-=0，=-=-=-，直线PA的方程为；y=-（x-）+，即：+y-1=0，（ii）当直线PA的斜率不存在时，直线PA的方程为：x=2或
x=-2，也满足+y-1=0，直线PA的方程为：+y-1=0，同理可得直线PB的方程为：+y-1=0，点P（，）在直线PA，PB上，+-1=0，+-1=0，直线AB的方程为：+y-1=0，联立直线AB和椭圆C的方程消去y得：（3+5）-8x+16-16=0,
+=,.=,|AB|
=.==,
==,=.=,
令t=，t[1，4]，则==，
t[1，4]，[4，5]，即：OAB面积的取值范围是[，1]。（文）①如图设P（，），当直线PA，PB的斜率存在时，设过点P（，）与椭圆C相切的直线方程为：y=k(x-)+，联立直线和椭圆方程消去y得：（1+4）+8k（-k）x+4-4=0，直线与椭圆相切，=64-16[-1].
（1+4）=（4-）+2k+1-=0，直线PA，PB的斜率分别为，，点P（，）在圆O：+=5上，+=5，即：
.===-1，②如图设A（，），B（，），（i）当直线PA的斜率存在时，设直线PA，PB的斜率分别为，，则直线PA的方程为：y=（x-）+，联立直线PA与椭圆C的方程消去y得：（1+4）+8（-）x+4-4=0，直线PA与椭圆C相切，=64-16[-1].
（1+4）=（4-）+2k+1-=0，=-=-=-，直线PA的方程为；y=-（x-）+，即：+y-1=0，（ii）当直线PA的斜率不存在时，直线PA的方程为：x=2或x=-2，也满足+y-1=0，直线PA的方程为：+y-1=0，同理可得直线PB的方程为：+y-1=0，点P（，）在直线PA，PB上，+-1=0，+-1=0，直线AB的方程为：+y-1=0，联立直线AB和椭圆C的方程消去y得：（3+5）-8x+16-16=0,
+=,.
=,|AB|=.=
=,直线PAPB，MN是圆O的直径|MN|=2，
==1-，[0，5]，[，]，1-
[，]，的取值范围是
[，]。
3、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点M，N在C上，且AM
AN，AD
MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值（2020全国高考新高考I）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③直线垂直直线的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤两点之间的距离公式及运用。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）如图设M（，），N（，），运用椭圆的性质和设而不求，整体代入的数学思想得到关于m，n的等式，从而求出直线MN的方程，由直线MN的方程可得直线MN过定点P，取线段AP的中点为Q就可证明结论。
【详细解答】（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1），=①，+=1②，联立①②解得：=6，=3，椭圆C的标准方程为：
+=1；（2）如图设M（，），N（，），直线MN的方程为：x=my+n，联立直线MN和椭圆C的方程消去x得：（2+
）+2mny+
-6=0，+=-，
.=，+=m（+）+2n=-+=，.
=.+mn（+）+=-+=，
AM
AN，=（-2，-1），=（-2，-1），.=（-2）（-2）
+（-1）（-1）=.-2（+）+4+.-（+）+1=-+
++==0，（3n-m-2）(n+m-2)=0，点A（2，1）不在直线MN上，2m+n，即n+m-20，3n-m-2=0，m=3n-2，直线MN的方程为：x=(3n-2)y+n，令y=-得x=，直线MN过定点P（，-），取AP的中点
Q（，），①若点P与点D重合，则|QD|==；②若点P与点D不重合，AP是RtADP的斜边，|QD|=|AP|==
=，综上所述，存在点Q（，），使得|QD|=为定值。
『思考问题3』
（1）【典例3】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是某一式子的值（或取值范围或最值）或证明某一式子为定值；
（2）解答这类问题的基本方法是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数得到关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识把问题中的式子表示成关于参数的函数；⑤求出关于参数的函数的值（或值域或最值）或证明该式子的值与参数无关（为定值）；⑥得出问题的结果。
［练习3］解答下列问题：
1、（理）在直角坐标系XOY中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a(a＞0)交于M、N两点。
（1）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（2）Y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？说明理由。
（文）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：=1交于M、N两点。
（1）求k的取值范围；
（2）若.=12，其中O为坐标原点，求|MN|（2015全国高考新课标I卷）
2、已知椭圆C：9+=（m＞0），直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A、B，线段AB中点为M。
（1）证明：OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值；
（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。
（文）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，点（2，）在C上。
（1）求C的方程；
（2）直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A、B，线段AB中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值（2015全国高考新课标II卷）
【典例4】解答下列问题：
1、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为（-，0），（，0），且经过点A（，）（2020成都市高三零诊）。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）（理）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，及点P关于X轴对称的点为，证明：Q经过X轴上一定点D，并求出定点D的坐标。（文）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相较于P，Q两点，记点P关于X轴对称的点为，证明直线Q经过X轴上一定点D，并求出定点D的坐标。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与求法；②求椭圆标准方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用；⑦求函数最值的基本方法；⑧求直线方程的基本方法。
【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）（理）设P（，），Q（，），运用设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出|PQ|，点D到直线PQ的距离关于参数m的式子，根据三角形的面积公式得到DPQ面积关于参数m的函数，利用求函数最值的基本方法求出函数的最值就可得到DPQ面积的最大值。（文）利用设而不求，整体代入的数学思想，求直线方程的基本方法求出直线Q的方程，运用证明直线过定点的基本方法证明直线Q经过X轴上一定点D，并求出定点D的坐标。
【详细解答】（1）c=，点A（，）在椭圆C上，=+3，且+=1，
=4，=1，椭圆C的标准方程为+=1；（2）（理）设P（，），Q（，），直线l的斜率不为0，且过点B（4，0），直线l的方程为：x=my+4（m0），由x=my+4，得（+4）+8my+12=0，+=-，.=，
+=1，|PQ|==
=，点P关于X轴对称的点为，（，-），直线Q
的方程为，y-=(x-)，令y=0得x=-=
===4+=4-3=1，点D（1，0），
==，P，Q是不同的两点，=64-48（4+）=16-16
12>0，>12，=|PQ|.=.
=，设t=，t（0，+），==
=，当且仅当t=4，即m=2时，等号成立，DPQ面积的最大值为。
（文）设P（，），Q（，），直线l的斜率不为0，且过点B（4，0），直线l的方程为：x=my+4（m0），由x=my+4，得（+4）+8my+12=0，+=-，
+=1，.=，点P关于X轴对称的点为，
（，-），直线Q的方程为，y-=(x-)，令y=0，得；
x=-==
==4+=4-3=1为定值，直线Q经过X轴上一定点D，且定点D的坐标为（1，0）。
（1题图）
（2题图）
（3题理科图）
（3题文科图）
2、已知椭圆：=1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过F且与X轴垂直的直线交于A，B两点，交于C，D两点，且|CD|
=|AB|（2020全国高考新课标II）。
（1）求的离心率；
（2）（理）设M是与的公共点，若|MF|=5，求与的标准方程。（文）若的四个顶点到的准线距离之和为12，求与的标准方程。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与求法；②求椭圆标准方程的基本方法；③抛物线的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；⑤弦长公式及运用；⑥求抛物线标准方程的基本方法。
【解题思路】（1）运用椭圆和抛物线的性质，弦长公式，设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件得到关于a，c的等式，利用求椭圆离心率的基本方法就可求出求出的离心率；（2）（理）设点M（，），由（1）得：a=2c，从而得到值含参数c的椭圆，抛物线的方程，根据点M是椭圆，抛物线的公共点得到关于的一元二次方程，结合问题条件得到关于的等式，求出关于参数c的表示式，把代入一元二次方程得到关于参数c的方程，求解方程求出参数c的值就可求得与的标准方程。（文）设点M（，），由（1）得：a=2c，从而得到值含参数c的椭圆，抛物线的方程，根据点M是椭圆，抛物线的公共点得到关于的一元二次方程，结合问题条件得到关于的等式，求出关于参数c的表示式，把代入一元二次方程得到关于参数c的方程，求解方程求出参数c的值就可求得与的标准方程。
【详细解答】（1）椭圆：=1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过F且与X轴垂直的直线交于A，B两点，交于C，D
两点，A（c，），B（c，-），C（c，2c），D（c，-2c），|AB|=，|CD|
=4c，|CD|=|AB|，4c=，3ac=2=2（-），2+3e-2=0,
e=，的离心率为；（2）（理）如图设点M（，），由（1）得：a=2c，椭圆的方程为：+=1，抛物线的方程为：=4cx，点M（，）是与的公共点，+=1，=4c，+=1，|MF|=
c+=5，=5-c，+=1，-2c-3=0，c=3，椭圆的标准方程为：+=1，抛物线的标准方程为：=12x。（文）如图设点M（，），由（1）得：a=2c，椭圆的方程为：+=1，抛物线的方程为：=4cx，点M（，）是与的公共点，+=1，=4c，+=1，的四个顶点到的准
线距离之和为12，3c+c+c+c=6c=12，c=2，椭圆的标准方程为：+=1，抛
物线的标准方程为：=8x。
3、（理）已知抛物线C：=2px过点P（1，1），过点（0，）的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作X轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点。
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点。
（文）已知椭圆C的两个顶点分别为A（-2，0），B（2，0），焦点在X轴上，离心率为。
（1）求椭圆C的方程；
（2）点D为X轴上一点，过D作X轴的垂线交椭圆C于不同两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E，求证：BDE与BDN的面积之比为4：5（2017全国高考北京卷）
【解析】
【考点】①椭圆的定义与求法；②求椭圆标准方程的基本方法；③抛物线的定义与性质；④求抛物线标准方程的基本方法；⑤设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；⑥三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）（理）运用求抛物线标准方程的基本方法，结合问题条件求出p的值就可得到抛物线的标准方程；（文）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值就可得到椭圆的标准方程；（2）（理）如图设M（，），N（，），运用设而不求，整体代入的数学思想，求直线方程的基本方法求出直线OP，ON的方程，从而结合问题条件求出点A,B的坐标，比较点A与线段BM中点的坐标就可证明结论。（文）如图设M（，），N（，），D（，0），运用设而不求，整体代入的数学思想，求直线方程的基本方法求出直线BN，DE的方程，从而结合问题条件求出点E的坐标，利用三角形面积公式把BDE与BDN的面积表示成关于参数的式子，比较BDE与BDN的面积就可证明结论。
【详细解答】（1）（理）抛物线C：=2px过点P（1，1），1=2p，p=,抛物线C的标准方程为：=x，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为：x=-；（文）椭圆C的两个顶点分别为A（-2，0），B（2，0），焦点在X轴上，离心率为，a=2，=，c=，
=-=4-3=1，椭圆C的标准方程为：+=1；（2）（理）如图设M（，），N（，），直线l过点（0，），直线l的方程为：x=my-m，由
x=my-m，得：
-my+m=0，+=m，.=m，直线OP，ON的方程
=x，分别为：y=x，y=x，直线AB方程为：x=，直线AB分别与直线OP，ON交于点A，B，A（，），B（，），设线段BM中点的坐标为（，），
==，===
=，（2-1）=m（2-1）（-）=m[2.-（+）+]=m（m-m+）
=,==,线段BM中点的坐标为（，），点A为线段BM的中点。（文）如图设M（，），N（，），D（，0），直线MN的方程为：x=,联立直线MN和椭圆C的方程解得：==，=，=-，M（，）,N（，-）,
直线DE垂直直线AM，直线DE的方程为；y=-
(x-)，直线BN的方程为：y=(x-2)，联立直线DE，BN的方程解得：x=,
y=-，点E的坐标为（，-）=|BD||-|，
=|BD||-|，==。
『思考问题4』
（1）【典例4】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是某点的坐标（或点的轨迹方程）；
（2）解答这类问题的基本方法是：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程得到方程组，消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识结合问题的条件把点的坐标表示成关于参数k（或m）的式子；⑤求出参数的值得到点的坐标（或消去参数得到点的轨迹方程）；⑥得出问题的结果。
［练习4］解答下列问题：
1、如图，在平面直角坐标系XOY中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为8，点P在同一E上，且位于第一象限，过点作直线P的垂线，过点作直线P的垂线。
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线，的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标（2017全国高考江苏卷）
2、（理）已知抛物线C：=2x的焦点为F，平行于X轴的两条直线，分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点。
（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR//FQ；
（2）若PQF的面积是ABF的面积的2倍，求AB中点的轨迹方程。
（文）同理（2016全国高考新课标III卷）
3、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0,1）和点A（m,n）（mn），都在椭圆C上，直线PA交X轴于点M。
（1）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m、n表示）；
（2）设O为原点，点B与点A关于X轴对称，直线PB交X轴于点N，问：Y轴上是否存在点Q，使得OQM=ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由。
（文）已知椭圆C：=3，过点D（1,0）且不过点E（2,1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M。
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若AB垂直于X轴，求直线BM的斜率；
（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由（2015全国高考北京卷）
【典例5】解答下列问题：
1、（理）已知椭圆C：+=1的右焦点为F，过点F的直线（不与X轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x=2与X轴相较于点H，过点A作ADl，垂足为D。
（1）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；
（2）证明：直线BD过定点E，并求出点E的坐标。
（文）已知椭圆C：+=1的右焦点为F，过点F的直线（不与X轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x=2与X轴相较于点H，E为线段FH的中点，直线BE与直线l的交点为D。
（1）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；
（2）证明：直线AD与X轴平行（2020成都市高三一诊）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②四边形面积的定义与求法；③函数值域的定义与求法；④设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；⑤直线过定点证明的基本方法。
【解题思路】（1）运用设而不求，整体代入数学思想的基本方法把弦长|AB|表示
成关于参
数m的式子，从而把四边形OAHB的面积表示成关于参数m的式子，利用求函数值域的基本方法就可求出四边形OAHB面积的取值范围；（2）（理）运用求直线方程的基本方法求出直线BD的方程，结合证明直线过定点的基本方法证明直线BD过定点并求出定点E的坐标。
（文）运用已知直线上两点的坐标，求直线斜率的公式把直线AD的斜率表示为关于m的式子，结合问题条件证明该式的值为0，就可得到结论。
【详细解答】（1）如图，设A（，），B（，），H（，0），H是直线l：x=2与X轴的交
点，=2，H（2，0），直线AB过点F(1，0)，
y
直线AB的方程为x=my+1(mR)，
由
B
l
x=my+1，
（+2）+2my-1=0，+
H
x
+
=1，
=
-，.=-，
A
D
|.|===.2.
=
，设t=，t[1，+），===，>0，0<，四边形OAHB面积的取值范围是（0，]；
（2）（理）AD直线l于点D，D（2，），B（，），=，
直线BD的方程为：y-=(x-2)，y=(x-2)+
，令y=0，x=
-
+2===，由（1）知+=
-，.=-，+=2m.，x==
=，直线BD过定点E（，0）。（文）由（1）知H（2，0），F（1，0），E是线段FH的中点，E（，0），B（，），==，
直线BE的方
程为：y=
(x-)，联立直线BE和直线l的方程解得：x=2，y=，D
(2，
)，===
===0，
直线AD与X轴平行。
2、已知A，B分别为椭圆E：+=1（a>1）的左，右顶点，G为E上顶点，.=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一个交点为C，PB与E的另一个交点为D。
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点（2020全国高考新课标I）。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③求直线方程的基本方法；④设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；⑤证明直线过定点的基本方法。
【解题思路】（1）运用椭圆的性质和求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出的值，从而得到椭圆E的标准方程；（2）如图，设C（，），D（，），P（6，），运用求直线方程的基本方法求出直线PA，PB的方程，从而得到点C，D关于参数的坐标，根据求直线方程的基本方法求出直线CD的方程，利用证明直线过定点的基本方法证明直线CD过定点。
【详细解答】（1）
A，B分别为椭圆E：+=1（a>1）的左，右顶点，G为E上顶点，A（-a，0），B（a，0），G（0，1），=（a，1），=（a，-1），.=-1=8，=9，即：椭圆E的标准方程为：+=1；（2）如图，设C（，），D（，），P（6，），直线CD的方程为；x=my+n，由
y
（1）知，A（-3，0），B（3，0），直线PA，PB
G
p
的方程分别为：y=(x+3)，y=(x-3)，=
C
（+3），=（-3），3（-3）=（
A
B
x
+3），点C，D在椭圆E上，=1-，=1
D
-，=，=，27=-（+3）（+3），
（27+）+m（n+3）(+)+=0①，联立直线CD和椭圆E的方程得：（+9）+2nmy+-9=0，+=-，.=②，联立①②得：（27+）（-9）-2n（n+3）+（+9）=0，n=-3，或n=,-3n=，直线CD的方程为x=my+，令y=0，得x=，直线CD过定点（，0）。
3、（理）已知抛物线C：=2py经过点（2，-1）。
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过Y轴上的两个定点。
（文）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为原点，直线l：y=kx+t（t1）与椭圆C相较于不同两点P，Q，直线AP与X轴相较于点M，直线AQ与X轴相较于点N，若|OM|.|ON|=2，求证：直线l经过定点（2019全国高考北京）
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③抛物线的定义与性质；④求抛物线标准方程的基本方法；⑤设而不求，整体代入数学思想运用的基本方法；⑥求直线方程的基本方法；⑦求圆方程的基本方法；⑧证明圆过定点的基本方法；⑨证明直线过定点的基本方法。
【解题思路】（1）（理）运用抛物线的性质和求抛物线标准方程的基本方法，结合问题条件求出p的值，从而得到抛物线C的标准方程；（文）运用椭圆的性质和求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值，从而得到椭圆C的标准方程；（2）（理）如图，设M（，），N（，），运用设而不求，整体代入的数学思想和求直线方程的基本方法求出直线OM，ON的方程，从而得到点A，B关于参数，,，的坐标，根据求圆方程的基本方法求出以AB为直径的圆的方程，利用证明圆过定点的基本方法证明圆过定点。（文）如图，设P（，），Q（，），运用设而不求，整体代入的数学思想和求直线方程的基本方法求出直线AP，AQ的方程，从而得到点M，N关于参数，,，
的坐标，结合条件得到含参数k，t的等式，求出t关于参数k的表达式，得到直线l含
参数k的方程，利用证明直线过定点的基本方法证明直线l过定点。
【详细解答】（1）（理）抛物线C：=2py经过点（2，-1），4=-2p，p=-2，抛物线C的标准方程为：=-4y，其准线方程为：y=1；（文）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1），=+1①，b=1②,联立①②解得：=2，=1，椭圆C的标准方程为：+=1；（2）（理）如图，
y
设M（，），N（，），由（1）知抛物线C
0
M
x
的焦点为F（0，-1），直线l过点F，直线l的方
B
F
A
程为：x=my+m，联立直线l和抛物线C的方程得：
N
+（2+4）y+=0，+=-2-,.=1，直线OM，ON的方程分别为：
y=x，y=x，A（-，-1），B（-，-1），以AB为直径的圆的圆心为（，-1），====[-4]=
（+）=4+，以AB为直径的圆的方程为：+=4+，令x=0，
得：=4，y=1或y=-3，以AB为直径的圆经过Y轴上的两个定点（0，1）和
（0，-3）。（文）如图，设P（，），
y
Q（，），联立直线l和椭圆C的方程
A
得：（1+2
）+4ktx+2-2=0，+
P
M
x
=-，.=，直线AP，AQ
Q
的方程分别为：y=x+1，y=x+1，M（，0），N（，0），|OM|
=||，|ON|=||，|OM|.|ON|=2，=
===2，t=0，直线l的方程为：y=kx，令x=0，得y=0，
直线l过定点（0，0）。
『思考问题5』
（1）【典例5】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，②所求问题是直线过定点（或点在定直线上）；
（2）解答这类问题的基本方法是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n，mR），运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；④运用相关知识结合问题的条件把直线方程（或某点的坐标）表示成关于参数k（或m）的式子；⑤确定直线存在与参数k（或m）无关的点（定点）（或把某点的坐标代入给定的直线方程验证）；⑥得出问题的结果。
［练习5］解答下列问题：
1、已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点F（，0），长半轴与短半轴之比等于
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）（理）设不经过点点B（0,1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B（0,1）在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标。（文）设经过点A（1,0）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B（0,1）在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程（2018成都市高三一诊）
2、（理）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），四点（1，1），（0，1），（-1，），（1，）恰有三点在椭圆C上，
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过点且与C相交于A，B两点，若直线A与直线B的斜率的和为-1，证明：l过定点。
（文）时A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4.
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程（2017全国高考新课标I卷）
3、设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+=1上，过M作X轴的垂线，垂足为N，点P满足：=。
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x=-3上，且.=1，证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F（2017全国高考新课标II卷）
O
x
O
F
O
N
0

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